CC BY
144
О программировании нелинейного метода расчета деревянных конструкций
К.П. Пятикрестовский, В.И. Травуш
Нормы проектирования основных несущих конструкций требуют совершенствования в связи с наметившимся их отставанием от современных возможностей учета пластических свойств материалов и перераспределения внутренних усилий в целях экономии материалов и повышения конструктивной безопасности сооружений с учетом возможности прогнозирования их долговечности [1].
Принципиальные основы нормирования расчетов и конструктивных схем не менялись с пятидесятых годов прошлого столетия. В свое время расчет по предельным состояниям стал причиной коренного изменения нормативных документов и приблизил теоретические предпосылки к действительной работе конструкций.
Предельное состояние по прочности получило название «несущая способность», соответствующее моменту разрушения. Аналогично и длительная прочность предполагает лишь крайнее значение внутренних усилий в зависимости от времени.
Практика строительства и эксплуатации сооружений требует оценок состояния системы в любой момент службы. Имеются многочисленные предложения по расчету зданий с учетом последовательности монтажа. Часто встречающиеся случаи резкого изменения нагрузки и кратковременного их воздей-
Рис.1. Диаграмма деформирования древесины:
а - при сжатии-растяжении;
б - при кратковременном изгибе;
в - при длительном действии постоянной нагрузки
ствия при дальнейшей эксплуатации сооружения в прежнем режиме также требуют учета в едином процессе расчета.
Этим требованиям отвечает методика расчета силового сопротивления, разработанная в ЦНИИСК им. В.А.Кучеренко на основе теоретических разработок В.М.Бондаренко [1] и Г.А. Гениева [3-5]. Силовое сопротивление полнее отражает состояние конструкции в любой момент эксплуатации. Дадим краткое описание методики расчета.
Уравнения механического состояния древесины
Для древесины при достаточно высоких уровнях напряжений характерна сложная нелинейная ползучесть. В связи с этим к ней применим метод А.Р. Ржаницына, позволяющий учитывать сложность процесса деформирования древесины во времени с помощью разбиения этого процесса на три стадии и замены сложной нелинейной связи между напряжениями и деформациями кусочно-линейными зависимостями, удовлетворяющими условию неразрывности деформаций, напряжений и скоростей деформирования при переходе от одной его стадии к другой [6,7].
На рисунке 1в изображены кривые ползучести при разных уровнях напряжений.
Уравнения для описания кусочно-линейной ползучести приведены в работе [7]. Процесс деформирования на разных стадиях описывается следующими уравнениями.
Первая стадия - стадия линейной ползучести описывается основным упрощенным законом линейной ползучести (сохранены обозначения автора):
пЕ^е + Не = о + па. (1)
Вторая стадия - стадия установившейся ползучести:
пЕаЁ = а + па-(гДл. (2)
Третья стадия - стадия с возрастающей скоростью деформирования:
пЕ0ё - Ве = а + па - <гш.
(3)
Переход из одной стадии в другую определяется величиной максимальной относительной деформации, критической для каждой стадии.
Критическая деформация для первой стадии:
Е = Е, =-= СОЮХ.
1 Н
(4)
Критическая деформация для второй стадии:
'дп
В
= const.
(5)
£(i) = £(i„)(l + öi0'21),
где b =
10-
0,735-0,02086fr
(6) (7)
Ш - влажность древесины, %.
В качестве основной рабочей зависимости в [13] принята предложенная Ю.М. Ивановым зависимость (6) (можно принять и другие зависимости), которая может заменить решение уравнения (1).
Таким образом, при длительном деформировании древесины в условиях, когда и < стдл, и при ступенчатом изменении напряжений уравнение ползучести можно записать в виде:
£(0 = £(f0)(i + ü(f-i0)0'21) + £-
Дсг,
(l + b(i-i,.)' ), (8)
где
4 сгп До-,
Предельные деформации для первой и второй стадий (fj и S2), согласно многим экспериментальным и теоретическим данным, не зависят от величины и режима приложения нагрузок и являются постоянными величинами для того или иного вида напряженного состояния древесины, что соответствует основным положениям деформационной теории разрушения.
