О математической модели нелинейных колебаний круговых цилиндрических оболочек с начальными неправильностями Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 539.3:534.1

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С НАЧАЛЬНЫМИ НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ

© 2009 г. Г.С. Лейзерович, НА. Тарануха

Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет

ktpm@knastu.ru

П—ступнла вркдакцню 25.06.2009

Уточнена математическая модель, основанная на уравнениях теории пологих оболочек. Установлено, что начальные неправильности приводят к взаимодействию изгибных колебаний оболочки с радиальными. Изгибный частотный спектр незначительно расщепляется, при этом основная частота снижается по сравнению со случаем идеальной оболочки. Скелетные кривые оболочки с начальными неправильностями относятся к мягкому типу.

Ключквык сл—ва: круговая цилиндрическая оболочка, начальные неправильности, нелинейные колебания, расщепление частотного спектра.

Введение

Общеизвестно сильное влияние начальных неправильностей Wo (х, у) на устойчивость оболочки. Не менее сильно Wo влияют и на ее динамические характеристики. Последнее влияние, имеющее большое теоретическое и практическое значение, изучено еще недостаточно.

Считается [1-3], что w0 существенно расщепляют частотный спектр, увеличивая при этом основную частоту. Однако оба этих вывода не подтверждаются экспериментальными данными. Полагая, что причиной такого расхождения результатов теории и опыта является математическая модель, авторы в настоящей работе предлагают ее уточнение.

Математическая модель

Рассматриваются свободные изгибные колебания круговой цилиндрической оболочки радиусом R, длиной I и толщиной h с большими амплитудами. Математическая модель включает в себя, как правило, пять следующих основных частей.

1. Уравнкння двнжкння. В подавляющем

большинстве случаев [3] динамические характе-

ристики оболочки с начальными неправильно-

стями определяются в рамках нелинейной теории пологих оболочек, которые при общепринятых обозначениях имеют вид [4]:

—V Ф =-------[Ь—0 + —,Wo + -) — Ь(—о,Wo)]—

R дх

Ю 4 ( ) 1 д 2Ф д 2ю

—V ю = ДФ, ю0 + ю)+-

(1)

R дх2 дt2 ’

где V4 и Ь - известные дифференциальные операторы; н(х, у, I) - прогиб; Ф(х, у, t) -функция напряжений в срединной поверхности оболочки; D = Eh 12(1 — ц 2 ) - цилиндрическая жесткость; Е - модуль Юнга; ц - коэффициент Пуассона; р - массовая плотность; t -время.

2. Граничные условия и условие «возврата». Считается, что оболочка свободно опирается по торцам на абсолютно жесткие в своей плоскости диафрагмы. Условия отсутствия продольного Nх и касательного Т погонных усилий удовлетворяются «в среднем»:

д2- 2^ д2Ф

- = 0; —- = 0; | —- dy = 0;

дх2 0 дУ2

2nR д2ф

dy =0 при x = 0, x = l.

(2)

0 дхду

Помимо граничных условий (2) выполняется условие: все величины, определяющие напряженно-деформированное состояние замкнутой оболочки, должны возвращаться к своим прежним значениям после обхода ее контура поперечного сечения.

3. Конечномерная модель оболочки. Структура уравнений (1) делает невозможным точное определение динамических характеристик оболочки с —0. Учет геометрической нелинейности приводит к тому, что в движение оболочки вовлекаются все ее формы собственных колебаний. Это побуждает искать приближенное решение задачи, которое, с одной стороны, было бы достаточно простым, а с другой стороны, правильно отображало реальное поведение оболочки. Так мы приходим к одному из ключевых моментов в математической модели - к построению конечномерной модели оболочки, позволяющей свести задачу о колебаниях континуальной оболочки к уравнениям, описывающим движение ее дискретной модели. Поскольку многомерные системы трудно поддаются нелинейному анализу и не допускают ряда качественных и наглядных приемов, возможных, например, для системы с одной - двумя степенями свободы, следует максимально уменьшить число степеней свободы оболочки. Заметим также, что разумно строить приближения лишь до такого уровня точности, который соответствует точности исходной математической модели, поскольку построение высших приближений может дать лишь иллюзию повышения точности анализа.

В традиционном анализе [1-3] оболочка, совершающая колебания вблизи зоны главного резонанса, сводится к дискретной модели с тремя степенями свободы. Это эквивалентно удержанию в аппроксимирующем выражении для —(х, у, t) трех слагаемых:

w(x, y, t) =

= A{[a1(t)sinPy + a2(t)cosPy]sin ax + ¥( x, y,t)}.

