О поперечниках функциональных классов в l 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №10_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

М.Р.Лангаршоев

О ПОПЕРЕЧНИКАХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ В L2

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 17.08.2012 г.)

Для классов дифференцируемых периодических функций, задаваемых обобщёнными модулями непрерывности ТП-го порядка Q m(f',t) и удовлетворяющих условию

'jm / г(г)

1 л

-¡tQ2:m(f(r\t)dt<o2""(h),

Го

где иёН, /"бКиО, /геМ+, Ф(/) - произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0, вычислены точные значения различных П -поперечников.

Ключевые слова: наилучшее полиномиальное приближение - экстремальная характеристика -обобщённый модуль непрерывности т -го порядка - п -поперечники.

1. Пусть N - множество натуральных чисел; :=М^{0}; К - множество положительных чисел вещественной оси. Ь2 = Ь2 [0,1л~\ - пространство измеримых и суммируемых с квадратом по Лебегу 2л -периодических функций, у которых норма

\f I' 1к 1^[о,2л-]

Г 1 2* У/2

< оо.

1 2л

-\\f(x)fdx

о

Через Т2п_х обозначим подпространство тригонометрических полиномов порядка 2/7 — I. Известно, что для произвольной функции _/ е ¿2, которая имеет разложение в формальный ряд Фурье

+ Е + , (1)

2 к=1

величина ее наилучшего приближения элементами подпространства Т2п_х в пространстве Ь2 равна

1/2

2 /

= \\f-snM)\\= Еа2(/)

Адрес для корреспонденции: Лангаршоев Мухтор Рамазонович. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

где 5'й_1(/) - есть частная сумма порядка п-1 ряда Фурье (1), р](/') = а2к(/') + ¡Тк(/'), а, (/'), /г ( /') А: -ыс косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции f. Символом (/' е /1,0) = Л2) обозначим множество функций _/ е , у которых производные (г — 1) -го порядка абсолютно непрерывны, а производные г-го порядка /(~г> принадлежат пространству Ь2. Величина

( 1 ' ' 11/2

о

называется обобщённым модулем непрерывности, где к = (Ь1,к2,---,кт),А^ = Д^ о-.-оД^ (см. [1-4]

и приведённую там литературу). В данной работе вводим в рассмотрение следующую экстремальную аппроксимационную характеристику

К-т.пАК) = * иР<

пгЕпМ)

( 1 А

1

^ да- Ж

кт/2

Кк о

где и Йе1+. Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть г е и Л е М+. Тогда

2 . и/г — эт — и/г 2 у

л2

, -т/2

Следствие 1. В условиях теоремы 1 при пН = л", имеем

г í

71

п

\ т

4

-4у

2. Пусть ЭД! - некоторое множество, принадлежащее Ь2. Через Ьп(УЯ,Ь2), с1"(9Л,Ь2), (1п(Ш,Ь2), 8п(Ш,Ь2) и Пй(Ш1,£2) обозначим соответственно бернштейновский, колмогоров-скый, линейный, гельфандовский и проекционный п -поперечники множеств 9Л с Ь2 (см. напр. [5]).

Пусть Ф(и) - произвольная непрерывная возрастающая при и > 0 функция такая, что Ф(0) = 0. Для любых /п е М, геМиО и /г е введём следующие классы функций

Математика

М.Р.Лангаршоев

W?\h, Ф) =

( , h

/б4г) =

1 >

ч т/2

\h о

< Ф(/г)

Также полагаем

Еп_х (Ш1) = sup{Еп_х (/) : / е Ш1}, е Ь2,

' sin Л

v t j

def Sill t л 1 Sin L

= 1--, если O<t<tt; 1--, если t>tA,

, t L

где tt - величина аргумента функции sin t /1, при котором эта функция достигает на своего наименьшего значения, то есть t„ - минимальный положительный корень уравнения t — tgt, 4,49 < t. < 4,51. Имеют место следующие утверждения. Теорема 2. Пусть nh < t„. Тогда справедливы равенства

r2AK\hy,L2} = r2nJW^(hy,L2\ =

п-1 [' ' т

= Еп-г K\h) 41-

2 . nh — sin — nh 2

\2

-т/2

• П

где уп (•) - любой из перечисленных выше П -поперечников.

Следствие 2. При выполнении условий теоремы 2 для любого иеМ имеет место равенство

sup \an(f)\,\bn(f)\-f^\h) = 1-

r 2 . nh^

— sin-

nh 2

i -m¡2

• П

где \ап{/) \ и Ъп{/) соответственно косинус-и синус-коэффициенты Фурье функции /'.

Теорема 3. Пусть для любых И е и пе.~М а мажоранта Ф(7) удовлетворяет ограничению

/ \ 2/т

г Ф(А) ^ 2л-2

nh { •

■ U i-^

i м í

dt.

J*

Ф(л-/и); n2h2{n2- 4) 0J Тогда имеют место равенства

Угп [wlr\h^)-L2) = Г2йЧ =

А _2 У'2 , /

1 ^ я ---ф —

rí \п J

(2)

= Еп_х =

п

2 Л

кп -4,

где уп (•) - любой из вышеперечисленных П -поперечников. При этом множество мажорант, удовлетворяющих ограничению (2), не пусто.

Поступило 24.08.2012 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 2005, т.78, 5, с.792-796.

2. Vakarchuk S.B., Zabutna V.I. - East Journal on Approximations, 2008, v.14, 4, p.411-421.

3. Шабозов М.Ш., Хоразмшоев С.С. - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н., 2011, 1(142), с.7-19.

4. Юсупов Г.А. - Изв. Тульского госуниверситета, естеств. науки, 2012, вып.2, с.124-135.

5. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений - М.: Изд-во МГУ, 1976, 304 с.

М.Р.Лангаршоев

ОИДИ ЦУТР^ОИ СИНФ^ОИ ФУНКСИОНАЛЙ ДАР L2

Донишго^и миллии Тоцикистон Барои синфи функсияхои даврие, ки ба воситаи модули бефосилагии умумикардашудаи Дода шуда, махдудияти

1

о

-ро каноат менамоянд, ки дар но т е М, г е N и 0, h е Ф(И ) - функсияи ихтиёрии аф-зуншаванда, ки барояш Ф(0) = 0 аст, кимати аник;и п -кутрхои гуногун хисоб карда шудааст.

Калима^ои калиди: наздиккунии беутарини полиномиали - характеристикаи экстремали - модули бефосилагии умумикардашудаи тартиби m -ум - n -цутр^о.

M.R.Langarshoev

ON THE WIDTHS OF FUNCTIONAL CLASSES IN THE L2 SPACE

Tajik National University In the article for differentiable periodical functions, defined by the generalized modulus of continuity of m -order Q.m(f\t) and satisfy the conditions of

1 и

0

were meN, reNuO, h e R+, 0(7) - is arbitrary increasing function, for which <t>(0) = 0, the exact value of different n -widths are calculated.

Key words: the best polynomial approximation - the extremal characteristic - the generalized modulus of continuity of m -th order - n -widths.