О некоторых свойствах динамического гашения колебаний в механических системах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 62.752, 621:534.833; 838.6 Хоменко Андрей Павлович,

д. т. н., профессор, ректор, Иркутский государственный университет путей сообщения,

тел. 8(3952)598428, e-mail: homenko@irgups.ru Елисеев Сергей Викторович, д. т. н., профессор, директор, главный научный сотрудник НОЦ современных технологий, системного анализа и моделирования, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8(3952)598428, e-mail: eliseev_s@inbox.ru

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ДИНАМИЧЕСКОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ

В МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

A. P. Khomenko, S. V. Eliseev

SOME PROPERTIES OF DYNAMICAL ABSORPTION OF VIBRATION

IN MECHANICAL SYSTEMS

Аннотация. Рассматривается обобщенный подход к задачам динамического гашения колебаний объектов технических систем, подверженных действию вибраций. Показано, что математические модели колебательных систем в виде структурных схем эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления обладают определенными преимуществами по сравнению с обычными подходами на основе использования дифференциальных уравнений. Динамическое гашение в структурных моделях интерпретируется как введение дополнительных цепей отрицательной обратной связи. Такие цепи формируются на основе структурных преобразований исходной модели по правилами параллельного и последовательного соединения пружин.

Вводятся понятия обобщенной пружины и приведенных жесткостей, что позволяет формализовать приемы формирования условий, определяющих динамическое гашение. Показаны приложения подхода к случаю построения динамического гасителя колебаний для системы с одной степенью свободы при кинематических воздействиях широкого частотного диапазона.

Ключевые слова: динамическое гашение колебаний, цепь обратной связи, обобщенная пружина, приведенные жесткости.

Abstract. Generalized approach to tasks of dynamical absorption of oscillations of objects of technical systems exposed to vibrations are considered. Mathematical models of oscillation systems in the form of structural schemes of equivalent automation control systems are shown to have certain advantages in contrast with usual approaches on basis of differential equations. Dynamical absorption in structural models are interpreted as introduction of additional chains of negative feedback tie. These chains are formed on basis of structural initial model transformations based on rules of parallel and serial springs connections.

Definitions of generalized spring and coerced stiffness that are introduced which allows to formalize formation methods of conditions of dynamical absorption. Approach applications to case of construction of dynamical absorber of oscillation for system with one freedom degree at kinematical disturbances of a wide frequency range are presented.

Keywords: dynamical absorption of oscillations, chain of feedback tie, generalized spring, coerced stiffness.

Введение

Вопросы динамического гашения колебаний можно отнести к достаточно разработанному направлению в динамике машин [1-5]. Использование динамических гасителей колебаний особенно эффективно для объектов, подверженных устойчивым периодическим внешним воздействиям. Известны разработки, связанные с созданием сложных систем динамического гашения колебаний при нескольких возмущениях [1, 5, 6]. Определенный интерес представляют теоретические подходы в решении задач динамического гашения колебаний, основанные на структурных методах математического моделирования [7, 8], в рамках которых механическая колебательная система интерпретируется как некоторая динамическая система автоматического управления. В этом случае структурная схема системы выступает в качестве структурного аналога исходной математической модели, получаемой в виде системы дифференциальных уравнений [9-11]. Объект защиты от вибрационных воздействий в структурной схеме виброзащитной системы может быть выделен путем структурных

преобразований как интегрирующее звено второго порядка при приведении структуры механической колебательной системы (или виброзащитной системы) к схеме, состоящей из объекта защиты и охватывающей его цепи обратной отрицательной связи. В этом случае становится возможным определение режимов динамического гашения, исходя из свойств передаточных функций цепей обратной связи [12]. В физическом смысле обратная отрицательная связь относительно объекта защиты в структурной модели обобщенно отражает упругие свойства виброзащитной системы или приведенную жесткость, зависящую от частоты внешнего воздействия. Параметры цепи обратной связи в конечном итоге определяют условия возникновения режимов динамического гашения.

Вместе с тем режим динамического гашения колебаний не только соотносится с «занулением» координаты движения объекта защиты, но и может рассматриваться как фактор влияния на другие динамические свойства системы.

В предлагаемой статье рассматриваются особенности проявления динамических взаимо-

Механика

действии между элементами механическом колебательной системы с двумя степенями свободы с учетом возможностей реализации движений системы через связи парциальных систем.

I. Общие положения. Особенности

постановки задачи

Вопрос об относительности понятий о соединениях элементарных звеньев в рамках структурной теории виброзащитных систем связан с рассмотрением возможностей использования упругих элементов с отрицательной жесткостью [9, 12-15]. Физические реализации таких упругих элементов требуют подвода внешних источников энергии и соответствующих конструктивно-технических форм реализации в виде механизмов. Формальные приемы введения упругих элементов с отрицательной жесткостью можно рассмотреть на основе правил параллельного и последовательного соединения линейных упругих элементов с использованием понятий о приведенных жестко-стях и обобщенных пружинах [9, 17, 18]. Обобщенные пружины в структурных подходах соотносятся с представлениями о формировании в структурных математических моделях виброзащитных систем цепей обратных связей.

