О вычислении собственных чисел и функций дискретного оператора с ядерной резольвентой, возмущенного ограниченным Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984.46, 517.983.28

DOI: 10.14529/mmph190103

О ВЫЧИСЛЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ ДИСКРЕТНОГО ОПЕРАТОРА С ЯДЕРНОЙ РЕЗОЛЬВЕНТОЙ, ВОЗМУЩЕННОГО ОГРАНИЧЕННЫМ

А.И. Седов

Магнитогорский государственный технический университет, г. Магнитогорск, Российская Федерация E-mail: sedov-ai@yandex.ru

Рассматривается задача вычисления собственных чисел и собственных функций возмущенного линейного самосопряженного оператора с ядерной резольвентой, возмущенного ограниченным оператором, действующим в сепарабельном гильбертовом пространстве. Для решения задачи применяется метод регуляризованных следов предложенный В.А. Садовничим и В.В. Дубровским и развитый их учениками. Классический метод регуляри-зованных следов для повышения точности вычислений предполагает вычисление нескольких членов ряда. Сложность вычисления каждого последующего члена ряда нелинейно возрастает. Предлагаемое в работе изменение классического метода приводит к другому ряду, скорость сходимости которого значительно больше, что позволяет уменьшить количество членов ряда используемых в вычислениях. Развивая предложенный метод, в работе приводятся формулы для вычисления коэффициентов Фурье разложения возмущенных собственных функций в ряд по невозмущенным. Для вычисления первых собственных функций используется обратная матрица Вандермонда. Приводятся оценки остатков рядов.

Ключевые слова: собственные числа; собственные функции; ядерный оператор; возмущенный оператор.

Введение

Рассмотрим дискретный самосопряженный оператор T с ядерной резольвентой и линейный ограниченный оператор P, действующие в гильбертовом пространстве H . Для простоты изложения предположим, что оператор T - положительный с простым спектром <r(T) = {Лп } . Собственные числа Лп оператора T занумеруем в порядке возрастания. Обозначим через <r(T) = {jUn } собственные числа оператора T + P, занумерованные в порядке возрастания действительных частей с учетом алгебраической кратности.

Можно показать (см., например [1]), что если существует номер N такой, что для любых

2||р|| N n > N выполняется неравенство qn =--—-—< 1, то первые N собственных чисел {jn }n=1 опе-

Лn+1 - Лп n=

ратора T + P являются решениями системы N уравнений:

N N tN _

ZUu = +Z4°(N) + <4N), tN € N , s = 1,N. (1)

k=1 k=1 k=1

tl 2nik

r N

Ла + Ла

Здесь aks)(N) = ( П s Sp J Л* 1 [PR0(A)f d Л - поправки теории возмущений,

е^)(N) = ^ N), Г^ - окружность радиуса ры =—-с центром в начале коорди-

N k=ÍN+l 2

нат, резольвента оператора Т .

Правые части уравнений (1) явно выражаются через собственные числа и собственные функции невозмущенного оператора Т и возмущающий оператор Р. В.А. Садовничий и В.В. Дубровский в работе [2] высказали идею нового метода вычисления собственных чисел возмущен-

е(') N » яКр^ » НХпЖ+1,

Седов А.И. О вычислении собственных чисел и функций дискретного оператора

с ядерной резольвентой, возмущенного ограниченным

ных операторов с помощью системы (1). Серия работ В.А. Садовничего, В.В. Дубровского, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, И.И. Кинзиной [1, 3-9] привела к созданию и обоснованию метода вычисления собственных чисел возмущенного оператора, а также созданию численных алгоритмов, реализующих данный метод. Идея метода состоит в следующем. Используя теорию симметрических многочленов и формулы Ньютона, нахождение корней системы (1) сводится к нахождению корней многочлена степени N, коэффициенты которого могут быть найдены со сколь угодно большой точностью. Поэтому погрешность вычисления N первых собственных чисел цп зависит от того, как точно вычислены правые части системы (1). Несмотря на приведенные в работах [1, 4, 6-9] численные примеры, найденные там оценки остатков

+1

Л),

- N ) — и\т

1 - ^

нельзя назвать хорошими. Добиться малости е^ (N) возможно только за счет увеличения степени tN +1 числа qN < 1, что в свою очередь ведет к увеличению числа поправок теории возмущения а^, которые приходится вычислять. Сложность вычисления поправок нелинейно растет с

увеличением номера поправки, что значительно увеличивает трудности практического применения метода и ведет к накоплению ошибок округления.

