Нахождение значений первых собственных функций возмущенных дискретных операторов с простым спектром Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.642.8

НАХОЖДЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ПЕРВЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ВОЗМУЩЕННЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПРОСТЫМ СПЕКТРОМ

С.И. Кадченко, С.Н. Какушкин

В работе получены аналитические формулы для нахождения перых «взвешенных» поправок теории возмущений возмущенных самосопряженных операторов в случае, когда собственные значения невозмущенных операторов простые. Получены оценки остатков сумм функциональных рядов Рэлея-Шредингера. Разработан метод нахождения значений собственных функций возмущенных дискретных операторов с простым спектром.

Ключевые слова: «взвешенные» поправки теории возмущений, дискретные операторы, собственные значения, собственные функции.

Введение

Вопросы нахождения собственных значений и собственных функций для возмущенных

самосопряженных операторов в последнее время приобретают большое значение [1 — 3].

Обозначим через Н = Ьд(О) сепарабельное гильбертово пространство, с нормой ||/1|9 =

а (1/ ) ____________

(/ I/(Х)1Яш(х)йх)( / (д = (1, ж)), с весом ш(х) > 0. О - компактное многообразие. ь

Рассмотрим дискретный полуограниченный снизу оператор Т с простым спектром и

ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Пусть

{^га}га=1 - собственные значения оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их

величин, а {уп}с^=1 - его ортонормированные собственные функции, соответствующие этим

собственным значениям и образующие базис в Н. Обозначим количество всех неравных друг

другу собственных значений Хп оператора Т, которые лежат внутри окружности ТП0 радиуса

!^«.0+1 + Хпо1 „ „

рП0 = --------------------------------------^- с центром в начале координат комплексной плоскости, через по. Пусть

{^П}Пъ=1 - собственные значения оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей, а {ип}П=1 - соответствующие им собственные функции. Если для всех п > по выполняются неравенства дп = ^ | < 1, тогда первые по собственные

функции {ип}П=1 оператора Т + Р являются решениями системы нелинейных уравнений вида

по по ГО

(х)щ (у) = ^ ^3 (Фз (У) + ^ Cik)(nо), Р = 17Й0. (1)

3=1 3 = 1 к=1

Здесь ак\по) = I Хр[Кт(хо,хк, X) о РХк]к о Кт(хк,Хк+1,Х)йХ - й-тые поправки

Тпо

теории возмущений к «взвешенной> спектральной функции оператора Т+Р целого порядка р; Кт(х,у, X) - ядро резольвенты Я\(Т) оператора Т, а операция «:о> вводится по правилу

(К о Р о 0)(х,у,Х) = J К(х,х,Х)РгЯ(х, у, Х)йх.

Б

Известно, что в этом случае в контуре Тпо количество собственных значений оператора Т при возмущении Р не изменяется [4].

Используя систему уравнений (1), разработан численный метод вычисления значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов в узловых точках дискретизации. Следуя научным результатам полученным в работах [5 - 8, 11] данный метод можно назвать методом регуляризованных следов (РС).

Из системы уравнений (1) для По = П и щ = П — 1 и некотором фиксированном натуральном р, получим

п п со

^2 —'и {х)Щ (у) = ^2 Лру3 (х) ^3 (у) + ^2 аІ] (п) , (2)

3=1 3=1 к=1

п-1 п-1

,р

^2^Рзи3 (х)и3 (у) = ^ ХРзь3 (х)у3 (у) + ^2 ак)(п — 1)- (3)

3=1 3=1 к=1

Вычитая из уравнения (2) уравнение (3), найдем:

л о

ип (х)ип(У) = -р (\ПУп(х)Уп(У) + ^2[ак)(п) — аї] (п — 1)0 • (4)

-п 4 к=1 '

/ \

Если известны значения сумм функциональных рядов ^ ак (по) «:взвешенных> по-

к=1

правок теории возмущений целого порядка р = 1,По дискретного оператора Т + Р, тогда система нелинейных уравнений (1) позволяет находить его первые по собственные функции

{ип}п=1.

1. Нахождение «взвешенных» поправок теории возмущений дискретных операторов

Пусть все предположения, которые сделаны во введении относительно собственных значений и собственных функций операторов Т и Т + Р, выполнены. Тогда справедливы сле-дующаие теоремы.

