О задаче простое преследование-убегание на компакте Текст научной статьи по специальности «Математика»

Маматов М.Ш.1, Зуннунов А.О.2 ©

Доктор физико-математических наук, профессор; 2магистрант.

Национальный университет Узбекистана, Ташкент

О ЗАДАЧЕ ПРОСТОЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЕ-УБЕГАНИЕ НА КОМПАКТЕ

Аннотация

В этой заметке рассматривается задача преследования-убегания одного убегающего объекта и одним преследующим объектом на компакте. Получены достаточные условие для возможности уклонения от встречи убегающего игрока при точной поимки и возможности завершения преследования в смысле попадание в некоторой окрестности.

Ключевые слова: преследование, преследующий, убегающий, управление преследования, управление убегания.

Keywords: pursuit, pursuer, evader, pursuit control, evasion control.

Здесь рассматривается задача преследования-убегания одного управляемого объекта х0 другим управляемым объектом х1 на компактном множестве N с R2. Пусть движение точек х0, х1 описываются простейшими уравнениями

*0 = и0, х = “1, КI £ 1, |И| £ 1, (1)

где и0, и1 - управляющие параметры; и0 - управляющий параметр убегающего игрока, “ - управляющий параметр преследующего игрока, ||z|| = yj(z, z), (z1, z2) - скалярное

произведение векторов z1, z2 e R2.

Будем предполагать, что в момент времени t обоим игрокам известны позиции х, (t), i = 0,1, а преследующим - и измеримая функция и0(т) при 0 <t< t. На основе этой информации требуется найти такие стратегии для игроков, которые являются измеримыми по t функциями для любых абсолютно непрерывных траекторий х, (t), и либо обеспечивается

уклонение убегающего от встречи с преследующим при всех t > 0 и при любых измеримых управлениях преследующего, либо обеспечивается окончание игры за конечное время при любом измеримом управлении убегающего. Игра (1) как уже отмечено происходит на компакте N с R2 и считается завершенной в момент времени T, если выполнено условие х0(Т) = хг(Т).

Определение. Позиционной e - стратегией убегающего игрока х0 назовем такую измеримую по tфункцию и0(х0(^.),х1(tJ)), что и0(х0(т),хДт)) = и0(х0(^.),х1(tJ)) при tj £t£ tj+1, где 0 = tj < t2 <... < tj <... и limtj = +¥ .

Задачам преследование-убегание для различных классов дифференциальных игр посвящены многочисленные исследования[1-5]. В настоящей работе на основе [5,1318] изучена дифференциальная игра (1).

Теорема 1. Пусть на компакте N с R2 задана игра “простое преследование-убегание”. Тогда у убегающего игрока существует позиционная e- стратегия, которая гарантирует ему уклонение от встречи с преследующего при t > 0 .

© Маматов М.Ш., Зуннунов А.О., 2016 г.

Доказательство теоремы 1. Для того, чтобы доказать теорему используем два суммирования. При изложении решения мы будем строить ломаные, состоящие из бесконечного множества все более коротких звеньев. Нужно будет, чтобы эти ломаные имели бесконечную длину, но целиком помещались внутри круга. Чтобы потом не прерывать изложения, проведем заранее некоторые вычисления [6,15;7,144]. Выпишем две суммы

г 1 1 1

4 — 2+3+...+П ’

к = -1+4+...+4

(2)

(3)

22 32 n

Как они ведут себя при увеличении n ? Ясно, что они возрастают, потому что добавляются все новые положительные слагаемые. Но возрастают безгранично или остаются меньше некоторого числа? Оказывается, первая сумма с ростом n растет неограниченно, а вторая при любом n меньше 1. Действительно воспользуемся неравенствами.

1 1 1 1 1

- + — > — + — — : —

3 4 4 4 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

-+ — + — + - > + + + — — = —

5 6 7 8 8 8 8 8 2

11 111 1

—I--+... +->-1-+... +-—

9 10 16 16 16 16

1

2,

3

к

2

и.т.д., получим L4 > 1, L8 > —, Ll6 > 2и вообще для n — 2 , L^k > — . Итак, Ln с ростом номера n неограниченно возрастает. Так, как

к

lim — — +¥, о i lim L — +¥.

