О применении алгоритмов на основе метода наименьших квадратов и конечных формул в задачах обработки траекторных измерений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.7.016

Ю. К. Кисин

О применении алгоритмов на основе метода наименьших квадратов и конечных формул в задачах обработки траекторных измерений

Получена оценка среднеквадратических отклонений в задаче обработки траекторных измерений, когда оцениваемые параметры траектории определяются по конечным формулам по минимальному набору измеряемых параметров, при этом в явном виде нет функциональной связи данных параметров с вектором измерений. Для оценки среднеквадратических отклонений определения траектории по конечным формулам предложено осуществлять стохастическое моделирование. Получены конечные формулы для траекторных задач при угловых измерениях. Приведены результаты математического моделирования. Ключевые слова: метод наименьших квадратов, конечные формулы, измеряемые и оцениваемые параметры, определение координат летательного аппарата, математическое моделирование.

о

CV

Постановка задачи и общая схема ее решения

При использовании метода наименьших квадратов (МНК) в задачах навигации для определения параметров траектории летательных аппаратов и других подвижных объектов по результатам измерений итерационно решается соответствующая система нормальных уравнений.

Оценка среднеквадратических отклонений параметров траектории подвижных объектов проводится автоматически при обращении матрицы системы нормальных уравнений.

Определение опытной траектории МНК по измерениям осуществляется в соответствии с данными [1-5] по формуле:

W - обратная матрица к ковариационной матрице ошибок измерений.

Точность опытной траектории определяется ковариационной матрицей:

К = (Ъ\к) к ))-1, (2)

где к соответствует номеру последней итерации в формуле (1).

Пусть случайный вектор X размерности п функционально связан со случайным вектором У размерности т\

X = Е(У). (3)

В соответствии с данными работы [1]:

K X

9F

ЭУ

K У

ЭУ

(4)

X,

(k+1)

= X( k) + AX

(k+1)'

<

M ra

О

CO ra z a

<u

о

о в) m

cv

Tt Ю

о

I

cv

Tt Ю

cv

tn w

AX(k+1) = (Zfk)WZ(k))-1 Zfk)W[Y-Ypac(X(k))], (1)

где XX(к+1), X(к) - оценки параметров опытной траектории подвижного объекта на (к+ 1)-й и к-й итерациях;

ЛХ(к+1) - поправка к параметрам опытной траектории подвижного объекта на (к + 1)-й итерации;

Z(к) - матрица частных производных от измеряемых параметров по оцениваемым с к-й итерации;

У - вектор измерений;

Урас(Х(к)) - расчетный вектор измеряемых параметров, вычисленный по оценке на к -й итерации;

- ©КисинЮ.К.,2016

где KX, KY - соответствующие ковариационные матрицы; dF

ду - матрица частных производных от

оцениваемых параметров по измеряемым параметрам.

Формула (4) является точной в случае линейной зависимости.

В задачах при определении параметров траектории вектора X размерности n по результатам измерений вектора Y(X) размерности m, как отмечено выше, универсальным подходом является применение МНК в соответствии с книгами [1-5].

В траекторной задаче [1], в которой измеряются дальность, азимут и угол места:

х = d cos у cos a, y = d sin y, z = d cos y sin a,

где x,y,z - координаты ЛА;

ё, а, у - дальность, азимут и угол места соответственно, оценка точности определяемых параметров может быть выполнена по формуле (4).

В работах [1-3] приведены примеры, когда оцениваемые параметры определяются по конечным формулам по минимальному набору измеряемых параметров, при этом в явном виде нет функциональной связи вектора X с вектором измерений У по формуле вида (3) и в данном случае оценка точности опытной траектории по формуле вида (4) невозможна. В качестве примера таких задач навигации можно привести определение координат объекта по конечным формулам по трем дальностям от трех маяков [1-3], по трем разностям дальностей от четырех маяков [2, 3], по направляющим косинусам измеренных с двух фазовых пеленгаторов [1].

Пусть вектор XX =

i л л

Xl

уХ„у

У„

f Л Л

У1рас

уУтрас )

ной траектории X.

Смоделировать серии измерений

Y =

Ут

; Уц У im рас + ^ij'

(5)

\у у

где т - размерность вектора измерений;

I = 1,..., М5ег, М5ег - количество моделируемых серий измерений;

Еу - помеха в /-испытании поу'-коорди-

нате.

Моделирование измерений осуществляется путем добавления к расчетным значениям измеряемых параметров случайных помех датчиком псевдослучайных чисел с нормальным законом распределения.