При формировании цепей обратных связей выделяется объект защиты, который в простейшей форме рассматривается в структурной схеме как интегрирующее звено второго порядка. Разработаны правила преобразования структурных схем с выделением объектов защиты и обратных связей. В рамках таких преобразований в простых схемах виброзащитных систем с одной степенью свободы упругие элементы интерпретируются как отрицательные обратные связи. При этом коэффициент усиления обратной связи ассоциируется с жесткостью линейной пружины. В системах с несколькими степенями свободы цепь обратной связи имеет более сложную структуру и, в физическом смысле, представляет собой приведенную жесткость обобщенной пружины.

Таким образом, в системах с несколькими степенями свободы цепь обратной связи относительно объекта защиты представляет собой обобщенную пружину с приведенной жесткостью, определяемой дробно-рациональным выражением в функции от комплексной переменной р = уш, как это принято в теории автоматического управления [14]. При нулевых значениях р дробно-рациональное выражение, или передаточная функция цепи обратной связи, трансформируется в упругий блок, состоящий из нескольких соединенных меж-

ду собой пружин, в том числе с помощью рычажных элементов [17, 18]. В качестве примера возможных трансформаций виброзащитной системы рассмотрим последовательность преобразований исходной системы, как показано на рис. 1, а-з. В данном случае объектом защиты является массоинерционный элемент массой т1. Система имеет две опорных поверхности I и II (рис. 1, а). В качестве внешнего возмущения рассматриваются вибрации основания I, происходящие по гармоническому закону 21 (V). Для построения исходной математической модели используется уравнение Лагранжа второго рода. Преобразования Лапласа, построение структурных схем и их преобразование производятся в соответствии с приемами, изложенными в [19]. В системе не учитывается трение, рассматриваются малые колебания, а система в целом обладает линейными свойствами. Промежуточная масса т2 отражает массоинерционные свойства виброзащитной системы и в определенных случаях может выполнять роль динамического гасителя колебаний. На рис. 1, а-з знак (-) над переменной соответствует изображению по Лапласу [14, 19].

Последовательные преобразования дают представления о возможностях свертки структурной схемы (рис. 1, б) к преобразованной структурной модели, как показано на рис. 1, в. В этом случае объект защиты имеет упругую систему, состоящую из трех элементов: пружин к\ и к2, входящих (рис. 1, г-е) в состав парциальной системы (к\, т\, к2), а также третьего элемента - пружины с приведенной жесткостью к22 / (т2р2 + к2 + кз). Отметим, что такой упругий элемент имеет динамическую жесткость, так как она зависит от частоты р. Обратная цепь реализует положительную обратную связь. В то же время упругие элементы с жестко-стями к1 и к2, находящиеся в структуре парциального блока (рис. 1, д), имеют положительные знаки. При переводе к1 и к2 в структуру цепи обратной связи они формируют обратную отрицательную связь - (к1 + к2), как показано на рис. 1, е. При рассмотрении цепи обратной связи в системе с двумя степенями свободы (рис. 1, ж и рис. 1, з) окончательно формируется цепь отрицательной обратной связи с приведенной жесткостью

кпр - к1 +

к3(ш2 р2 + к2) т2р2 + к2 + к3

(1)

При р ^ 0 кпр стремится к выражению вида

с - к + к2кз

-пр

р^0

к2 + к3

(2)

б)

1 к2 1

V тр2 + к+к Г щр2 + к2 + к

У1

У 2

в)

г)

к,

т2р + к2 + к3

////////////

к->

(+) 1

тр2 + к2 + к3

У1

У1

т

к

д)

е)

4

2

1

щр2 + к2 + к3

У1

ж)

21

з)

-1 21

к2

к + к +-

У1

к к2(т2 Р + к3)

1 тгр2 + к2 + к3

к

21

У1

к.

т2 р + к2 + кз

02

Рис. 1. Формы преобразования структурной математической модели механической колебательной системы с двумя

степени свободы: а - расчетная схема; б - структурная схема при входном сигнале в виде кинематического возмущения; в - объект защиты в виде парциального блока с обратной связью; г - расчетная схема системы с одной

степенью свободы; д - обобщенная структурная схема системы с одной степенью свободы; е - структурная схема системы с одной степенью свободы с обратной связью, состоящей из двух параллельных прямых; ж - структурная схема системы с двумя степенями свободы с объектом защиты Ш1; з - структурная схема системы с двумя степенями свободы с обратной цепью, соответствующей приведенной жесткости системы по отношению к объекту защиты Ш1

Блок упругих элементов в конфигурации виброзащитной системы (рис. 1 , а) при выбранном объекте защиты т1 и р ^ 0 трансформируется в параллельную структуру из пружин к1 и последовательного соединения пружин к2 и кз. Таким образом, механическая колебательная система (рис. 1, а) при выборе объекта защиты т1 может быть преобразована к виду системы, структурная схема которой образует цепь обратной связи. Физический смысл формирования обратной связи соответствует представлениям об обобщенной пру-

жине с приведенной динамической жесткостью, определяемой выражением (1).