, r\ ’ n

к®+¥ 2 n®+¥

Теперь докажем, что Kn < 1 при любом n. Вычислим сумму 1 111

о 1 1

Sn —-----i-----+... +------так как-----------—-----------то

1- 2 2 • 3 (n - 1)n (m — 1)m m m — 1

Sn — (1 — ^) + (^ — i) +... + (^ — -n 2 2 3 n i

Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получаем Имея в виду

1 1 1 1 1 1 1

Sn — 1 + (— + -) + (—+ -) +... + (--------------+-------)—.

2 2 3 3 n — 1 n — 1 n

1

<

1

S.

m2 m(m — 1)’

1 1 1 1 1 1 1 1

= 1 + (— + -) + (— + -) +... + (----+------) — — 1—.

2 2 3 3 n — 1 n — 1 n n

1

(3)

Получим, что, Kn < Sn — 1-. Итак, при любом n

n

„11 1 .

Kn — ^ + +... +—2 < 1.

n 22 32 n2

Поскольку в начальный момент времени расстояние от преследующего игрока до убегающего строго положительные, то, не ограничивая общности доказательства, можно считать, что x0 (0) принадлежит внутренности компакта N. В противоположном случае за

короткий промежуток времени, убегающий игрок х0 может располагаться во внутреннюю точку множество N. Теперь возьмем такой круг S в N, который бы содержал х0(0) в качестве внутренней точки. Пусть z — центр круга, r — его радиус, а r0 — минимальное расстояние от х0(0)

до границы круга r0 < r. Положим e = yjr2 — r02 и построим ломанию e следующим образом.

Х0 (0) Х0 (t2) = -, Х0 (0) Х0 (t2) ± ZX0 (0);

Вообще

Х0 (t2)Х0 (ts) = 3, Х0 (t2 )X0 (t3 ) ± ZX0 (t2 ) .

x0 (tn—1 )Х0(^ ) = “, Х0 (tn—1 )Х0 (tn ) ± ^0 (tn—1 ) .

n

Тогда ломаная e обладает следующими тремя свойствами. 1)Она не выходит за пределы круга. Действительно,

(™0 (tn ))2 = (^0 (tn—1 ))2 + (Х0 (tn—1 )Х0 (tn ))2 ,

( Z^0(tn ))2 = (^п—2))2 + ( Х0 (tn—2 ) Х0 (tn—1 ))2 + (Х0 (tn—1 ) Х0 (tn ))2,

(zXo(tn )) = ( ^0((-п—3)) + (Х0 (tn—3 ) Х0 (tn—2 )) + (Х0 (tn—2 ) Х0 (tn—1 )) + ( Х0 (tn—1) Х0 (tn )) ,

(zXo(tn ))2 = (zXo(0))2 + (Х0(0) Х0 (t2 ))2 + (Х0 (t2 ) Xo(tз))2 + (Х0^з) Xo(t4))2 +

+ ... + (Х0 (tn—2 ) Х0 (tn—1 )) + (Х0 (tn—1 ) Х0(^п )) ,

так что (3) при любом n

0 0 О

e

-+... +

22 32 n~

(zXo(tn ))2 = + e2 Kn

( ZK0(tn ))2 = r02 + ту + ZT +... + ~2 = r0 +e2Kn,

r2 + e2K < r2 + e2 = r2 '0 0 ’0~c 0’

22

(zx0(tn )) < r

^0(tn ) < Г.

2) Вместе с тем, поскольку (2)

Х0 (0)Х0 (t2) + Х0 (t2)Х0 (t3) + Х0 (t3)Х0 (t4) +

e e e e

+ ... + Х0 (tn—2 ) Х0 (tn—1 ) + Х0 (tn—1 ) Х0(^ ) =“+“+T+ ... + _,

2 3 4 n

то при достаточно больших n, сумма длин первых n звеньев, сколь угодно велика. Другими словами, ломаная e имеет бесконечную длину.

3) Наконец, по построению каждое звено Х0(^—1) ломаной e перпендикулярно радиусу

^п—1).

