Оценки скорости убывания решения параболического уравнения с нестепенными нелинейностями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 2 (2014). С. 3-25.

УДК 517.946

ОЦЕНКИ СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕСТЕПЕННЫМИ

НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

Э.Р. АНДРИЯНОВА

Аннотация. Рассматривается первая смешанная задача для некоторого класса параболических уравнений с двумя нестепенными нелинейностями в цилиндрической области D = (t > 0) х Q. Методом галеркинских приближений, предложенным Ф.Х. Мукми-новым для параболического уравнения с двойной нелинейностью, доказывается существование сильных решений в пространстве Соболева-Орлича. Установлены принцип максимума, а также оценки сверху и снизу, характеризующие степенное убывание решения при t ^ то для ограниченных и неограниченных областей Q С Яп.

Ключевые слова: параболическое уравнение, N-функции, существование решения, оценка скорости убывания решения, пространства Соболева-Орлича.

Mathematics Subject Classification: 35D05, 35B50, 35B45, 35K55

1. Введение

Пусть П — произвольная область пространства Яп = {х = (х\, х2,..., хп)}, п > 2. В цилиндрической области О = {Ь > 0} х П рассматривается уравнение вида

n

. (а i= 1

с краевыми и начальным условиями:

(в(x,u))t = ^2 (aPi(x, Vu))x., где a(x, Vu) = a(x,p)

p=Vu

и(Ь,х) =0, Б = {Ь > 0} х дП; (2)

и(0,х) = и0(х). (3)

Здесь и далее нижние индексы Ь,хг,Рг обозначают производные по соответствующим переменным.

Предположим, что функция а(х,р), выпуклая по р = (р\,р2, ...,рп), удовлетворяет условию Каратеодори при р € Яп и х € П. Функция в(х, и), в(х, 0) = 0,

|в(х,и)1 ^ С/31ив'и(х,и)1, (4)

абсолютно непрерывна и возрастает по и, а также измерима по х € П при и € Я.

Вопросы существования и единственности решения нелинейных параболических уравнений рассматривались в работах [1] - [4], [7], [19] - [25] и других. В основном рассматривались задачи в предположении ограниченности области П и на ограниченном промежутке времени [0,Т] с произвольным Т > 0. В работе [1] было доказано существование слабых

Работа поддержана РФФИ (грант 13-01-00081-a).

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках базовой части государственного задания организациям высшего образования.

Поступила 14 ноября 2013 г.

E.R. Andriyanova, Estimates of decay rate for solution to parabolic equation with nonpower nonlinearities.

© АндрияновА Э.Р. 2014.

решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка с двойной нелинейностью в ограниченной области. Существование слабого решения параболического уравнения с двумя переменными нелинейностями в подходящих пространствах Соболева-Орлича при ограниченной области П доказано в [2]. В [3] доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения задачи Дирихле для вырождающихся параболических уравнений линейных по У и и имеющих переменный показатель нелинейности по и. Существование Ш -и И-решений для параболических уравнений 2-го порядка с переменным порядком нелинейности было доказано в работе [4].

Работа со слабым решением вызывает затруднение в исследовании, например, убывания решения при Ь ^ то. В данной работе для построения сильного решения задачи (1) — (3) сразу на всем промежутке времени [0, то) использовался метод галеркинских приближений (область П может быть неограниченной). Этим методом было построено решение параболического уравнения с двойной нелинейностью в работе [5] на ограниченном промежутке [0,Т ] при любом Т > 0 ив работе [6] на неограниченном промежутке времени.

Галеркинские приближения являются гладкими функциями, что облегчает доказательство для них необходимых оценок, которые затем предельным переходом распространяются на решение задачи (1) — (3). В настоящей работе получены оценки сверху и снизу, характеризующие степенное убывание решения при Ь ^ то в случае как ограниченных, так и неограниченных областей П С Яп.

Исследованию поведения решения смешанной задачи для изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью при Ь ^ то посвящена работа [6], а для анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью — работы [7] - [9]. В работе [10] изучалось свойство вырождения решения нелинейного параболического уравнения с нестандартными анизотропными условиями роста за конечный промежуток времени. Теми же авторами в [11] установлены достаточные условия для взрыва решения однородной задачи Дирихле для анизотропного параболического уравнения с переменной нелинейностью за конечный промежуток времени. В [12] были установлены оценки повышенной суммируемости градиента для слабого решения параболической системы переменного порядка нелинейности. Точные двусторонние оценки скорости убывания нормы решения линейного и квазилинейного параболического уравнения в неограниченной области установлены в работах [13, 14], а для анизотропного параболического уравнения — в [15]. Исследованию поведения решений линейных и квазилинейных параболических уравнений посвящены также работы [16] - [18].

2. Функциональные пространства

Определим здесь используемые в работе функциональные пространства и приведем некоторые известные факты из теории пространств Соболева-Орлича [26].

Будем говорить, что Ж-функция В(в) удовлетворяет Д 2-условию при больших значениях в, если существуют такие числа к > 0, во > 0, что В (2в) ^ кВ (в) Ув > во. Д2-условие эквивалентно выполнению при больших в неравенства

В(1в) ^ кГВ(в), (5)

где I может быть любым числом, большим единицы, т — больше нуля. Обычно рассматривают только ограниченные области, и тогда достаточно выполнения условия (5) при в > в0 > 1. Если же область неограниченная, то (см., например, доказательство леммы 1 ниже) приходится полагать во = 0. В дальнейшем в работе предполагается, что все рассматриваемые Ж-функции удовлетворяют Д2-условию при всех значениях в > 0 (т.е. в0 = 0). Будем обозначать все N-функции заглавными латинскими буквами.

Все постоянные, встречающиеся в работе, положительны.

N -функция

В (г) = вир(Ь|г| — В(Ь))

г>о

называется дополнительной. Известно следующее свойство дополнительных функций (см. [26]):

|гв| ^ В (г) + В(в). (6)

Для Ж-функций будем писать В^в) -< В2(в), если существуют константы во, к, такие, что

В1(в) ^ В2(кв), для в > в0. (7)

Пусть при почти всех х € П функция в1(х,и) абсолютно непрерывна по и € Я и определена равенством

в1 и(х,и)= иви(х,и), в1(х, 0) = 0. (8)

При этом предполагается, что ви(х,и) > 0 — четная по и, ограниченная в каждой ограниченной области значений х, и функция, не равная нулю почти всюду ни в каком интервале по и.

Пусть для любых и € Я, р € Яп и х € П выполняются следующие условия:

^2аРі(х,р)рі ВМ; (9)

і=1 і=1

п п

ві(рі) - а(х,Р) - $^2аРі(х,р)рі; (10)

і=1 і=1

пп

^ ві(аРі(х,р)) ^ С ^ ві(рі); (11)

і=1 і=1

ивіи(х,п) ^ ав1(х,и), а > 0, Уи Є Я. (12)

Здесь В1(г),В2(х), ...,Вп(г) являются Ж-функциями.

Предполагается существование Ж-функции С(з) (тогда С(з2) также является

N -функцией) такой, что

С(и2) ^ в1(х,и) ^ с1С(п2); (13)

С(в!(х,и)) ^ С20(п2). (14)

Здесь и далее через с1,с2,... обозначаем постоянные, которые, вообще говоря, могут не совпадать даже при одинаковых индексах.