В представленной работе делается попытка уменьшить оценки остатков рядов.

1. Вычисление собственных чисел

Введем обозначения: гп = ^шт { Лп-Лк}, уп = {Л:|Л-Лп| = гп}, Гп = {Л:\Л\=Лп + гп},

2 кфп I -I

ад = (Т-ЛЕ)-1, ад = (Т + Р-ЛЕ)-1, г = МГп , ^ ={Л:\Л\>ЛN + ^}п ПК-Л\> Г,},

п> N

п> N

р(Т) - резольвентное множество.

Приведем известные, но необходимые для целостного изложения результаты в виде нескольких лемм.

Лемма 1. Если ||Р|| < г, то Т + Р - дискретный и справедливо разложение в сходящийся по норме ряд

ад = X (-1)кад(рад)к, ЛeWN. (2)

к=0

Обозначим собственные числа оператора Т + Р, через тп занумерованные в порядке возрастания действительных частей с учетом алгебраической кратности.

Лемма 2. [10] Если\\Р|| < ^, то внутри контура ГN будет находиться одинаковое количество собственных чисел Лп и /ип (сучетом кратности), п < N. Если ||Р|| < гп, то внутри контура уп будет находиться одинаковое количество собственных чисел Лп и тп (с учетом кратности).

Интегрированием по частям доказывается следующая:

Лемма 3. Если g - однозначная аналитическая функция, у - замкнутый контур, то имеет место равенство:

g (Л)Р0(Л)(РР0(Л))к^Л = -g '(Л)(РР0(Л))к^Л, к е N .

у у

Обозначим через \п и ип ортонормированные в Н собственные функции операторов Т и Т + Р, соответствующие собственным числам Лп и тп, и перейдем к доказательству основного результата.

Теорема 1. Если ||Р|| < ^, то первые N собственных чисел /ип оператора Т + Р являются решениями системы уравнений:

f 1 =f 1 + f s(Pvl, vl)

/ .. \ s ¿-^ / о \ s ¿-^

M -1

i=i (z-m) s i=i(z-1i) s i=i(z-1i) s ¿=2 (-1)ks

+ f N) +es, s = 1,N,

где als\N) = ( 1) S Sp f-1--\PRo(A)]kdA - поправки теории возмущений, z некоторое

2pik J <3 -^s+1

Gn (A- z)

фиксированное число, е5 - зависящие от z и М сколь угодно малые числа.

1

Доказательство. Умножим ряд (2) на число -

2pi (z -A)

s = 1, N, проинтегрируем по кон-

туру Г„ и найдем след. Число z > Аы + гы выберем позднее. Получим:

1

SP J

R(l)

1

1

Sp f

2p l (A- z)sk=0

f (-1)kRo(1)\ PRo(1)]k

2Р Г (1- z)s

Вычислим интеграл в левой части и первые слагаемые в правой части. Используя леммы 1 и 2, можно показать, что оператор | R(A)dA является проектором на пространство, натянутое на

линейную оболочку {un } . Имеем

__!_Sp f di=--Lf f f

2pi G (z - A)

R(l) 2pi G (z -A)

i_1 V1 N '

s dlui, Ui

=-Lf f RiDuLdi,u

2xif=; G (z -A)'

i_1 V gnv 7

I « (

P f l J

H

i=1 gn (z -i)s (m -1)

2pi G

V GN

Аналогично, при k = 0 :