Теорема 1. Если Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н = Ьд(В), где В -компактное многообразие, и для всех п Є N выполняются неравенства дп < 1, то «взвешенные> поправки теории возмущений акр)(По) для любых натуральных к, р и По можно найти по формулам:

по о к

акР)(П0) = — ^ ^2 3 (х)% + 1 (У)г(р)(п,31,...,Зк + 1)]]_ У3т3га+1 , (5)

п=131,...,3к+1 = 1 т=1

где

гіР)(п,Л,---,Ік+1) = <

" 0, = п, т = 1, к + 1;

1 Ііт -тгг Хр, I = к + 1;

(—у-¿5 ^—),0<1 ^к;

л^л- 4 п (л-л^т у

т = 1

Уі,3 = (Руі, У3) - скалярное произведение; I - число совпадений ]т = п, т = 1, к + 1.

о

Доказательство. В случае, если оператор Т дискретен и полуограничен снизу, то его резольвента Лл(Т) является интегральным оператором [10], ее ядро Ку(х,у, А) представимо в виде:

Ку (х,у,А) = £ ЇіА^- (6)

і=1

Учитывая определение «взвешенной> поправки теории возмущений акр) (по) и спектральное представление ядра резольвенты (6), получим цепочку равенств

( —1)к

У

( —1)к

акР)(по) = (-—1г1 АР[Кт(*о, ¿к, А) о Р*к]к о Ку(**, ¿к+1, А)^А =

Тпо

J АрКу(¿0, ¿1, А) о Р21 о Ку(¿1, ¿2, А) о Р22 о ...о

2пі

оКу(¿к-1, ¿к, А) о Р*к о Ку(¿к, ¿к+1, А)^А =

(—1) 2пі

к

Ар

• •• Ку(¿о,^1,А)Рг1 Ку(¿1 ,¿2, А)Р^2 X ••• X

хКу(¿к-1, ¿к, А)РгкКу(¿к, ¿к+1, А)^^-^

( —1)к ^ Ар[ / I ^ ^1 (^0)^31 (^1) ^ Р^1 3 (^1)^32 (^2) упп Ь ь 31=1 31 32=1

2пі

у"0

А31 — А 3 =1 А32 — А

X •••х

^ ^ Р^к-13 (^к-1)^3к (*к) ^ Р^Ук+1 (^к) ^3'к + 1 (¿к+1) л ^ А,к — А А,к+1 — А ¿к

3к=1 3к 3к+1=1 +1

( 1)к ^ АР Г Г Г 3 (г0 К (^1) ТТ^ Р*™-1 ^3т (^т-1)^3т (^т)

2пі

УП (^0)^31 (^1) ТТ Р ¿т-1 3 (^т-1)^3т (^т) ^ ^¿к

/ ■ “ А • — А ■*■ ■*■ ■ ■ А • — А

- 3 А31 — А т = 2 * А3т — А

у ь ь 31 т=2 3т

I] 3 Ы ^3'к+1 (¿к+1)(Р^1 , 3 )(Р3 , 3 , ^3к+1 ) х

31,32,...,3к+1 = 1

(—1)к [ Ар^А

X- ' —

2пі І кП1

упо ( — 1)кП1 П (А — А3т) т=1

о к

= (— 1)2кП1 ^ ^31 (^о)^3к + 1 ^к+Ог^^^^Ік+О П ^3т3т + 1 )

31,...,3к+1 = 1 т=1

о к

и3к+1

(¿к+1)гкР)(п,Л,---,.7к+1) П ^іт3т + ^ ,

3'1,...,3к+1 = 1 т=1

где Іь •••,Ік+1) = / лРгіл

к і,(-ї ЗЬ •••) Зк+17 2пі Л к+1 •

упо П (л-лзт )

т = 1

о

Здесь ^3 = (Р^і, ^3-) = / Рг^(¿)^3(¿)^£. Функция -щ- в круге Тпо имеет в точках

ь П (л-літ)

т = 1

(п = 1,По) полюсы кратности I, где I - количество совпадений = п, т = 1, к + 1. Поэтому на основании теоремы о вычетах имеем:

1 [ АР^А Ар

гкр)(п,І1,--.ік-+1) = 2- /

ГЄ8

кП1 лп кП1

упо П (А — А3т) П (А — А3т)

т= 1 т=1

=

" 0, У?т = п, т = 1, к + 1; к- Ар.1 = 1;

л——лг 1 1іт

(т-^—), ¡> 1-

(к-1+1)! л—лп ілк-і+Ч 1п1 (л л ),

п п (л-лзт)

т = 1

( р) о ( р)

Получим оценки остатков є(р)(по) рядов ^ акР)(по) «взвешенных> поправок теории

к=1

возмущений оператора Т + Р.