Через Ьв(Я) обозначим пространство Орлича, соответствующее N-функции В(з), с нормой Люксембурга

' и(х)

~к

Я

Ниже в качестве Я могут выступать области 0,0Т и другие.

Пространства Орлича, соответствующие Ж-функции С(з2), будем обозначать Ьс2 (Я) и через Ь@ (Я) — сопряженные к ним.

О

Определим также пространство Соболева-Орлича Щ св(0) как пополнение С^(0) по норме

п

||и||^1 ,в(П) = X! ||их||Ві,П + ||и||С2,П.

і=1

Через V(От) будем обозначать пополнение С^(ОТ) по норме

п

||и||У (Дт) = ||ихі ^Ві^т + ||и||С2,Дт.

і=1

||и||Ьв(Я) = = іп{к - 0 : У В (^-(х^ ^х ^ 1}

Для нормы Люксембурга выполнено неравенство (см. [26])

||и(х)||ьв(Я) * 1^/ В(и(х))(1х. (15)

Я

Справедливо следующее простое утверждение.

Лемма 1. Если и^ ^ и в Ьв(П) и В удовлетворяет А2-условию, то существует С такое, что

У В(п)іх * С.

П

Доказательство. Поскольку последовательность и^ сходится, то ||и^ ||^в(п) * с. Тогда, воспользовавшись Д2-условием, получим

/В (п уіх = /В (|М|^ (П) ыЫ <іх * /В (СмЫ іх *

П П П

* кст І В[—^--------] іх * кст.

і

п

||uj ||LB(п).

Лемма доказана. □

Определим функцию h(s) следующим образом

1

П \ n

h(s) = s-n (Д B-1(s) , (16)

чг=1

где

B (s) = / Bí(s), пРи |s| ^ 1

Bi(s) I sKB,(1). при Isl <

SKBi (1), при | S | ^ 1.

Отметим, что поскольку функции Bi — выпуклые, то выполняется неравенство

Bi(1+) > Bi(1). Выберем к G (1, n) так, чтобы выполнялись неравенства

В[(1) > kBî(1), i = 1, 2,..., n. (17)

Определим также N-функцию B*(z) по формуле

N

(B')-l(z) = J ds, (18)

О

если интеграл

<х

J М ds (19)

О

расходится к бесконечности и

||«||b*,Q = sup \u\,

Q

если интеграл (19) ограничен. Сходимость последнего интеграла в нуле обеспечена неравенством к < п. Известна теорема вложения А. Г. Королева [27], вытекающая из неравенства

П

||u||B*,Q ^ \\UXi ||i?i,Q, (20)

i=l

1

справедливого для функций и Е С^№) в случае сходимости интеграла / ¿в в нуле.

о

Отметим, что неравенство (20), доказанное в [27] для ограниченных областей, справедливо также для неограниченных областей Q, имеющих конечную меру.

3. Формулировка основных результатов

о

Теорема 1. Пусть щ ЕШсБ(О) и выполняются условия (9) —(14). Тогда существует, обобщенное решение задачи (1)-(3), удовлетворяющее соотношениям

о

и Е Ь^([0, то); Шо,Е(О)),

в(х,и) Е С([0, то); Ьс2(О)),

(в(х,и))г Е Ьс2(Дт),

(/З'и(х,и))2щ Е Ь2(ВТ), УТ > 0.

Единственность решения задачи (1)-(3), со свойствами, установленными в теореме 1, будет доказана в другой работе. Формально можно считать, что в ниже следующих утверждениях речь идет о произвольном решении со свойствами, установленными в теореме 1.

Лемма 2. Пусть О — ограниченная область. Если начальная функция ограничена (щ (х) ^ Ь), то обобщенное решение задачи (1)-(3) является ограниченным, т.е.

уга1вир и(Ь,х) ^ Ь.

Замечание. Если начальная функция удовлетворяет неравенству щ (х) > —Ь, то функция -и будет являться решением некоего другого уравнения, но из того же рассматриваемого класса (ввиду четности N—функций). Поэтому, применив лемму к функции —и,

получим —и ^ Ь, или и > —Ь.

СО

Лемма 3. Пусть область О расположена в полупространстве х1 > 0 и ^ ¿в = то,

1

а также выполняется условие

В1 х В*. (21)

Тогда, если начальная функция ограничена (щ(х) ^ Ь), то обобщенное решение задачи (1)-(3) является ограниченным, т.е.

уга1вир и(Ь,х) ^ Ь. (22)

СО

Лемма 4. Пусть область О произвольна и ^ ¿в < то. Тогда для любой функции

1

и Е V(От) справедливо неравенство

уга1вир |и(Ь,х)| ^ с, (23)

дт

где с — возрастающая функция от ||и||у(Дт).

При оценке снизу нормы решения задачи (1)-(3) потребуется следующее условие: существуют числа д > 1, с> 0 такие, что справедливо неравенство

в?(х,и) ^ с(В*(и) + 1), х Е О, и Е Я. (24)

Теорема 2. Пусть область О ограничена и выполнены условия (9) —(14), а также усло-

вие (24), если интеграл (19) расходится. Тогда существует положительное число С (С = С(щ)) такое, что для решения и(Ь,х) задачи (1)-(3) выполнены неравенства

У С(и2(Ь,х))ё,х > J С(и^(х))^х(1 + СЬ) ^, при ^ > 1, Ь > 0, (25)

п п

G(u (t,x))dx > G(u0(x))dx(l — Ct) 1-y , при j < 1, t ^ 1/C, (26)

П П

где ^ — r(maxc(2,a)) '

Замечание. Случай 7 — 1 загрубляем до y < 1 увеличением Г.

В следующем утверждении рассматривается область П, расположенная вдоль оси Oxi. Далее будем использовать обозначение Пьа — {x G П|а < xi < b}, при этом значения а — 0, b — то опускаются. Положим S(r) — {x G Q|xi — r}. Предполагается, что П^ — 0, и существует число d > 0 такое, что

mes(nr) ^ rd, r > ro. (27)

Для изучения убывания решения задачи (1)-(3) при xi ^ то , определим функцию

v(r) — inf sup{z : / B2(zu)dx' ^ / B2(ux2)dx'}, (28)

ueCg° (П) J J

S(r) S(r)

где x — {x2,x3, ...,xn}. Будем считать, что область П удовлетворяет условию

СЮ

J v(r)dr — то. (29)

i

Предположим, что начальная функция имеет ограниченный носитель:

suppu0 С ПГ0, r0 > 0. (30)

Пусть

Bi(s) ^ gB2(s), s < 1, g > 1. (31)

Теорема 3. Пусть выполнены условия (9) —(14), (21), (29) — (31), область П расположена вдоль оси Oxi и выполнены неравенства

v(r) ^ v0, при r > r0; |u0(x)| ^ v0, x G П. (32)

Тогда решение u(t,x) задачи (1)-(3) при всех t > 0, r > 2r0 подчиняется оценке

J pi(x,u(t,x))dx ^ M exp I — \ J v(p)dp J , (33)

Пг \ 2Ro J

c некоторыми числами M,\ > 0.

