CC BY
33
Физико-математические науки
УДК 530.145.65
Попов Игорь Павлович Igor Popov
О ВЛИЯНИИ ИНЕРТНОСТИ ЧАСТИЦЫ НА ЕЕ ВОЛНОВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
THE EFFECT OF PARTICLE INERTIA ON ITS WAVE REPRESENTATION
Отмечено, что для монохроматической волны де Бройля, соответствующей свободной инертной частице, группа волн состоит из единственной волны, поэтому групповая скорость тождественно равна фазовой. Обосновано наличие в выражении для волновой кинетической энергии коэффициента 'А который так же, как и в классическом случае, обусловлен инертностью частицы. Предложено представление частицы в виде совокупности субчастиц, число которых N бесконечно велико, в связи с чем получено подтверждение равенства групповой и фазовой скоростей. Показано, что с соотношением для волновой кинетической энергии неразрывно связаны выражения для полной волновой энергии, волновой функции и уравнение Шредингера для свободной частицы
Ключевые слова: монохроматическая волна, инертная частица, фазовая, групповая скорость, волновая кинетическая энергия
It is noted that for a monochromatic de Broglie wavelength corresponding to the free inertial particle wave group consists of a single wave, so the group velocity is identically equal to the phase. Justified by the presence in the expression for the wave kinetic energy factor lA, which is the same as in classical case which is due to the inertia of the particle. The representation of particle as a set of sub-particles, of which N is infinite, and therefore receive a confirmation of the equality group and phase velocities is described. It is shown that with the ratio for wave kinetic energy, expression for the total energy of the wave, the wave function and the Schrodinger equation for a free particle are inextricably linked
Key words: monochromatic wave, inert particle, phase and group velocity, wave kinetic energy
Движение инертных частиц удовлетворяет как классическому механическому описанию [ 1 ], так и квантово-волно-вому. Это приводит к появлению величин смешанной природы [2-8] — механической и волновой [9], что, в частности, позволяет выявить влияние инертности на волновое представление кинетической энергии.
Классическое и одновременно кванто-во-волновое описание импульса инертной нерелятивистской частицы дается выражением
Н
р = mv = , (1)
где m — масса;
V — скорость частицы;
h — постоянная Планка;
X — длина волны де Бройля [10].
Выражение (1) получило экспериментальное подтверждение при дифракции электронов на кристаллах никеля и поэтому может считаться достоверным.
Хуже обстоит дело с энергией. В [11] представлены две разные формулы для энергии. Одна из них — выражение для полной энергии
2
Е = те2 + — = Н\ , (2)
где с — скорость света в вакууме; V — частота волны де Бройля. Другая — выражение для кинетической энергии
кинетической энергии. Имея в виду, что
к=^=и.
(3)
Частота волн де Бройля не измерялась, поэтому ни (2), ни (3) не могут считаться экспериментально подтвержденными, и следовательно, достоверными.
Формуле (2) соответствует фазовая скорость волны
г ф="
v
v, = • 2
ф
v * = г ,= v •
= XV, и с учетом (1)
К = рг = И XV = Иу (7)
= ~2 =Х Т = ~2
Появление коэффициента У представляется естественным, поскольку обусловлено инертностью частицы. Действительно,
dK = р^ =
(4)
К = | mvdv
тг
рг 2
Иу ' 2
Формуле (3) соответствует существенно другое значение
(5)
В [11] показано, что фазовая скорость волн де Бройля и энергия однозначно не оп-ре делены, что иллюстрируется различием между (2) и (3) и между (4) и (5). Следовательно, энергия и фазовая скорость могут иметь иное значение.
Различие между (2) и (3) свидетельствует о том, что оба эти выражения сконструированы произвольно и не обоснованы ничем, кроме того, чтобы формула совпадала с формулой для фотона. В силу того, что поведение инертной частицы существенно отличается от поведения безмассового фотона, названное обоснование может иметь негативные последствия.
Одним из таких негативных последствий является соотношение групповой скорости волн де Бройля с фазовой (4) и (5). Дело в том, что для монохроматической волны, соответствующей свободной частице, группа волн состоит из единственной волны. Поэтому групповая скорость должна быть тождественно равна фазовой
в отличие от безынерционного фотона
Е = рс = Иу.
В связи с (7) (2) может быть уточнено, например, с использованием выражения для комптоновского импульса
И
тс =
Хс
где Хс — комптоновская длина волны.
