О поведении решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

1 2 3 ©

Кожевникова Л.М. , Каримов Р.Х. , Хаджи А.А.

Профессор, кафедра математического анализа; доцент, кафедра математического анализа, 1,2Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета;

3старший преподаватель, кафедра алгебры и математической логики,

Тюменский государственный университет

О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕСТЕПЕННЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Аннотация

Для некоторого класса анизотропных квазилинейных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями установлена экспоненциальная оценка, характеризующая поведение решения задачи Дирихле на бесконечности в неограниченных областях. На основе этой оценки доказано, что для областей, расширяющихся на бесконечности не слишком быстро, решение с нулевыми исходными данными будет тривиальным.

Ключевые слова: анизотропное эллиптическое уравнение, нестепенные нелинейности, неограниченная область, пространство Соболева-Орлича.

Keywords: anisotropic elliptic equation, nonpower nonlinearity, unbounded domains, Sobolev-Orlich space.

Пусть П - произвольная неограниченная область пространства Rn = {х = (х1,х2, ...,хп)}, П с Rn, п > 2. Для анизотропных квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка рассматривается задача Дирихле

n

Z(aa{x,u,4u)') — а0(х, u, Vu) = 0,х£П; (1)

ха

u|an = 0. (2)

Предполагается, что функции аа(х,'0,'), а = 0,...,п, х G П, s = (s0,s) = (s0,s1j ...,sn) G Rn+1, каратеодориевы и существуют измеримые неотрицательные функции ф(х), ф1(х) и положительные числа а, а такие, что для п.в. х G П и s = (s0,s), t = (t0,t) G Rn+1, s A t справедливы неравенства:

2n=0 аа(х, s0, s)sa > aZa=02a(sa) Ф(х) ; (3)

£ct=0 2а(аа(х, S0, s)) < а^^ВцЫ + Ф1М ; (4)

2п=0(аа(х, s0,s) аа(х, t0,t)) (sa ta) > 0i (5)

Считаем, что У-функции B0(z), B-^z),..., 2n(z) и дополнительные к ним 20(z), ^(z),..., 2n(z) удовлетворяют Д2-условию.

В работе [1] Л.М. Кожевниковой, А.А. Хаджи для уравнения (1) с функциями, подчиняющимися условиям (3)-(5), доказано существование решений однородной задачи Дирихле в произвольных неограниченных областях. При дополнительных требованиях на структуру уравнения установлена единственность решения задачи (1), (2). Для линейного эллиптического уравнения второго порядка О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян в [2] получили априорные оценки решения краевой задачи, аналогичные оценкам, выражающим принцип Сен-Венана в теории упругости. В статье [3] А.А. Хаджи получена степенная оценка, характеризующая поведение решения задачи (1), (2) на бесконечности в неограниченных областях П. Здесь для областей специального вида показано, что за счет геометрии неограниченной области можно добиться экспоненциального убывания решения на бесконечности.

© Кожевникова Л.М., Каримов Р.Х., Хаджи А.А., 2015 г.

Приведем некоторые сведения из теории N-функций и пространств Соболева-Орлича [4]. Неотрицательная непрерывная выпуклая вниз функция B(z), z Е R, называется N-

функцией, если она четна и lim@(>) = 0, lim @(>) = от. C-функция B(z) = sup(y\z\ — B(y))

z->o z z^a z F>o V У

называется дополнительной к -функции В (z).

C-функция B(z) удовлетворяет Д2-условию, если для любого числа l > 1 существует такое число c(l) > 0, что справедливо неравенство

B(lz) < c(l)B(z), z Е R.

Для -функции B(z) известно неравенство Юнга

\zy\ < B(z) + В(у), z,y Е R,

Кроме того, ввиду выпуклости и оценки (6), справедливо неравенство

B(y + z) < cB(z) + cB(y), z,y Е R.

Через LB(H) обозначим пространство Орлича с нормой Люксембурга

. . /n(x)

1М1ов(%) = |М|В ■ — 1 "

(6)

(7)

(8)

infST > 0

/b(-

%

dx < 1!

'(%) x Ls1(a) x

x L

s„(%)

а Lg(H) - пространство вектор-функций g = (go,gi,-,gn) Е LBq( нормой ||g||Lg(n) = Ц^оУ^о + + - + IlS'nllsn.