N 1

= -f(ui, ui) ^ZT J

1

N1 d1=f--

i=1 2pi rJ„ (z - 1)s (Mi -1) i=1 (z - Mi)

--LSp f A(1)_di=f_L_

2pi Gn (z-A)s i=1(z-1) При k = 1, используя лемму 3, имеем:

Sp f Ro(1)PRo(1)

)W7 J

-dA =--Sp f

Iwi J

PRo(1)

2pi G (z -1)s

1 N

s N , 1

f (Pv v ) f-1

2pi 1=1 П П rN (z -1)s+1(1i -A) i=1(z -1)

dA =

2pi ± G (z -A)s+1

GN

dA = Ns( PVn, Vn)

s+1 '

Оценим M-й остаток ряда.

J_ 2pi

■Sp f (-1)kRo(1)(PRo(1))kd1

i J i T _ 3 V

Gn (z -1)s k=M

~sp j

2Pi V (z -1)s+1 k=M

f O-(PRo(1))k

J—1+1 f 11 lPRo(1)l- A

2p Gn I z-1I k=M

2p( z-1 - rN )

s(1+rN) qti

( z-1n - rN )s+1 1 - ^N

; длина TN f — max||PRo(1)||- <

k =M - 1GN

За счет выбора числа М и, главным образом, числа z погрешности

s(1n + rN) 4n

(z -An - rN )s+1 1 - qNN

можно сделать сколь угодно малыми. Доказательство закончено.

G

u

s

s

1

s

1

s

s

Заметим, что если ввести обозначения ¡п = —1— , г/п = —1— , то система перепишется в

г-т г-1п

виде (1)

МММ М -1

та=тт+1 *(руп , ^ +1 +е. 1=1 1=1 1=1 к=2 Обоснование существования и единственности решения данной системы, а также алгоритмы поиска решения можно найти в работах [1, 3-8]. Предположим далее п > N.

Теорема 2. Если ||Р|| < гп и 1п однократное, то собственное число /тп можно вычислить по формуле

М -1

р =лп + з(руп, Уп )лп+1 + т а^(п)+е

к=2

где ак"\п) = ( 1) 5Бр Г-1--[PR0(1)]kd1, г - некоторое фиксированное число, е5 - зави-

2л1к * (1 - г)

7п

сящее от г сколь угодно малое число.

Доказательство аналогично теореме 2. Умножим ряд (2) на--1-, проинтегрируем

2т (2 -1)

по контуру уп и найдем след. Числа 2 > 1п + гп , М > 3 и 5 е N выберем таким образом, чтобы погрешности

5Г ГМ

е<

Чп

М(г-Лп - гп )+11 - чМ ' были достаточно малыми.

Обобщение на случай кратного спектра можно сделать аналогично [9].

2. Вычисление собственных функций возмущенного оператора

Из леммы 2 и введенных обозначений следует, что внутри контура уп находятся только числа 1п и тп , а внутри контура ГМ - числа 1к , тк, к = 1, N . Пусть сначала п < N. Разложим собственные функции Уп в ряд Фурье по ортонормированному базису |ип}.

V.

= Т спкик , Спк = (уп, ик ). (3)

к=1

1 1 Г Умножим равенство на -—, г > 1М+1, подействуем проектором--- J R(Л)dЛ и по-

(г -1)т 2т Г

' Г N

лучим:

1 ' 1 Г ^Ч)ик

Г R1V—d1 = -^Т ^ Г 31—dЛ . (4)

2т ^ (г -1)т 2тк=1 Гм (г -1

Преобразуем правую часть равенства (4) следующим образом:

1 ТСпк Г R1—dЛ = -^£Спкик Г-1-dЛ = Т Спкик

пк J /_ о\т пк к J / ]\т/,. ЗЛ '

2тк=1 Г„ (г-1)т 2тк=1 (г-1№-1) к=1 (г - Цк

Для вычисления левой части (4) воспользуемся представлением (2):

-Р Г( « = Т(-1)к 1 (^«Кт^. (5)