Для каждой серии измерений у определить по алгоритму конечных формул (оператор А) соответствующую опытную траекторию Х1:

А: у ^ X •

По сериям смоделированных опытных траекторий осуществить статистическую обработку для оценки средних квадратичных отклонений (СКО) координат траектории:

N,,

i=1

l(Xj-x j) (N„ -1

(6)

- оценка опытной

траектории алгоритмом по конечным формулам по измерениям вектора У размерности т (например, п = 3 ит = 3), если определяются три координаты траектории по трем разностям дальностей от четырех маяков в соответствии с работами [2,3].

Для оценки точности (среднеквадратиче-ских отклонений) определения опытной траектории предлагается осуществлять стохастическое моделирование следующим образом.

Вычислить расчетный вектор измерений

где о у - оценка СКО у-й координаты траектории^'=1, ...,п).

Алгоритм определения координат по минимальному набору измерений может быть осуществлен и на основе минимизации методом случайного поиска суммы квадратов отклонений измеренных значений от пробных расчетных значений.

На рис. 1 представлены способы оценки точности навигации по минимальному набору измерений, в том числе и по конечным формулам.

Алгоритм конечных формул

соответствующий оценке опыт

Кх — стохастическое моделирование

_МНК_^

Кх - из системы нормальных уравнений

МНК с минимизацией случайным поиском

Кх - стохастическое моделирование

Рис. 1. Способы расчета точности определения траектории по минимальному набору измерений

Определение кинематических параметров траектории по угловым измерениям с двух измерительных средств

Рассмотрим задачу определения координат § объекта по азимутам и углам места, измерен- | ным с двух измерительных средств (ИС) аь уь | а2, у2 ^ х,у, z. Данная задача эквивалентна за- ^

о cv

<

м ra S

O

03 Я z a

<u

o

o

(U OQ

cv

Tt Ю

o

I

cv

Tt Ю

cv

СЛ СЯ

даче определения координат объекта для двух фазовых пеленгаторов, измеряющих направляющие косинусы, в соответствии с работой [1].

Связь измеряемых параметров направляющих косинусов cos 0x, cos 0z с азимутом и углом места показана на рис. 2, определяем ее по формуле:

cos 0 x cos 0,

: sin у cos a, sin y sin a.

(7)

ОИС-2

ОИС-1

Рис. 2. Переход от азимута и угла места к измерениям в виде направляющих косинусов

Пусть имеются измерения двух пар направляющих косинусов cos0 , cos0z и

cos0 , cos0 .

x2 z2

Книга [1] содержит формулы определения координат объекта для двух фазовых пеленгаторов, измеряющих направляющие косинусы. Координаты ЛА в местной системе координат (МСК) первого ПС могут быть определены по формуле:

x1 = D1 cos 0x, y1 = D1 cos 0y, z1 = D1 cos 0 .(8)

Таким образом необходимо определить расстояние между ЛА и точкой стояния 1-го ПС Д.

Способ решения задачи поясняет рис. 3 [1], на котором показаны углы 8, ф, Т, используемые в дальнейших расчетах.

Величина Dl определяется следующим образом:

D

b sin ф

sin у

где b - расстояние между двумя ПС;

(9)

Yi, Uk

O,

bi

Рис. 3. Определение координат объекта на паре ИС

Ь0 - единичный вектор (показан на рис. 3 и вычисляется в соответствии с работой [1]):

cos8 = D0ФТЬ0, cosф = -02Ф2ТЬ0, (10)

где Фь Ф2 - матрицы направляющих косинусов связи МСК измерительных средств с гринвичской системой координат (ГСК);

D0 =(cos 0 xi ,cos 0 й ,cos 0 ^),

D2 =(cos0r ,cos0y ,cos0z );

2 V x2 ' y 2 ' z2 /'

sin8 = Vi-cos28, sinф = -^1-cos2ф, sin у = sin 8 cos ф + cos 8 sin ф. (11)

На рис. 4 приведены СКО определения координаты х опытной траектории, полученной при обработке измерений МНК и по конечным формулам.

Данные рис. 4 показывают хорошее согласование двух способов оценки точности (СКО) на основе МНК и стохастического моделирования в задаче определения траектории по направляющим косинусам, измеренным с двух фазовых пеленгаторов.

Представляют математический интерес задачи определения параметров траектории по азимуту и углу места, измеренных с одного ПС и одного угла (азимута или угла места) со второго средства.

Как отмечено ранее, решение задачи cos0x ,cos0z ,cos0x ,cos0z ^ x,y,z дано в

Xi' Zi x^ Z2 v ✓ v

книге [1].

СКО 0,32 0,31 0,30 0,29 0,28 0,27 0,26 0,25

\

\

\ \ \ y . " N / / / \ \- \

\ \ \ 4 \ ✓ У У \ 4 \ / s___ -V

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Номер измерения

Рис. 4. СКО определения координаты х: -- СКО X (МНК);----СКО X (конечные формулы)

Формулы связи направляющих косинусов с азимутом и углом места аь Yi, и2, у2 ^ cos 0x ,cos 0 z ,cos 0 x ,cos 0z задаются соотно-

Xj ' Zj x2 Zj

шением (7). Таким образом, задача определения координат объекта по азимутам и углам места, измеренным с двух ИС аь yl5 а2, Уг^ x,y, z решена.

