О редукции численной постановки краевой задачи изгиба плиты в рамках дискретно-континуального вариационно-разностного метода Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ВЕСТНИК 1/2010

О РЕДУКЦИИ ЧИСЛЕННОЙ ПОСТАНОВКИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ИЗГИБА ПЛИТЫ В РАМКАХ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОГО ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНОГО МЕТОДА

П.А. Акимов

МГСУ

Рассматривается применение дискретно-континуального вариационно-разностного метода к расчету тонких плит, в частности, вопрос редукции численной постановки краевой задачи об изгибе плиты.

Discrete-continual variation-difference method of plate analysis and reduction of corresponding formulation of boundary problem are under consideration in the distinctive paper.

Теоретические основы и приложения дискретно-континуального вариационно-разностного метода (ДКВРМ) для расчета строительных конструкций достаточно подробно описывались в монографии [1]. В настоящей статье рассматривается важный частный вопрос о редукции соответствующей дискретно-континуальной постановки задачи об изгибе тонкой плиты (модель Кирхгофа).

1. Формулировка дискретно-континуальной постановки задачи. Пусть x2 -переменная соответствующая основному направлению (направлению постоянства физико-геометрических характеристик плиты). Следуя [1], можем представить постановку задачи об изгибе плиты в виде обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с операторными коэффициентами, которое без учета «поперечных» по отношению к основному направлению краевых условий записывается в виде:

L48\w + L1d1lw + L0w = F, (x1,x2) e m, (1)

где L2 =6D; L2 = ~[d\eD v + 1516D(1 - v)5t + 0D v8\]; L0 = -д\Юд\ + dc ; (1)

F = 0q -SrQ -8Х(8ГМХ) -8 2(Sr Mi); (3)

Xj, x2 - используемые координаты; Q - область, занимаемая конструкцией с границей Г = 5Q ; со - расширенная область, окаймляющая Q ; в - характеристическая функция области Q; 8Г - дельта-функция границы Г = 5Q; w - прогиб плиты; D = Eh /[12(1 -к2)] - цилиндрическая жесткость плиты; h - толщина плиты; v - коэффициент Пуассона материала плиты; q - плотность нагрузки; 8k = 8 / dxk, k = 1,2; c - жесткость упругого основания (при наличии); Q, Ml, M2 - поперечная сила и крутящие моменты на границе плиты; n = [ nl n2]T - внутренняя нормаль к границе Г = 5Q в выбранной точке; 8. = 8 / dx., i = 1,2 ; 8] =-8 / 8xi, i = 1,2 ;

Г1, x eQ

e = d(xx,x2) = J ' Sr = Srxx2) =80/8n . (2)

[ 0, x g Q;

Вводя обозначения

v = v(x2) =32w(x1, x2) = w"(x1, x2); v"(x1, x2) = 82v(X1), (5)

можем перейти к системе дифференциальныхуравнений второго порядка

U "= LU + F, (6)

где

и =

; и " = д11и =

К! 0 Е ] — " 0 ]

; г = Г1 I г1 г 4 2 ; ^ = Г^

V

(7)

Е - тождественный оператор.

В таком виде возникает удобная возможность решения исходной задачи в аналитической форме по основному направлению.

Для постановки и решения краевой задачи исходная область ^ окаймляется расширенной со . Принимается дискретно-континуальная модель следующего типа: по основному (ось Ох2) направлению плиты сохраняется континуальный характер задачи, а по другому (ось Ох1) направлению, производится сеточная аппроксимация, т.е. область ® разбивается на дискретно-континуальные сеточные элементы (ДКСЭ) со1 (рис. 1):

а

= |; со = {(х1, х2, х3): х1 е [0, /1]; х2 е [0, /2]; х3 е [0, к]},

(8)

где 11,12 - размеры принятой сетки элементов, аппроксимирующих плиту соответственно по направлениям осей Ох1 и Ох2; (х{,х2), , = 1,2,..., N - координаты узлов сетки в поперечном направлении, к. - шаги сетки;

йл = {(х1,х2,х3): х1 е[х[,х(+1]; х2 е[0,/2]; х3 е[0,к]};

, х,,+1 - х1, г < N

х'+1 = х; + к, г = 1,2,...,N-1; к. =\ 1 1 , , = 1,2,...,N .