Теорема 2. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если для некоторого натурального числа По выполняются неравенства тт—2||Р|1—г < 1, то для í остатков

|лпо + 1- лпо 1

( р) о ( р)

е(р)(по) рядов ^2 а(р)(по) «взвешенных> поправок теории возмущений оператора Т + Р к=1

справедливы оценки:

|4р)(п0)| < С2рп+ 1А2(по)||Р||• (7)

1 — д

Здесь д = |л 2||р|л—г, А(по) = V —1-т-, К(х)| < Со V* = 1, то, х Є В^

^ |лпо+1-лпо Г у о/ і=1 Р"о-л* _ о

Доказательство. Запишем вспомогательную цепочку равенств, используя спектральное представление ядра резольвенты (6):

([Ку о Р]к о Ку )(х,у, А) = I -У Ку (х,г1,А)Рг1 Ку (¿1, ¿2, А)Рг2 х •••X

ьь

хКу(¿к-1, ¿к, А)РгкКу(¿к, у, А)^-^ =

_ [ Г о ^і(х)^і(^1) ( \\т> ЪТ < По ^ V- (¿к )^3 (у) _

— I •••//■< А \ Р^1 Ку(^1,^2,А)Рг2 ^•^^у(^к-1,^к, А)Ргк / у а а ^^•••^¿к — •••

□

Аі — А -1 -V-’ - ' ^ ЛА. — А

ьь

^(х) Ґ^і(г1)Р;гі [Дл(Т)Р]к 1-и7-(¿1)^г1^7-(у) , .

і( )Ь [ л( ) ] 3( 1 3 V- ^(х)(Р[Дл(Т)Р]к-Ч,^(у)

^3 (Аі — А)(А3 — А) ^3 (А — аі)(а — А3)

Оценим модуль а(р)(по), используя последнее равенство:

|а(р)(по)| =

(—1)к ^ру^ Уі(х)(Р[Дл(Т)Р]к-Ч,Уі)У3(у) ^А

2пі J і3 (А — АІ)(А — А3)

у І>3

у пп

<

< _1 Мх)||(Р[Дл(Г)Р]к-Ч,Уї)||У,-(у)| <

2п У . . |л - лі||л - лз1

т : Л

< 1 2п(п | I |л™0+1 - лпо| )Р+1 С0 Х

< 2П2Ч'л"0' +-------------------------------2-) |л - л,||л - л,|х

Лп0 ~~ |л - л:||л - лЛ |

,/ 2 ) к-! ,/ 2 ) к— 1

Х||Р|| (|л„о+1- л,,о|) < ^ ||Р|| (|А„о+1 - л„о|) ><

£ д-Ъл:)2 < с2рП+1||р||9к-1(Ет-----------. I л.о+,-л.о )2 <

і л,о л^ У : л,о - л: I---^2----о 7

по 1 го 12

< С„2рп+ ‘||Р||9к-1(Е -------------г + Е Р------г) < С2Р,+ 1||Р||Зк-1А2(по),

' л Рпо - л: . . Рпо - л:7

:=1 о :=по+1 о

по

где - = |Л 2|^Р|Л—І, А (по) = і>2 р 1 л

^ |Лпо + 1 Лпо 1 -_і Рпо-Л

_ 1

Рп

:=1

-(р)

В итоге для ) (по) справедливы оценки

ГО

к(р)(по)| < Со2А2(по)Рр+1||Р|| ^ 9к 1 = СоА2(по)Рр+1||Р|| 1--• п

к=*+1 9

Используя доказанные Теоремы 1, 2 и формулу (4), строится приближенный метод нахождения значений собственных функций в узлах дискретизации возмущенных самосопряженных операторов. Для проверки разработанного метода рассмотрим численный эксперимент нахождения значений собственных функций оператора Лапласа с областью определения на прямоугольнике.