Характер нелинейного поведения оболочки очень чувствителен к задав аемой форме ¥ (х, у, ^ [1, 3, 5]. В настоящее время это слагаемое рекомендуется принимать в виде

¥(х,у,0 = ¥(х,0 = а3(^т2 ах, (4)

где аз^) представляет собой либо независимую координату, либо координату, определяемую из условия нерастяжимости контура срединной поверхности оболочки и связанную, таким образом, с координатами а^ )и а2^). В линейной постановке ¥ (х, у, t) = 0.

Заметим, что аппроксимация (4) не позволяет удовлетворить граничному условию (2) по изгибающему моменту, что может привести к значительной погрешности при определении нелинейных динамических характеристик относительно коротких оболочек.

В настоящей работе предлагается иной подход к построению конечномерной модели оболочки. Считается, что возбуждение изгибных колебаний оболочки по одной из собственных форм неизбежно приводит к возникновению радиальных колебаний, которые, в свою очередь, генерируют сопряженную изгибную форму. Механизмом, «запускающим» такое взаимодействие форм колебаний, в линейной постановке являются начальные неправильности, а при колебаниях с большими амплитудами —0 и/или геометрическая нелинейность оболочки. Прогиб оболочки и в линейной, и в нелинейной постановке представляется в виде

w( x, y, t) = h{[a1 (t) sin Py + a2 (t) cos Py)] x x sin ax + a3 (t) sin ax + a4 (t) sin 3ax},

(5)

(3)

В (3) sin Py sin ax и cos Py sin ax - сопряженные изгибные формы (формы собственных изгибных колебаний идеальной оболочки); a = п/1; Р = n¡R ; n - число окружных волн; дополнительное слагаемое ¥(x, y, t) отражает специфику деформирования оболочки при больших прогибах («преимущественное выпучивание вовнутрь» [4]).

где два последних слагаемых отвечают радиальным колебаниям оболочки.

Согласно предлагаемому подходу, колебания оболочки напоминают описанное еще Х. Гюйгенсом явление самосинхронизации двух маятников, установленных на общем податливом основании, когда колебания одного маятника вызывают некоторое движение основания, а последнее, в свою очередь, возбуждает колебания второго маятника.

4. Модальные уравнения. Пусть начальные неправильности имеют вид, соответствующий характеру волнообразования оболочки:

Wo (x, y) = hao sin(J3y + фо )sin ax =

= h(a10 sin Py + a20 cos Py )sin ax.

В (6) ao - безразмерная амплитуда; фо -начальный угол отсчета.

(7)

Решение уравнений (1) по схеме П.Ф. Пап-ковича, при удовлетворении граничных условий (2) и условия «возврата», приводит к четырем модальным уравнениям, описывающим связанные изгибно-радиальные колебания новой дискретной модели оболочки (5):

¿?1 + с11а1 + F1 (в, 0, а10, а20, a1, a2, a3, a4 ) = 0;

a2 + C22a2 + F2 (в, 0, аю, a2o, ai, a2, аз, a4 ) = 0;

аз + сззаз + F3(в, 0, ai0, а20, al, ^ аз, a4 ) = 0; a4 + c44a4 + F4 (в, 0, a10, a20, a1, a2, аз, a4 ) = 0. Точками в (7) обозначено дифференцирование по безразмерному времени т = X t, где X - частота собственных изгибных колебаний идеальной оболочки. Квадрат безразмерной частоты собственных изгибных колебаний идеальной оболочки равен

ю2 =pR 2X2/E = b(í + 02 ^ /l2(l-ц2 )+

+ 04/(l + 02 ^ ; B = (n2h¡Rj2; 0 = nR/nl.

Квадраты безразмерных парциальных частот изгибных c11, c22 и радиальных сзз, c44 колебаний оболочки с ^0 определяются по формулам

с11 = 1 + ва0 (04 + 3cos2 ф0 )/ 8ю2; с22 = 1 + ва0 (04 + з sin2 ф0 )/ 8ю2;

сзз = j1 + B0V12(1-^2)+

+ є04а0

2 +

11 + 402 )2

8 Па

2

c44 =Jl + 81є04/і2(і -ц2)+

+ 81s04o2

1 (l + 402 j2 +^ (l +1602 j2

/8

динаты а3 и а4 можно приближенно найти из «статического» варианта записи третьего и четвертого уравнений (7):

а3 ~ -^5(В0а10’а20’аЬа2)/с33; (8)

а4 »-^(в,0,аш,а20,аьа2)/С44.