Обобщенная пружина, как это видно из преобразований, обладает всеми свойствами, позволяющими вступать в соединения с другими элементами как обыкновенные упругие элементы к1, к2. В работе [19] такие обобщенные пружины получили название квазиупругих элементов, что позволяет развивать на полученной основе соответствующие методы динамического синтеза. В предлагаемой статье задачей исследования являет-

к

2

к

Щ Р

т р

Механика

ся разработка подходов к построению математических моделей и приемов динамического синтеза в задачах динамического гашения колебаний. II. Динамическое гашение колебаний как формирование дополнительной обратной связи

Развивая идею об относительности правил соединения типовых дуальных элементов в теории механических цепей, рассмотрим особенности введения динамического гасителя колебаний в концепции обратной связи. На рис. 2, а-г приведены расчетная и структурные схемы механической колебательной системы с одним динамическим гасителем колебаний в различных вариантах структурных преобразований при формировании дополнительных обратных связей.

На расчетной схеме (рис. 2, а) приняты обозначения: щ — масса объекта защиты, т2 — масса динамического гасителя колебаний; к1, к2 и к3 — жесткости упругих элементов; г — кинематическое внешнее возмущение; у1, у2 — вертикальные координаты движения элементов системы.

Используя структурную схему (рис. 2, б) эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления и делая обычные для сверток-схем преобразования, можно представить

введение динамического гасителя (ДГ) колебаний как введение дополнительной обратной связи по отношению к основному блоку

(т2 р2 + к1 + к2 + к3), представляющему собой парциальную систему, связанную с координатой у1 . Передаточная функция дополнительной положительной обратной связи (рис. 2, в) имеет вид:

^доп (Р) =

к О

щр + к3

(3)

В свою очередь, полагая, что к3 является на структурной схеме (рис. 2, б) дополнительной отрицательной связью с передаточной функцией Щ(р) = к3 по отношению к базовой структурной

схеме (тр2 + к1 + к2), после обычных преобразований (суммирование положительной обратной

к2

связи с передаточной функцией Щ = - 3 "

т2 р + к3

отрицательной обратной связи к ), получим

^ (р) =^3^. (4)

т2 р + к3

Передаточная функция (4) соответствует статусу отрицательной обратной связи. Если найти передаточную функцию механической колебательной системы с динамическим гасителем коле-

б

т1

z I МП '-ТГГГГ

в

К

тр + к

т1 р

к 1

У1

к3щр2 т3 р2 + к3

:(—)

т1 р + к + кк2

к1

У1

Рис. 2. Принципиальная схема введения в механическую колебательную систему динамического гасителя колебаний: а - расчетная схема системы с одним динамическим гасителем; б - структурная схема системы с одним динамическим гасителем; в - динамический гаситель как обратная положительная связь;

г - обратная отрицательная связь

а

г

1

2

2

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

баний, то в варианте рис. 2, б можно получить

__ т2Р 2 + к3

г '

К'(р) = 4 =

(т1 р2 + к1 + к2 + к3) х' х (т2 р2 + к3) - к32

(5)

в варианте рис. 2, в -

1

Ж"(р) = = ^ + к1 + к2 + к3

к о

; (6)

1 -

в варианте рис. 2, г -

к '' ' (р)=4=-

(т1 р2 + к1 + к2 + к3) х х (т2р2 + к)

1

тх р2 + к + к2

1 + -

к3 т2 р

(7)

(тх р + к2)(тх р + к + к2) После преобразований выражения (5)-(7) становятся равнозначными. Таким образом, характер дополнительной обратной связи, в том смысле, является ли она положительной или отрицательной обратной связью, нельзя рассматривать как безусловно определяющий фактор для передаточной функции системы в целом. В конечном итоге мы получаем один и тот же результат.

Особенность заключается в том (если рассматривается именно динамический гаситель, который присоединяется к объекту защиты), в какое место на общей структурной схеме механической колебательной системы входит объект защиты.

В этом случае имеются два варианта. Первый вариант связан с тем, что объект массой т входит в парциальную систему, параметры которой определяются с учетом того, что динамический гаситель уже входит в состав механической системы (рис. 2, б и в). Парциальная система имеет передаточную функцию вида

1 (8)

К

парц1

тр + к + к2 + к3

Такой подход в практическом плане вполне оправдан. В этом случае легче найти парциальную частоту. Динамический гаситель в такой ситуации представляет собой дополнительную положительную обратную связь.

Второй вариант (рис. 2, в) основан на понимании того, что парциальная система формируется без учета динамического гасителя, а передаточная функция парциальной системы имеет вид

1 (9)

К

парц3

тр + к + к2

В такой ситуации введение динамического гасителя представляет собой дополнительную отрицательную обратную связь. Физический смысл обратной связи заключается в том, что она становится обобщенной пружиной, вводимой по правилам обратной связи по абсолютному отклонению. Более подробно эти вопросы рассмотрены в [10, 12]. В частности, это касается методики построения передаточной функции обратной связи.