2. Численный эксперимент

Для проверки полученных формул (5) рассмотрим спектральную задачу для оператора Лапласа. Пусть оператор Т = -А задан на прямоугольнике П = [0, а] Х [0, 6] с границей д2 д2

Г. Здесь А = —^ + -—г- - оператор Лапласа. В качестве возмущения Р возьмем оператор дх2 ду2

умножения на дважды непрерывно дифференцируемую функцию р(х,у), определенную на прямоугольнике П.

Рассмотрим спектральную задачу

(Т + Р)<£ = ^ є Вт• (8)

Вт = {^ | ^ є С2(П)р| С[П], А^ є ¿2[П] : ^ г = о}•

Известно, что собственные числа лпк и собственные функции ^пк оператора Т имеют вид:

2

. 2( п к2) , . 2 ппх кпу , -

л,к = П ^ + —т , ^пк(х, у) = 81П-эш ——, п, к = 1, то.

Ча2 62/ ^а5 а 6

Система собственных функций |^пк }^°к=1 образует базис пространства ^[П]. В случае, а2

когда —^ - иррациональное число оператор, Т имеет однократные собственные числа.

62

Пронумеруем собственные числа {лпк}ГОк=1 и собственные функции |^пк}^°к= 1 оператора Т одним индексом в порядке возрастания их действительных частей.

Собственные числа возмущенного оператора Т + Р можно найти, следуя методу РС по

формулам [11]: = Ап + (Рггага,ггага) + (^(п),п = 1,п0, где для ¿і(п) справедливы оценки

~ 2 |^і(п)| < (2п - 1)рп ^5 = тах

Таблица

Значения ига и для возмущенного оператора Лапласа, вычисленных при а = , Ь = 1 и р(х, у) = х4у2