В (1-5) приняты обозначения:
Е0 - мгновенный начальный модуль деформаций; Eo = 1,48.104МПа;
Н - константа, имеющая физический смысл длительного модуля деформаций (для древесины Н=(0,6.. ,0,75)Е0=104МПа [8]);
В - константа, имеющая смысл модуля деформации при критическом нарастании деформаций;
ст, е - напряжения и относительные деформации (текущие);
n - время релаксации;
CTrjrT - длительный предел прочности; ст =22,0 МПа;
ДЛ ДЛ
стш - кратковременный предел прочности; стяя=55,0 МПа.
Каждая из стадий характеризуется специфическими условиями деформирования. Деформации в каждой стадии могут описываться разными уравнениями.
Стадия линейной ползучести
В результате многочисленных исследований получены достаточно точные уравнения, описывающие процесс деформирования. А.Р. Ржаницыным, Е.Н. Квасниковым, И.Е. Про-коповичем и В.А. Зедгенидзе, Ю.М. Ивановым [6-9,11,12] и другими авторами на базе экспериментальных исследований и рабочих гипотез построены некоторые зависимости, различные по форме записи, но достаточно близко совпадающие численно.
В работах Ю.М. Иванова [10-12] исследуется поведение древесины во всех трех стадиях. В области линейной ползучести при а = const он предложил зависимость:
Е0 - ° «2 +A<i) 4 <т„„
(9)
- суммарное значение мгновенных (кратковременных) приращений относительных деформаций.
Деформирование при постоянной скорости нарастания деформации ползучести
Если ст<сГдЛ , то деформации не превысят величины
е, при сколь угодно большой продолжительности дей-
н
ствия нагрузки и вторая стадия деформирования не наступит вообще. Если а> <гдл, то в определенный момент времени t1 деформации превзойдут величину е1 и начнется вторая стадия деформирования. При этом время ее наступления определяется по формуле [7]:
U =
Е0пы а(Е0-Н)
Н (£7_сгдл )'Е0
(10)
Если <т>-^<тдл, то деформирование сразу начнется со второй стадии.
При ступенчатом изменении нагрузки, обеспечивающем правомерность применения принципа наложения, решение уравнения (2) примет вид:
' ДЛ
Дет,
Н nE0 to пЕ0
(11)
где (*>*!> .
Для древесины при длительном действии напряжений сТдЛ<сг<сгШ7 характерно проявление пластических деформаций, а невязка при этом деформировании служит как бы погрешностью расчета и в каждом конкретном случае требует отдельной оценки (особенно при переходе от стадии к стадии).
Стадия критического нарастания деформаций.
Стадия разрушения
Переход в третью стадию произойдет в момент времени t2 , определяемый как время до разрушения (очень близкое к времени разрушения). Отличие t2 от времени разрушения незначительно, так как интенсивный процесс нарастания деформаций в данной стадии происходит сравнительно быстро.
Формулы для определения t2 при ст = const и выражение кривой ползучести аналогичны предыдущим и здесь не приводятся.
Длительная прочность древесины <гдл зависит от ее влажности. Е.Н. Квасниковым, Ю.М. Ивановым и Н.Л. Леонтьевым получены близкие по результатам зависимости длительной прочности с учетом влажности от длительности действия нагрузки и от вида напряженного состояния [8]:
= a ~b\gt.
(12)
У нас эта величина принимается равной 22МПа, t берется в сутках, коэффициенты а и Ь определяются экспериментально.
Длительный модуль деформаций
Непосредственное использование нелинейного уравнения механического состояния материала при решении задач строительной механики, как правило, неосуществимо ввиду его громоздкости.