В следующей теореме предполагается, что существует число q > 1 такое, что функция ei(x,u) удовлетворяет соотношению

(ei(x,u))q ^ c3Bi(u),Vu G R. (34)

Возьмем ^ так, чтобы

^>m + d(q — 1), (35)

где m - число из Д2-условия (5) для функции Bi и d из (27). Пусть r(t) произвольная положительная функция, удовлетворяющая неравенству

/ r(t) \ _j_

Mexp i—Xj v(P)dPJ ^ , (36)

2r0

при t настолько больших, что r(t) > 2r0.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (9) —(14), (21), (29)-(32), (34), и область О расположена вдоль оси Ох\. Тогда для решения п(і,х) задачи (1)-(3) справедлива оценка

ßl(x,u(t,x))dx ^ C(rß(t)t 1)q-1, C = 2(q — 1)1-q (37)

п

при t таких, что r(t) > 2r0.

Если вместо (29) будет выполнено более сильное требование

Г

lim -— v(t)dt = то, (38)

r^<x ln r J

1

то можно выбрать r(t) = t >, тогда оценка (37) примет вид

J ß1(x,u(t,x))dx ^ Ct. (39)

п

4. Доказательство теоремы существования

Обобщенным решением задачи (1)-(3) назовем функцию u(t,x), принадлежащую пространствам V(DT) при каждом T > 0, и удовлетворяющую при <р G C0°(DT 1) равенству

-ß (x,u)<pt(t,x) + ^ aPi (x, Vu)^ (t,x) dxdt = ß(x,uo)p(0,x)dx. (40)

DT ' i=l ' П

Выберем последовательность Uk G C0°(Q) линейно независимых функций, линейная

О

оболочка которых плотна в WG в(^)- Положим Im = U^Lisupp Uk. Галеркинские приближения к решению будем искать в виде

m

um(t,x') ^ ^ cmk (t)uk (x) ,

k=i

где функции cmk(t) определяются из уравнений

Uj ßt ^b + ß(x,um)^ + ^ ^ api (x, Vum)(uj)Xij dx ° (41)

П 4 m i=i '

j = 1, 2, ...,m.

Числа bm > 0 выберем позже. Убедимся, что уравнения (41) разрешимы относительно производных c'mk. Очевидно, что они имеют вид

m

^ у АУк (Ь)стк (cm1, cm2, ..., стт).

к=1

Матрица коэффициентов

Аук (Ь) = J + ви (х, ит)^ Щ Шк ¿х

пт

при каждом Ь является матрицей Грама системы линейно независимых векторов Шк, к = 1, 2,...,т и поэтому имеет обратную. Из уравнений (41) при начальных условиях

о

стк (0), подобранных так, чтобы ит(0,х) ^ ио(х) в Ш с б (О), находим функции стк (Ь). Сначала эти функции находятся на малом промежутке времени, но установленная ниже ограниченность галеркинских приближений позволяет определить их на бесконечном промежутке времени. Числа Ьт выберем так, чтобы ||ит(0)||2/Ьт ^ 0 при т ^ то.

Установим теперь оценки для галеркинских приближений. Умножим уравнения (41) на сту (Ь), просуммируем и воспользуемся формулой (8), тогда

^ 2Ь ^ + в1 u(x,Um)(um)t + ^ ^ api(x, ''ит)итх1 ) ¿х °. (42)

Воспользовавшись неравенством (9) получим:

п

Проинтегрировав по Ь, ввиду (13), имеем

(2^) +(вl(x,Um))t + ^ Вг(итх, М ¿х ^ 0. \ т / I ¿=1 у

В ¿=1 и0

^итм+с1С(ит(0,х)^ ¿х.

пт

Последний интеграл в правой части ограничен, ввиду выбранных выше сходимостей. Таким образом, получим следующую оценку

С(ит(Ь,х))ё,х + Вг(итщ)dxdt ^ с. (43)

г=1

и1

и0

Теперь из (43) следует ограниченность последовательности ит в пространстве ЬО([0,Т]; Ьс2(О)) и в пространстве V(ОТ) при всех Т > 0.

Далее, умножив уравнения (41) на с'ту(Ь) и просуммировав, получим:

^Ь + ви (х,ит)^ (ит)4 + ^ ^ ар1 (x, 'ит)(итх; )^^ ¿х 0

или

Ь1 + в'и(х, ит) ) (ит)1 + а(х, Уит^ ) ¿х = 0. (44)

пт

Проинтегрируем последнее равенство по Ь:

Ь

+ в'и (х, ит)^ (ит)2 ¿х(И + J а(х, У ит(Т, х))(1х =

дт

= / ^ '„««Ь = /я. («)

п

Для оценки интеграла /п воспользуемся неравенством (10) и леммой 1, получим

/и

^ Вг(итх1 (0,х))йх ^ С. п г=1

Соединив последнюю оценку и равенство (45), а также применив (10) и (9), получим

и

(ви(х, ит)) (ит0 + $ £ Вг (итхг

(Т, х))^х ^ С.

ит п г=1

Поэтому из последнего неравенства, а также (43) устанавливаем ограниченность последовательности (ви)2(ит^ в Ь2(ВТ) при каждом Т > 0 и последовательности ит в пространО

стве £те([0, то]; ШС,Б(О)).

Установленные факты позволяют диагональным процессом выбрать подпоследовательность итк, слабо сходящуюся в указанных ниже пространствах. Для упрощения записи под индекс к в подпоследовательностях будем опускать

ит ^ и слабо в V(ВТ),

(ви(х,ит))2 (ит)г ^ и слабо в Ь2(ВТ), УТ > 0.

Покажем, что функционал

и

а(ит) = - ^ а'К (х Чип)-

г=1

в силу (11), ограничен в единичном шаре пространства V(ВТ)

и р П р

(а(ит),у) = Е / ап (х, Уит)ьх1 йхйЬ ^ (Вг(ух1) + Вг(ап (х, Уит)))йхйЬ ^

г=1 ит г=1 Вт

У, / (Вг(Ухн) + сВг(их1 ))dxdí ^ с1, |М|у(ит) ^ 1.

г=1 ит

Следовательно, а(ит) - ограниченная последовательность в пространстве (V(ВТ))', и из нее можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность

й(ит) ^ х слабо в (V(ВТ))'.

Сходимость имеет место при каждом Т = 1, 2, ... , причем предельные функции совпадают

в общей области определения. Тогда, фактически, сходимость имеет место при любом Т> 0.

Ниже будет доказано, что и = (в'и(х,и))2 ut, х = й(и), и функция и является обобщенным решением задачи (1)-(3). Соответствующие рассуждения разобьем на три шага.

О

Шаг 1. Последовательность ит(Ь) ограничена в пространстве Ш С б (О) при любом Ь > 0:

||ит(Ь)||№1 ^ (П) ^ т = 1 2,...

Зафиксируем счетное плотное подмножество {Ь3} С [0, то]. Можно считать, что Ь0 = 0. Для

каждой ограниченной области Ог С О с гладкой границей известна компактность вложе-

О

ния Ш1(ОГ) С Ь1(ОГ). Так как Ш С Б(О) С Ш1(ОГ), то диагональным процессом можно выделить подпоследовательность итк (Ь3) ^ к3 сильно в Ь1(ОГ) при всех натуральных в. Выбирая еще раз подпоследовательность, можно считать также (отбрасывая подиндексы), что ит(Ь3, х) ^ к3(х) почти всюду в Ог при каждом Ь3. В частности, при Ь0 = 0 имеем ит(0,х) ^ и0(х) почти всюду в О.