2 Ис тс = — = Иус
Хс
где V с — ко мптоновская частота.
Таким образом, выражение для полной энергии инертной частицы принимает вид
„ 2 тг2 , Иу Е = тс + = Иус + • 2 с 2
Как и для механического аналога, полная волновая энергия отличается от волновой кинетической энергии на аддитивную постоянную.
По отношению к частице, рассматриваемой как неделимый объект, использовать формулу для групповой скорости
г * =
(6)
dю= d (Иу ) = d (2 К)
dk d (И/ X) dp
(8)
Ни (4), ни (5) не удовлетворяют этому требованию, что также свидетельствует о некорректности (2) и (3); (6) позволяет не постулировать, а вывести формулу для
нельзя, поскольку все дифференциалы в знаменателях не являются бесконечно малыми, а буквально равны нулю, т.к. соответствующие величины являются неизменными. Здесь ш = 2ку — циклическая
2
с
V
частота волны де Бройля, k = 2л:/Х — волновое число.
Это положение можно искусственно изменить, если представить частицу в виде совокупности субчастиц, число которых N бесконечно велико.
Могут быть рассмотрены три варианта.
Первый вариант
m = const.
dp = mdv.
dK = mvdv.
dK _
dp
Второй вариант
v = const.
dp = vdm.
dK =— dm 2
dK dp
(9)
Третий вариант m Ф const. v Ф const.
dp = d (vm) = mdv + vdm.
dK = d
( mv2 >
= mvdv+—dm 2
йК V м аР 2 И
— расходящийся ряд.
Из этих вариантов, в частности, следует, что dK/dp не всегда равняется скорости.
Очевидно, что для рассматриваемого случая подходит только второй вариант.
Все субчастицы движутся с одной скоростью V. Масса каждой субчастицы
, т ат = — .
N
Импульс каждой субчастицы
dmv = ар = на | — | = —— ,
N X
d i1 ]=-•
ух) NX
Кинетическая энергия —
dmv = dK = ahd v = a—hv.
(10 )
N
dv = — .
N
(11)
Здесь a — коэффициент, который в (3) произвольно принят равным 1, а в (7) равен '. Подстановка полученных дифференциалов в (8) дает
da dv v/N „ v = — = = =/X = v
Ф
ак а(1/х) 1/^х
Тем самым подтверждается (6), из которой, в свою очередь, вытекает формула для кинетической энергии (7). С другой стороны, с учетом (7) и (9)
а ш а (Ну)
v g =
ак а (н/х)
= а (2К) = а (т 2) = V 2ат =
— — — — V . (12)
ар а (mv) vdm
Это согласуется с тем, что в соответствии с [11] принципиально наблюдаемой величиной является групповая скорость волн де Бройля.
Переходя в (12) от дифференциалов к конечным приращениям при разбиении частицы на конечное число частей N, с учетом (10)и(11),
= Аш = НДу
^ = Ак = Н А (1/ X) =
_ Н(у/N) _ 2К _ п™- _
Н (1/ N X ) р mv '
Результат, таким образом, не зависит от числа разбиений частицы. В частности, N может быть равным единице.
С учетом (7) плоская волна де Бройля для свободной частицы
¥(x5t) = Ce~i(fflt-fa) = Ce" ~h Здесь
—(2 Kt-px)
(13)
2
2
h=—.
2п
(13)
dx
= ik„ W.
д
ах^
¥ = 1 AY. k2
(14)
dt
= -iQvP.
1 SY
iw dt
При объединении (14) и (15) i d¥ 1
(15)
ш dt ih SY
k2
1
- = --2 йш dt k
ik
dt
ha
При дифференцировании левой части
При подстановке в последнее выражение (3) получается уравнение Шредингера для свободной частицы [11].
ih
d^ dt
2m
Однако следует руководствоваться выражением (7). Тогда уравнение Шрединге-ра для свободной частицы принимает вид
. . 2 mv2
;й-= -п —Y2
dt m v
й2
/й— = Д^Р . dt т
Таким образом, устранение противоречия в волновом описании инертной частицы и представление ее в виде совокупности субчастиц позволило скорректировать соотношение между фазовой и групповой скоростями волны де Бройля (6), выражения для полной и кинетической (7) энергии, волновой функции (13) и уравнение Шредингера для свободной частицы. Установленные отличия обусловлены инертностью частицы.