п у х ии ии |ии ии I ип ип х 100%

ип

1 0, 2 0, 2 1,055176 1, 054458 0,000718 0,06808

0, 4 0, 2 1, 707129 1, 706150 0, 000979 0,05739

0, 6 0, 2 1, 706897 1, 70615 0, 000747 0,04380

0, 8 0, 2 1,054794 1, 054458 0, 000336 0,03187

0, 2 0, 4 1, 363366 1, 362589 0, 000776 0,05699

0, 4 0, 4 2, 2056 2, 204716 0, 000883 0,04009

0, 6 0, 4 2, 205081 2, 204716 0, 000365 0,01655

0, 8 0, 4 1, 362481 1, 362589 0,000107 0,00790

0, 2 0, 6 0, 706656 0, 706302 0, 000353 0,05010

0, 4 0, 6 1,14306 1,142822 0, 000238 0,02083

0, 6 0, 6 1,142594 1,142822 0, 000227 0,01993

0, 8 0, 6 0, 705863 0, 706303 0, 000439 0,06220

0, 2 0, 8 -0,450115 -0, 449893 0, 000222 0,04942

0, 4 0, 8 -0, 728074 -0, 727942 0,000132 0,01816

0, 6 0, 8 -0,727758 -0, 727942 0,000184 0,02529

0, 8 0, 8 -0,449577 -0, 449893 0,000315 0,07023

2 0, 2 0, 2 1, 706643 1, 706484 0,000159 0,00933

0, 4 0, 2 1,054195 1, 054766 0, 000571 0,05417

0, 6 0, 2 -1, 055815 -1, 054437 0,001378 0,13075

0, 8 0, 2 -1, 70742 -1, 70628 0,00114 0,06681

0, 2 0, 4 2, 205432 2, 205147 0, 000284 0,01291

0, 4 0, 4 1, 362487 1, 362987 0, 0005 0,03670

0, 6 0, 4 -1, 363518 -1, 362561 0, 000956 0,07018

0, 8 0, 4 -2, 205196 -2, 204884 0,000312 0,01415

0, 2 0, 6 1,143141 1,143045 0, 000096 0,00841

0, 4 0, 6 0, 706387 0, 706509 0,000122 0,01728

0, 6 0, 6 -0, 706174 -0,7062885 0,000113 0,01611

0, 8 0, 6 -1,142299 -1,142909 0, 000609 0,05337

0, 2 0, 8 -0,728138 -0, 728084 0, 000053 0,00736

0, 4 0, 8 -0,449958 -0, 450024 0, 000065 0,01459

0, 6 0, 8 0,449753 0, 449883 0,000131 0,02903

0, 8 0, 8 0, 727537 0, 727997 0, 000459 0,06318

В таблице приведены результаты вычислений значений первых собственных функций в узлах дискретизации спектральной задачи (8) двумя методами. В случае метода РС, значения собственных функций обозначены ип(х,у). В случае метода А.М. Данилевского -ип(х, у). Аргументы х и у изменяются от 0 до 1 с шагом 0,2. Причем суммы рядов Рэлея-

Шредингера ^2 ак (то) в методе РС приближались их третьими частичными суммами, к=1

используя формулы (2).

Проведенные расчеты показывают, что результаты вычислений собственных функций возмущенного оператора Лапласа методом РС и методом А.М. Данилевского хорошо согласуются.

Литература

1. Свиридюк, Г.А. О прямой и обратной задачах для уравнений Хоффа на графе / Г.А. Свиридюк, А.А. Баязитова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: «Физ.-мат. науки>. -2009. - №1(18). - С. 6 - 17.

2. Сиридюк, Г.А. Устойчивость уравнений Хоффа на графе / Г.А. Свиридюк, С.А. За-гребина, П.О. Пивоварова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: «Физ.-мат. науки>. -№1(15). - С. 6 - 15.

3. Сиридюк, Г.А. Быстро-медленная динамика вязкоупругих сред / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева //ДАН СССР. - 1989. - Т. 308, №4. - С. 791 - 794.

4. Садовничий, В.А. Теория операторов: учеб. для вузов с углубленным изучением математики / В.А. Садовничий. - 5-е изд. стереотип. - М.: Дрофа, 2004. - 384 с.

5. Садовничий, В.А. Замечание об одном новом методе вычисления собственных значений и собственных функций дискретных операторов / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Тр. семинара И.Г. Петровского. - М.: МГУ, 1994. - Вып. 17. - С. 244 - 248.

6. Дубровский, В.В. Оценка разности спектральных функций операторов типа Лежандра / В.В. Дубровский, А.И. Седов // Фундаментальная и прикладная математика. - 2000.

- Т. 6, №4. - С. 1075 - 1082.

7. Дубровский, В.В. Оценка разности спектральных функций операторов типа Гегенбауэра по норме Lq / В.В. Дубровский, А.И. Седов // Известия высших учебных заведений. Сер. Математика. - 1999. - №8 (447). - С. 20 - 25.

8. Дубровский, В.В. Оценка разности спектральных функций самосопряженных операторов / В.В. Дубровский, А.И. Седов // Электромагнитные волны и электронные системы.

- 2000. - Т. 5, №5. - С. 10 - 13.

9. Кадченко, С.И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра

- Зоммерфельда / С.И. Кадченко // Электромагнитные волны и электронные системы.

- 2000. - Т. 5, № 6. - С. 4 - 10.

10. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы. / М.А. Наймарк. - М.: Наука, 1969.

11. Кадченко, С.И. Численный метод нахождения собственных значений дискретных полу-ограниченных снизу операторов / С.И. Кадченко, Л.С. Рязанова //Вестн. ЮУрГУ, сер. «Математическое моделирование и программирование^ - 2011. - №17 (234), вып. 8. -С. 46 - 51.

Сергей Иванович Кадченко, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра «Прикладная математика и вычислительная техника>, Магнитогорский государственный университет (Магнитогорск, Российская Федерация), kadchenko@masu.ru.

Сергей Николаевич Какушкин, аспирант, кафедра «Прикладная математика и вычислительная техника>, Магнитогорский государственный университет (Магнитогорск, Российская Федерация), kakushkin-sergei@mail.ru.

Meanings of the First Eigenfunctions of Perturbed Discrete Operator with Simple Spectrum Finding

S.I. Kadchenko, Magnitogorsk State University (Magnitogorsk, Russian Federation),

S.N. Kakushkin, Magnitogorsk State University (Magnitogorsk, Russian Federation)

In article received analitical formulas for finding first «weighted» corrections of the perturbation theory perturbed selfadjoint operators, when eigenvalues of unperturbed operators is simple. Received estimate of remainder of Rayleigh-Shredinger’s sum of functional series. The method of finding of meanings of eigenfunctions of perturbed discrete operator with a simple spectrum is developed.

