CC BY
43
MS С 47F05
К ТЕОРИИ СПЕКТРА 2 х 2 -ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Д.В. Корниенко
Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина, ул. Коммунаров, 28, Елец, 399770, Россия, e-mail: v_v_korriieriko@mail.ru, dmkorriieriko@mail.ru
Аннотация. Для замкнутых дифференциальных операторов Ь : %х,г Нх,и порождённых задачей Дирихле для эллиптических систем второго порядка изучены спектры: СаЬ = ЯаЬ- пустое множество; точечный спектр РаЬ располагается в левой полуплоскости (Ые г < 0) комплексной плоскости С. В случае эллиптической системы без младших членов собственные
Ь
Ь
ортогональным в гильбертовом пространстве Нх,г-
Ключевые слова: эллиптические системы, граничные задачи, замкнутые операторы, спектр, ортогональный базис, базис Рисса.
Работа посвящена сравнительному изучению и описанию спектральных свойств дифференциальных операторов, порождённых задачей Дирихле дня эллиптической системы (1) без «младших членов»
д2п1 д2и2
dt2 дх2 д2и2 д2и1
А и1 + f 1,
(1)
Аи2 + f2,
д2t2 дх2
х, t
д2и1 д2и2 ди1 ди2
dt2 дх2 ^ dt. дх ^ ^ ^
д2и2 ^ д2и1 ^ ди2 ^ ди1 ^ 2 ^ 2 dt2 дх2 dt дх
рассматриваемых в замыкании Vx,t ограниченной области Qx,t = (0; п)2 евклидова пространства RX t-
Присоединив к системам уравнений (1) и (2) условие Дирихле
и
д0.х,г
0
(3)
получим две граничные задачи: задачу (1), (3) и задачу (2), (3).
Дня системы Коши-Римаиа и более общих, так называемых симметричных и несимметричных систем, имеется ряд глубоких результатов, относящихся к описанию правильных граничных условий [1]
Описанию регулярных граничных задач дня более общих систем уравнений первого порядка по выделенной переменной £ при числе переменных более двух посвящена работа [14]. 2) Исследованию свойств задачи Дирихле для 2 х 2 — эллиптических систем посвящена работа |2|; сильно и усиленно эллиптические системы изучались в работах |3|, |4| соответственно. Однако, спектральные свойства этих граничных задач и граничных задач иного тина при число переменных больше двух почти не изучены.
Элементы спектральной теории замкнутых операторов подробно изложены в книгах |5|, |6|, Спектральные свойства задачи Дирихле дня систем дифференциалыю-онераторных уравнений изучались в работах |7|, |8|, |9|, |10|,
Дня систем Коши-Римаиа имеется ряд глубоких результатов, относящихся к описанию правильных граничных условий |1| в областях специального вида. Описанию регулярных граничных задач дня более общих систем уравнений при число переменных более двух посвящены работы |13|, |14|, Сильно и усиленно эллиптическим системам посвящены работы |3|, |4| соответственно. Однако спектральные свойства этих граничных задач и граничных задач иного тина почти не изучены.
Также, как и в работах |8|, |9|, |10| системы дифференциальных уравнений (1) и (2) дня удобства будем называть эллиптическими системами первого тина. Эллиптической системой второго тина с младшими членами в данном случае будет система вида
Отметим, что система (4) равносильна системе (6) (для А = 0) в следующем смысле: после умножения первого уравнения системы (1) на — 1 и формальной за мены —/1 на /1 (в силу произвольности правой части), получаем систему (2). Эти рассуждения наводят па мысль о совпадении свойств разрешимости граничных задач дня данных систем безотносительно к условиям, определяющим граничную задачу. Однако, исследования в случае эллиптических систем первого порядка показывают, что спектральные свойства рассматриваемых дифференциальных операторов различны; они в некотором смысле аналогичны тем отличиям, которые проявились при сопоставлении слабой
1)Дезин Алексей Алексеевич (23 апреля 1923г., Москва - 4 марта 2008г., Москва) - советский и российский математик.
2)Романко Василий Кириллович (28 декабря 1936, Москва - 27 сентября 2012 года, Москва) - советский и российский математик.
иррегулярности сильной в работе |11|, а также при изучении эллиптических систем в [7], [8]. Обозначим символами e¿ = (51 ¿2)T , i =1, 2; ортонормированный базис евклидова пространства £2 вектор-столбцов, а через U2— унитарное пространство элементов u = u1e1 + u2e2; uk G C; k =1, 2; со скалярным произведением (u, v; U|) = u1)1 + ñ2)2. Пусть H2t = L2 (VX ,t) - гильбертово пространство комплекснозначных вектор-функций u : VX , t — C2, норма в котором задаётся формулой
lu; , 112 = JJ |u(C, т); U2|2dCdr.
Vx,t
Пусть также D - линейное многообразие гладких комплекснозначных вектор-функций и = u(x,t), принадлежащих классу С (Jíx¿) П С^ (flx¿) и удовлетворяющих условиям (3). Опишем вначале спектральные свойства эллиптической системы первого тина без младших членов.
Эллиптическая система без младших членов. Обозначая символом L оператор, областью определения которого является D, а множество значений определяется правой частью (1), получаем эллиптический дифференциальный оператор; этот оператор не замкнут. Применяя в H2 t стандартную процедуру замыкания, получаем замкнутое расширение L оператора L. В этом случае говорят, что замкнутый оператор L : HX t — HX t порождён задачей (1), (2). Изучим его спектр и спектральные свойства его собственных вектор-функций. Говоря о спектре замкнутого оператора, мы следуем терминологии, принятой в монографиях |5, с. 25|, |6, с. 620|. Резольвентное множество, спектр, точечный спектр, непрерывный спектр и остаточный спектр оператора L обозначим символами pL, oL, PaL, CoL и RoL соответственно. Имеет место [10] следующая теорема.
