CC BY
17
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №2_
МАТЕМАТИКА
удк 517.5
М.Р.Лангаршоев
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В 4 [0,2 л]
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 27.02.2013 г.)
В работе найдены точные значения различных п -поперечников для классов дифференцируемых 2л -периодических функций в пространстве Ь2 [0,2л], удовлетворяющих ограничению
( \ н ^17 Р
-1 Ют (/"), t \ Л <Ф(Н),
VН о
где т е М; г е Ъ+; Н е ; 0 < р < 2; От(г), t)2 - обобщённый модуль непрерывности т -го порядка производной /(г) е 42[0,2л] и Ф(и), и > 0 - произвольная непрерывная возрастающая функция, такая, что Ф(0) = 0.
Ключевые слова: пространство L2 - наилучшее полиномиальное приближение - экстремальная характеристика - обобщённый модуль непрерывности m-го порядка - п-поперечники.
Пусть N - множество натуральных чисел; := N ^(0); К + - множество положительных чисел вещественной оси. Известно, что Ь2 есть пространство 2л -периодических измеримых по Лебегу функций, у которых норма
Г 1 2л У/2
^[0,2л]
-t 2Л
- f I f (x) \2dx
ir •>
Кл 0
< да.
Через L2) ^ r g Z+; £° = L2 j обозначим множество 2л -периодических функций f g L2, у которых производные (r — 1) -го порядка абсолютно непрерывны, а производные r -го порядка f(r) Ф const принадлежат пространству L2. Символом обозначим подпространство тригоно-
метрических полиномов порядка n — 1. Известно, что для произвольной f g L2, имеющей формальное разложение в ряд Фурье
a ш
f (x) ~ у + Z (ak cos kx + bk sin kx)>
k=1
Адрес для корреспонденции: Лангаршоев Мухтор Рамазонович. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
величина её наилучшего приближения в метрике Ь2 подпространством равна
Е-1 (/)2 = ^ {|| / " ■ Тп-1 (X) е ^ } =
1/2
11/2
/-^(/)||2 НЕа2 + Щ Ч!а2[ ,
(1)
где
^„-1 (/,х) = ^Т + Е (а кх + Ък ^ ^)
2 к=1
^к=п
„-1
[ к=п
- частная сумма порядка п -1 ряда Фурье функции / е . Через
®п (/, X) = вир^/ 0|| :\к\< х}
= Бир <
к=0
V к J
Е (-1)Г-к , /(X + (Г - к)к)
:\ к \<X
обозначим модуль непрерывности порядка Г функции / е .
При решении некоторых экстремальных задач теории приближения функций иногда используют следующую усреднённую характеристику гладкости
Г 1 х х 11/2
(/,х\ = ТГ¡-ЦАг/фк...йкп\ , X>0,
называемую обобщённым модулем непрерывности, где к = (к, к,"', ки ), АГ = А^ о... о А^
(см.[1]). Среди экстремальных задач теории аппроксимации функций одной из наиболее важных является задача вычисления точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина
Еп_ 1 (/) <Х„-гип (/(г),г/п); г е г> 0,
где ит - некоторая характеристика гладкости функций / е '(= Ь2), например (дт или От; % - некоторая константа.
В случае иГ = ®Г эта задача в разное время была исследована с различными экстремальными характеристиками, способствовавшими уточнению оценок сверху констант %, например в работах [2-7], а в случае ит = в работах [8-11] и литература, приведённая в них. В данной работе мы вводим в рассмотрение следующую экстремальную аппроксимационную характеристику
2т'2 пгЕ ( ) р (1 = / е 12) вив 2 2
1 /го т (/(г), ^
\1/р'
(2)
V1 0
где т, п е М, г е ^, г > т и Л > 0 - произвольное число.
