CC BY
25
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
MSC 35L55
О СПЕКТРЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ТИПА
О.В. Алексеева, В.В. Корниенко, Д.В. Корниенко
Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина,
ул. Коммунаров, 28, Елец, 399770, Россия, e-mail: o.v.alexeeva@gmail.com, wkl953@mail.ru
Аннотация. В случае замкнутого дифференциального оператора, порождённого задачей Дирихле для гиперболической системы первого типа (симметричной по терминологи, предложенной А.А. Дезиным в [1]), изучены спектральные свойства. Спектр являясь дискретным, располагается на вещественной прямой комплексной плоскости C.
Ключевые слова: спектр, замкнутый дифференциальный оператор, гиперболические системы, тензорные произведения гильбертовых пространств, базис.
Работа посвящена описанию спектральных свойств дифференциального оператора, порождённого задачей Дирихле для гиперболической системы
д2 п1 д2п2 1 х д2 и2 д2П 2 2
+ а^ = А" +/ ’ а^+а^ = Ли+/’ АеС; (1)
рассматриваемой в области П = (0,п)2 евклидова пространства вместе с граничными условиями Дирихле
и\ = 0, и=(и1,и2). (2)
1ш
Для гиперболических систем первого и второго порядков имеется ряд глубоких результатов, относящихся к описанию «правильных» граничных условий [1], [2] в областях специального вида. Описанию регулярных граничных задач для более общих систем уравнений при числе переменных более двух посвящены работы [3], [4], [5]. Исследованию свойств разрешимости систем уравнений второго порядка эллиптического типа посвящена работа [6]. Сильно и усиленно эллиптическим системам посвящены соответственно работы [7], [8].
Однако спектральные свойства этих граничных задач и граничных задач иного типа почти не изучены. Спектральные свойства гиперболической системы первого типа и первого порядка изучены в работе [9]. Спектральные свойства задачи Дирихле для эллиптических систем второго порядка изучены в работе [10].
Обозначим через е1 = (1 0)т, е2 = (0 1)т ортонормированный базис евклидова пространства К2 х вектор-столбцов, а через Ы — унитарное пространство элементов и = и1 в 1 + и2е-2] ик € С; к = 1, 2; со скалярным произведением (и, и; Ы) = и1п1 + и2и2.
Пусть = С^(У) — гильбертово пространство комплекснозначных вектор-функций
и : V —> С2, V = П, с нормой |щ 'Н2Х|, задаваемой формулой
Iй;НУ2 = jj Нт,£); и|2
V
Пусть также © — линейное многообразие гладких комплекснозначных вектор-функций и Є С (Щ П С(2) (П), удовлетворяющих условиям (2).
Обозначая символом Ь линейный оператор Ь : Н2х ^ Нх, областью определения которого является линейное многообразие © С Н2х, а множество значений определяется правой частью системы (1), получаем гиперболический дифференциальный оператор; этот оператор не замкнут. Применяя в Н2х стандартную процедуру замыкания, получаем замкнутое расширение Ь оператора Ь. В этом случае говорят, что (замкнутый) оператор Ь : Н2 х ^ Н2 х порождён задачей (1), (2). Изучим его спектр. Говоря о спектре замкнутого оператора, мы следуем терминологии, принятой в монографии [11, стр. 23]. Резольвентное множество, спектр, точечный спектр, непрерывный спектр и остаточный спектр оператора Ь обозначим через рЬ, аЬ, РаЬ, СаЬ и КаЬ соответственно.
Теорема 1. Спектр аЬ оператора Ь, порождённого задачей (1),(2), состоит из замыкания РаЬ на комплексной плоскости его точечного спектра РаЬ. Множество СаЬ = аЬ \ РаЬ образует непрерывный спектр оператора Ь. Точечный спектр оператора Ь даётся формулой
^к,т,в = —к2 + (—1)тв2; к Є М; т =1, 2; в Є N . (3)
Собственные вектор-функции оператора Ь, соответствующие его собственным значениям (3), представимы в виде
= ^^т(Ы) (еі + (-1)те2) .
Последовательность {ит,к , в(і, х) : т =1, 2; к Є М; в Є М} собственных вектор-функции оператора Ь образует ортонормированный базис в пространстве Н2
2 х
□ Достаточно заметить, что последовательность {ик,т,в(£) : к Є N т =1, 2},
1
ик,т,з(і) = -^^Іїі(кі) (еі + (-1)те2)
является полной и ортонормированной в Н = Н®Н*, Н = £2[0, п], и воспользоваться, доказанным в [9], представлением 'N.‘‘2 х в виде тензорного произведения гильбертовых пространств Н2 и Нх, то есть формулой х = Н ® Нх, где Нх = £2[0, п].
Литература
1. Дезин А.А. Граничные задачи для некоторых симметричных линейных систем первого порядка // Матем. сборник. - І959. - 49(91);4. - С.459-484.
2. Дезин А.А. Теоремы существования и единственности решений граничных задач для уравнений с частными производными в функциональных пространствах // Успехи матем. наук. - 1959. - 14;3(87). - С.21-73.
3. Романко В.К. Нелокальные граничные задачи для некоторых систем уравнений // Ма-тем.заметки АН СССР. - 1985. - 37;5. - С.727-733.
4. Романко В.К. Смешанные краевые задачи для одной системы уравнений // Докл. АН СССР. - 1986. - 286;1. - С.47-50.
5. Романко В.К. О системах операторных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. - 1987. - 23(9). - С.1574-1585.
6. Солдатов А.П. О задаче Дирихле для эллиптических систем второго порядка на плоскости / Молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения 2010» Казань. 1-6 октября 2010.
7. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений // Матем. сборник. - 1951. - 29(71);4. - С.615-676.
8. Солдатов А.П. О первой и второй краевых задачах для эллиптических систем на плоскости // Дифференц. уравнения. - 2003. -39(5). - С.674-686.
9. Корниенко Д.В. Об одной спектральной задаче для двух гиперболических систем уравнений // Дифференц. уравнения. - 2006. - 42;1. - С.91-100.
10. Алексеева О.В. О спектре задачи Дирихле для двух эллиптических систем // Научные ведомости БелГУ. Математика Физика. - 2010. - №17(88);20. - С.5-9.
11. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. - М.: Наука, 1980. - 207 с.
ON THE SPECTRUM OF DIRICHLET PROBLEM FOR HYPERBOLIC SYSTEMS OF FIRST TYPE
O.V. Alekseeva, V.V. Kornienko, D.V. Kornienko Elets State University,
Kommunarov St., 28, Elets, 399770, Russia, e-mail: o.v.alexeeva@gmail.com, wkl953@mail.ru
Abstract. It is studied some spectral properties of the closed differential operator generated by Dirichlet’s problem connected with the hyperbolic system of first type (being symmetric on the terminology proposed A.A.Desin in [1]). The spectrum being discrete is settled on the real axe of complex plane C.
Key words: spectrum, closed differential operator, hyperbolic systems, tensor products of Hilbert spaces, basis.