Теорема 1. Спектр аЬ оператора L. порожденного задачей (1), (3), состоит из PaL PaL.
CoL = oL \ PaL образует непрерывный снектр оператора L. Точечный спектр опера-L
Vk ,s = -k2 + i(-1)ms2; m =1, 2; k G N; s G N . (5)
L,
uuio (6), представима в виде
um,k,s(x,t) = (iei + (-1)m+1e^ sin(kt) sin(sx).
Последовательность {um,k,s(t,x) : m = 1, 2; k G N; s G N} собственных вектор-функции оператора L образует ортогональный базис в пространстве HX t.
Эллиптическая система с младшими членами по переменным x,t. Также, как и в случае эллиптической системы без младших членов обозначим символом L оператор, областью определения которого является D, а множество значений определяется правой частью (2), получаем эллиптический дифференциальный оператор; этот
оператор не замкнут. Применяя в HX t стандартную процедуру замыкания, получаем замкнутое расширение L оператора L. В этом случае говорят, что замкнутый оператор L : HX t ^ HX t порождён задачей (2), (3). Изучим его спектр и спектральные свойства его собственных вектор-функций.
Теорема 2. Спектр ab оператора /.. порождённого задачей (2), (3) состоит из замыкания PaL на комплексной плоскости его точечного спектра PaL. Множество CaL = aL \ PaL образует непрерывный спектр оператора L. Точечный спектр опера-L
Л,,,/.,, = г(—l)m Q + s2^j - k2 - i m = 1, 2; к, s G Z . (6)
Собственная вектор-функция оператора L, принадлежащая его собственному значению (6), представима в виде:
Um,kAxit) = e~ieikt(e\ + г(-1)те2)е2 sin (scv) .
Последовательность {um,k,s(t,x) : m =1, 2; k G N; s G N} собственных вектор-функции оператора L образует базис Рисса в пространстве H2, t.
□ Достаточно заметить, что последовательность {um,k,s(t) : m =1, 2; k G N} вектор-функций
»„,/.,,•!/) = e^e^fa + г(-1Ге2); m= 1,2;
является базисом Рисса в гильбертовом пространстве H2 — Ht Ф 'Ht, Ht — L 2 [0, п], и воспользоваться, доказанным в [8], представлением H21 в виде тензорного произведения гильбертовых пространств H¡2 и Hx, то есть формулой HX t = H¡2 0 Hx, оде Hx = L2M. ■
Литература
1. Дозин A.A. Теоремы существования и единственности решений храни чных задач для уравнений с частными производными в функциональных пространствах /7 Успехи ма-тем. наук. 1959. XIV, вып. 3 (87). С.21-73.
2. Бххцадзе A.B. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными /7 Успехи матем. наук. 1948. 3, № 6. С.211-212.
3. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений /7 Матем. сборник. 1951. 29, (71), Вып. 4. С.615-676.
4. Солдатов А.П. О первой и второй краевых задачах для эллиптических систем на плоскости /7 Дифференц. уравнения. 2003. 39, №5. С.674-686.
5. Дезин A.A. Общие вопросы теории храни чных задач. М.: Наука, 1980. 207 с.
6. КачмажС. Штейнгауз Г. Теория ортоххжальиых рядов / М.: Гос.из-во физ.-мат. литературы, 1958. 508 с.
7. Корниенко Д.В. О спектральных задачах для линейных систем дифференциально-операторных уравнений /7 Вестник Елецкох'о х'осуниверситета им. И. А. Бунина. Вып. 5: Серия «Математика, физика». Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2004. С.71-78.
8. Корнххенко Д.В. Об одной спектральной задаче для двух гиперболических систем урав-ненххй /7 Дххфференц. уравнешхя. 2006. 42, №1. С.91-100.
9. Корниенко Д.В. О спектре задачи Дирихле для систем дифференциально-операторных уравнений /7 Дифференц. уравнения. 2006. 42, №8. С.1063-1071.
10. Алексеева О.В. О спектре задачи Дирихле для двух эллиптических систем /7 Научные ведомости БелГУ. Математика Физика. 2010. №17(88). Вып.20. С.5-9.
11. ДезинА.А. О слабой и сильной иррегулярности /7 Дифференц. уравнения. 1981. 17, №10. С.1851-1858.
12. ДанфордН., ШварцДж.Т. Линейные операторы, Т.1. Общая теория / М.: ИЛ., 1962. 895 с.
13. РоманкоВ.К. К теории операторов вида — А. // Дифференц. уравнения. 1967. 3, №11. С.1957-1970.
14. РоманкоВ.К. Смешанные краевые задачи для одной системы уравнений /7 Докл. АН СССР. 1986. 286, №1. С.47-50.
ТО THE THEORY OF 2 х 2 -ELLIPTIC SYSTEMS SPECTRUM
D.V. Kornienko Elets State University,
Kommuriarov St., 28, Elets, 399770, Russia, e-mail: o.v.alexeeva@gmail.com, wkl953@mail.ru
Abstract. Specta of closed differential operators L : — generated bv the Dirichlet problem for elliptic systems of second order are studied. Namely, CaL = RaL is empty; the point spectrum of PaL is located in the left half (Re z < 0) of complex plane C. In the case of the elliptic
L
In the case of the elliptic system with some less terms, vector-valued eigenfuuctious of the operator L form the Riesz basis. But it is not orthogonal in the Hilbert space
Keywords: elliptic systems, boundary problems, closed operators, spectrum, orthogonal basis, Riesz' basis.