Представляют интерес решения двух задач: аь Yi, a2^x,y,zna1,Y1,Y2^ x,y, z.

Рассмотрим решения этих задач с помощью трех методов:

- по конечным формулам;

- методом наименьших квадратов;

- алгоритмом случайного поиска минимизации суммы квадратов.

Конечные формулы решения задачи аь Yi, а2^ x,y, z получим путем нахождения координат точки пересечения луча /ь определяемого углами аь Yi и плоскостью П , определяемой азимутом а2 и вертикальной осью 02У2 на основе [6-9]. Способ решения указанных двух задач поясняет рис. 5 и 6 соответственно.

Рис. 6. Способ решения задачи аь у1; а2

Плоскость Па2 может быть определена по трем точкам в МСК второго ИС:

M = (Xi,yi,zi), M2 = (x2,y2,z2),

M3 = (X3, У3, Z3),

гдех! =y1=z1 = 0;

x2 = cosa2, y2 = 0, z2 = sina2;

X3 = Z3 = 0, У3 = 1;

Плоскость Па задается уравнением:

Рис. 5. Способ решения задачи ab у1; а2

x - xj y - yx z - Zj

X2 - X1 У2 - yj Z2 - ZJ X3 - Xj У3 - yj Z3 - Zj

0. (12)

ш 5

<D

о сч

<1

м га 5

О

03 Я х а ф

о

о <и со

сч

ю о

I

сч

ю сч

сл ся

В соответствующем общем уравнении плоскости Лх + Ву + Сг + И = 0 для плоскости

Па2:

Л = хъВ = О, С = £> = 0.

25

Г1 = + Г0'

(13)

где а1

\

сОЗ0х ^ х1 Г 0Л

соз 0 У У1 Г0 = 0

соз 0 г1

В МСК второго ИС уравнение прямой, имеет вид:

г2 = а2( + г02 • (14)

гдеа2 = ф2 фА =

г \

а

У2

а,

\ 22 J

;г02 =ф ( -ь2 ) =

02 У02

V 202 )

к

{( + ВУ02 + С 2 02 + Д) Аах + ВаУ + Са

х2 У2 г2

(15)

Г2 (^1) = Я2(1 + Г02-

(16)

20.

п

""У 2

Конус К0 задается уравнением:

(Х22 + ^

)ctg 202

:У2-

(17)

Условие пересечения прямой линии (14) с конусом (17) определяется уравнением:

((ах2 ( + Х02 )2 + (а22 ( + 202 )2 ) Ctg202 =

(18)

(ау2 ( + У02 ) .

В МСК первого ИС луч Д лежит на прямой, задаваемой уравнением в параметрической форме:

Далее параметр I определяется из квадратного уравнения:

А12 + Ы + С = 0, (19)

где А = (аХ2 + а2) ^202 - а£;

В = 2((ах2 х02 + а22 202 ) Ctg202 - ау2 У02 ) ;

С = (Х022 + 2(}2 )ctg202 - У02 ■

Координаты объекта определяются по формуле:

Г2 ((1,2 ) = а2*1,2 + Г02' (20)

п - В ±у1 В2 - 4 АС

Здесь (12 =-—- - корни уравне-

ния(19).

2А

где Ьь Ь2 - векторы свободных членов для перехода из МСК измерительных средств в ГСК в соответствии с работой [1].

Пересечение луча /х с плоскостью Па2 соответствует параметру:

Координаты объекта определяются по формуле:

Конечные формулы решения задачи аь Ух, Уг ^х,у,г будут получены путем нахождения координат точки пересечения луча /ь определяемого углами аь Уъ и круговым конусом К0 вокруг оси 02У2 с углом раствора

По данным расчетной траектории ложное второе решение исключаем.

Таким образом, получены конечные формулы определения параметров траектории по азимуту и косинусу, измеренных с одного ИС и одного угла (азимута или угла места) со второго средства. Отметим, что эти формулы, по-видимому, приводятся впервые.