Определим пространство Соболева-Орлича И^в(П) как пополнение пространства

Со“(П) по норме iMIii^) = Ы

+ 1

ny

Положим _1д0С(П), И^[д0С(П) - пространства, состоящие из функций n(x), определенных в П, для которых при любой ограниченной области Q с П найдется функция из пространства _1(П), И^[-(П), соответственно, совпадающая с функцией n(x) в Q. Аналогичным образом определяется пространство _В,1ос(П).

Определим оператор B: И/[д0С(П) ^ _11ос(П) формулой:

B(n) = Bo(n) + 1П=1ваОО,N Е И^в1дос(П).

По элементу a(x, и, Vu) = (ао(х, и, Ги),..., an(x, и, Ги)) Е L\,ioc(n) (и Е WjiocOfl) для n(x) Е И^з(П) с ограниченным носителем определим функционал A (и) равенством:

(A(u),n) = V а(х,и^и) • (n,Vn)Yx = /(I a«NXa + aoN V % % Va=i /

dx.

% % _ Определение 1. Обобщенным решением задачи (1), (2) с ф(х),ф1(х) Е _1д0С(П) будем

называть функцию и(х) Е И^@дос(/3), удовлетворяющую интегральному тождеству

(A(u),n) = 0 (9)

для любой функции n(x) Е VfB (Z) с ограниченным носителем.

Будем считать, что существует такое 0 < | < 1 что выполнены условия

Ba(z1+}) < Bo(z), a = 1, .,n. (10)

В работе [2] доказана

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3) - (5), (10), тогда существует обобщенное решение u(x) задачи (1), (2).

Далее, приведем результаты для областей, расположенных вдоль выделенной оси Ох€, s Е {1,2, ...,п] (область П лежит в полупространстве х€ > 0 и сечение у, = {х Е П \ х€ = г] не пусто, связно и ограничено при любом г > 0). Ниже будет использовано обозначение: П„ = {х Е П \ с < х€ < d], при этом значение с = 0 опускается.

C целью изучения поведения решения задачи (1), (2) при х€ ^ от определим функции

V; (г) = inf SUP

ГЕС0°°(%)

ijz \ V B;(zN)dx's < V B;(Nx.)dx's V Гг Гг

(11)

где x's = {x1,x2,...,xs_1,xs+1,...,xn}, i Ф s. Положим vs(r) = min v^r), будем считать,

i=1,n,i's

что область П удовлетворяет условию

lim exp I —

U~Kj vs(p)dpjr 1

mes П^г = 0

(12)

с некоторой константой к > 0.

Пусть существуют числа h>0, i = 1,... ,п ,i^s, такие, что

Bs(z) <Ti=1,i's PiBi(z), z > 0. (13)

Теорема 2. Пусть область Z расположена вдоль оси Oxs, s G {1,2,..., п} и выполнены условия (3)-(5) c ^(х),'ф1(х) = 0 в Z, (10), (12), (13), тогда обобщенное решение u(x) задачи (1), (2) u(x) = 0 в Z.

Замечание 1. Пусть N-функции B0(z), B1(z),^,Bn(z) подчиняются условиям (10),

тогда

Ba(z) « B0(z), а = 1,2,... ,п. (14)

Лемма 1. Пусть N-функции B0(z), B1(z),^,Bn(z) подчиняются условиям (10), тогда для N-функций Ta(z) = Ba{Ma(z')), Ma(z) = B__1{^B0(z)') существуют числа с > 0, т > 1 такие, что справедливы неравенства

Ta(z)<clzlT, lzl>1, а = 1,2, ...,п. (16)

Доказательства замечания 1 и леммы 1 см. в [1], а доказательство теоремы 2 основано на следующем утверждении.

Утверждение 1. Пусть область Z расположена вдоль оси Oxs, sG{1, ...,п} и выполнены условия (3)-(5), (10), (13). Тогда существуют положительные числа к, М, г0 такие, что решение u(x) задачи (1), (2) при всех r > r0s~1, г G (0,1), подчиняется оценке

\\B(u)\\xnsr <Мехр^-к I Vs(p)dp£r~1mes af + \\ф + M^r. (17)

Доказательство. Возьмем произвольное г G (0,1), зафиксируем r > г0г~1 (r0 будет определено ниже). Пусть 9(x), x > 0 - абсолютно непрерывная функция, равная единице при x < гг, нулю при x > 2r, линейная при x G [r, 2r] и удовлетворяющая уравнению

6'(x) = —Svs(x)e(x), x G (sr,r),

(постоянную S определим позднее). Решая это уравнение, находим

(18)

6(x) = exp

^—© I Vs(p)dpj,

x G (sr,r).