0, , = N

(9) (10)

К ■

/

• ;

I ■>!

Рис. 1. Дискретно-континуальная аппроксимирующая модель плиты.

Введем в рассмотрение характеристическую функцию 6>. г-го ДКСЭ и некоторую вспомогательную функцию в, :

х'+к/2

а = х)сСх, ; 6— = х)сСх,

(11)

х^к-] /2

К ансамблю (8) дискретно-континуальных сеточных элементов, исходя из техники вариационно-разностных аппроксимаций, добавляются два вспомогательных («законтурных» элемента) со0 и сом (рис. 1).

Очевидно, что для конструкции, представленной на рис. 1, имеем: в, = 0; в, = к, ] = 1,2,3,...,N-1; = 0;

(12)

в, = 0; 3 = Й1/2; £ = к, ] = 1,2,3,...,N-1; ^ = кК/2; = 0, (13) где к = 0.5• (к,._1 + к,,), ] = 1,2,3,...,N +1. (14)

В качестве основных неизвестных в узлах принимаются функция перемещений плиты к>(х2) и ее вторая производная по х2, т.е. функция у(х2), т.е. для ]-го узла это к. (х2) и (х2). Векторы глобальных неизвестных имеют вид:

= (Х2) = [ К0 К2 ... К КмГ ; \ = \(Х2) = [ V V ... VN ^Г . (15) Согласно [1] дискретные аналоги операторов (2) определяются формулами:

Л4 = Л4,1 ; Л = Л2,1 + Л2,2 + Д>,3 ; А> = Ад + А,2 , (16)

Л4Д = 541; Л2Д = -Б'И-1БИ"Х; А2,2 = П'И-1Б2ЛИ ; (17)

Л2,3 = -52,3И ХБ'И ХБ; Л~0,1 = -БИ 'БИ501Б*И ХБ ; Л0,2 = 50,2. (18) В формулах (17)-(18) используются следующие обозначения:

где

Б=

-1 1 -1 1

-1

; б =

-1 1 -1

1 -1

И =

к

к,

и =

к

N+2 N+2

где к0 = к; К = = V:; к = к = к; К = = V:.

Запись типа Я , обозначает

5 \

5.. =

х[ /2

52,2 = 2 |б>(х)Б(х)[1 -у(х)]Сх ; = |б>(х)с(х)Сх

х] _ /2

(19)

(20)

(21)

(22)

а элементы соответствующих матриц определяются формулами:

х] /2 х] /2

54,1 = 50,1 = ¡в(х)Б(х)с1хх; 52,1 = 52,3 = |б>(х)Б(х)у(х)с1хх ; (23)

х. —к]_1 /2 х. —к]_1 /2

(24)

с = с(х1) - функция, характеризующая жесткость основания.

Итак, дискретно-континуальная постановка задачиизгиба плиты имеет вид:

¿40 4 К + А2д 2 К + АК = (25)

к

0

0

где ¥ = ¥(х2) - вектор нагрузок, ¥ = ¥(х2) = [ ¥0 ¥ ¥г ... ^^ ¥„+1 ]г .

2. Редукция дискретно-континуальной постановки задачи. В соответствии с формулами (16)-(18) матрица А4 диагональная (при этом первая и последняя строки матрицы А4 нулевые), матрица А2 трехдиагональная (что обусловлено присутствием в указанной формуле трех аппроксимируемых вариационно-разностно дифференциальных операторов второго порядка), матрица А0 пятидиагональная структуру (исходя из того, что аппроксимируемый дифференциальный оператор имеет четвертый порядок). Обозначая только ненулевые элементы, можем записать:

А4 =

0

а (4)

ЛN,N

А =

(2)

(2)

^N,N-1 "'Я ,N+1

(2)

; (26)