Определение параметров траектории по азимутам и углам места, измеренным с двух ИС, может осуществляться методом наименьших квадратов решением задачи минимизации:

Ф(х , У , г) = («1 - а 1рас( х , У , +

(у 1 - У 1рас(Х' У' 2)) + (а2 -а 2рас(Х' У, ^ + V1) (у2 -У 2рас(х' У' 2))2 ^ т1П'

+

+ 1

где а;рас, у 1 рас - расчетные значения измеряемых углов ИС;

/ = 1,2 — номера ИС; х,у,г- координаты объекта. Определение параметров траектории по азимуту и углу места, измеренных с одного ИС, и одного угла (азимута или угла места) со второго средства осуществляется решением за-

2

дачи минимизации (21), в которой отсутствует третье или четвертое слагаемое соответственно. Решение задачи (21) осуществляется двумя способами. При первом способе определение параметров траектории осуществляется итерационно, на каждом шаге решается система нормальных уравнений [1-6]. Второй способ решения задачи (21) заключается в применении метода случайного поиска для минимизации Ф(х,у, г)[10, 11].

В таблице приведены результаты моделирования. Результаты расчетов даны в виде отклонений Ах, Ду и Дг координат опытной траектории от их истинных значений для двух моментов измерений, соответствующих высоте объекта 50 и 2 км (номера измерений в таблице). Погрешность измерений принята с СКО <за = оу= 10 угл. с. Обработка осуществлена по алгоритмам конечных формул (КФ); минимизацией в МНК суммы квадратов отклонений измеренных значений от их расчетных величин случайным поиском (СП); МНК.

Результаты моделирования

Измеряе- Ме- Номер Отклонения км

мые тод изме-

параметры рения Ar Ay Az

(оь уь аз, у2) КФ 1 -0,013 0,008 -0,013

2 -0,003 0,010 -0,006

(аь у!, 02) КФ 1 -0,015 0,009 -0,017

2 -0,004 0,011 -0,007

(ai, Yi, h) КФ 1 0,325 -0,133 0,618

2 -0,002 -0,002 -0,002

(аь yj, а2) СП 1 -0,015 0,009 -0,017

2 -0,004 0,012 -0,007

(ai, уь у2) СП 1 -0,008 0,007 -0,018

2 -0,014 0,057 -0,032

(аь yj, 02, у2) МНК 1 -0,008 0,007 -0,018

2 -0,003 0,010 -0,007

(аь yj, 02) МНК 1 -0,015 0,009 -0,017

2 -0,004 0,011 -0,007

(ai, уь у2) МНК 1 0,325 -0,133 0,618

2 -0,002 -0,002 -0,002

Данные таблицы отражают приемлемое совпадение оценок в задачах, решаемых различными методами.

Выводы

1. Приведен способ оценки среднеквадрати-ческих отклонений при определении координат объекта по конечным формулам, по минимальному набору измеряемых параметров.

2. Получены конечные формулы для определения параметров траектории по азимуту и углу места, измеренных с одного ПС и одного угла (азимута или угла места) со второго средства.

3. Математическим моделированием подтверждена работоспособность предлагаемых алгоритмов.

Список литературы

Х.ЖданюкБ. Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М.: Советское радио, 1978. 384 с.

2. Сетевые спутниковые радионавигационные системы / В. С. Шебшаевич и др. М.: Радио и связь, 1993. 408 с.

3. Барабанов О. О., Барабанова Л. П. Математические задачи дальномерной навигации. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 272 с.

4. Мудрое В. И., Кушко В. Л. Методы обработки измерений. Квазиправдоподобные оценки. Изд. 2-е. М.: Радио и связь, 1983. 304 с.

5. Тихонов А. Н., Уфимцев М. В. Статистическая обработка результатов экспериментов. М.: Изд-во Московского университета, 1988. 174 с.

6. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Астрель: ACT, 2006. 991 с.

7. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 240 с.

8. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1979. 512 с.

9. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: учебное пособие. М.: Наука, 1990. 672 с.

10. Растригин Л. А. Случайный поиск. М.: Знание, 1979. 64 с.

11. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

Поступила 23.11.16

Кисин Юрий Константинович - кандидат технических наук, старший научный сотрудник отдела войсковой части 09703, академический советник РАРАН, г. Северодвинск.

Область научных интересов: определение параметров движения летательных аппаратов по результатам измерений.

га 5 в)

On application ofalgorithms on the basis ofleast-square and end formula methods in the trajectory measurement processing problems

In this research we obtained an estimate of mean-square deviations in the trajectory measurement processing problem when the estimated trajectory parameters were determined by the end formulas according to the minimum set of parameters measured, and in this case there was no explicit functional relationship between these parameters and the measurement vector. To estimate the mean-square deviations of determining the trajectory according to the end formulas, we proposed to implement the stochastic simulation. We obtained end formulas for the trajectory problems when making angular measurements. The work provides the results of mathematical simulation.

Keywords: least-square method, end formulas, measured and estimated parameters, determining the aircraft coordinates, mathematical simulation.

Kisin Yuriy Konstantinovich - Candidate of Engineering Sciences, Senior Research Scientist of the military unit 09703,

academic adviser ofRussian Academy ofRocket and Artillery Sciences, Severodvinsk.

Science research interests: determination of aircraft motion parameters according to measurements results.