С.Е. Фрайфельд, исследуя одноосное напряженное состояние, предложил для линейной постановки задачи ввести временной (длительный) модуль деформаций. -1
Едл(*о>*)~
V <К0 ]
(13)
где ст(?) - напряжения, действующие в момент наблюдения t ;
£■(¿0,^) - относительные деформации к моменту наблюдения t, устанавливаемые с учетом влияния возраста материала, его свойств старения, режима и длительности нагружения.
В зависимости от уровня напряжений относительные деформации Б (УоэО описываются формулами (8), (11).
Для выражения (8), соответствующего линейной ползучести, имеем:
Едл ('о > 0 —
4о)М-о021),
.(14)
При ступенчатом изменении напряжений длительный модуль деформаций имеет вид:
Яда ('<>.') =
4 ст„„
! + *(<-». Г
1+Е
1
Дет,
1---
4ст„
едл{чА =
¡=1
Ясг(г) пЕаа{{)
(16)
Интегральный модуль деформаций
Математические трудности расчета с применением формул (8), (11) во многом устраняются при решении задач методом интегральных оценок, в основу которого положено использование интегрального модуля деформаций. Для определения его значений рассматриваем сжато-изгибаемый деревянный элемент, который имеет неоднородное напряженно-деформированное состояние. Нормальные напряжения меняются по высоте сечения. В случае сечения, сжатого по всей высоте элемента, напряжения меняются от определенного <Ут\п до максимального с^^ одинакового знака.
При наличии растянутой зоны напряжения меняются от отрицательного значения растягивающих напряжений <Гт{п до положительного значения сжимающих напряжений с^, переходя через нулевое значение напряжений (рис. 2). При этом нелинейность деформирования материалов предопределяет различие модулей деформаций в точках с разными напряжениями и приводит задачу к упомянутым математическим трудностям.
Представляя реальную деформативность элементов и вместе с тем не оперируя различными модулями деформаций в каждом дискретном слое, уравнение механического состояния материалов е по аналогии с (13), независимо от характера нелинейности и термодинамического содержания, записывается в виде:
(17)
где Еин{х,{) - искомый интегральный модуль деформаций для сечения с абсциссой х.
Записываем отклонение значений реальных деформаций £ и деформаций 8ин, определенных с помощью Еш(х^):
Д = е[а(г, еин [а{г, 0.
(18)
Суть интегральной оценки состоит в минимизации отклонения для сечения в целом.
Принимая нелинейную зависимость <г от Е в виде
а = Е„е - -
4 <тп
-Е с учетом непрерывности зависимости
, (15) <г(г) соотношения на рисунке 2, получим:
где е? - активная деформация.
На каждом этапе приближений нагрузка считается постоянной.
Во второй стадии деформирования длительный модуль деформаций имеет вид:
-и
ч
| Е0е"(х,2,{)-
4о" л
\е"(х, <) Е„£а (х, г,<) — 0 е"1 (х,<)
* 4СТт7-
(19)
<Ь
Преобразуя выражение (19) при р = в, # = а и пренебрегая малыми высокого порядка, получим выражение для Еин(х^) через относительные высоты сжатой зоны и соотношения фибровых деформаций с использованием длительного модуля деформации фибрового волокна сжатой кромки элемента
-100-^
(20)
где £ф - фибровая активная деформация. Выражение (20) можно представить еще в следующем виде:
Еин (*> 0=Ф(4 > ^¡Ефдл {£Ф. и Ч),
(21)
где ф|
{4,в,а)=-'
4(ХЛ
1+
1-
(22)
ф{еф,в,а) - функция, отражающая нелинейность деформирования изгибаемого элемента, уровень напряжений;
Едл{£ф>*^о) - длительный модуль деформации фибрового волокна сжатой кромки элемента.