Для следующего шага используем лемму, доказанную в [6].

Лемма 5. Пусть последовательность ут(Ь) € С([0,Т]; Ь2(О)) обладает свойствами:

1) ут(Ь3,х) сходится почти всюду в Ог, при каждом Ь3 и некотором г > 0,

2) последовательность утг ограничена в Ь2(ВТ).

Тогда можно выделить подпоследовательность утк, сходящуюся к функции V в пространстве С([0,Т]; Ь1(ОТ)), и vmk ^ V почти всюду в (0,Т) х Ог.

ит 1

Шаг 2. К последовательности vm = /(х, ит) = / (ви(х, т))2 ¿т применим лемму 5. Тогда

0

(vm)t = (ви) 1 (um)t. Принадлежность vm(Ь) к Ь2(О) при каждом Ь > 0 следует из ограниченности носителя функции ит(Ь), ее гладкости и ограниченности в'и(х,и) на ограниченном

множестве значений аргументов. Благодаря произвольности г > 0 и Т =1, 2,..., диагональным процессом можно выделить подпоследовательность утк, сходящуюся в О почти всюду. Так как в'и не зануляется целиком на интервалах, то f (х,ит) возрастающая по ит функция и имеет обратную, ит = f-1(х,ут). Тогда из сходимости последовательности утк следует сходимость последовательности итк почти всюду в О к и. То, что предельная функция будет именно и, вытекает из следующего утверждения (см. [19, гл.1, §1.4, лемма 1.3]):

Лемма 6. Пусть последовательность дт сходится к д почти всюду в Q и ограничена в Ьд^). Тогда дт ^ д слабо в Ьд^).

Неравенство / и2(х ^ [ (С(и2) + О(1))(х влечет непрерывность вложения

Пг Пг

V(ОТ) С Ь2([0,Т] х Пг). Поэтому слабая сходимость ит ^ и в V(ОТ) влечет слабую схо-

и 1

димость ит ^ и в Ь2([0, Т] х Пг). Из леммы 6 следует также, что утк ^ V = ¡(/3'и(х,т)) 1 (т

0

слабо в Ь2(ОТ) при каждом Т > 0.

Из леммы 5 известно, что vmk(Т) ^ v(T) в Ь\(ПГ). Тогда можно выделить подпоследовательность, сходящуюся почти всюду в Пг: vmk (Т,х) ^ v(T,x) ^ итк (Т,х) ^ и(Т,х) почти всюду в Пг (а, следовательно, и в П). Ограниченность последовательности ит(Т) в

О

пространстве Щ С в (П) позволяет выделить подпоследовательность такую, что

О 1

итк (Т) ^ и(Т) слабо в Щс в(П), при фиксированном Т. (46)

О

Отсюда следует, что и Е Ьте([0, то); ЩС в(П)).

Далее, ((ют)г,ф)ПТ = -^т,ф1)ПТ, ф Е С0°(ОТ). Переходя к пределу при т ^ то, получим

(u, ф)пТ = -(v, фг)вт.

Отсюда следует, что и = VI = (Р'и(х,и)) 2 и*.

Покажем, что последовательность в'и(х, ит)(ит)* ограничена в Ьс2(ОТ). В самом деле,

|(ви (х,ит)(ит)*,Ф)ПТ 1 = |((ви )) 2 (ит)*, Ф(Ю 1 ) ПТ 1 ^ ) 2 ^(П^ ^

^ 01 | I О(ф2)(1х(И + J С(ви(ит))йх(И | < С2, ||ф||с2,пТ ^ 1,

ПТ

поскольку последний интеграл оценивается по формуле (14). Тогда можно считать, что ви(х,ит)(ит)ь ^ и слабо в Ьс2(БТ).

Покажем теперь, что в(х, u(í, х)) принадлежит пространству С([0, то]; Ьс2 (П)). Рассмотрим функционал

1^ = 1 ф(х)в ММ)*.

п

Используя (4), покажем его ограниченность в единичном шаре пространства Ьс2 (П)

|1(ф)| ^ Сц ! |фиви(х^^йх ^ Се ! (С(в'и(х,и)) + О(|фи|)) (х. (47)

пп

Первый из интегралов в правой части неравенства ограничен благодаря условию (14). Оценим второй интеграл

ф2 + и2

О(|фи|) ^ О( —2—) ^ О(ф2) + О(и2).

Поскольку J О(ф2)(х ^ 1, получаем ограниченность второго интеграла в правой части п

(47). Ограниченность функционала постоянной, не зависящей от Ь Е [0, то), обеспечивает принадлежность в(х, и) пространству Ь([0, то); Ь^2 (П)). Переходя к пределу в равенстве

(в(х,ит),ф*)ПТ (ви(х,ит)(ит)*,ф')ПТ ,

получаем, что

(в(х,и),ф*)пТ = -(и,ф)пТ, то есть (в(х,и))* = и Е Ьс (ОТ). Следовательно, ввиду произвольности Т > 0, в(х,и) Е С([0, то); Ьс2 (П)). При этом

в(х,и(0))= в (х,и0). (48)

В самом деле, в шаге 1 отмечалась сходимость ит(0,х) ^ и0(х) почти всюду в П. Далее, по лемме 5 сходимость ^(0) ^ v(0) в Ь1(ПГ),г > 0, влечет сходимость

ит(0,х) = f-1(х^т(0,х)) ^ и(0,х) почти всюду в П по подходящей подпоследовательности, что обеспечивает равенство (48).

Шаг 3. Переходим к доказательству равенства х = й(и). Умножим уравнение (41) на гладкую функцию ( (Ь), проинтегрируем по Ь и перейдем к пределу при т ^ то, обозначив (Ь)Ш] (х) через ф в конечном выражении

Шх,и),ф')пТ + (Х,ф')пТ = 0. (49)

Отметим, что

( ( , ) , ф)ПТ = ~^( — (um, фг)ПТ + (ит(Т), ф(Т ))п — (ит(0) , ф(0))П) ^ 0

Ьт Ьт

в силу ограниченности ит в Ьте([0,Т]; Ьс2 (П)) и того, что Ьт ^ то. Легко видеть также, что любая функция из V(ОТ) может быть приближена линейными комбинациями вида

N

(х).

г=1

Поэтому (49) справедливо и для функций ф из пространства V(ОТ). Таким образом, и будет являться обобщенным решением задачи (1)-(3), если будет установлено, что х = й(и).

Пусть тт = (в1(х,ит)) 1, тт ^ т = (в1(х,и)) 1 почти всюду в О. Если будет установлено, что т Е Ь2(ОТ) имеет обобщенную производную т* Е Ь2(ОТ), то будет выполнено тождество

Т

г —

j |И|2(Ь = ||т(Т )||Ь2(П) - ||т(0)||Ь2(П). (50)

0

Воспользуемся (13)

J в1(х,ит(Т,х))йх ^ с^ У О(и2т(Т,х))(х < с2. (51)

пп

Значит последовательность тт(Т) ограничена в Ь2(П), и по лемме 6 из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к т(Т) слабо в Ь2(П). Заметим, что тогда

||т||2 = 11ш(т, тт) ^ 11ш1п£ ||т||2||тт||2. Откуда следует неравенство

ИшШ ||в1(х,ит(Т))||Ь1(П) > ||в1 (х,и(Т))||Ь1(П). (52)

Проинтегрировав неравенство (51) по Т, получаем, что последовательность тт ограничена в Ь2(ОТ), и по лемме 6 из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к т слабо в Ь2(ОТ).