Ао =

(0) а 0,0 (0) а0(0,1) а0( 0) ,2

а(0) 1,0 а(0) 1,1 а1( 0) ,2 а1 0) ,3

(0) а 2,0 (0) а 2,0 а2( 0) ,0 а 0) 2, 0 (0) а 2, 0

(0) а N-3 (0) а N-1,N-2 (0) а N-1,N-1 (0) а N-1 ,N (0) а N-1 ,N+1

(0) а N ,N-2 (0) а ЫN ,N-1 (0) а N N (0) а N N+1

(0) а N+1^-1 (0) а (0) а lлN+1,N+1

(27)

Исходя из (26)-(27), уравнения (25) являются дифференциальными, четвертого порядка по переменной х2, за исключением первого и последнего, которые имеют второй порядок. Их разумнее исключить из (25), выполнив процедуру редукции. Выражая из первого уравнения , а из последнего wN+1 с учетом ¥0 = ¥к+1 = 0 получим:

,(2) 1

а' 1

0,1 2 (0)

^0 =--007 д 2 --(07[ а0,1

(0)

0,0

(0)

7

0,0

(0)

-д1WN —

(0)

-[ а

(0)

(0)

(28)

откуда, очевидно, имеем:

(2)

7

0,1

2 а0,1 4 1 (0)

32% =--да34---[ а0Д'

аа

(0)

21 д2 п>2

(2)

32 ^+1 = —

(0)

-д 2 WN —

(0)

[а

(0)

N+1,N -1

(0)

7

N+1,N

2УУ N-1 2

N

д 2 W;

(29)

1,0

(4)

а

1,1

2,1

2, 2

2,3

(4)

а

2,2

0

N+1^

w„, =

0,2

w

2

N

0,2

1

N+1N

После выполнения процедуры редукции (25) перейдем к системе

- А д 2 щ' - АЩ' = ¥,

*4 3 4 щ

где

А =

= (^2) = [ Щ Щ ••• Г ; ¥ = ¥СО = [ ¥1 ¥2 ••• Г

(30)

(31)

"—(4)

-у

(4)

а

; 4 =

—(2) 1,1 а(2) 1,2

—(2) а 2,1 (2) (2)

а(2) "3,2 а(2) 3,3 а(2) 3,4

,(2)

2(2) N,N-1

¡га

'N-1,N —(2)

N,N

(32)

Ао -

—(0) а 1,1 — (0) а 1,2 (0) а 1,3

—(0) а 2,1 — (0) а 2,2 (0) а 2,3 а2 0) ,4

(0) а 3,1 (0) а 3,2 (0) а 3,3 а3 0) ,4 (0) а 3,5

(0)

а

ЛN-2,N-4

(0)

^N-2,N-3 (0)

N -1,N-3

а а а

(0)

N-2,N-2 (0)

N -1,N-2 (0)

N ,N-2

а а а

(0)

N-2,N-1 (0)

N -1,N-1 (0)

N ,N-1

(0)

N-2,N (0)

— (0) а

ЛN ,N

(33)

а{2)

■■■/ (2) 0,1 —(4) (4) (2)

а = а — а —:— а = а — а

и1 1 и1 1 0 (0) ' NN NЛГ

а(0)

А

(4)

а

"41

(4) 7 ■ -*1,1

(2)

а

'N,N+1 (0) а

'N+1,N+1 (2)

(2)

а

(0) "0,1 .

а1,0 (0) ; а

п

(2)

а

(0) 0,1

а(2) = а(2) - (34)

"2,1 "2,1 "2,0 (0) > ^ V

(2)

(0)

а

—(0) (0) (0) 0,1 а = а — а —:— "1,1 "1,1 "1,0 (0) >

(2)

(0) N4 7 -

N -1,N+1 (0)

а

а(2) N+1Д

N+1,N+1 (0)

N N+1 (0) а

(35)

1,1

1,0

а

0,0

(0) (0) аа —(0) (0) (0) 0,2 —(0) (0) (0) 0,1 а = а — а —— а = а — а —■— 1,2 1,2 "1,0 (0) ' 2,1 2,1 2,0 (0) ' аа

1,2

0,0

0,0

а(0)

:- а200 -00-; (36) а

(0)

(0)