III. Особенности динамического гашения колебаний в виброзащитных системах с механизмами для преобразования движения

Для приведенных выше расчетных схем характерны структурные формы, в которых нашли отражение взаимодействия между составными элементами массоинерционного и упругого типов, что предопределяет определенную специфику в проявлениях динамических свойств. Результаты исследований в этом направлении с достаточной полнотой представлены в работах [1, 4, 5 и др.]. Вместе с тем в последние годы значительное внимание уделялось механическим колебательным системам, в которых режимы динамического гашения создавались на основе использования дополнительно вводимых в структуру механизмов для преобразования движения [20-22].

Известны разнообразные конструктивно-технические решения, среди которых предлагается использование рычажно-шарнирных механизмов. Такие системы отличаются возможностями создания достаточно разнообразных форм относительного движения дополнительных элементов, что позволяет по отношению к объекту защиты создавать специфические режимы динамического гашения колебаний.

Описание кинематической схемы Рассматривается система, состоящая из объекта защиты (М), который опирается на некоторый опорный блок, состоящий из сдвоенных шарнир-но-рычажных механизмов, в виде двухповодковых групп Ассура с вращательными парами в т. А\, А2; В1, В2; С1, С2; А, ^2. Расчетная схема системы приведена на рис. 3, а, объект защиты совершает вертикальные колебания, которые инициируются действием силовых и кинематических возмущений, соответственно Q(t) и г(?). Внешние воздействия представлены гармоническими функциями, что предполагает построение в дальнейшем структурных математических моделей в виде эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления и определение передаточных функций [12, 14]. Предполагается, что колебательные движения являются малыми, силы сопротивления малы. В таком подходе линейная

Механика

модель может быть использована для предварительной оценки динамических возможностей конструктивно-технических форм соединения элементов, а также расчетов, связанных с оценкой динамических реакций в шарнирах [19].

В точках С1, С2 и D\, D2 закреплены дополнительные массы ml(Dl, D2) и m2(Сl, С2), положение которых может синхронно изменяться. На рис. 3, а приняты обозначения: В1А1 = В1А2 = /1; В2А1 = В2А2= /2; В1С1 = В1С2= /3. В свою очередь, точки Dl и D2 соединены пружиной с жесткостью М, т. С1 и С2 - пружиной к2. Объект защиты (М опирается на пружину жесткостью ко. Кроме того, введены обозначения А1С1 = А2С2 = /3, при этом углы а и в определяют наклоны стержней /1 и /2 относительно вертикали. Мгновенный центр скоростей звена В2А2 при скорости движения объекта у и при Q(t) Ф 0 и г(^) = 0 показан точкой О на рис. 3, б. Скорость точки А2 при г = 0 (то есть при неподвижной опорной поверхности) определится:

У

в2о

АО.

(1о)

Введем ряд соотношений: ВХВ2 = А со8(а) + /2 008(Р), В1В2 = ВО С08(а);

ВО = ; АО = во—А =

со8(а)

А со8(а) +/2 С08(Р)

С08(а)

— А =

А2 С05(Р) .

С08(а)

(11)

= 1в(а), В2О = В^(а).

В1В2

Используя (10) и (11), можно получить выражения для определения скоростей:

/2 совф)

»А2=У

или

^А2=У

соз(а)(/1 соз(а) + /2 со5(Р)^(а) /2 совф)

(12)

(А соз(а) + /2 соз(Р)) зт(а)

Введем понятие передаточного отношения 1 = /1//2, тогда

I соз(В)

иА2 = у-—-• (13)

(со$(а) + г соэф)) зт(а)

Вектор абсолютной скорости при силовом возмущении т. А2 В1О, так как г({) = 0. При кинематическом внешнем возмущении, когда г(^) Ф 0 и Q(t) = 0, будет другое распределение скоростей движения элементов системы, что объясняется, в физическом смысле, формированием иной схемы передачи динамических взаимодействий. В связи с этим проблемным представляется учет совместного действия несколько внешних факторов воздействия.

Развиваемый подход предопределяет разработку метода построения математических моделей механических колебательных систем, в составе которых имеются механизмы, изменяющие структуру взаимодействий между элементами системы в зависимости от вида внешнего возмущения.

Особенности силового возмущения

системы

Если использовать для определения скоро-

стей движения точек элементов понятие о центре мгновенных скоростей, то кинематическую схему на рис. 3 , б можно взять за основу для определения скоростей точек D2 и С2. Скорость точки D2

будет перпендикулярна звену Вфг, тогда иА21[ _ ущ собСР)

«Д 2 =■

А 5т(а)(соз(а) + г соз(Р))'

(14)

где /1 - передаточное отношение, определяемое /1 = BlD2/BlA2 = /'1//1 (/1 меньше единицы, так как Вф2 < В1А2).