Для доказательства того, что т* Е Ь2(ОТ), применим условие (12), тогда

((в? (х,ит))*У (х(1 = [ [ в1 и(х,ит)(ит)М (х(1 ^

' ' 2в? (х,ит)

2

т

ВТ ВТ

^ I а(в1и(х,ит^ (ит^ (хйЬ = а I ви (х,ит)(ит)^2(хйг < С.

4ив! и(х,ит) 4 1

ВТ ВТ

Последнее неравенство следует из (45). Следовательно, (тт)* слабо сходится к т в Ь2(ОТ). Далее, (тт,фь)вТ = -[(Шт)( ,ф)дТ, ф Е С~(ОТ). Переходя к пределу, получим (т, фг)вТ = — (т, ф)ВТ. Значит т = т*.

Подставляя в (49) ф = и и применяя (50), получаем

(—Х,и)ВТ = ((в(х, и))*, и)ВТ = J в!и(х,и)щСхСЬ = (53)

вТ

Т

СВ 1

= У В-Ь||в^(х,и)||2<Ь = ||в1(и(Т))||Ь1(П) — ||в1(и(0))|ккп).

0

Далее используется монотонность оператора а. Легко проверить (см. [19, гл.2, §1, предложение 1.1] ), что

Т

Хт = !(а(ит(Ь)) — а(Ь,(Ь)),ит(Ь) — к(Ь))пйЬ > 0, Ук Е V(ОТ).

0

Из уравнений (41) легко выводятся соотношения

(а(ит),ит)вТ = ||в1(ит(0))||ь1(п) — ||в1(ит(Т ))||^(П) + (54)

1

Поэтому

+ ^ (||ит(0)|Ц — ||ит(Т)||2

2Ьт

1

Хт = ||в1(ит(0))||Ь1(П) — ||в1 (ит(Т (П) + 22Ь~ (||ит(0)||2 — ||ит(Т )||2) —

2Ьт

(а(ит) , к)ВТ (а(к) , ит к)ВТ.

Далее, пользуясь (52), выводим

0 < ИшвирХт ^ ||в1(и(0))||^1(П) — ||в1 (и(Т))||Ь1(П) —

— (х,Ь)вТ — (а(к), и — к) ВТ.

Применив (53), получим

(х — а(к),и — к)ВТ > 0.

Положим к = и — Аи, А > 0, и Е V(БТ), тогда

А(х — а(и — Аи),и)ВТ > 0.

Устремляя А 0, будем иметь (х — а(и),и) > 0, Уи. Отсюда х = а(и).

Для дальнейшего использования запишем (53) в виде

П

||в1(и(Т ))||Ь1(П) + ^(аР; (x, ^и),иХ1 )ВТ = ||в1(и(0))|к(П). (55)

г=1

5. Доказательство лемм 2-4 Пусть {и > Ь} обозначает множество {(¿,х) Е От^(Ь^) > Ь}. Отметим, что

шевіи > Ь} ^ , и Є Ьс2 (Бт). (56)

Ь{Ь )

Действительно,

с > ! С(и2)Сха > J С(Ь2)Сха = С(Ь2)шев{и > Ь},

ВТ ВТ Г{и>Ь}

откуда и следует неравенство (56).

Для области, расположенной вдоль оси Ох1, докажем следующее нервенство

J Б1(ю(х))Сх ^ У В1(тьХ1 (х))(х, V Е С0°°(П). (57)

Пг Пг

Пусть f (х1) Е С[0,г], f (0) = 0. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница, получим

Х1 Г

^(х1)| = |^ f/(xl)Cxl| |/(х1)|Схь х1 Е [0, г].

00

Теперь применим интегральное неравенство Йенсена (см. [26, гл.2, §8.2, нер.-во 8.2]), тогда

і№і)^хЛ

V

Г

^ 1 I Bl(f,(xl))dxl. т ]

о

Проинтегрируем последнее неравенство по х1

г г

У Ві[ dxl ^ У Bl(f'(xl))dxl.

оо

Тогда, после подстановки f (х1) = ту(х) и интегрирования по х' = |х2,...,хп}, получим (57).

Доказательство лемм 2,3. Покажем, что если м0(х) ^ Ь для п.в. х Є П, то выполняется (22). Положим и(ь)(^,х) = шах(и(і,х) — Ь, 0). Воспользуемся тождеством (49) при ф = и(ь)(і, х)£(х), где £(х) - липшицева финитная функция,

((в(х,и))г,и{Ь)(г,х)С(х))вт — (¿П дХарі(x, ^и),и(Ь)(і,х)^(х)І =0,

V і=1 Х% / от

п

х,и))г,и{ь)(г,х)^(х))от + ^ (арі(x, Уи),и2)(І,х)£(х))от +

І=1

п

+ ^ (аРі (х, Vu) , и(Ь) (1, х)Схі (х))вт = 0 (58)

Выберем £ = п(х1), где

1, при р < т,

П(р) ={ 0, при р> К,

, при р Є [т, К].

т

Тогда |£Х11 ^ . Заметим, что и(Ь)(0,х) = и^ (х) = 0, для почти всех х Е П.

Далее оцениваем интегралы, входящие в равенство (58), по условию (9)

/ йр1 (х, Уи)и^(Ь, х)£(х)Сх(Ь > / Бг(иХ1 )£(х)СхСЬ. (59)

г=1 ВТ г=1 ВТ Г{и>Ь}

Теперь преобразуем первый интеграл в (58)

11 = J вг(х, и)и(Ь)(Ь, х)£(х)Сх(Ь = J ви(х, и)щ(Ь, х)и(Ь)(Ь, х)£(х)Сх(Ь

ВТ ВТ Г{и>Ь}

= J ви (х,Ь + и(Ь))(и(Ь))4и(Ь)£(х)Сх(Ь.

ВТ Г{и>Ь}

У

Положим к(х,у) = / в'и(х,Ь + v)vdv, тогда к'у(х,и(Ь)) > 0, поскольку в! > 0.

0

Таким образом, интеграл 11 приводится к виду

11 = у £(х)к(х, и(Ь)(Ь, х))|ТСх = у £(х)и(Ь')к'у(х^^и^^^^йх > 0, (60)

ПП

где 0 < 0(х) < 1.

В случае ограниченной области П выбираем г так, чтобы она содержалась в шаре радиуса г. Тогда £Х. = 0 в От и из (58), (59) выводим неравенство

^ I Бг(иХ,)£(х)СхСЬ ^ 0.

Отсюда имеем

г 1ВТ Г{и>Ь}

Бг(иХ,) = 0, г = 1, 2,...,п, (61)

для почти всех Ь,х Е От П {и > Ь} П {х1 < г}. Применив неравенство (57) к функции

и(Ь) (Ь, х), находим

/ Б1<и(Ь)= 0, прИ псЧТИ в«х ( Е (О.П

Пг Пг

Следовательно, и(Ь)(Ь,х) = 0 при почти всех х Е Пг, Ь Е (0, Т).