Таким образом, для всех трех стадий деформирования выражение Ет{х,{) можно записать единообразно в зависимости от их уравнений механического состояния. Приведем данное выражение для наиболее характерной второй стадии деформирования:
Ет(х,1) = Ф{е£,в,а)
'ДЛ
'ДЛ
tf<7(í)
(í-íi)+£
А °7 (/-/,■)
. (23)
лЯ0ст(г) ,=1 <т(г)п£0
При расчете Еин(х,{) во всех случаях была принята гипотеза плоских сечений. Значения краевых напряжений на рисунке 2 приведены по определенным на предыдущей стадии усилиям (для первой стадии - по линейно-упругому расчету).
Изложенные принципы определения силового сопротивления в произвольный момент времени и при любых нагрузках относятся к линейным конструкциям - элементам каркаса сооружения.
Приведенные зависимости легко программируются. Алгоритм расчета представлен на рисунке 3.
Обшивки пространственных систем объединяют элементы каркаса, ребра которого могут испытывать различные по величине усилия и деформации. Поэтому обшивки находятся в сложном напряженном состоянии, а именно испытывают сжатие (растяжение) и сдвиг. Для их расчета используются
предложения Г.А.Гениева [3,4] относительно анизотропных конструкционных материалов. Соответствующие зависимости будут рассмотрены в следующей публикации.
Литература
1. Карпенко Н.И., Карпенко С.Н., Ярмаковский В.Н., Ерофеев В.Т. О современных методах обеспечения долговечности железобетонных конструкций// Academia. Архитектура и строительство. 2015. №1. С.93-102.
2. Бондаренко В.М., Бондаренко С.В. Инженерные методы нелинейной теории железобетона. М.: Стройиздат, 1982.
3. Гениев Г.А. О критерии прочности древесины при плоском напряженном состоянии // Строительная механика и расчет сооружений. 1981. №3. С 15-20.
Рис. 2. Диаграммы деформированного и напряженного состояния стержня при сжатии с изгибом. Основные соотношения для определения относительных деформаций по высоте сечения стержня:
а) при наличии растянутой зоны; б) при отсутствии растянутой зоны Рис.3. Алгоритм нелинейн°г° расчета
4. Гениев Г.А., Курбатов А.С., Самедов Ф.А. Вопросы прочности и пластичности анизотропных материалов. М.: Интербук, 1993.
5. Гениев Г.А., Пятикрестовский К.П. Вопросы длительной и динамической прочности анизотропных конструкционных материалов. ГУП ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко. М., 2000.
6. Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени. М.: Гостехиздат, 1949.
7. Ржаницын А.Р. Теоретические предпосылки к построению методов расчета деревянных конструкций во времени// Исследования прочности и деформативности древесины. М.: Госстройиздат, 1956. С. 21-31.
8. Квасников Е.Н. Вопросы длительного сопротивления древесины и конструктивных элементов из дерева и слоистых пластиков: автореф. дис. доктора техн. наук. Л., 1973.
9. Прокопович И.Е., Зедгенидзе В.А. Прикладная теория ползучести. М.: Стройиздат, 1980.
10. Иванов Ю.М. О предельных состояниях деревянных элементов, соединений и конструкций. М.: Стройиздат, 1947.
11. Иванов Ю.М. Последействие в древесине конструкционных элементов// Известия вузов. Строительство и архитектура. 1977. № 1. С.24-32.
12. Иванов Ю.М. Области упругого и неупругого деформирования древесины и фанеры// Известия вузов. Строительство и архитектура. 1979. № 12, С.17-22.
13. ПятикрестовскийК.П.,ХунаговХ.С. Использование метода интегральных оценок для нелинейного расчета статически неопределимых деревянных конструкций// Труды международной научно-технической конференции «Вычислительная механика деформируемого твердого тела»: в 2 т. Т.2. М.: МИИТ, 2006. С.341-344.
14. Пятикрестовский К.П. Нелинейные методы механики в проектировании современных деревянных конструкций. М.,2014.
Literatura
1. Karpenko N.I., Karpenko S.N., Yarmakovskiy V.N., Erofeev V.T. O sovremennykh metodakh obespecheniya dolgovechnosti zhelezobetonnykh konstruktsiy// Academia. Arkhitektura i stroitelstvo. 2015. №1. S. 93-102.
