CC BY
47
УДК 539.3:534.1
Н.А. Тарануха, Г.С. Лейзерович
О ВЛИЯНИИ НАЧАЛЬНЫХ НЕПРАВИЛЬНОСТЕЙ И МАЛОЙ ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАССЫ НА РАСЩЕПЛЕНИЕ ИЗГИБНОГО ЧАСТОТНОГО СПЕКТРА ТОНКИХ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Изучается влияние динамической асимметрии в виде начальных неправильностей и малой присоединенной массы на собственные изгибные колебания тонкой бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки (кольца, находящегося в условиях плоской деформации). Уравнения движения кольца получены из уравнений теории пологих оболочек. Предлагается новый подход к построению конечномерной модели кольца. Полученные результаты позволяют уточнить ряд фундаментальных представлений об изгибных колебаниях тонкой круговой цилиндрической оболочки конечной длины с динамической асимметрией.
Круговая цилиндрическая оболочка, начальные неправильности, малая присоединенная масса, расщепление изгибного частотного спектра.
N.A. Taranukha, G.S. Leyzerovich
INITIAL IMPERFECTIONS AND A SMALL APPARENT MASS INFLUENCE ON THIN CIRCULAR CYLINDRICAL SHELLS FLEXURAL FREQUENCY
SPECTRUM SPLITTING
An effect of dynamic asymmetry in view initial imperfections and a small apparent mass on free flexural vibrations of a thin infinitely long circular cylindrical shell (ring located in conditions of plane deformation) is studied. The equations of motion for a ring are obtained from equations of the theory of shallow shells. The new approach to construction of finite-dimensional model of a ring is offered. Received results are permitting to state a series of fundamental representations about flexural vibrations of circular cylindrical shell of finite length with dynamic asymmetry.
Circular cylindrical shell, initial imperfections, small apparent mass, flexural frequency spectrum splitting.
Введение. Известно, что начальные неправильности, неизбежные у реальной оболочки, расщепляют изгибный частотный спектр. Удвоение частотного спектра, имеющее большое теоретическое и практическое значение, наблюдается и у оболочки, несущей малую массу. Вследствие того, что начальные неправильности, согласно [1, 2], увеличивают частоту основного тона, а присоединенная масса ее уменьшает, считается, что соответствующим подбором величины и точки крепления массы к несовершенной оболочке, нежелательный эффект расщепления изгибного частотного спектра может быть полностью устранен [1].
В настоящей работе эта возможность подвергается дополнительному анализу. Для изучения особенностей движения оболочки с упомянутой динамической асимметрией рассматривается более простая, но близкая к обсуждаемой проблеме задача о совместном влиянии начальных неправильностей и малой массы, равномерно распределенной вдоль образующей, на собственные изгибные колебания тонкой бесконечно длинной оболочки (кольца, находящегося в условиях плоской деформации).
1. Математическая модель
1.1. Уравнения движения. Анализ основан на уравнениях теории пологих оболочек [3], которые использованы и в [1]. Для кольца, находящегося в условиях плоской деформации, радиуса Я и толщиной к, имеющего начальные неправильности щ0(у) и несущего малую массу М, эти уравнения принимают вид
Му п ^V Л7Г 1 ЭЧ^ г , У|д2^
17 = 0; =Чя У"Г1рк+М5(у-• (1)
где щ( у, £) - динамический прогиб; О = Екъ / (12(1 - Ц2 )) - цилиндрическая жесткость; Е - модуль Юнга; ц - коэффициент Пуассона; р - массовая плотность; у - окружная координата; у0 - координата точки крепления массы; 5 - функция Дирака; £ - время.
Из первого уравнения (1) следует, что окружное погонное динамическое усилие в оболочке ЫУ зависит только от времени:
Ыу (£) = Ек [Эу/Эу - щ/Я + (Эщ/ Эу )(Э^0/Эу )]/(1 -ц2 )= Ек а(0/(1 -Ц2 )• (2)
Точность уравнений (1) ограничена теми же пределами, что и точность уравнений теории пологих оболочек. При малом числе окружных волн п второе уравнение (1) можно уточнить, заменив изгибный член о(Э4щ/Эу4) на о(Э 2/Эу2 +1/Я2 )(Э 2щ/ Эу2 + щ/Я2), как это сделано в [4]. Однако мы этого делать не будем, поскольку целью настоящего исследования является получение не столько количественной, сколько качественной оценки влияния динамической асимметрии на изгибные колебания кольца при соблюдении условия п >> 1, которое, как известно, всегда выполняется при колебаниях оболочки конечной длины.