Для оценки последнего интеграла в (58) в случае неограниченной области П последо-

вательно воспользуемся неравенствами (6), (11)

У аР1 (х, Уи)и(Ь)(Ь,х)£Х1 (х)Сх(Ь ^ —(х, Vu)u(Ь\t,x)|dxdt ^ (62)

ВТ ВТ

^ —----У (Б 1(аР1 (х, Уи)) + Б1(и(Ь)(Ь, х))) СхСЬ ^

ВТ

^ д — г У (с^ Бг^) + Б1(и(Ь)(Ь,х))^ СхСЬ.

Учитывая (58)-(60), (62), выводим

П

С

У J Бг(изн(Ь,х))£(х)СхСЬ ^ Д—г]\^Бг(ихг) + Б1(и(Ь)Н СхСЬ. (63)

г=1 ВТ Г{и>Ь} ВТ ^г=1 '

Покажем теперь ограниченность интеграла / Б1 (и(Ь) (Ь, х))Сх(Ь. Воспользуемся условиями

ВТ

(21) ,(5) и (20)

J Б1 (и((Ь))СхСЬ ^ У Б* (ки((Ь))СхСЬ + J Б1(^0)СхСЬ ^ (64)

ВТ ВТГ{у(ь)>80} ВТ Г{и>Ь}

^ [ Б * Гк||и(Ь) ||в*,в^^7ЬТ|-------------------\<хСЬ + Б^^шев^ > Ь} ^

3 V ||и(Ь)||в*,ВТ)

ВТ

^ к*(к||и(Ь)||в*,вт)т + 03 ^ к* (Ск£ ||иХЬ)||5г,В^ + Сз,

где к,в0 взято из определения (7), а к*,т - из определения (5).

Покажем теперь, что

£ ||иХЬ)||В,,ВТ ^ С4. (65)

г=1

Применив (56), а также неравенство (15), получим

П р п

£ ||иХЬ) ,ВТ ^ п + У £ Бг(их,)СхСЬ =

г=1 т-\Т’г г— 1

ВТ Г{и>Ь}

/п р п

^Б^Тх, )СхСЬ + ^ Б г (тх, )СхСЬ ^

ВТ Г{|их, |>1}Г{и>Ь} г 1 ВТ Г{|их, |^1}Г{и>Ь} г 1

^ п + Бг(иХ,)СхСЬ + Бг(1)СхСЬ ^ с4.

втГ{|и^ |>1} г=1 ВТГ{и>Ь} г=1

Ограниченность интеграла / Б1(и(Ь)(Ь, х))Сх(Ь доказана.

ВТ

Таким образом, правая часть в (63) стремится к нулю при Д ^ то. Поэтому (61) справедливо и для неограниченной области П. Тогда и(Ь)(Ь,х) = 0 почти всюду в (0, Т) х Пг. Ввиду произвольности г > 0, Т > 0, отсюда следует, что и(Ь,х) ^ Ь для почти всех (Ь, х) Е В.

Доказательство леммы 4. Возьмем произвольное Ь > 0 и воспользуемся (20) и (65), получим

г=1

Поскольку и(Ь,х) ^ Ь + и(Ь)(Ь,х), то (23) установлено.

т

6. Доказательство теоремы 2

Пусть теперь область П ограничена. Установим оценки снизу скорости убывания решения задачи (1)-(3) при Ь ^ то.

Введем обозначения

вт(к) = е(Ь) = J ^вЛх,ит(Ь,х)) + <х,

Пт

кМ = / а(х. УитУ(х,

П

опуская индекс т там, где это допустимо. Из формулы (42) следует, что

/п

^2 ар. (х, Уит)итх,<х. (66)

^ г=1

Далее, из (44) имеем

-h'{t) = J (j~ + &(x,um^ u2mtdx.

п

Поэтому

(е'(())2 = У (р!и(х,ит)(ит), + ит<І)ьит,(‘) ) Л і

< (|Кит)Ж(х.ит)) 1 |Ы|и,Ж(х.и™)) 1 ||2 + М11^ .

Применим теперь неравенство Коши-Буняковского для скалярного произведения в К2 и воспользуемся условием (12). Тогда

иті (^) А ,7 [ { п! / „ \ 2 і ит (^)

(e'(t))2 <J (в'и(x,um)((um)t)2 + dxj (f3'u(x,um)u2m + u|^^ dx ^

п

^ -ah'(t)e(t), a = max(a, 2).

При помощи (66) перепишем последнее в виде

e'(t) ( I Е aPi (x) Уum)umxidx J ^ ah (t)e(t).

i=1

п

Отсюда, используя левое неравенство в (10), а также (9), получим

e/(t) > ah'jt)__________hit)____________ > _r h'jt)

e(t) > h(t) J YTi=i aPi (x, ^um)umXidx > h(t) ’

П

или

e'(tK h'(t) 1

7^У > Щ• где 7 = Of•

После интегрирования имеем

h(0)eY (t)

eY (0)

Тогда, ввиду (66) и условия (10),

wwc h(0)eY (t)

т > -h(t)/i > - -ш».

или

e_ > _ -(0)

eY ~ SeY (0)' Отсюда имеем

e1 Y (t) - e1 7(0) ^ (y - 1), для случая Y> 1; e1-Y(t) — e1-Y(0) > -(1 - Y)Для слУчая Y < 1

Таким образом, получаем

e(t) > e(0^l + (7 - 1) gg) • для y> 1; (67)

h(0)t \1-Y Г £e(0) \

• ДЛЯ 1 t 6 0 (1 - 7)h(0)y . (68)

e(t) > e(0) - (1 - Y)5^) ) , Для Y< 1, t G

Докажем предельный переход

J p1(x,um)dx ^ J e1(x,u)dx. (69)

П П

Если интеграл (19) сходится, то, по лемме 4, |um| ^ с. Тогда теорема Лебега об ограниченной сходимости позволяет совершить предельный переход (69). Пусть теперь интеграл (19) расходится, и выполнено условие (24). Сходимость um(t, x) ^ u(t, x) при почти всех x G П по теореме Егорова влечет равномерную сходимость на множестве П С П, mes П/Пг < 5. Если при достаточно больших m выполнено неравенство

|um(t, x) — u(t, x)| < e, x G Пг,

то

в (x,um) ^ C1G(u2m(t,x)) ^ C1G((|u(t,x)| + e)2).

Поэтому теорема Лебега об ограниченной сходимости позволяет совершить предельный переход/ в1 (x,um)dx e1(x,u)dx. Далее,

П5 П5

Im,S |e1(x,um)|dx ^ ||в1 (^ um) Ньд(П) Н 1 Нь^П/П ) ^

П/П$

^ 51/q||e1(x,um)||Lq(П).

Пользуясь условием (24), а также рассуждениями (64) и (65), получим

Im,s < c51/q (/(B*(um) + 1)dxj ^ c51/q.

Теперь нетрудно завершить доказательство предельного перехода (69).