В свою очередь может быть найдена абсолютная скорость точки С2 (при г = 0), вектор которой С2 будет В1 С2:

уг ^(Р)(А + /3)

«С 2 =

8т(а)(С08(а) + г С08(Р))/1 уи2 С0Б(Р)

(15)

в1и(а)(С08(а) + г С0Б(Р)) при этом /2 определяется соотношением

. _А + /3

А

(16)

т =

пр

Кинетическая энергия в предположении, что массо-инерционные свойства стержней малосущественны, может быть записана в виде

Т = 1му2 + 2-1 т1(«/51)2 + 2-1 т2(«с1)2 . (17)

Используя (17), введем в рассмотрение приведенную массу

2г ^ФХтг + т2г2) (18)

(С08(а) + г С08(Р)) 81и(а) Найдем выражение для потенциальной энергии, полагая, что в т. В2 при реализации отклонения у смещение т. А2 (5А2) по горизонтали составит

„ уг С08(а) С08(Р)

о А2 =-=

(С08(а) + г С08(Р)) 81и(а)

= угС08(Р)

tg(а)(cos(а) + г С08(Р))' в свою очередь для т. D2 и С2 получим И ущ cos(Р)

(19)

2 0А2

=

А tg(а)(cos(а) + г cos(Р)) уп2 cos(Р)

(20)

(21)

tg(а)(cos(а) + г ^(Р)) Если колебания рассматриваются относительно положения статического равновесия, то потенциальная энергия определится выражением:

П=1 у21К +

(V2 + к2г2)г (^(Р))2 tg(а)(cos(а) + г cos(Р))

Таким образом, упругая система будет характеризоваться приведенной жесткостью

(к А2 + к ¿2) ¿2(С0^(Р ))2

кпр = ко +"

(23)

tg(a)(cos(a) + г cos(Р)) Исходная расчетная схема (рис. 3, а) может быть приведена к обобщенному виду рис. 4, а-в. Для построения структурных схем использована методика, изложенная в работе [23]. а)

■(к0 + кпр )

777777777777

Рис. 4. Эквивалентные расчетная и структурные

схемы системы: а - система с одной степенью свободы обычного типа; б - система с выделением

базовой структуры с присоединением приведенных параметров; в - структурная схема

с механизмом в виде дополнительной отрицательной связи по абсолютному ускорению

Дифференциальное уравнение движения на основе полученных выше выражений (17), (22) в операторной форме запишется в виде

у[(М + тпр )р 2 + ко + кпр ] = й . (24) Передаточная функция системы при силовом внешнем воздействии й соответственно определится как

1

(25)

. (22)

О [(М + тпр)р-+к0+кпр]

На рис. 4, а-в приведены расчетная схема исходной системы и структурные модели-аналоги дифференциального уравнения (17).

Используя вышеприведенный подход, получим, что

г cos(a)

«А2 =

sin(Р)(cos(а) + г cos(Р))

(26)

Механика

Соответственно для т. А и С2 скорости могут быть определены, если найти угловую скорость вращения вокруг т. О, которая определится выражением

С =

с пп li cos(a) + /2 cos(P) Если B2O1 = —

(27)

cos(p)

то

A Oi = B2O1 - / 2 = /1

cos(a)

«D2 CO1/4

соответственно -

«С 2 CO1/5

/AZ cos(a)

A sin(P)(cos(a) + i cos(P))

/bZ cos(a)

; (29)

(30)

^ 8т(Р)(сов(а) + г соб(Р)) При определении скоростей т. С2 и А в относительном движении используем полученные ранее выражения (13)—(15), тогда , _ ¿/собСР)

«С 2 =

(31)

(32)

(33)

Б1п(а)(^ еоБ(а) +г соб(Р))

Для определения параметров в абсолютном движении воспользуемся вспомогательной системой координат хо, у о:

«D2 =

sin(a)(/j cos(a) + i cos(P))'

уИг cos(P)_

sin(a)(^ cos(a) + i cos(P))' yi\ cos(P)

«С2 x0 «С2 x0 + «С2 x0

= yaii2 cos(a) - z—ax cos(a2),

A

иC2 0 = -yaii2 sin(a) -¿—ах sin(a2) ,

«г

I

= уащ cos(a) - z y- ax cos^)

JD2yO

где соответственно

= -yaiij sin(a) -z—ax sin(aj).