Подстановка (8) в первые два уравнения (7) приводит к модальным уравнениям:

а1 + ¿аЛ + ^(в, 0, аш, а20, а1, а2) = 0; а 2 + ¿22 а2 + G2 (в, 0, аш, а20, а1, а2) = 0,

где функции Gl и G2 характеризуют геометрически нелинейную упругую связь между сопряженными изгибными формами.

Однако описанная выше процедура «статического» приема, часто используемого в традиционных исследованиях, требует уточнения, поскольку может привести к заметной погрешности. Дело в том, что пренебрежение малыми первыми слагаемыми в третьем и в четвертом уравнениях (7) вовсе не означает, что и в первых двух уравнениях следует принять, что а3 « 0 и а 4 « 0 . Суть уточнения «статического» приема, предлагаемого авторами, состоит в следующем. Выразим из третьего и четвертого уравнений (7) координаты а3 и а4 :

а3 =-аз/c33 - 0al0-a20,аЪa2)/c33;

a4 = - a4 /C44 - F6 (є, 0, aw, aw, al, a2)/C44.

(9)

Подставим (9) в первые два уравнения (7), определив вторые производные а 3 и а 4 по выражениям (8). В итоге мы придем к следующим динамическим уравнениям: а1 + с11а1 +

+ Н^в, 0, а10, а20, а1, а2, а1, а2, а1, а2) = 0;

a2 +c22a2 +

(l0)

Выражения для функций ^ (г = 1, 2, 3, 4),

входящих в (7), а также для других функций, которые не приводятся в настоящей работе из-за их громоздкости, можно найти в [6-8].

5. Асимптотический метод Крылова - Боголюбова. «Статический» прием. Периодические решения нелинейных уравнений (7) ищутся методом Крылова - Боголюбова. Предварительно эти уравнения упрощаются «статическим» приемом [4], позволяющим получить решение в обозримом аналитическом виде. Поскольку парциальные частоты радиальных колебаний оболочки, для которой справедливы уравнения (1), значительно превышают парциальные частоты изгибных колебаний, первыми слагаемыми в третьем и в четвертом уравнениях (7) можно пренебречь. Тогда, следуя [1, 4], коор-

+ Н2 (в, 0, а10, а20, а1, а2, а1, а2, а1, а2) = 0, где Ні и Н 2 - новые нелинейные функции. Из (10) следует, что в уточненных модальных уравнениях связанность сопряженных изгибных форм обусловлена не только геометрической нелинейностью оболочки, но и ее инерционностью. При этом в качестве инерционной связи и в линейной, и в нелинейной постановке выступают радиальные колебания оболочки.

Собственные частоты. Из частотного уравнения, соответствующего линеаризованной системе (10) (или (7)), для каждого числа окружных волн п найдены две собственные изгибные частоты оболочки с Wo. Значения их безразмерных квадратов равны

^21 = (ю01/ю)2 = (і - в04а02/4ю2 У (і + 3во02/8); ^22 =(“02/ю)2 = 1 + в04о2/8ю2.

Эффект расщепления изгибного частотного спектра оболочки с параметрами I/R = 0.6; R|h = 200 в зависимости от амплитуды начальных неправильностей а0 = аю (а20 = 0) представлен на рис. 1. Расчеты выполнены в программе МАТНСАD при числе окружных волн п = 10, соответствующем основной частоте, и коэффициенте Пуассона ц = 0.3 . Вертикальная

пунктирная линия с кружочками О (п) = 1 соответствует квадрату частоты идеальной оболочки. Новому решению О^аю, а20, п),

Оо2(аю, а20, п) отвечают сплошная и штриховая линии, соответственно. Здесь же, для возможности сопоставления результатов, показаны

графики квадратов частот О ^ = О °2 и

О о2£ (аю, а20, п) (пунктирная линия), которые вычислены по формулам традиционной математической модели [1, 2].

Скелетные кривые. Периодические решения системы (l0) ищутся в виде al (т) = Al cos(Qt + ф1 ), a2 (т) = A2 cos(Qt + ф2), где Q = со/ю - безразмерная нелинейная частота. Неизвестные амплитуды Al, A2 и фазы Фі, ф2 определены асимптотическим методом Крылова - Боголюбова.