1.2. Условие «возврата». Все величины, определяющие напряженно-деформированное состояние кольца, должны возвращаться к своим прежним значениям после обхода его контура. Для окружного перемещения у(у, £) условие «возврата», с учетом (2), записывается в виде
2пй Д., 2Ш
і = і
0 ду 0
w дw0 дw
0 - + а(ґ)
йу = 0. (3)
Я Эу Эу
1.3. Начальные неправильности. Будем считать, что кольцо имеет синусоидальные начальные отклонения от идеальной круговой формы:
^о(У) = Н)8т(|3у + фо); в = п/Я , (4)
где а0 - безразмерная амплитуда; ф0 - фазовый угол.
1.4. Конечномерная модель кольца. При использовании вариационных методов одним из ключевых моментов является построение конечномерной модели кольца или, иными
словами, выбор аппроксимирующего выражения для его прогиба w(y, t). Экспериментально установлено [1], что начальные неправильности и (или) присоединенная масса приводят к взаимодействию сопряженных изгибных форм (форм, сдвинутых в окружном направлении на угол п/2). Поэтому традиционно считается, что в первом приближении прогиб кольца может быть аппроксимирован выражением
w (y, t) = h [a1(t )sin Py + a2(t )cos Py]. (5)
Сопряженные формы sin Py и cos Py в (5) являются формами собственных изгибных колебаний динамически симметричного кольца. Они отвечают одному и тому же числу окружных волн п. Этим формам соответствует одна и та же собственная частота.
В настоящей работе предлагается иной подход к построению конечномерной модели кольца. Считается, что возбуждение изгибных колебаний кольца с динамической асимметрией по одной из собственных форм неизбежно приводит к возникновению радиальных колебаний. Радиальные колебания, в свою очередь, генерируют сопряженную изгибную форму [5-7]. Таким образом, в отличие от традиционного подхода, предполагается, что динамическая асимметрия связывает сопряженные изгибные формы не «напрямую», а через радиальные колебания, выступающие в качестве своеобразной инерционной связи. Аппроксимирующее выражение для прогиба при таком подходе представляется в виде
w( y, t) = h[a(t )sin(Py + ф)+b(t)] = h[a1 (t )sin Py + a2 (t )cos Py + b(t)], (6)
где a1(t) = a(t)cos ф; a2(t) = f (t)sin ф, а координата b(t) отвечает радиальным колебаниям.
Заметим, что в новом подходе движение кольца с динамической асимметрией напоминает описанное Х. Гюйгенсом явление самосинхронизации двух маятников, установленных на общем податливом основании, когда колебания одного маятника вызывает некоторое движение основания, а последнее, в свою очередь, возбуждает колебания второго маятника.
2. Традиционное решение
Сначала решим задачу, используя традиционную конечномерную модель (5). Подстановка (4) и (5) в (2) позволяет найти функцию a(t), а затем и усилие Ny. Ортогонализация второго уравнения (1) к форме прогиба (5) приводит к системе двух связанных модальных уравнений:
a1 + (1 + 6a2 cos2 ф0 )a1 + 3a2 sin 2ф0a2 + 2yk sin у = 0; (7)
a2 + 3a02 sin 2ф0 a1 + (1 + 6a0 sin2 ф0 )a2 + 2yk cos у = 0.
Точками в (7) обозначено дифференцирование по безразмерному времени т = Х t, где X = д/Dn Vр hR4 - n-я собственная частота динамически симметричного кольца (п2 >> 1); Yk = M (a1 sin у + a2 cos у)/ M 0 , где M0 - масса кольца, а индекс «k» означает, что решение является традиционным; у = P y0.
Уравнения, аналогичные (7), могут быть получены, например, из уравнений работы [1] при устремлении длины оболочки к бесконечности.
Из частотного уравнения
П04к (1+2M/M 0) - ^2к [2+6a02 + 2M/M 0 +12Ma2 cos2 (ф0 + у)/М0 ]+1+6a02 = 0, (8)
соответствующего системе (7), могут быть найдены две безразмерные собственные частоты кольца с динамической асимметрией Q01k = X01k/ X и Q02k = X02k/ X, которые в общем случае
не равны между собой. Следовательно, изгибный частотный спектр кольца с начальными не-
правильностями и (или) присоединенной массой расщепляется.