2. Bondarenko V.M., Bondarenko S.V. Inzhenernye metody nelineynoy teorii zhelezobetona. M.: Stroyizdat, 1982.
3. Geniev G.A. O kriterii prochnosti drevesiny pri ploskom napryazhennom sostoyanii// Stroitelnaya mekhanika i raschet sooruzheniy. 1981. №3. S.15 - 20.
4. GenievG.A., KurbatovA.S., SamedovF.A. Voprosy prochnosti i pLastichnosti anizotropnykh materialov. M.: Interbuk, 1993.
5. Geniev G.A., Pyatikrestovsky K.P. Voprosy dlitelnoy i dinamicheskoy prochnosti anizotropnykh konstrukzionnych materialov. GUP TSNIISK im.V.A.Kucherenko. M., 2000.
6. Rzhanitsyn A.P. Nekotorye voprosy mekhaniki system, deformiruyushchikhsya vo vremeni. M.: Gostekhizdat, 1949.
7. Rzhanitsyn A.P. Teoreticheskie predposylki k postroeniyu metodov rascheta derevyannykh konstruktsiy vo vremeni// Issledovaniya prochnosti i deformativnosti drevesiny. M.: Gosstroyizdat, 1956. S.21-31.
8. KvasnikovE.N. Voprosy dlitelnogo soprotivleniya drevesiny i konstruktivnykh elementov iz dereva i sloistykh plastikov: avtoref. dis. d-ra tekhn. nauk. L., 1973.
9. Prokopovich I.E., Zedgenidze V.A. Prikladnaya teoriya polzuchesti. M.: Stroyizdat, 1980.
10. Ivanov Yu.M. 0 predelnykh sostoyaniyakh derevyannykh elementov, soedineniy i konsruktsiy. M.: Stroyizdat, 1947.
11. Ivanov Yu.M. Posledejstviye v drevesine konstrukzionnykh elementov// Izvestiya vuzov. Stroitelstvo i arkhitektura. 1977. №1. S.24 - 32.
12. Ivanov Yu.M. Oblasti uprugogo i neuprugogo deformirovaniya drevesiny i fanery// Izvestiya vuzov. Stroitelstvo
1 arkhitektura. 1979. №12. S.17-22.
13. Pyatikrestovsky K.P., Khunagov Kh.S. Ispolzovaniye metoda integralnykh otsenok dlya nelineynogo rascheta staticheski neopredelimykh derevyannykh konstruktsiy// Trudy mezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii «Vychislitelnaya mekhanika deformiruemogo tverdogo tela»: v
2 t.. T.2. M.: MIIT, 2006. S. 341-344.
14. Pyatikrestovsky K.P. Nelineynye metody mekhaniki v proektirovanii sovremennykh derevyannykh konstruktsiy. M.,2014.
Nonlinear Method Programming for Calculations of
Statically Indeterminate Wooden Structures and Software
Systems' Communication to Development of Improved
Design Standards. By K.P. Pyatikrestovsky, V.I. Travush
The authors prove the necessity for working out radical decisions for the design standards revision taking into account technological advances, in particular the development of nonlinear methods of structures, including complex stress conditions, new proposals for calculating the reliability, survivability, structural safety of buildings, etc. The article proposes a nonlinear analysis for prolonged force resistance of wooden structures based on the method of integrated module of deformations developed for reinforced concrete structures and adapted for spatial wooden structure frames. The methodology has been tested through experimental studies of models and full-scale designs. The calculation is carried out by any software iteratively. The programming of calculations is supposed to be used as a supplement to existing software.
Ключевые слова: древесина, каркас пространственных конструкций, перераспределение усилий, интегральный модуль деформаций, программирование.
Key words: wood, spatial structure frame, redistribution of forces, integrated module of deformations, programming.