Оценим 5-й остаток ряда (5):

f (-1)k— f-1—R0(A) (PR0(A) )kvndA < — f f

tK ' 2pi GJ (z -A)m °K Л ^ " n 2p—=s Gf

||Ro(A)P||

k=s Gn z -A\ An -A\

ЫЯ ldA\<

AN + r

(An + r-An)(z-An - r )m k=sAeG

f max | |R0 (A)P||k =

an + r

(An + r-An)(z-An - r )m 1 - q

P

где д = -—- < 1. Таким образом, при некотором 5 , а также за счет выбора z, можно получить г

достаточно малую оценку. Пусть, например, такая оценка получена при 5 = 2 . Вычислим два первых члена ряда (5). При к = 0 имеем

Яо(1К кг 1 к

--L f Ro(A)vndA = —— f

liri J („_ 7\m liri J

2p Gn (z -A)m 2P Gn (z - A)m (An -A) (z - An )m

При k = 1 воспользуемся представлением резольвенты в виде ряда \11, гл. 5, § 3]:

Ro(A) = f

(•, vk) vk

k=1 Ak -A

Тогда:

2pi J

Ro(A)PRo(A)vn

(z -A)"

-dA

1-rri J

Ro(A) Pvn

-L J_"— ^

2P G (z-A)m (An-A) k=1 Ak

2pi Gn (z-A)m (An -A)

f(Pvn, vk)vkd A =

m(Pvn , vn )vn

( z-An )

m+1

+

f

k < N, k Фп

(Pvn, vk )vk

+

(Pvn , vk )vk

(z-An)m (An -Ak) (z-Ak)m (Ak -An) I k>N(z-An)m (An -Ak)

+

f

(Pvn , vk )vk

Подставляя все вычисленные интегралы в (4), получим:

f cnkuk = vn k=1(z - Mk )m (z -An )m

+

m(Pvn, vn )vn

(z-An)

m+1

+

f

k < N, k Фп

f

(Pvn, vk )vk

+

(Pvn, vk )vk

(z-An)m (An-Ak) (z-Ak)m (Ak-An) I k>N (z-An)m (An-Ak)

+

f

(Pvn, vk )vk

+rm, (6)

где

r"

<

an + r

q

н (1 + г-1)(z-А - г )т 1 - д Далее предположим, что все числа тп, п £ N различны. Тогда матрица Вандермонда

1

Л

(z-Mk)"

обратима. Обозначим элементы обратной матрицы через Wkm . Умножим на

k=1,N,

m=0,N-1

обратную матрицу систему уравнений (6), разрешив ее относительно неизвестных с^Пк .

N-1

= f

w

km

f m(Pvn , vn )vn + f - , n \m+1 ¿-^ m=0 (z -An )

f

k < N, k Фп

(Pvn, vk )vk

m=0

+

(z -An)"

(Pvn , vk )vk

+

(z-An )m (An -Ak ) (z-Ak)m (Ak -An ) I k>N (z-An)m (An -Ak )

+f

(Pvn , vk )vk

+ R"

.(7)

Для нахождения неизвестных коэффициентов сп- умножим скалярно равенство (7) на vn . Получим:

k

s

q

v

n

cnkuk

Седов А.И.

N -1

(

-пк

= I

кт

т=0

1 + т( ^уу,, уя) + (лг>Уп)

> -1 )т (? -1 )т+1

Таким образом, все неизвестные ортонормированные собственные функции ик, к < N будут найдены.

Остальные функции ик, к > N можно находить аналогично, действуя на равенство (3) про-1 Г

ектором--I ЩЯ)^Я. В силу леммы (2) внутри контура уп будет находиться по одному соб-

2т

Уп

ственному числу. После преобразований получим аналогичное равенству (6), но более простое представление:

сппип = Уп +

I

(Руп, Ук )Ук

Ып 1 1

+ ^

ч

где М Н <1 -

Н 1 - ч

При необходимости можно вычислить не два первых члена ряда (5), а несколько. Однако сложность вычисления каждого следующего члена возрастает.