Функции

k=1

принадлежат линейной оболочке функций ш\,ш2, ...,um. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, поэтому

J u2m(t)dx ^ cm\\um{t)W2L^ (п) ^ Cm, Vt > 0. п

Выберем числа bm так, чтобы cm ^ bm/m. Тогда, пользуясь (69), при помощи формулы (13), получим

С® — /Mx,u)dx i Cl /G(uu(t))dx.

пп

После предельного перехода в (67) и (68) при m — то, где e(t) = em(t), получим оценки

(25) ,(26).

6.1. Доказательство теоремы 3. Пусть в(р), р > 0 — абсолютно непрерывная функция, равная единице при р > г, нулю при р < г0, линейная при р Е [г0, 2г0] и удовлетворя-

ющая уравнению

в'(р) = Xv(р)в(р), р Е (2го,г), (70)

(постоянную Л определим позднее). Решая это уравнение, находим

9(р) = exp ^—Л [ v(t)dt^ , р Е (2г0,г).

При р Е (г0, 2г0) имеем

в'(р) = в(2г0) = — exp I -Л I v(t)dt | , р Е (г0, 2г0). (71)

г0 г0

2го

Пусть £(х)-липшицева неотрицательная срезающая функция.

Подставив в (49) p = u£, получим

(e (x,u)t,u£)DT + (X,u0dt = °.

Перепишем это в виде

П

в1 u(x,u)utC + Pi (x, Vu)(u£)xJ dxdt = 0.

DT \ i=1

Положим £(х) = 0(х1). Используя (9) и учитывая, что носители £ и и0 не пересекаются, после интегрирования первого слагаемого по Ь и применения (70), (71) получим

[ в1(х,и(Т))9(х1)Сх + [ Бг(иХ.)9(х1)СхСЬ * (72)

П ВТ г=1

* / |иар1 (*< I |иар1 <х,Уи)А„

ВТ ВТ Г{2го<Х1<г}

0(2г0)

+ J

DT П{го<жх<2го}

uap1 (x, Vu)-

г0

dxdt = I1 + 12.

Отметим, что Б(ви) * вБ(и), при в * 1. Далее, пользуясь ограниченностью функций

V (и * и0) и и (|и| * v0) (см. (32)), при помощи (6), (11), (31) оценим первый интеграл

11 * ! 9(х^ ^ Б 1(еар1 (х, У и)) + Б1 (ии—)^ СхСЬ *

ВТ Г{2то<Х1<т}

* J -(х1)1 £С £ Бг(их,) + дБ2(ииА м СхСЬ.

ВТ Г{2то<х1<т} г 1

Выберем теперь е = , а также А так, чтобы ^v0v0 * 1 и ^д * 2, тогда, воспользовавшись

определением функции V, получим

п Т т

11 * - ! в(х1) Бг(иХ. )СхСЬ + J Сх19(х1) J Б2 (ии )Сх' *

ВТ Г{2т0<х1<т} г=1 0 2то 7(х1)

п Т т

* 2 / -^О Бг(иХ. )СхСЬ + J Сх19(х1) J Б2(иХ2 )Сх' *

ВТ Г{2т0<х1<т} г=1 0 2то 7(х1)

* 1 J 9(х1) ^£ Бг(их.) + Б2(тх2)^ СхСЬ.

Для 12, используя неравенство (11), выводим оценку

12 * -(—— [ (Б1(и) + Б 1(ар1 (х, Уи)))СхСЬ *

г0 1

ВТГ{то<Х1<2то}

* / (Б1(и) + с £ Бг(их.))СхСЬ.

ВТ Г{то<Х1<2то} г 1

Далее, ввиду (57), (5)

/ Б ^ )СхЛ *0 / ^)СхСг-

ВТ Г{х1<2то} ВТ Г{х1<2то} ВТ

Теперь, используя оценки для /1, 12, из (72) находим

J в1(х,и(Т))9(х1)Сх * ——°1 у с1 Бг(иХ.)СхСЬ.

П ВТ г=1

Ограниченность последнего интеграла получается из (43) предельным переходом по т ^ то. Поскольку 9(х1) = 1 при х1 > г, то имеем неравенство (33).

6.2. Доказательство теоремы 4. Выберем положительное число г > 2г0. Введем обозначение

Т

е(г) = М ехр(—А / и(Ь)СЬ)

2то

и, пользуясь (33), запишем соотношение

Ф(Ь) = J в1(х,и(Ь,х))Сх *У в1(х,и(Ь,х))Сх + е(г).

П Пг

Пусть tr такая точка интервала (0, то), что Ф(^) = e(r). Если такой точки нет, то либо Ф(£) > e(r) при всех t > 0, тогда полагаем tr = то, либо Ф(t) < e(r) при всех t > 0. В последнем случае желаемая оценка (74) выполнена. Из (55) следует невозрастание функции Ф^), поэтому

0 ^ Ф^) — e(r) ß1(x,u(t,x))dx, t G [0, tr). (73)

nr

Пользуясь условием (34), (27), запишем неравенства

1/q

Ф^) — e(r) ^ \ I ßi(x,u(t,x))qdx I (mesQr)1/q ^

^ |c3 J B1 (u(t,x))dx| rd/q, r > r0.

Воспользуемся теперь неравенством (57), а также Д2-условием (5),(9), (35) и (55), получим

1/q

Ф^) — e(r) ^ I c3 I B1(ruxi)dx I rd/q ^

1/q

^ c4rd/q II rmBi(uXl)dx

Будем считать, что числа ^, г0 выбраны так, что выполнено неравенство с4гё/д+т/д * г^/д при г > г0. Тогда

1/q

Ф^) — e(r) ^ rß/g I I £ aPi(x, Vu)ux,dx

i=1

1/q

rß/q 1 —d J ß1(x,u(t))dx

П

Решая это дифференциальное неравенство, находим

/ r^ \ q-1

ФМ <e(r) + ((ГЛ*) . (74)

Последнее неравенство справедливо при всех r > 2ro. Выбирая r = r(t) (см. (36)), получаем (37). Теорема доказана.

7. Примеры

Приведем теперь примеры уравнений, удовлетворяющих условиям (4), (9) —(14), (24), (34).

7.1. Пример 1. Введем следующее обозначение

Ла,Ь] = Г Ща, при Щ < 1,

Ь = | Ь| Ь, при | Ь| > 1.

Пусть п = 2. Выберем Ж-функции Б1(в), Б2(в), 0(в), а также функции в(х,и),а(х,р) следующим образом

ЗД = в<2Л/2], Б (в) = 3|5/4'3/21, 0(в) = в[5/4'11/10],

£ ар. (х, р)рг = ^0 +

1+|х|

г=1 11

Понятно, что зависимость от х может быть и у функции в(х, и), но, чтобы не загромождать формулы, здесь ограничимся простейшим примером включения зависимости от х.

3 |и| 2, при |и| < 1,

5

3

По формуле (8) найдем функцию

в1(и) = и|5/2,11/51.