Keywords: «weighted» corrections of the perturbation theory, discrete operators, eigenvalues, eigenfunctions.

References

1. Sviridyuk G.A., Bayazitova A.A. About Direct and Inverse Problems for the Equations of Hoff on the Graph [O pryamoy i obratnoy zadachah dlya uravneniy Hoffa na grafe]. Vestn. Sam. gos. tehn. un-ta. Ser. fiz.-mat. nauki [The Bulletin of the Samara State Engineering University, Series of Physical and Mathematical Sciences], 2009, no. 1(18), pp. 6 - 17.

2. Sviridyuk G.A., Zagrebina S.A., Pivovarova P.O. Stability of the Hoff’s Equations on the Column [Ustoychivost’ uravneniy Hoffa na grafe]. Vestn. Sam. gos. tehn. un-ta. Ser. fiz.-mat. nauki [The Bulletin of the Samara State Engineering University, Series of Physical and Mathematical Sciences], 2010, no. 1(15), pp. 6 - 15.

3. Sviridyuk, G.A., Sukacheva T.G. Fast-slow Dynamics of the Viscoelastic Media [Bystro-medlennaya dinamika vyazkouprugih sred]. DAN SSSR [The Report of Academy of Sciences of USSR], 1989, vol. 308, no. 4, pp. 791 - 794.

4. Sadovnichiy V.A. Teoriya operatorov: ucheb. dlya vuzov s uglublennym izucheniem

matematiki [The Theory of Operator: the Textbook for High Schools with Profound Learning of Mathematics]. Moscow, Drofa, 2004. 384 p.

5. Sadovnichiy V.A., Dubrovskiy V.V. Remark on a New Method of Calculation of Eigenvalues and Eigenfunctions for Discrete Operators. Journal of Mathematical Sciences, 1995, vol. 75, no. 3, pp. 244 - 248.

6. Dubrovskiy V.V., Sedov A.I. An Estimate for the Difference of Spectral Functions of Legendre-type Operators [Otsenka raznosti spektral’nyh funkciy operatorov tipa Lezhandra]. Fundamental’naya i prikladnaya matematika [Fundamental and an Applied Mathematics], 2000, vol. 6, no. 4, pp. 1075 - 1082.

7. Dubrovskii V.V., Sedov A.I. An Estimate for the Difference of Spectral Functions of Gegenbauer-type Operators in the Norm of Lq [Otsenka raznosti spektral’nyh funkciy operatorov tipa Gegenbauera po norme Lq]. Izv. Vyssh. uchebn. zaved. mat., 1999, no. 8, pp. 20 - 25.

8. Dubrovskiy V.V., Sedov A.I. An Estimate for the Difference of Spectral Functions of the Selfadjoint Operator [Otsenka raznosti spektral’nyh funkciy samosopryazhennyh operatorov]. Elektromagnitnye volny i elektronnye sistemy [Electromagnetic Waves and Electronic Systems], 2000, vol. 5, no. 5, pp. 10 - 13.

9. Kadchenko S.I. New Method of Calculation of Eigenvalues of the Spectral Orr-Sommerfeld’s Problem [Novyy metod vychisleniya sobstvennyh chisel spektral’noy zadachi orra -zommerfel’da]. Elektromagnitnye volny i elektronnye sistemy [Electromagnetic Waves and Electronic Systems], 2000, vol. 5, no. 6, pp. 4 - 10.

10. Naymark M.A. Lineynye differentsial’nye operatory [The Linear Differential Operator]. Moscow, Nauka, 1969. 528 p.

11. Kadchenko S.I., Ryazanova L.S. The Numerical Method of Finding Eigenvalues of the Discrete Semi Bounded From Below Operator [Chislennyy metod nahozhdeniya sobstvennyh znacheniy diskretnyh poluogranichennyh snizu operatorov]. Vestnik Yuzhno-Ural’skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya «:Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanio, 2011, no. 17 (234), issue 8, pp. 46 - 51.

Поступила в редакцию 24 ноября 2011 г.