Имеем

Q'f Л 6(r) 1

в (x) =------= - exp

I Vs(p)dp £,

e, )

x G (r, 2r).

(19)

Положим в (9) n = в« (xs)u, p > т. Используя (18), (19) получим Mi aa(x,u,Vu)uXa + a0(x,u,Vu)u) dx <

% 'a=1 /

<p ®%r lullas(x,u,Vu)ISvs(xs)ep (xs)dx +

Г V_1 e(r)

+p I в« (xs)lullas(x,u,Vu)l--------dx = pl1+pl2.

n$r

Далее, пользуясь (7) (г1 G (0,1)), при помощи (4), (13) оценим первый интеграл

(20)

h< l в« (xs) ^Bs^as^, u, Vu)) + Bs °uVs(xs)

%rr

< V 0Р (Xs) ( £-aB(u) + \рг + ^ piBi (uVi(xs) £-) | dx.

%L _ \ i=-,i*s £- / _

Выберем теперь £- < —:, а также 5 так, чтобы 5 < £-, max |i© < £- тогда,

4fi

воспользовавшись определением (11) функций Vi(x), получим

/- < 2 V 0« (Xs)B(u)dx + Н^-Н-,%£■■

Оценим интеграл /2. Применяя (7), для £2 £ (0,1) выводим /2

i=-,n,i's

(21)

< V (xs)Bs(£2as(x,u, Vu))dx +

%2

+ VeP(xs)BsW“-?(rl)ldx = /2-+/22 ■

%2

,£2 -6(xs),

(22)

Оценим интеграл /22. Поскольку имеют место соотношения (14), то справедливо представление ^-функции B0(z) = Bs(Ms(z)) в виде композиций двух -функций Ms(z),Bs(z). Далее, применяя (7), (8) устанавливаем

/

22

<V

0P(xs)Bs|Ms(£2u)+M;

%2

<h-

И

(xs)B0(u)dx + /3

/1 g(-) iv

V£|-0(xs)|V

}

dx <

(23)

где

/3= rs(z) = Bs(Ms(z)).

Далее, соединяя (22), (23), используя условие (4), выводим

/2 < £2h2 V (xs)B(u)dx + V ^-dx + С-/3.

(24)

(25)

Выберем £2 < —, в итоге получим

/2

<2 V 6P(xs)B(u)dx+У^-У-,%2г+ С-/з. (26)

(27)

Подставляя в (20) оценки (21), (26), применяя условие (3), выводим

l|B(u)||-,a^ < С3 V {^- + ^}dx + С4/з.

a2r

Оценим интеграл /3. Положим -0 = 1/г|, тогда при - > -0£_-, пользуясь выпуклостью функции 7s(z), устанавливаем неравенство

/3

<7 /

%2^

При xs £ (-, 2-) справедливо неравенство 0(xs) < б(-), поэтому, применяя лемму 1, получим оценку

/3

< — V °(xs)0T (-)dx < — exp |—5р V vs(p)dp|

%2Г \ £Г /

mes (28)

Соединяя (27), (28) выводим (17).

Доказательство теоремы 2. Полагая в (17) ’ф(х) = ^1(х) = 0 в П и устремляя г к бесконечности, заклчаем, что ||B(u)||in = 0. Отсюда следует, что В0(и) = 0 в П, поэтому и = 0 в П.

Литература

1. Кожевникова Л.М., Хаджи А.А. Существование решений анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях // Матем. сборник. -2015. Т.206. - №8. С. 99-126.

2. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. О поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений 2-го порядка в областях с некомпактной границей // Матем. сборник. - 1980. Т. 112(154). - №4(8). С. 588-610.

3. Хаджи А. А. О решениях квазилинейных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях // Информационные технологии естественных и математических наук / Сборник научных трудов по итогам международной научнопрактической конференции. Ростов-на-Дону, 2015. - № 2. C. 9-13.

4. Рутицкий Я.Б., Красносельский М.А. Выпуклые функции и пространства Орлича / М.:Гос. издательство физ.-мат. лит.-ры. - М. - 1958. - 587 с.