Литература _
1. Баландин О. А., Верхотуров А.Р. Теоретические аспекты взаимодействия твердых частиц с электромагнитными волнами // Вестник ЧитГУ. Чита: ЗабГУ, 2011. № 12(79). С. 71-77.
2. Попов И.П. Функциональная связь между индуктивностью и массой, емкостью и упругостью // Вестник ЗабГУ. Чита: ЗабГУ, 2013. № 02(93). С. 109-114.
3. Попов И.П. Реализация частной функциональной зависимости между индуктивностью и массой // Российский научный журнал. 2012. № 6(31). С. 300, 301.
4. Попов И.П. Упруго-индуктивный осциллятор // Российский научный журнал. 2013. № 1(32). С. 269, 270.
5. Попов И.П. Об электромагнитной системе единиц // Вестник Челябинского гос. ун-та. Физика. 2010. Вып. 7, № 12(193). С. 78-79.
_ Bibliography
1. Balandin O.A., Verhoturov A.R. Teoretiche-skie aspekty vzaimodejstviya tverdyh chastic s jelek-tromagnitnymi volnami // Vestnik ChitGU. Chita: Za-bGU, 2011. № 12(79). S. 71-77.
2. Popov I.P. Funkcionalnaja svjaz mezhdu in-duktivnostju i massoj, emkostju i uprugostju // Vestnik ZabGU. Chita: ZabGU, 2013. № 02(93). S. 109114.
3. Popov I.P. Realizaciya chastnoj funkcional-noj zavisimosti mezhdu induktivnostju i massoj // Rossijskij nauchnyj zhurnal. 2012. № 6(31). S. 300, 301.
4. Popov I.P. Uprugo-induktivnyj oscilljator // Rossijskij nauchnyj zhurnal. 2013. № 1(32). S. 269, 270.
5. Popov I.P. Ob jelektromagnitnoj sisteme edi-nic // Vestnik Cheljabinskogo gos. un-ta. Fizika. 2010. Vyp. 7, № 12(193). S. 78-79.
6. Попов И. П. Свободные гармонические колебания в системах с элементами различной физической природы // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. 2012. Т. 18. № 4. С. 22-24.
7. Попов И.П. Сопоставление квантового и макро-описания магнитного потока: сб. науч. тр. аспирантов и соискателей Курганского гос. ун-та, 2010. Вып. XIII. С. 26.
8. Попов И.П. Электромагнитное представление квантовых величин // Вестник Курганского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып. 3, № 2(18). С. 59-62.
9. Попов И.П. Корпускулярный и волновой походы к теории эффекта Комптона // Естественные и технические науки. 2013. № 1(63). С. 41-43.
10. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука. 1976. 664 с.
11. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 5. Атомная и ядерная физика. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ. 2002. 784 с.
Коротко об авторе_
Попов И.П., начальник отдела инновационного развития Департамента экономического развития, торговли и труда Правительства Курганской области, г. Курган popov_ip@kurganobl.ru
Научные интересы: квантовая механика
6. Popov I.P. Svobodnye garmonicheskie koleba-nija v sistemah s jelementami razlichnoj fizicheskoj pri-rody // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo uni-versiteta im. N.A. Nekrasova. 2012. T. 18. № 4. S. 22-24.
7. Popov I.P. Sopostavlenie kvantovogo i makro-opisanija magnitnogo potoka: sb. nauch. tr. aspirantov i soiskatelej Kurganskogo gos. un-ta, 2010. Vyp. XIII. S. 26.
8. Popov I.P. Jelektromagnitnoe predstavle-nie kvantovyh velichin // Vestnik Kurganskogo gosu-darstvennogo universiteta. Estestvennye nauki. 2010. Vyp. 3, № 2(18). S. 59-62.
9. Popov I.P. Korpuskuljarnyj i volnovoj pohody k teorii jeffekta Komptona // Estestvennye i tehniche-skie nauki. 2013. № 1(63). S. 41-43.
10. Blohincev D.I. Osnovy kvantovoj mehaniki. M.: Nauka. 1976. 664 s.
11. Sivuhin D.V. Obshhij kurs fiziki. T. 5. Atomnaja i jadernaja fizika. M.: FIZMATLIT; Izd-vo MFTI. 2002. 784 s.
_Briefly about the author
I. Popov, head of Innovation Development Department of Economic Development, Trade and Labour of the Government of the Kurgan region, Kurgan
Scientific nterests: quantum mechanics