Теорема 1. Пусть т, п е М, г е Ъ+, 2 / г < р < 2 (г > 2) и Л - произвольное число, удовлетворяющее условию 0 < Л < ;г / п. Тогда имеют место равенства
тр / 2 ^ -1/Р
^г,р (Л) = ^Р П 'I
1 -
Б1П пг пг
Жг \
Доказательство. Действительно, если функция / е ЁГ) имеет формальный ряд Фурье
/(х) ~ — + Е (ак соб кх + Ьк бш кх),
2 к=1
то непосредственным вычислением находим
( /(г), г ) = 2т 2 к 2гр1 11 -
к=1
Бт кг
кг
где рр = а^. + Ъ2, к > п. Воспользуясь следующим упрощенным вариантом неравенства Минковско-го (см., например, [12, стр.104])
(Л } Р/2 V'Р (
/|Е1Л(012 ¥$)Ь
К 0 1^= п
>
Ю I Л
T\\\fk(t )1Р ¥$ Ж
1/2
к=п V о
где 0 < р < 2, Л > 0, получаем
С , л
± /ют (f(г), г)Ж
\1/р
V1 0
>
>
" 1 1' • £
2т ^ к2 г р2к |1 -
Бт кг
кг
р/2 Л1/р
Жг
>
>т/2
к2/р
Л ад /
/ Е к* р11 -
Бт кг
кг
р/2 л1/р
•и ^
г2/р Жг
>
>т/2
Л2/р
ад I Л /
ЕР кгр / г| 1 -
V 0
Бт кг кг
*тр / 2
1/2
Жг
(3)
ад
т
ад
В работе [8] доказано, что если весовая функция (р{С), заданная на отрезке [0, к] является неотрицательной и непрерывно-дифференцируемой и при некоторых г е М, 1 / г < р < 2 и любом t е [0, к] выполнено дифференциальное неравенство
(rp - 1)y(t) - ty (t) > 0,
то для функции
к г • ,л™р/2
ад=у^Г,ню
01 У 1
выполняется соотношение тД^(у) : у > и} = F(n). Для функции ((?) = t указанное неравенство выполняется, если
(гр -1)() - (' ^) = (гр -1^ -1 = (гр - 2)t > 0,
откуда р > 2 / г, и неравенство 0 < р < 2 в этом случае выполняется для 2 / г < р < 2 лишь только для г > 2. Таким образом, из неравенства (3) согласно значению наилучшего приближения (1) следует, что
С л h
у/р
Vh 0
%m/2
f h
>
h2/р
^ ^nm (f(r), t)dt
mp/2 N\1/p
>
nrp v 0
! t h -
sin nt nt
11/2
dt
Ея
[ k=n
2m/2nr f h L sinn^mpn V/P
h2/р
! i
dt
nt
En-i(f ).
(4)
Используя определение величины (2), из (4) получаем оценку сверху
^m,n,r,p (h) < h2/P Щ
1 -
sin nt nt
, mp / 2
-1/P
dt!
(5)
Чтобы получить оценки снизу величины (2) достаточно заметить, что для функции д0 (t) = cos nt g L^ имеют место равенства
E i(g go) = 1,«m (g0r); t ) = 2m/2 nr ll -
sin nt nt
. m/2
и, следовательно,
к да > г"2^ • ^ -
m.n.r, p\ /
[ 1 h л17 р
-j j rom gr), t) dt
Vh 0 )
h / • \ mp/ 2
sin nt
-1/p
■ ПК'-Т) ■ <6)
Утверждение теоремы 1 следует из сопоставления неравенств (5) и (6).
2. Всюду далее через Ьп(Ш,), (т,Ь2), ^(Ш,), (т,£2) и Пп(Ш, ¿2) обозначим соответственно бернштейновский, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный п -поперечники некоторого центрально-симметричного множества Ш из (см., например, [12] и
[13]).
Пусть Ф(/), где / > 0, - произвольная возрастающая функция такая, что Ф(0) ■ 0- Через Жг)р{И,Ф), т,г е Ы, 0<р0 < р < 2 обозначим класс функций / е }, для которых при любых И > 0 выполняется неравенство
(л И Л17р ,
-1 г от (/(г), № <Ф(и)|
VИ 0 )
wm°(h,0) = -¡ f е L2r):
Также полагаем
En_i(M) := sup^f): f е M}.