2

Литература

1. Кадченко, С.И. Вычисление собственных значений возмущенных дискретных полуограниченных операторов / С.И. Кадченко, И.И. Кинзина // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46, № 7. - С. 1265-1272.

2. Дубровский, В.В. К обоснованию метода вычислений собственных чисел дискретного оператора с помощью регуляризованных следов / В.В. Дубровский, В.А. Садовничий // Совместные заседания семинара имени И.Г. Петровского по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики и Московского математического общества (тринадцатая сессия, 2-5 февраля 1990 г.). - Успехи математических наук. - 1990. - Т. 45, № 4(274). - С. 120.

3. Садовничий, В. А. Замечание об одном новом методе вычисления собственных значений и собственных функций дискретных операторов / В. А. Садовничий, В.В. Дубровский // Тр. семинара им. И Г. Петровского. - 1994. - № 17. - С. 244-248.

4. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи Орра-Зоммерфельда с помощью теории регуляризованных следов / В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, В.А. Садовничий // Электромагнитные волны и электронные системы. - 1997. - Т. 2, № 6. - С. 13-19.

5. Вычисление первых собственных чисел дискретного оператора / В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, В.А. Садовничий // Электромагнитные волны и электронные системы. - 1998. - Т. 3, № 2. - С. 6-8.

6. Садовничий, В.А. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко // Дифференциальные уравнения. - 1998. - № 1. - С. 50-53.

7. Кадченко, С.И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда / С.И. Кадченко // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2000. -Т. 5, № 6. - С. 4-10.

8. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда / В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, В.А. Садовничий // Доклады Академии Наук. - 2001. - Т. 378, № 4. - С. 443-445.

9. Кинзина, И.И. Вычисление собственных чисел дискретного самосопряженного оператора, возмущенного ограниченным оператором / И.И. Кинзина // Известия вузов. Математика. - 2008. - № 6. - С. 16-24.

10. Садовничий, В.А. Регуляризованный след ограниченнего оператора с ядерной резольвентой / В.А. Садовничий, В.Е. Подольский // Дифференциальные уравнения. - 1999. - Т. 35, № 4. -С.556-564.

11. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. - М.: Мир, 1972. - 740 с.

Поступила в редакцию 4 января 2019 г.

Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2019, vol. 11, no. 1, pp. 16-23

DOI: 10.14529/mmph190103

ON CALCULATION OF EIGENVALUES AND EIGENFUNCTIONS

OF A DISCRETE OPERATOR WITH A NUCLEAR RESOLVENT PERTURBED

BY A BOUNDED OPERATOR

A.I. Sedov

Magnitogorsk State Technical University of G.I. Nosova, Magnitogorsk, Russian Federation E-mail: sedov-ai@yandex.ru

The problem of calculating eigenvalues and eigenfunctions of a perturbed linear self-adjoint operator with a nuclear resolvent, perturbed by a bounded operator operating in a separable Hilbert space, is being considered. In order to solve the problem, the method of regularized traces proposed by V.A. Sa-dovnichy and V.V. Dubrovsky and developed by their followers is used. The classical method of regularized traces for enhancement of calculations' accuracy assumes calculation of several terms of a series. The complexity of calculation of each subsequent term of a series non-linearly increases. Alteration of the classical method, which is proposed in this work, leads to another series, the rate of convergence of which is significantly higher, which allows decreasing the number of terms of the series that are used for calculation. Developing the proposed method, there are formulas for calculation of Fourier coefficients for expansion of perturbed eigenfunctions in a series by non-perturbed ones provided in the article. Inverse Vandermonde matrix is used for calculation of first eigenfunctions. Assessments of series remainders are given.

Keywords: eigenvalues; eigenfunctions; kernel operator; perturbed operator.