Скелетные кривые для оболочки с приведенными выше параметрами представлены на рисунках 2 и 3. Рисунок 2 иллюстрирует расстройку квадратов нелинейных частот оболочки с начальными неправильностями при одномодовом режиме движения. Сплошная линия

Qj2 (Al, a0, n) отвечает колебаниям оболочки по изгибной форме sin ву sinax (A2 = 0), а штриховая A2, a0, n) - по сопряженной изгибной форме cos ву sin ax (Al = 0). Пунктирной линией с кружочками показана скелетная кривая 2

идеальной оболочки Qj (Ab0, n).

o0l(n. „; n; \of: o.,, h L0J íJ", «ujt I * lo, c, i'; f ,Oi i:y

ТСгипрдт it пряпмфплЧчягтагш

Рис. 1. Расщепление изгибного частотного спектра

п.? ii.í і м

ti 11 а і. a. i-u'l'1,111 ( а 1. ] т и;"|^, її а >. ]. ] і;"|^

Ккилри.ь' инц:ы■:а шшы Рис. 2. Расстройка квадратов нелинейных частот одномодового режима движения оболочки

11,1 А .и.1иҐ.£ї.|А|.:.]^

]■'_=:зд{.|її (клраіиіу.-ииіі 'із лит

Рис. 3. Скелетная кривая двухмодового режима движения оболочки

Рисунок 3 демонстрирует влияние ^0 на ске-

летную кривую двухмодового режима движения

2

оболочки Ос(^1, а(), п), при котором имеет место взаимосвязанность сопряженных изгибных форм (а1(т) = ^соэ Ос т , а2(т) = А2 sin Ос т). Эта скелетная кривая показана на рисунке сплошной линией. Здесь же для сравнения пунктирной линией с кружочками показана

скелетная кривая О ^( А^0, п), отвечающая идеальной оболочке.

Выводы

Уточненная математическая модель привела к результатам, которые находятся в полном соответствии с известными экспериментальными данными [1].

Из графика, приведенного на рис. 1, видно, что в новом решении расстройка собственных частот О 01 и О02 незначительна, при этом основная частота несовершенной оболочки О 01 всегда меньше основной частоты идеальной оболочки О. Скелетные кривые оболочки с начальными неправильностями (как и идеальной оболочки) относятся к мягкому типу. С ростом амплитуды колебаний влияние Wo на

расщепление частотного спектра одномодового режима (рис. 2), а также на скелетную кривую режима бегущей волны (рис. 3) ослабевает.

Конечномерная модель оболочки, предложенная в настоящей работе, позволяет определить динамические характеристики при точном удовлетворении всех граничных условий, в том числе и тангенциальных, что крайне важно для относительно коротких оболочек [9].

Работа выполнена в рамках гранта 2.1.2/3046 Министерства образования и науки РФ по целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы. Проведение фундаментальных исследований».

Список литературы

1. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С. Нелинейное взаимодействие форм изгиб-ных колебаний цилиндрических оболочек. Киев: Наук. думка, 1984. 220 с.

2. Ладыгина Е.В., Маневич А.И. Нелинейные свободные изгибные колебания цилиндрической оболочки с учетом взаимодействия сопряженных форм // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 3. С. 169-175.

3. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С. Нелинейные задачи колебаний тонких оболочек (Обзор) // Прикл. механика. 1998. 34. № 8. С. 3-31.

4. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

5. Варадан Т.К., Пратхап Дж., Рамани Х.В. Нелинейные свободные изгибные колебания тонкостенных круговых цилиндрических оболочек // Аэрокосм. техника. 1990. № 5. С. 21-24.

6. Лейзерович Г.С. О нелинейных формах движения тонких круговых цилиндрических оболочек // Прикл. механика и техн. физика. 2001. Т. 42. № 4. С. 161-164.

7. Тарануха Н.А., Лейзерович Г.С. Динамика «неправильных» оболочек. Владивосток: Дальнаука, 2005. 423 с.

8. Тарануха Н.А., Лейзерович Г.С. Новые решения в динамике «неправильных» оболочек. Владивосток: Дальнаука, 2007. 203 с.

9. Лейзерович Г.С., Тарануха Н.А. Неочевидные особенности динамики круговых цилиндрических оболочек // Изв. РАН. МТТ. 2008. № 2. С. 96-105.

ON THE MATHEMATICAL MODEL OF NONLINEAR VIBRATIONS OF CIRCULAR CYLINDRICAL SHELLS WITH INITIAL IMPERFECTIONS

G.S. Leyzerovich, N.A. Taranukha

The mathematical model based on the shallow shell theory equations has been defined more precisely. The initial imperfections have been found to result in interaction between shell flexural and radial vibrations. The flexural frequency spectrum is slightly split, and the fundamental frequency decreases as compared with the perfect shell case. Skeleton curves of the shell with initial imperfections are of the «mild» type.

Keywords: circular cylindrical shell, initial imperfections, nonlinear vibrations, splitting of the frequency spectrum.