Изучим сначала влияние каждого из факторов динамической асимметрии в отдельности. Пусть кольцо имеет только начальные отклонения (M = 0). Тогда из (8) можно найти
^01k = 1; «L = 1 + 6a2. (9)
Согласно (9), первая из расщепленных частот n01k не зависит от амплитуды начальных отклонений, а вторая частота n02k существенно возрастает по сравнению со случаем идеального кольца. Расстройка квадратов собственных частот A k = n22k - n01k = 6a0 в традиционном решении может оказаться очень значительной, что противоречит известным опытным данным [1], согласно которым расщепление изгибного частотного спектра невелико. Причина такого, вероятно, ошибочного, результата кроется, на наш взгляд, в конечномерной модели (5).
Рассмотрим теперь случай, когда идеальное кольцо (w0( y) = 0) несет малую массу M. Тогда квадраты собственных частот, согласно (8), равны
= 1/(1 + 2MiM„); = 1. (10)
Теперь изучим совместное влияние начальных неправильностей и присоединенной массы на расщепление изгибного частотного спектра. Рассмотрим частный случай, когда, например, у = -ф0. Тогда из (8) находим
П01, = 1; nL =(1+6a2 V(1 + 2M./M 0). (11)
Из второй формулы (11) видно, что при присоединенной массе, равной M = 3a0M 0,
частоты n01k = n02k = 1. Следовательно, нежелательный эффект расщепления частотного
спектра, согласно традиционному решению, может быть полностью устранен.
Ниже этот вывод будет поставлен под сомнение.
3. Новое решение
Подстановка (6) и (4) в (3) позволяет найти усилие Ny. Ортогонализация второго уравнения (1) к форме прогиба (6) приводит к модальным уравнениям, описывающим связанные изгибно-радиальные колебания кольца с динамической асимметрией:
a + a1 + £ , a0 cos ф0 b + у(е0,5 ’a0 cos ф0 + 2sin у) = 0;
a2 + a2 +£0,5a0 sin ф0 b + y(£0,5a0 sin ф0 + 2cos у) = 0; (12)
b +12b/£ - 6a0 (a1 cos ф0 + a2 sin ф0)/£0,5 + у = 0,
где Y = M (a1 sin у + a2 cos у + b)/M0 ; £ = (n 2h/R )2.
Частотное уравнение, соответствующее (12), определяет три собственные частоты. Первым двум частотам П01 и П02 соответствуют преимущественно изгибные, а третьей
П03 - преимущественно радиальные колебания кольца.
Изучим сначала влияние каждого из факторов динамической асимметрии в отдельности. Пусть кольцо имеет только начальные неправильности (M = 0). Тогда квадраты собственных частот определяются по формулам:
П01 ~ 1 — £a0 /2; П02 = 1; П03 ~ 12/£ + 6a0. (13)
Из (12) следует, что в новом решении начальные неправильности уменьшают низшую частоту П01 по сравнению со случаем идеального кольца. Расстройка квадратов частот преимущественно изгибных колебаний несовершенного кольца очень незначительна и равна A = П02 — П01 = £a0 /2 . В отличие от традиционного решения она зависит не только от амплитуды начальных неправильностей, но и от малого параметра £.
Рассмотрим теперь идеальное кольцо ('№0(у) = 0), несущее малую массу М. Квадраты собственных частот, соответствующие (12), в этом случае равны
^ -1 - 2М/Мо; ^ = 1; П2з - 12(1 - М/Мо )/е. (14)
Из (14) видно, что все три собственные частоты не зависят от места крепления массы к оболочке. Изгибный частотный спектр оболочки, несущей малую массу, всегда расщепляется. При этом расстройка квадратов собственных частот незначительна:
А = П22 -^01 - 2М/М0 .
Полученные результаты позволяют установить аналогию между поведением кольца с начальными неправильностями и идеального кольца, несущего малую массу. Наблюдаются следующие одинаковые эффекты: взаимодействие изгибных и радиальных колебаний; инерционная связанность сопряженных изгибных форм, обусловленная радиальными колебаниями; незначительное расщепление частотного спектра, сопровождающееся снижением основной частоты; независимость частотного спектра от расположения несовершенств по контуру кольца в одном случае и от места крепления массы к кольцу в другом.