а(0) (0) "N+1, 7 -

N -1,N+1 (0)

а

Г(0)

(0)

N+1,N+1 (0)

а

— (0) (0) (0) "N+^N-1

а = а — а -:—

"N,N-1 "N,N-1 "N,N+1 (0)

а(0) (0) "N+1, 7 -

лN-1,N+1 (0) а

N+1,Л

(0)

-"N,N+1 (0) а

(37)

(38)

Статические граничные условия для рассматриваемой плиты будут учтены в векторе узловых нагрузок Для решения задачи должны быть приняты во внимание кинематические граничные ycлoвия. Пусть хь21, к = 1,2, •••, пк - координаты граничных поперечных сечений плиты^ Граничные условия в этих сечениях имеют вид:

в:

Щ (- 0) (и;)'(х' - 0)

-в:

в,

и; (х:д - 0) (и;)'(хЬ,1 - 0)

и (хЬ,+0) (и;)'(х2,к+0) и; (х

= 81+ и!, к = 2 3 •••, ;к -1;

-в+

п '2,пк (й;)'(хЬ

2, к

0) + 0)

= 81 + 8;

(39)

(40)

(4)

а

2,2

(4)

а

3,3

(4)

Л-1,Л-2

NN

1,1

1,1

0,0

N -1,ЛТ

N—1,N

N N

N N

2,2

N-1,N-1

N -Ь^!

N—1,N

N-Ш

Л+1,Л

N N

N N

1/2010 ВЕСТНИК _У20™_МГСУ

где , к = 2,3,...,пк-1; ^, - заданные 4N-мерные вектора правых частей граничных условий; Бк, Е1 - матрицы граничных условий, квадратные 4 N -го порядка;

й'п =й'п (х2) = [(К)Т у)Т ]Т; (Ц')' = дЦ(х2); (41)

где у' = у;(х2) = сСК /Сх\ = [ V! у ■■■ vN ]Т; (42)

Уп = Уп(х2) = СЧ / Сх22 = [ У0 У2 - VN VN+1]T . (43)

Граничные условия на «продольных» плоскостях плиты (вдоль основного направления) задаются на уровне дискретно-континуального оператора задачи.

Итак, континуальные операторы (2), (7) и дискретные матрицы сопоставлены следующим образом:

~ Г 0 Е '

Ь4 ^ Л4; Ь2 ^ А ; Ь ^ Л>; Ь ^ Л = . (44)

_ Л4 А) Л4 ¿2 _

Дискретно-континуальный аналог постановки (6)-(7) имеет вид:

(и; )" = ли;+(45)

0

где R = R (x2) =

(U„r )' = дUr; (U„r )" = 52U„r. (26)

Таким образом, проблема сводится к решению многоточечной краевой задачи (25), (39)-(20) для системы 2N дифференциальных уравнений второго порядка. Разработанный корректный метод точного аналитического решения таких проблем описан в [1].

Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:

1. Грант МД-2621.2009.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований молодых российских ученых-докторов наук «Разработка и развитие корректных дискретно-континуальных методов статического и динамического расчета строительных конструкций, зданий и сооружений на основе построения точных аналитических решений многоточечных краевых задач строительной механики» на 2009-2010 гг.;

2. Грант №09-08-13697 Российского фонда фундаментальных исследований «Разработка, исследование и развитие корректных численно-аналитических методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений регулярной структуры» на 2009-2010 гг.;

3. НИР «Разработка теории и алгоритмов построения корректных аналитических решателей многоточечных краевых задач применительно к расчетам строительных конструкций», выполняемой по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» /проект 6212/.

Литература

1. Золотов А.Б., Акимов П.А. Практические методы расчета строительных конструкций. Численно-аналитические методы. - М.: Издательство АСВ, 2009. - 336 с.

Ключевые слова: дискретно-континуальный вариационно-разностный метод, расчеты строительных конструкций, плиты, краевая задача, редукция

Keywords: discrete-continual variation-difference method, plate analysis, boundary problem, reduction.

Рецензент: Андреев Владимир Игоревич, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН (ГОУ ВПО МГСУ).

E-mail автора: [email protected]