О новом подходе к изучению асимптотического поведения решений сингулярных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 3 (2015). С. 9-15.

УДК 517.928

О НОВОМ ПОДХОДЕ К ИЗУЧЕНИЮ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Н.Ф. ВАЛЕЕВ, Э.А. НАЗИРОВА, Я.Т. СУЛТАНАЕВ

Аннотация. В работе предлагается новый подход к исследованию асимптотического поведения решений при больших значениях х сингулярных линейных двучленных дифференциальных уравнений видов:

dn

А) + Ых)у(х, А) = 0

с нерегулярно растущим при х —> оо потенциалом д(х). Идея построения асимптотики решений сингулярных линейных дифференциальных уравнений и ее эффективность показаны на уравнениях 4-го порядка с осциллирующим потенциалом.

Ключевые слова: спектральная теория дифференциальных операторов, асимптотические формулы решений дифференциальных уравнений.

Mathematics Subject Classification: 34К08

1. Введение

В работе развивается новый подход к построению асимптотических формул фундаментальной системы решений (ФСР) при х —+оо линейных дифференциальных уравнений со спектральным параметром А Е С вида:

+ Ых)у(хЛ) = 0, (1.1)

ахп

х £ [жо, оо). Хорошо известно, что если потенциал д(х) имеет «регулярное» поведение при х —> +оо, то эти уравнения удается сводить к системе линейных дифференциальных уравнений с почти диагональной матрицей, а затем с помощью известной теоремы Левинсона [1] строить асимптотику при х —> оо решений. Классы так называемых «регулярных» потенциалов д(х) (имеющих регулярное поведение при х —+оо) состоят из функций, удовлетворяющих условиям типа Титчмарша-Левитана ([1], с.ЗЗО): д(х) дважды непрерывно-дифференцируемая, д'(х), (/'(ж) не меняют знак на [жо,схэ) и

д{х) —>■ +оо, д\х) = о(д1(х)), 0<7<1Н—, х —> +оо.

N.F. Valeev, Е.A. Nazirova, Ya.T. Sultanaev, On a new approach for studying asymptotic

behavior of solutions to singular differential equations.

Работа поддержана РФФИ №15-01-01095 «Прямые и обратные задачи спектральной теории дифференциальных операторов».

© Валеев Н.Ф., Назирова Э.А., Султанаев Я.Т. 2015. Поступила 24 июля 2015 г.

В этом случае ФСР этих уравнений имеет асимптотику при х —> +оо вида [3]:

1

Ук{х, А)

— ехр / цк(г,\)(И,

(1.2)

\р,к(х,\)] 2 ихо

где А) корни уравнения ¡лп — Хд(х) = 0, к = 1 ..п.

Целью настоящей статьи является расширение классов дифференциальных уравнений с нерегулярными коэффициентами, для решений которых можно выписать асимптотические формулы при х —У -|-оо.

Для демонстрации основной идеи построения асимптотики ФСР предлагаемым подходом мы рассматриваем уравнение следующего вида:

А) + Х4(д(х) + к(х))у(х, А) = 0,

где д(х) — потенциал регулярного типа, а Н{х) — возмущение, причем нерегулярного типа и не подчинено д{х).

Предлагаемая нами схема исследования асимптотики ФСР ориентирована на классы возмущений 1г(х), которые можно назвать «быстроосциллирующими». Примерами таких возмущений являются функции вида:

4х) = У~]рк(х)Рк(Фк(х)),

где — периодическая функция, а Рк(х), фк(х) — монотонные функции.

Отметим, что уравнения Штурма-Лиувилля с подобными потенциалами изучались многими авторами ([2]-[5] и др.). Как правило, в этих работах для получения ФСР требовалось, чтобы д(х) и Н(х) удовлетворяли условию: функция а(х) = /— суммируема на бесконечности. При этих условиях в работах ([6], [7]) асимптотики ФСР были получены путем сведения исходного дифференциального уравнения к интегральному уравнению с последующим применением принципа сжимающих отображений.

2. Основной результат

Рассмотрим следующее уравнение:

<14

А) + Х4(д(х) + Цх))у(х, А) = 0,

(2.1)

где А е С, 0 ^ агдА < 7г/2, х € [0, оо).

Потенциал д(х) является дважды непрерывно-дифференцируемой функцией и удовлетворяет условиям регулярности типа Титчмарша-Левитана, а именно: (/'(ж), д'(х) не меняют знак для достаточно больших х и

д(х) —>• +оо, д'(х) = о(д1(х)), 0 < 7 < 5/4, х —>• +оо.

Вид спектрального параметра А в уравнении (2.1) выбран с целью упрощения дальнейших выкладок.

Перейдем от уравнения (2.1) к системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка, введя в рассмотрение вектор-столбец: У = (у, у', у", у'"):

У = А-У=(Ао + Аг)¥, ( 0 1 о о \ /о

(2.2)

А0(х, А) =

0 0 10 0 0 0 1

У Х4д(х) 0 0 0

Аг{х, А)

0 0

\ А4ВД

о о о \

0 0 0

0 0 0

о о о у

Для построения асимптотики ФСР уравнения (2.2) приведем его к "почти диагональному "виду [1].