Следуя работе [10], через t. обозначим величину аргумента t е М + функции-, при котором она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, что t„ есть наименьший из положительных корней уравнения t = t(4.49 < t < 4.52). При этом
Л sin t Л L sin t sin L \ I 1--I :=ü--, еслиО < t < t„ ;1--, если t > t„k
V t ). [ t t. J
Теорема 2. Пусть для любых h > 0 и n е N мажоранта 0(t) удовлетворяет ограничению
mp / 2 1 17 р
J' [1 - Т Л dd |
O(h) [ ж
.2/р
sin nt
kJL
Ф(ж/n) I h I [w • ^ \ mp7 2 V/p
ч0
vJ ' I1 - ^1 d'
Тогда имеют место равенства
>i-| ,-—^лТ. (7)
sint
^ WS (h ф); L2 J = /2И-1 iwm:p (h, Ф); z2 j =
,mp/2 y1/p
: En-i (W^h,Ф)) = 2-m/ Vpn-rI Jt1 1 -^ii
sin t ,
dt
Ф(^п),
у
где (•) - любой из вышеперечисленных п -поперечников. При этом множество мажорант, удовлетворяющих ограничению (7), не пусто. Этому условию удовлетворяет, например, функция Ф.(Г) = Г, где
= V
\ mp / 2
sin t J , dt
J t Ii
t
Легко доказать границы значений для числа а = а(m,p): 0< а <mp.
Поступило 27.02.2013г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Руновский К.В. - Матем. сб., 1984, т.185, №8, с.81-102.
2. Черных Н. И. - Матем. заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.
3. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1979, т.25, №2, с.217-223.
4. Лигун А.А. - Матем. заметки, 1978, т.24, №6, с.785-792.
5. Бабенко А.Г., Черных Н.И., Шевалдин В.Т. - Матем. заметки, 1999, т.65, №6, с.928-932.
6. Вакарчук С.Б.- Матем. заметки, 2006, т.80, №1, с.11-18.
7. Шабозов М.Ш. - Матем. заметки, 2010, т.87, №4, с.616-623.
8. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - Матем. заметки, 2011, т.90, №5, с.764-775.
9. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2005, т.78, №5, с.792-796.
10. Vakarchuk S.B., Zabutna V.I. - East Journal on Approximations, 2008, v.14, №4, p.411-421.
11. Юсупов Г.А. - Изв. Тульского госуниверситета, естеств. науки, 2012, вып.2, с.124-135.
12. Pinkus. A. «-Widths in Approximation Theory - Berlin: Springer-Verlag, 1985, 291 p.
13. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений - М.: Изд-во МГУ, 1976, 304 с.
М.Р.Лангаршоев
НАЗДИККУНИИ БЕХТАРИНИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯОИ ДАВРЙ ДАР
L [0,2ж]
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола барои синфи функсияхои даврие, ки ба воситаи модули бефосилагии умуми-кардашудаи Qm (f; t) дода шуда, махдудияти
f 1 Ь ^17 Р
- jют (f(r), t)dt <o(h),
Vh 0 J
-ро каноат менамоянд, ки дар чо т е N, 0 < p < 2, r е N ^ 0, h е М Ф(К) - функсияи их-тиёрии афзуншаванда, ки барояш Ф(0) = 0 аст, кимати аники n -кугрх,ои гуногун дар фазой L2 [0,2ж] хисоб карда шудааст.
Калима^ои калиди: фазой L2 - наздиккунии беутарини полиномиали - характеристикаи экстремали - модули бефосилагии умумикардашудаи тартиби т -ум - n -цутр^о.
M.R.Langarshoev
THE BEST APPROXIMATION OF SOME CLASSES OF PERIODIC FUNCTIONS
IN L [0,2ж]
Tajik National University In the article for classes of differentiable 2n -periodic functions in L2[0,2ж] space satisfying the constraint
f 1 h Y' p
- j tQp (f(r), t)dt <Ф^),
Vh 0 J
were m е N, 0 < p < 2, r е N ^ 0, h е М +, Qm (f ;t) - generalized modulus of continuity of m -th order, Ф^) - is arbitrary increasing function, for which Ф(0) = 0, the exact value of different n -widths are calculated.
Key words: L2 space - the best polynomial approximation - the extremal characteristic - the generalized modulus of continuity of m-th order - n-widths.