Несложно проверить, что для данных функций выполнены условия (4),(9)-(14), (24), (31), (34). Далее, по формуле (16) при к = | получим

Б1(в) = в|3/2,5/2], Б2(в) = |в|3/2, Н(в) = в

[1/6,1/30]

Тогда, поскольку интеграл (19) расходится к бесконечности, по формуле (18) найдем

(B*)-1(z) = і 6z6, ПРИ |z| < 1,

\ 30z50 — 24, при |z| > 1,

(6)6, при |s| < 6, 'N+24 4 30

Из условий (10) ,(12) легко видеть, что можно взять Г = 8, а = |. Таким образом, из

(26) получим оценку в случае произвольной ограниченной области П

J G(ul(t,x))dx > J G(u0(x))dx(l — Ct)4, при t ^ l/C. п п

Теперь в качестве П выберем следующую область

П(/) = {x|xi > 0, — x1 + / (xi) ^ xi ^ x 1 + / (x і)},

где f - произвольная непрерывная функция. Тогда mes Пг(f) = |r2 ^ r2, r > 2. Из

(28) найдем v(r) = 2^. Несложно проверить, что область n(f) удовлетворяет условиям

(29),(38). Далее, в условии (34) можно выбрать q = Ц. Тогда из (39) найдем оценку сверху

J в1 (u(t,x))dx ^ Ct-1. п(/)

7.2. Пример 2. Пусть п = 2. Выберем Ж-функции Б1(в), Б2(в), 0(в), а также функции в(х,и),а(х,р) следующим образом

Bi(s) = s[9/2,6], B2(s) = s[17/4,6], G(s) = s[3/2,2], £ aPi(p)pi = Bi(pi) + ^2(^2);

ap

i=1

e(u) = J 3|u|2, при |u| < 1

e(u) = 1 § + 4(|u|3 - 1), при |u|> 1.

По формуле (8) найдем функцию

в1(и) = и|3,4].

Несложно проверить, что для данных функций выполнены условия (4),(9)-(14),(31), (34). Далее, по формуле (16) при к = 2 получим

В1(в) = 813/2’6],Б2(в) = 8|3/2’6],^(8) = 8|1/6’-1/3].

Таким образом, интеграл (19) сходится.

Из условий (10),(12) легко видеть, что можно взять Г = 147, а = 4. Тогда из (25) получим оценку в случае произвольной ограниченной области П

J 0(и2(Ь,х))в1х > J G(u|(x))dx(1 + СЬ)-16, при Ь > 0.

ПП

Далее, в условии (34) можно выбрать д = 2. Тогда из (39) найдем оценку сверху

J в1(и(Ь,х))<1х * С-1.

П(/)

Комментарий. Поскольку при |и| < 1 и |и| > 1 функции имеют разные показатели роста, то степенные оценки сверху и снизу также имеют разные показатели.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лаптев Г.И. Слабые решения квазилинейных параболических уравнений второго порядка с двойной нелинейностью // Матем. сб. 1997. Т. 188, № 9. С. 83-112.

2. S. Antontsev, S. Shmarev Parabolic equations with double variable nonlinearities // Дифференциальные уравнения и динамические системы. Сборник статей. Тр. МИАН. 2010. Т. 270. С. 33-48.

3. Антонцев С.Н., Шмарев С.И. Существование и единственность решений вырождающихся параболических уравнений с переменными показателями нелинейности // Фундамент. и при-кл. матем. 2006. Т. 12, № 4. С. 3-19.

4. Алхутов Ю.А., Жиков В.В. Теоремы существования решений параболических уравнений с переменным порядком нелинейности // Дифференциальные уравнения и динамические системы. Сборник статей. Тр. МИАН. 2010. Т. 270. С. 21-32.

5. Андриянова Э.Р., Мукминов Ф.Х. Оценка снизу скорости убывания решения параболического уравнения с двойной нелинейностью // Уфимск. матем. журн. 2011. Т. 3, № 3. С.3—14.

6. Андриянова Э.Р., Мукминов Ф.Х. Стабилизация решения параболического уравнения с двойной нелинейностью // Математический сборник. Москва. 2013. Т. 204, № 7. С. 3-28.

7. Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. О решениях анизотропных параболических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Матем. сб. 2014. Т. 205, № 1. C. 9-46.

8. Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях // Уфимск. матем. журн. 2013. Т. 5, № 1. С. 63-82.

9. Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. Решения анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областях //Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. Т. 1(30). С. 82-89.

10. S.N. Antontsev, S.I. Shmarev Extinction of Solutions of Parabolic Equations with Variable Anisotropic Nonlinearities

Дифференциальные уравнения и динамические системы. Сборник статей. Тр. МИАН. 2008. Т. 261. С. 16-25.

11. S. Antontsev, S. Shmarev On the blow-up of solutions to anisotropic parabolic equations with variable nonlinearity // Дифференциальные уравнения и динамические системы. Сборник статей. Тр. МИАН. 2010. Т. 270. С. 33-48.

12. Жиков В.В., Пастухова С.Е. О свойстве повышенной суммируемости для параболических систем переменного порядка нелинейности // Матем. заметки. 2010. Т. 87, № 2. С. 179-200.

13. Кожевникова Л.М. Стабилизация решений псевдодифференциальных параболических уравнений в неограниченных областях // Изв. РАН. Сер. матем. 2010. Т. 74, № 2. С. 109-130.

14. Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами // Матем. сб. 2010. Т. 201, № 9. С. 3-26.

15. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений анизотропного квазилинейного параболического уравнения в неограниченных областях // Труды МИАН. М., Наука. 2012. Т. 278, № 3. С. 114-128.

16. Гущин А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка, Краевые задачи для дифференциальных уравнений // III, Сборник работ под редакцией В.П. Михайлова, Тр. МИАН СССР . 1973. Т. 126. С. 5-45.

17. N. Alikakos, R. Rostamian Gradient estimates for degenerate diffusion equation // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1982. V. 91, № 3-4. P. 335-346.

18. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений // Укр. мат. журн. 1992. Т. 44, № 10. С. 1441-1450.

19. Лионс Ж.А. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Издательство "Мир". Москва. 1972. 587 c.

20. P.A. Raviart Sur la resolution de certaines equations paraboliques non lineaires // J. Funct. Anal.

5. 1970. P. 209-328.

21. O. Grange, F. Mignot Sur la resolution d’une equation et d’une inequation paraboliques non lineaires // J. Funct. Anal. 11. 1972. P. 77-92.

22. A. Bamberger Etude d’une equation doublement non lineaire // J. Funct. Anal. 24. 1977. P. 148155.

23. F. Bernis Existence results for doubly nonlinear higher order parabolic equations on unbounded domains // Math. Ann. 279. 1988. P. 373-394.

24. Жиков В.В., Пастухова С.Е. Об уравнениях Навье-Стокса: теоремы существования и энергетические равенства // Дифференциальные уравнения и динамические системы. Сборник статей. Тр. МИАН. 2012. Т. 278. С. 75-95.

25. Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. Оценки решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью // Уфимск. матем. журн. 2011. Т. 3, № 4. С. 64-85.

26. Рутицкий Я.Б., Красносельский М.А. Выпуклые функции и пространства Орлича. Гос. издательство физ.-мат. лит.-ры. Москва. 1958. 587 c.

27. Королев А.Г. Теоремы вложения анизотропных пространств Соболева-Орлича // Вестн. Москов. ун.-та, выпуск 4. 1983.

Элина Радиковна Андриянова,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. Карла Маркса, 12,

450000, г. Уфа, Россия

E-mail: Elina.Andriyanov@mail.ru