Изучим теперь совместное влияние начальных отклонений и малой присоединенной массы. Анализ модальных уравнений (12), а также формул (13) и (14) показывает, что их совместное влияние усиливает инерционную связь между координатами ах(т) и а2(т), что, в свою очередь, должно приводить к увеличению расстройки собственных частот П 01 и П 02.
Этот факт подтверждают и выполненные расчеты, представленные на рисунке. Рассмотрено кольцо, имеющее начальные отклонения с амплитудой а0 = 1. Фазовый угол ф принят равным нулю, а параметр £ = 0,1. Сплошные линии на рисунке (с кружочками и без кружочков) иллюстрируют расщепление изгибного частотного спектра кольца, имеющего только начальные неправильности. Штриховые линии (с кружочками и без кружочков) относятся к несовершенному кольцу, несущему массу М0 = 0,1М.
Из графика видно, что расстройка собственных частот несовершенного кольца, несущего массу, зависит от места крепления массы к кольцу у0 в отличие от идеального кольца с массой. В частности, для кольца с рассмотренными параметрами наибольшее расщепление изгибного частотного спектра имеет место при угле у = ву0, сдвинутом по отношению к фазовому углу ф0 на угол, равный п/2.
0 0.5 1 1.5 2
Ч>
_0
н
о
I—
о
го
ф
со
I—
о
ю
о
о
н
го
а
С!
ГО
со
о01(о,ог
е-&
^01(0.1,ф)
Угол расположения присоединенной массы
Расщепление изгибного частотного спектра
Выводы. Выполненное исследование показало, что динамическая асимметрия в виде начальных неправильностей и (или) присоединенной массы приводит к взаимодействию из-гибных колебаний кольца с радиальными и всегда расщепляет изгибный частотный спектр. При этом низшая собственная частота снижается по сравнению со случаем динамически симметричного кольца.
Эти выводы изменяют сложившуюся в настоящее время точку зрения по данному вопросу. Они, по-видимому, могут потребовать уточнения большинства уже решенных линейных, а также геометрически нелинейных задач динамики оболочек конечной длины с динамической асимметрией.
Работа выполнена в рамках гранта 2.1.2/3046 Министерства образования и науки РФ по целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы. Проведение фундаментальных исследований».
ЛИТЕРАТУРА
1. Кубенко В. Д. Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек / В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук, Т.С. Краснопольская. Киев: Наукова думка, 1984. 220 с.
2. Ладыгина Е.В. Нелинейные свободные изгибные колебания цилиндрической оболочки с учетом взаимодействия сопряженных форм / Е.В. Ладыгина, А.И. Маневич // Известия РАН МТТ. 1997. № 3. С. 169-175.
3. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А.С. Вольмир. М.: Наука, 1972. 432 с.
4. Evensen D.A. Nonlinear flexural vibrations of thin circular rings / D.A. Evensen // Trans. ASME. J. Appl. Mech. E. 1965. Vol. 33. № 3. P. 553-560.
5. Тарануха Н.А. Динамика «неправильных» оболочек / Н.А. Тарануха, Г.С. Лейзеро-вич. Владивосток: Дальнаука, 2005. 423 с.
6. Тарануха Н.А. Новые решения в динамике «неправильных» оболочек / Н.А. Тара-нуха, Г.С. Лейзерович. Владивосток: Дальнаука, 2007. 203 с.
7. Лейзерович Г.С. Неочевидные особенности динамики круговых цилиндрических оболочек / Г.С. Лейзерович, Н.А. Тарануха // Известия РАН МТТ. 2008. № 2. С. 96-105.
Тарануха Николай Алексеевич - Taranukha Nikolay Alekseyevich -
доктор технических наук, профессор, Doctor of Technical Sciences, Professor,
заведующий кафедрой «Кораблестроение» Head of the Department of «Shipbuilding»
Комсомольского-на-Амуре государственного of Komsomolsk-na-Amure
технического университета State Technical University
Лейзерович Григорий Самуилович - Leyzerovich Grigoriy Samuilovich -
кандидат технических наук, доцент, Candidate of Technical Sciences,
профессор кафедры «Механика и анализ Assistant Professor, Professor of the Department
процессов и конструкций» of «Mechanics and Analyses of Processes
Комсомольского-на-Амуре государственного and Structures» of Komsomolsk-na-Amure
технического университета State Technical University
Статья поступила в редакцию 12.05.09, принята к опубликованию 14.01.10