1л

(34)

(35)

(36)

(37)

a = ■

cos(P)

sin(a)(cos(a) + i cos(P)) cos(a)

(38)

(39)

8т(р)(ео8(а) +г ео8(Р)) Кинетическая энергия системы с учетом полученных выражений может быть записана в детализированном виде:

Т = -Му2 +2-щх

еоБ(р)

а угловая скорость может быть приведена к виду

ю01 =-^ео«-. (28)

8т(р)(ео8(а) + г еов^))^

Обозначим 0^2 = ¡4, О1С2 = ¡5. Значения ¡4 и ¡5 могут быть найдены из геометрических построений (рис. 5), тогда

2 2 I \уащ cos(a) - Игаг cos(aj)]2 + I + [-yaii^ sin(a) - Игаг sin(aj)]2 [yaii2 cos(a) - zi4aj cos(a2)]2 +

(40)

+2 — тп2

2 I + [~уаи2 8т(а) - ИАаг 8т(а2 )]2

где 13 = ¡4И1, 14 = ¡5И1, углы а1 и а2 определяются по кинематической схеме на рис. 5.

Выражение для потенциальной энергии, в свою очередь, запишется как

уаИ1со$(а)

П = 1 k0( y - z)2 + 21 ki

1

-zzjflj cos(aj)

(41)

+2—k2 \-yaii2 cos(a) - ИАах cos(a2)] .

2

= z • 2 •

p2 +

(42)

Используя уравнение Лагранжа 2-го рода, представим уравнение движения в операторной форме

y [M + 2mla2(iil )2 + 2m2a2(ii2 )2 ]p2 + k0 + +2k [a 2(ii )2 cos2 (a)] + 2k [a2(ii2 )2 cos2 (a)] = a^imi^ (- sin(a) sin(a) + + cos(a) cos(a)) - im2i2i4 x x(— sin(a)sin(a2) + + cos(a)cos(a2)) +k0 + 2k1aa1ii1i3 cos(a) cos(a) --2k2aaliili4 cos(a)cos(a2)• Передаточная функция системы может быть представлена в виде ^ 2aaii[mliir + m2i2i4r ] p2 + (khh x

z

(43)

[m+2a 2i2 (mi2 + mi22)] p2 +

x cos(a) cos(a) - k2i2i4 cos(a) cos(a2)) + k +2a2 cos2 (a)i2 (kji2 + k2i2) + k0 где r = cos(a) cos(a) - sin(a) sin(a), (44) Г = cos(a)cos(a2) - sin(a)sin(a2) • (45) В системе возможен режим динамического

гашения на частоте

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

®L =

2aai cos(a)[k2i2z4 cos(a2) 2 aai( щццг +

кЦг cos(a)]_ к

(46)

+m2i2i4r1)

Частота собственных колебаний определяется выражением

2 = к0 + 2a2 cos2(a)/(/C|/|2 + к/2)

Шсоб , , 2 ■ 2 / • • \ 2 . 2 / • • \ 2 ' '

мл-пир. у (//j) +m2a (н2) Передаточная функция системы (рис. 3, а) при кинематическом возмущении может быть представлена в виде

Rp2 + R

Ж '=y = .

р^о

| Ж' | = R.

р^о

(50)

стотах кинематического возмущения, а также в области высоких частот. При анализе динамических свойств системы на основе передаточной функции (48) значения коэффициентов Л1, Л2, ^3, Л4 определяются параметрами механической системы. Используя геометрические параметры расчетной схемы (рис. 3, а) получим, что:

— = 2аах1(тхщг + т21214г1),

— = 2аа1г(к1г1г3 cos(a)cos(a1) — —к2г2г4 cos(а) cos(а2)) + К,

(51)

(52)

R3 = M + 2a2i2 (m^f + m2i2 ) ,

(53)

(54)

(48)

г - р1 + —

Вид (48) предопределяет возможности реализации режима динамического гашения, что определяется выражением (46), а также наличие резонанса при частоте, которая может быть найдена из выражения (47). Вместе с тем особенность передаточной функции заключается в том, что при

р ^ 0 выполняются соотношения

—

| Ж | = —, (49)

Выражения (49), (50) определяют свойства виброзащитной системы (рис. 3, а) при низких ча-

R = 2a cos (a)(ki + ) + К. При этом передаточные отношения /3 = /4//1, /4 = /5//1 определяются из схемы, приведенной на рис. 5, значения r и ri соответственно выражениями (44), (45).

IV. Сравнительный анализ динамических свойств системы

Особенности передаточной функции (48) таковы, что значения коэффициентов Ri^R4 определяют динамические свойства исходной системы. Например, при Ri = 0 передаточная функция при R2 > 0 будет отражать такие свойства системы, которые характерны для обычной механической колебательной системы с одной степенью свободы при кинематическом возмущении. При R1 = 0 можно также исследовать возможность «зануле-ния» коэффициента R2, так как при достижении

B,

B

O(мгн. центр скоростей)

O (мгн. центр скоростей)

Рис. 5. Кинематическая схема соотношений параметров движения при кинематическом возмущении