Пусть в исходном положении убегающий и преследователь находится в двух произвольных точках Х0(0) и Х1(0) круга с радиусом r. Убегающий прежде всего двигается образуя выше приведенную ломаную линию. Проводим диаметр d1, который проходит через точку Х0(0) и центр круга z. Затем в зависимости от того, на какой стороне находится точка

хДО) от диаметра dx, в противоположном направлении от него от точки x0(0) перпендикулярно

e

этому диаметру двигаемся на расстояние — и обозначаем эту точку через x0(t2) (где x0(0)x0(t2)

первое звено ломаной линии e ). Когда убегающий достигает точку x0(t2), преследователь тоже достигает какую-то точку. Эту точку обозначаем через xt(t2). Теперь убегающий должен передвигаться с точки x0(t2) на точку x0(t3). Для этого проводим диаметр d2, который проходит через точку x0(t2) и центр круга z. Затем в зависимости от того, на какой стороне находится точка x1 (t2) от диаметра d2, в противоположном направлении от него от точки x0 (t2)

перпендикулярно проведенному диаметру передвигаемся на расстояние

e

3

Эту точку

обозначаем через x0(t3). В этом случае точку приближения преследователя к убегающему обозначаем через xt(t3). Последующие движения тоже будут продолжаться как и прежде. Если в общем случае убегающий находится в точке x0 (tn), а преследователь в точке x1 (tn), то для подбора точки x0(tn+l) проводим диаметр dn, который проходит через точку x0(tn) и центр круга z . Затем в зависимости от того, на какой стороне находится точка x (tn) от диаметра dn, в противоположном направлении от него от точки x0(tn) перпендикулярно проведенному

диаметру передвигаемся на расстояние --. Это точка будет точкой x0 (tn+l) (где x0 (tn)x0 (tn+l)

n +1

(n +1) -е звено ломаной линии e) и т.д.

В заключении можно сказать, что ломаная линия имеет бесконечную длину, но она целиком находится внутри круга с центром z и радиусом r. Ломаная линия, независимо от способа построения, для любой n является x0(tn)x0(tn+1) L zx0(tn). Значит, стало известно, что преследователь при любых действиях не может поймать убегающего. Значит, убегающий в течении бесконечного времени может убегать от преследователя. Теорема доказана.

Далее игра (1) происходит на компакте N с R2 и считается завершенным, если в момент времени T, выполнено условие ||x0(T) - x1(T)|| < l для некоторого l > 0. В таком случае говорят,

что игра завершена в смысле l поимки. Непосредственно доказывается следующая теорема.

Теорема 2. Пусть на компакте N = [0,1] х [0,1] задана игра “простое преследование-убегание”. Тогда игру можно завершит за конечное время T в смысле l поимки.

Замечания 1. Надо отметит, что выше приведенное доказательства теоремы 1 отличается от доказательств, данных в работах [2,60;5,1318;6,15].

Замечания 2. Теоремы 1,2 легко обобщается, когда рассматриваются задача преследования-убегания одного управляемого объекта x0 другими управляемыми объектами

x-, j = 1, p на компактном множестве N с Rp .

Литература

1. Мищенко Е.Ф., Никольский М.С., Сатимов Н.Ю. Задача уклонение от встречи в дифференциальных играх многих лиц// Труды МИАН СССР. - Москва. 1977. - Т. 143. - С. 105-128.

2. Сатимов Н.Ю. Задачи преследования и убегания для одного класса линейных дифференциальных игр многих лиц. Труды Таш ГУ. -Ташкент. 1981.- №670.-С. 54-64.

3. Сатимов Н.Ю., Маматов М.Ш. Об одном классе линейных дифференциальных игр преследования и убегания. Труды Таш ГУ. -Ташкент. 1981.- №670.-С. 64-75.

4. Сатимов Н.Ю., Маматов М.Ш. О задачах преследования и уклонения от встречи в дифференциальных играх между группами преследователей и убегающих. ДАН УзССР.-Ташкент. 1983.- №4. -С.2-5.

5. Иванов Р.П. Простое преследование - убегание на компакте//Докл. АН СССР.1980.Т.254.№6.С. 1318-1321.

6. Гервер М.Л. Собака бежит наперерез//Квант.1973.№3.С. 15-18.

7. Литлвуд Д.И. Математическая смесь. -М.: Наука, 1974. . - 144 с.