Об асимптотической устойчивости по Ляпунову одной системы дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

удк 517.928

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

© Э. А. Назирова1, А. Р. Сагитова1*, А. А. Кадырбердина2

1Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

2Башкирский государственный педагогический университет им. М.Акмуллы

Россия, Республика Башкортостан, 450000 г. Уфа, ул. Октябрьской революции, 3а.

Тел.: +7 (917) 344 17 77.

*Email: mohlesnoy@yandex.ru

Доказана асимптотическая устойчивость системы дифференциальных уравнений первого порядка с осциллирующими коэффициентами, к которой не применима теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Ключевые слова: асимптотическая устойчивость решений систем дифференциальных уравнений.

Введение

Хорошо известна [1] теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению.

Теорема 1. Пусть для системы

п

V —

— = ^ед + ^¿(^Х!, ...,Х„),1 = 1,п,

7 = 1

где х 6 х1, ...,хи) - бесконечно малая по-

рядка выше первого по сравнению с ||х||, выполнены условия: все ДеЯ; < 0, VI, где Я; собственные значения матрицы А; VI, 1, п справедлива оценка

1^*1.....х„)| <М(^^=1Х;2)1/2+а;

все собственные значения матрицы А простые.

Тогда нулевое решение системы асимптотически устойчиво по Ляпунову. Что означает как известно по определению: решение х = системы ^ = /(£, х) называется асимптотически устойчивым по Ляпунову при £ ^ го, если для любого е > 0, существует 5(е) > 0 такое, что для любого решения х = х(£) системы из неравенства ||^(£0) - х(£0)|| < 5 следует неравенство ||^(0 - х(£)|| < е, Vt > t0 и кроме того выполняется условие Нт ||^(0 —

х^+го

х(0|| = 0.

Эта теорема существенно опирается на малость возмущения линейной системы и при ее доказательстве используется лемма Гронуолла. В настоящей заметке мы рассматриваем системы, к исследованию устойчивости которых эта теорема неприменима.

Приведем пример.

Гу1 = —У1 + ¿У251пе*,

{ У2 = —2У2.

Очевидно, что данная система не удовлетворяет условиям теоремы1 устойчивости по первому приближению. Второе уравнение имеет решение 2е 21, подставим его в первое уравнение:

у1 = —у1 + ЬС2е-2451пе4.

Тогда, у1 = С1(С)е-'

Се г — С1е г = —С1е г + ЬС2е

ЛО = /

-'п

ЬС2е + С1

у1 = С1е г + е 4С2 / Ье т5тет^т. Покажем, что нулевое решение устойчиво. Очевидно

у(0) = (У1(0),У2(0))Г = (С1,С2). Пусть ||^(&)П = |у2|}, тогда если

||у(0)|| =тах{|С1|,|С2|}<5, то ||у(0|| = = тах(|у1(0МУ2(01} =

{|С1 + Сг/о'

Ье Т51пеТ^т

<

шах{|с1 + С2 /дйе т5тет^т|, |С2|}

Заметим, что интеграл / Ье т5тет^т сходится абсолютно,

/

0

Ье т51пет^т

<

< |Ы/0е-тА- = |Ь|(1 — е-4)<2|Ь|, откуда ||у(0Н <тах{|С1| +2|С2||Ь|,|С2|} < £, Vt > 0 как только 5 = е/(1 + 2|Ь|).

Сформулируем более общий результат. Рассмотрим следующую систему

^ = £у + Л51пе42у, У=(У1,У2)Г, (1) где В и А - постоянные матрицы 2x2, причем матрица В имеет вещественные простые отрицательные собственные значения Я1 и Я2. Тогда как известно с помощью неособого преобразования эта система приводится к виду

— = Ли + ^¿пе^и, л

(2)

где Л = ^1а^{Я1,Я2}, и = (и1, и2)г, А - постоянная матрица.

Теорема 2. Нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Наметим идею доказательства. С помощью замены и = у=(у1,у2)г придем к системе дифференциальных уравнений

С

= е £шах

ISSN 1998-4812

Вестник Башкирского университета. 2017. Т. 22. №3

633

I dV2 dt

^ = (a^Vt + a12v2)sinet2, = (Ä2 - Ä1)v2 + (ci21v1 + ci22v2)sinet

(3)

Эта система эквивалентна системе интегральных уравнений

= ¡О^иМ?) + &12Р2(т)]5тет2 + Съ

v2(t) = C2e(Ä2-Äl)t + + ft0e(Ä2-Äi)(t-*)[ä21v1(T) +

(4)

+а22р2(т)]зтет йт.

Из последних формул следует и1(0) = С1, Щ = С 2.