Рис. 6. Амплитудно-частотная характеристика системы при условии Яг ^ 0, Яг ^ 0

такого условия числитель передаточной функции может стать равным нулю, что соответствует представлениям о возможностях системы поглощать внешние воздействия. Объект защиты при этом остается неподвижным. Если Л1 и Л2 в числителе передаточной функции одновременно равны нулю при определенном соотношении параметров механической колебательной системы, то амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) не реализуется. В этом случае движение основания приводит к взаимодействиям массо-инерционных элементов симметричного механизма. При этом движение объекта не происходит, так как возникает режим динамического гашения. Аналитическое определение этих условий затруднено из-за сложности тригонометрических выражений, однако задача может быть решена численным моделированием. На рис. 6 представлена АЧХ системы, для которой получены значения Л1 и Л2, близкие к нулю, в частности Л1 = 0,006, Л2 = 0,002. Амплитудно-частотная характеристика на рис. 6 отражает динамические свойства системы, в том числе и резонансные эффекты, которые будут наблюдаться и при малых значениях Л1 и Л2. Если Л1 и Л2 малы, но не равны нулю одновременно, то необходимо учитывать возникновение режима резонанса и «запирания» системы на высоких частотах, тогда зона устойчивого снижения амплитуды собственных колебаний будет находиться в зарезонансной

области, в которой коэффициент передачи колебаний будет постоянным малым числом, что можно интерпретировать как специфичный режим динамического гашения.

Передаточная функция включает в свой состав геометрические параметры системы, которые могут использоваться как настроечные, что нашло отражение в нижеследующем выражении:

N ео8(а)

*ё(а) -

1^(Р)Ь(ш1\ + т212) - N згп(а)

2

еов3(а)

+ 1§(Р)(ео8(а)8гп(Р) + 8гп(а) еоз(Р)) х(к'11[ - к212 (1г + 1ъ)) + к

М + 2 ео8(Р) 2

згп(а) I ео8(а) + 81п(а) ГО8(Р) I ( ) ^ ( ) я1п(Р) (Р)) р2+

181п(а)I . .2 .2, х- (ш.г, + ш42) _ ^ 81П(Р)) ( 11 22)

ео8(Р)

згп(а) I ео8(а) + 81п(а) ГО8(Р)

+2

81П(Р)

х(ео8(а))21 Я1П(а) | (к'2 + к2г] ) + к

81П(Р)

(55)

2

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

Для численного моделирования использовались следующие значения параметров: М = 20 кг; т1 = 4,21 кг; т2 = 0,5 кг; к = 10 Н/м; к2 = 140 Н/м; к3 = 98,36 Н/м; /1 = 0,5 м; /2 = 0,5 м; /3 = 0,5 м; /'1 = = 0,3 м; а = в = 45°.

Динамические свойства системы в данном случае определяются известными соотношениями.

Интерес представляют настроечные возможности системы за счет соответствующего выбора параметров т1, т2, /1, /2 и углов а и в, а также дополнительных пружин к1 и к2, однако режим динамического гашения в данном случае не реализуется.

Вынужденные колебания системы

при кинематическом возмущении

При кинематическом возмущении система силовых взаимодействий изменяется, что требует учета ряда особенностей. На рис. 5 приведена принципиальная схема кинематических соотношений.

В схеме вводится дополнительная система координат хо, уо. Что касается рассмотрения движения объекта (М), то его положение определяется координатой у в неподвижном базисе. При кинематическом возмущении элементы механизма участвуют в двух движениях, которые инициируются движением по вертикали т. В1 и В2, формируя переносное перемещение (обозначения иА2, и'с2, «02), а также относительное, вызванное движением у, - и"а2, и"с2, и"о2. Соответствующие компоненты выделяются при рассмотрении перемещений в т. 01, Ог, С1, С2. Что касается перемещений, то при определении потенциальной энергии упругих элементов к1 и к2 учитываются только горизонтальные составляющие на оси хо. Составляющие скоростей в относительном и переносном движениях определяются в проекциях на оси хо и уо с последующим определением скоростей в абсолютном движении.

Анализ АЧХ показывает, что возможным является снижение уровня вибраций до очень малых значений. При Л1 = о и Л2 = 0 специфичный режим динамического гашения распространяется на весь частотный диапазон, который будет иметь одну точку, в которой отношения амплитуд могут принимать большие значения при резонансной частоте. Таким образом, объект защиты может находиться в неподвижном состоянии в широком диапазоне частот внешнего возмущения. Под-настройка динамического состояния системы может осуществляться за счет изменения жесткости пружины к2 с использованием системы автоматического отслеживания состояния объекта. В этом случае пружина к2 может быть заменена, к примеру, пневматическим элементом, в котором жесткость зависит от давления [24].

Заключение

Динамическое гашение колебаний в механических колебательных системах является эффектом, характерным для внешних воздействий силовой или кинематической природы, который, в определенном смысле, обеспечивает нейтрализацию воздействия на объект, что проявляется в возможностях значительного снижения уровня колебаний защищаемого объекта в широком диапазоне частот.

1. Динамическое гашение колебаний обеспечивается в системе с объектом защиты путем введения дополнительных массо-инерционных элементов, которые закреплены на звеньях шар-нирно-рычажного механизма и соединяются через упругие связи.

2. При использовании структурных математических моделей введение динамического гасителя интерпретируется как введение и формирование цепи дополнительной обратной связи по отношению к объекту защиты. Объект защиты в таком случае представляет собой интегрирующее звено второго порядка.