Собственные значения матрицы Ао(х, А) имеют вид

[¿1(х, А) = \ц(х), /¿2(я, А) = г\/1(х), Цз(х, \) =—\^(х), [¿¿(х, А) = — гЛ//(ж),

Пусть:

/ (А/л)"3 0 0 0 \ ( 1

Т(х, А) =

V

о о о \

О (Л/х)"2 О О

О О (А/л)-1 О

о о 0 1У

V

г — 1-11-1 1 —г —1 г 1111

1 -г \ /

Тогда Т(х, А) приводит Д)(ж, Л) к диагональному виду:

Т~1А0Т = А(х, А), Л(ж, Л) = сИад{/11(х, X), ^(х, А), /1з(х, А), ^(х, Л)} = Л/х(ж)А0,

Замена

преобразует систему (2.2) к виду:

( 1 0 0 0 \

Ао = 0 г 0 0

0 0 -1 0

0 0 —г /

у = т ■ г, г = ¿3

где

г'(х,Х) = ^Хц(х)А0 + \1г(х)

Щх) ц\х) .

- „ / ч-^О ¿(ж, Л),

Сп

4/х3(ж) ( 1 г -1 -Л

1 г —1 —г 1 г —1 —г 1 г —1 —г

Со = Т^ЛТ,

4^3(ж) 2ц{х) ц'(х)

(2.3)

(2.4)

^п = Т-ХТ'

2ц(х)

( 3 -1 + г -1 —1 — г \

— 1 — г 3 -1 + г -1

-1 —1 — г 3 -1 + г

\ -1 + г -1 -1 - г 3 у

Теперь в системе дифференциальных уравнений (2.4) перейдем к новым переменным:

t = J^l(t)dt, х = <р(0, г(х) = и(0-

о

Получим систему уравнений:

Щх) ц'х(х)

Обозначим

, . Н{х) о(<-\

(2.5)

(2.6)

4д(ж)

2ц2(х)'

Наложим на функцию аг(£) условие

a(s)ds

< оо, уе>о,

(2.7)

и введем в рассмотрение функцию:

:= J cv(s)ds.

Положим:

[/(£, Л) = е"Ла1(?)Со • , Л). (2.8)

После замены получаем:

УЦй, А) = (ЛеЛа1(?)Со • Л0 • е"Ла1(?)Со - [3{0 ■ еХа1^с° • • е"Ла1(?)Со) , Л). Так как Сд = 0, то

^(е, Л) = (ЛЛо - АЧфСп - №Ро + ЩОаЛОРп) А), (2.9)

где матрицы Сц, Рц имеют вид:

С

11

/ 0 —1 — г 2 -1 + г\

1 — г 0 г + 1 -2

2 г - 1 0 -1 - г

\ 1 + г -2 -1 - г 0 /

Потребуем выполнения следующих условий:

Рц =6

/ -1 -г 1 г \

-1 -г 1 г

-1 -г 1 г

-1 -г 1 г

< оо, £ > О,

(2.10) (2.11)

Перепишем систему (2.9) в более простом виде:

А) = (АЛо - АЧфСп - №Ро + Ш А),

где элементы матрицы А) = А/3(^)ск1 £ Ь 1(0, оо) при выполнении условий (2.7),

(2.10), (2.11).

Введем в рассмотрение функцию:

МО = ] «1(5)^. (2.12)

Сделаем далее замену, аналогичную (2.8):

А) = е"л2а2(?)С11 • , А), (2.13)

тогда для А) получаем:

(£, А) = ел2"• (АЛо - /3(0 • Ро + А)) • е"^2^11 А). Так как = 0, приходим к системе:

Ц&А) = (АЛо - №Ро + Ш А))Д(е, А), (2.14)

где

Р2(£, А) = ел2"2«)с" • А) • е^2«2^" - А3«2(С)С21 + 1^М!с22 + А2^)/^)^,

2!

при этом матрицы С21, С22 имеют вид:

С

21

0 -2 4 -2 \ (8 8г -8 -8г \

2г 0 2г -4г , С22 — 8 8г -8 -8г

-4 2 0 2 8 8г -8 -8г

-2г 4г -2г 0 / 8г -8 -8г У

а матрица Р21 вычисляется в явном виде.

Потребуем выполнения следующего условия:

а2(0 е ¿1(0, оо).

Тогда элементы матрицы Р2(0 А) суммируемы на интервале (0, оо). Запишем матрицу ЛЛо — /3(0^о в виде:

ало - тр0 = л0 - тр0,

\

(2.15)

Лп

( А + 3/3(0 ООО О г\ +3/3(0 0 0

0 0 -А + 3/3(0 о

ООО

-Рп — -Рп —

—гА + 3/3(0 / Система (2.14) примет следующий вид:

Щ(0 А) = (Ло(£, А) - /3(ОР0 + ¿2(£, Л)) П(0 А).