Устойчивость по Ляпунову означает, что если 1|и(0)П = тах{|С1|, |С2|} мала, то ||и(С)|| также мала, при £ > Т, где T - некоторое положительное число.

Из (4) следует, что

щЮ = С1ел^ +

+eXlt j0[auU1(T) + +ä12u2(T)]e~XlT sine*2 d.T, U2(t) = C2el2t +

(5)

+eÄ2t f0[ä21U1(T) + + ä22U2(T)]e

?-л2тБтет2ат Теперь нам нужно показать, что из малости |С1|, 1С21 следует малость ||и(С)|| при Ь>Т. Для этого далее поступим так же, как в работах [2, 3], а именно, при помощи интегрирования по частям получим под интегралом быстро убывающий множи-

г<х> 1.2 7

тель и воспользуемся тем, что интеграл ^ 5 те М сходится условно. Действительно,

1

= 1

2t

n 2 d =

-2tet2 sinet2dt =

г' e-t2

= -1 ~2Tdicoset2) =

=--с os e

+

o d .

Первое слагаемое в правой части равенства конечно за счет наличия быстро убывающей экспо-

-t2

ненты е , по той же самой причине конечно и второе слагаемое.

Далее, очевидно, наличие убывающих экспонент обеспечивает малость правых частей (5) при t ^ то, что в свою очередь влечет асимптотическую устойчивость по Ляпунову

Теперь, возвращаясь к переменной y(t) получаем ее малость при t ^ то.

Замечание 1. Полученный результат справедлив для системы дифференциальных уравнений 1-го порядка произвольной размерности.

Замечание 2. Понятно, что наличие после интегрирования по частям убывающих экспонент е-12 обеспечивает справедливость аналогичной теоремы и для случая кратных собственных значений.

Замечание 3. Все сказанное справедливо и в случае, когда собственные значения являются комплексными с отрицательными вещественными частями.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. // 3-е изд. «Лань». СПб. 2003. 448 с.

2. Myakinova O. V., Nazirova E. A., Valeyeva L. R. On asymptotic behavior of solutions of the first-order jf diferential equations with a strongly oscillating coefficient. // Vestninik Bash-kirskogo universiteta. Vol. 21. 2016. No. 3. Pp. 549-550.

3. Валеев Н. Ф., Назирова Э. А., Султанаев Я. Т. О новом подходе к изучению асимптотического поведения решений сингулярных дифференциальных уравнений. // Уфимск. матем. журн., 2015. Т. 7. №3. С. 9-15.

2

'

2

2

е

2

Поступила в редакцию 22.08.2017 г.

ON ASYMPTOTIC LYAPUNOV STABILITY OF ONE SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS

© E. A. Nazirova1, A. R. Sagitova1*, A. A. Kadirberdina2

1Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

2Bashkir State Pedagogical University 3a Oktyabrskoi Revolyutsii Street, 450000 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (917) 344 17 77.

*Email: mohlesnoy@yandex.ru

Lyapunov theorem on stability in the first approximation is well known. This theorem is essentially based on the smallness of the perturbation of the linear system; for its proof, the Gronwell lemma is used. The authors of the article seek to prove the asymptotic stability of the system of first order differential equations with oscillating coefficients, to which the Lya-punov theorem on stability in the first approximation is not applicable. The obtained result is based on the study of the asymptotic behavior of the fundamental system of solutions of the system of first order differential equations with oscillating coefficients. The considered system is

^ = By + ^sinet2y, y = Oi, y2)T, where B and A are constant matrices 2x2; the matrix B has real simple negative eigenvalues Xi and X2. Levinson's method of reducing systems to the L-diagonal form is widely known. Levinson studied systems of the form Y' = WY + CY, where W is a diagonal matrix and C is a matrix with summable coefficients. This method is the basis of many studies of the asymptotic behavior of solutions of singular high order differential equations. Yet for systems considered in this article, Levinson's method is not applicable. The authors propose a method for studying such systems by means of matrix transformations. These efforts led to proof of the theorem on the stability of a system of first order differential equations with oscillating coefficients. The obtained result can be used widely: to study systems of first order differential equations arbitrary dimension, to study systems of differential equations in the case of multiple eigenvalues, and to study systems of differential equations in the case of complex eigenvalues with negative real parts.

Keywords: asymptotic stability, system, differential equation, solution.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Fedoryuk M. V. 3 ed. «Lan'». SPb. 2003.

2. Myakinova O. V., Nazirova E. A., Valeyeva L. R. Vestninik Bashkirskogo universiteta. Vol. 21. 2016. No. 3. Pp. 549-550.

3. Valeev N. F., Nazirova E. A., Sultanaev Ya. T. Ufimsk. matem. zhurn., 2015. Vol. 7. No. 3. S. 9-15.

Received 22.08.2017.