References

1. Kadchenkol S.I., Kinzina I. Computation of eigenvalues of perturbed discrete semibounded operators. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2006, Vol. 46, no. 7, pp. 1200-1206. DOI: 10.1134/S0965542506070116

2. Dubrovskiy V.V., Sadovnichiy V.A. K obosnovaniyu metoda vychisleniy sobstvennykh chisel diskretnogo operatora s pomoshch'yu regulyarizovannykh sledov (To the substantiation of the method of calculating the eigenvalues of a discrete operator using regularized traces). Joint sessions of the seminar I.G. Petrovsky on differential equations and mathematical problems of physics and the Moscow Mathematical Society (thirteenth session, February 2-5, 1990). Uspekhi matematicheskikh nauk, 1990, Vol. 45, no. 4(274), p. 120. (in Russ.).

3. Sadovnichiy V.A., Dubrovskiy V.V. Zamechanie ob odnom novom metode vychisleniya sobstvennykh znacheniy i sobstvennykh funktsiy diskretnykh operatorov (Remark on a new method of calculation eigenvalues and eigenfunctions for discrete operators). Tr. seminara im. I.G. Petrovskogo (Proc. the seminar named after I.G. Petrovsky), 1994, no. 17, pp. 244-248. (in Russ.).

4. Dubrovskiy V.V., Kadchenko S.I., Kravchenko V.F., Sadovnichiy V.A. Vychislenie pervykh sobstvennykh chisel kraevoy zadachi Orra-Zommerfel'da s pomoshch'yu teorii regulyarizovannykh sledov (Calculation of the first eigenvalues of the Orr-Sommerfeld boundary value problem using the theory of regularized traces). Elektromagnitnye volny i elektronnye sistemy, 1997, Vol. 2, no. 6, pp. 13-19. (in Russ.).

5. Dubrovskiy V.V., Kadchenko S.I., Kravchenko V.F., Sadovnichiy V.A. Vychislenie pervykh sobstvennykh chisel diskretnogo operatora (Calculation of the first eigenvalues of a discrete operator). Elektromagnitnye volny i elektronnye sistemy, 1998, Vol. 3, no. 2, pp. 6-8. (in Russ.).

6. Sadovnichy V.A., Dubrovskii V.V., Kadchenko S.I., Kravchenko V.F. Computation of the first eigenvalues of a boundary value problem on the hydrodynamic stability of a Poiseuille flow in a circular tube. Differential Equations, 1998, Vol. 34, no. 1, pp. 49-53.

7. Kadchenko, S.I. Novyy metod vychisleniya sobstvennykh chisel spektral'noy zadachi Orra-Zommerfel'da (New method for calculating the eigenvalues of the Orr-Sommerfeld spectral problem). Elektromagnitnye volny i elektronnye sistemy, 2000, Vol. 5, no. 6, pp. 4-10. (in Russ.).

8. Dubrovskiy V.V., Kadchenko S.I., Kravchenko V.F., Sadovnichiy V.A. Novyy metod pribliz-hennogo vychisleniya pervykh sobstvennykh chisel spektral'noy zadachi Orra-Zommerfel'da (A new method for the approximate calculation of the first eigenvalues of the Orr-Sommerfeld spectral problem). Doklady Akademii Nauk, 2001, Vol. 378, no. 4, pp. 443-445. (in Russ.).

9. Kinzina I.I. Calculation of eigenvalues of a discrete self-adjoint operator perturbed by a bounded operator. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2008, Vol. 52, no. 6, pp. 13-21. DOI: 10.3103/S1066369X08060029

10. Sadovnichii V.A., Podolskii V.E. A regularized trace of a bounded perturbation of an operator with a trace-class resolvent. Differential Equations, 1999, Vol. 35, no. 4, pp. 557-566.

11. Kato T. Teoriya vozmushcheniy lineynykh operatorov (Theory of perturbations of linear operators), Moscow, Mir Publ., 1972, 740 p. (in Russ.). [Kato T. Perturbation theory for linear operators. Springer-Verlag, 1966, 592 p.]

Received January 4, 2019