Сделаем далее замену

Я=(1 + ш, А))Р, Т,Ко = ЛоТ! - /3(ОРо,

откуда находим

тл)

( 3 о о о \

0 3 0 0

0 0 3 0

0 0 0 3

(2.16)

/ 0 -1 -1/2 -1 \

/3(0 г 0 г г/2

А 1/2 1 0 1

V —г -г/2 -г 0

После преобразований приходим к системе:

Р[ = ЛоР - (I + ТгУ^Р + (I + Т1)~1Р2(1 + Т\)Р.

(2.17)

Заметим, что при выполнении условий регулярности для функции д(х) согласно ([1], с.ЗЗО) /3' е £1(0,00), так что в силу условий (2.7), (2.10), (2.11), (2.15) система (2.17) имеет ¿-диагональный вид, а, стало быть, к этой системе может быть применена теорема Левинсона ([1], с.292), согласно которой основной вклад в асимптотики ФСР при х —> +оо вносит диагональная матрица А0. Поэтому система дифференциальных уравнений (2.17) при х —У ~Ьоо имеет следующую асимпотику ФСР:

р(0 А) = ехр { у Ло(*, А)ей }■(! + С ■ о( 1)),

здесь матрица С имеет вид:

С

( 1 1 1 1 \

1 1 1 1

1 1 1 1

V1 1 1 1 /

Далее возвращаясь от системы (2.17) к системе (2.2) с учетом формул для замен переменных (2.3), (2.5), (2.8), (2.12) получим следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть в уравнении (2.1) потенциал д(х) — дважды непрерывно-дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям: (/'(ж), д'(х) не меняют, знак для достаточно больших х и

д

д{х) ->• +оо, —д{х) = о(д1{х)), 0 < 7 < 5/4, ах

а функции

*•«> = 1Ш)= Щ-у *= / ^ * = «V

? О

удовлетворяют условиям

оо

«1(0/3(0 е ¿1(0, +оо), а2(0 = У агЦ)^ € Ь^О, +оо).

Тогда уравнение (2.1) имеет, ФСР такую, что при, х —>• +оо и, при, каждом фиксированном X ф 0 для У(х, А) = (у(х, Х),у'(х, Х),у"(х, Х),у"'(х, Л)) справедливы аси,мпт,от,и,чески,е формулы:

«_

У(х, А) = Т(х, А) • е-ха1^с°-х2а2^с11(1 + Т^С, Л)) • ~1Ко{г'т . (/ + с • о(1)).

3. Пример

Приведем характерный пример функций g(x), h(x), для которых выполнены все условия доказанной теоремы. При этом все известные до нас методы исследования не позволяли получить асимптотические формулы для решений уравнения (2.1) с такими коэффициентами, поскольку для этих методов характерно отсутствие осциллирующей функции h(x).

h(x) = (1 + х)а sin (1 + xf, q(x) = (1 + x)a. Тогда условия теоремы предыдущего пункта выполнены, если

За 3

' > Т + 2'

a асимптотические при х —> +оо формулы для ФСР системы (2.2) имеют вид: Y(x, А) ~ (1 +x)-3a/8T(x,A)e-Ao?-Aai(?)Go"A2a2(?)Gl1,

где

(1 + ж)»/4+1 - 1 а/4+1 '

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969. 526 с.

2. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы). М.: Наука. 1979. 400 с.

3. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. 354 с.

4. Муртазин Х.Х, Султанаев Я.Т. К формулам распределения собственных чисел неполуограни-ченного оператора Штурма-Лиувилля // Математические заметки. 1980. Т. 28:4. С. 545-553.

5. N.F. Valeev, Ya.T. Sultanaev On the deficiency indices of a singular Sturm-Liouville operator with a rapidly oscillating perturbation // Doklady Mathematics. 2000. V. 62. № 2. P. 271-273.

6. Макина H.K., Назирова Э.А., Султанаев Я.Т. О методах исследования асимптотического поведения сингулярных дифференциальных уравнений // Математические заметки. 2014. Т. 96. С. 627-632.

7. Валеев Н.Ф., Назирова Э.А., Султанаев Я.Т. О распределении собственных значений сингулярных дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций // Тр.ММО. 2014. Вып.2. С. 107-123.

8. Султанаев Я.Т. Об асимптотике спектра дифференциального оператора в пространстве вектор-функций // Диф. уравнения. 1974. Т. 10, № 9. С. 1673-1683.

9. Исмагилов P.C. Об асимптотике спектра дифференциального оператора в пространстве вектор-функций // Мат. заметки. 1971. Т. 9, № 6. С. 667-675.

Валеев Нурмухамет Фуатович, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: ValeevNF@yandex.ru

Назирова Эльвира Айратовна, Башкирский государственный универститет, ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: ellkid@gmail.com

Султанаев Яудат Талгатович,

Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы,

ул. Октябрьской революции, За,

450000, г. Уфа, Россия

E-mail: sultanaevYT@gmail. com