3. Предлагается метод структурных преобразований на основе использования идей об обобщенных пружинах, обладающих приведенной жесткостью. В физическом смысле цепь обратной связи интерпретируется как обобщенный упругий элемент, обладающий динамической жесткостью.

Коэффициент усиления цепи отрицательной обратной связи соответствует значению приведенной (в общем случае динамической) жесткости обобщенной пружины.

3. Показано, что структурные преобразования математических моделей многовариативны и предполагают возможности формальных подходов, создающих эффекты относительности представлений о свойствах систем.

4. Передаточная функция цепи обратной связи, развернутой относительно объекта, в общем случае является дробно-рациональным выражением и одинаковым порядком числителя и знаменателя. Режим динамического гашения соответствует частоте, при которой знаменатель передаточной функции становится равным нулю. В системах, имеющих порядок уравнения выше 2, частот динамического гашения может быть несколько.

5. Важным обстоятельством для развития принципов динамического гашения является то, что в качестве динамических гасителей могут использоваться и фрагменты самой виброзащитной системы.

6. Новым подходом в обеспечении динамического гашения колебаний является использование в структурах механических колебательных систем специально вводимых механизмов. Показано, что при использовании шарнирно-рычажных симметричных механизмов режимы динамическо-

Механика

го гашения могут создаваться в системах с одной степенью свободы.

7. При определенных соотношениях параметров механизмов в структуре виброзащитных систем возможно создание специфических режимов динамического гашения колебаний, распространяющегося на широкий диапазон гармонических частот.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Коренев Б.Г. Резников Л.М. Динамические гасители колебаний. Теория и технические приложения. М. : Наука, 1963. Т. 2. 535 с.

2. Карамышкин В.В. Динамические гасители колебаний. Л. : Машиностроение, 1988. 86 с.

3. Вибрации в технике: справочник в 6-ти томах. Т.6. Защита оборудования от вибраций / под ред.К.В. Фролова. М.: Машиностроение. 1981. 452 с.

4. Елисеев С.В., Нерубенко Г.П. Динамические гасители колебаний. Новосибирск : Наука, 1982. 182 с.

5. Олейник А.И. Развитие теории и конструктивных форм многомассовых динамических гасителей и устройств виброзащиты строительных конструкций и сооружений : дис. ... докт. техн. наук. М., 2002. 341 с.

6. Банина Н.В. Структурные методы динамического синтеза колебательных механических систем с учетом особенностей физических реализаций обратных связей : автореф. дис. ... канд. техн. наук. - Иркутск, 2006. - 25 с.

7. Елисеев С.В. Новые подходы в теории колебаний. Задачи управления динамическим состоянием колебательных систем на основе введения дополнительных связей // Винеровские чтения : материалы IV Всерос. науч.-практ. конф. Иркутск : ИрГТУ, 2009. С.46-60.

8. Концепция обратной связи в динамике механических систем и динамическое гашение колебаний [Электронный ресурс] / С.В. Елисеев, А.Н. Трофимов, Р.С. Большаков, А.А. Савченко // technomag.edu.ru: Наука и образование: электрон. науч.-техн. изд. 2012. № 5. URL. http:// technomag.edu.ru/doc/378353. html (Дата обращения: 10.05.2012).

9. Елисеев С.В., Резник Ю.И., Хоменко А.П. Ме-хатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск : Наука, 2011. 384 с.

10. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем. Иркутск : Ир-ГУПС. 2012. 288 с.

11. Елисеев С.В., Артюнин А.И., Ермошенко Ю.В. и др. Методологические подходы в системном анализе и математическом моделировании механических колебательных систем. Иркутск, 2013. 96 с. Деп. в ВИНИТИ 07.02.2013, № 37.

12. Елисеев С.В., Хоменко А.П. Динамическое гашение колебаний: концепция обратной связи и структур-

ные методы математического моделирования. Новосибирск : Наука. 2014. 358 с.

13. Пат. 104520 Российская Федерация, МПК C2F16F15/00. Способ управления характеристиками линейных колебаний и устройство для его осуществления / Елисеев С.В. и др.; заявитель и патентообладатель Иркут. гос. ун-т путей сообщ. № 2010129653/11; заявл. ; 15.07.2010 ; опубл. 20.05.2011, Бюл. № 14.

14. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / Елисеев С.В. и др. Иркутск : ИГУ. 2008. 523 с.

15. Упругие элементы в механических системах. Структурные интерпретации / Хоменко А.П., Елисеев С.В., Артюнин А.И. и др. Иркутск, 2013. 460 с. Деп. в ВИНИТИ 02.08.2013, № 230.

16. Елисеев С.В., Белокобыльский С.В., Упырь Р.Ю. Обобщенная пружина в задачах машин и оборудования // Збiрник наукових праць: галузеве машино-будування, будiвництво. 2009. Т. 1. Вып. 3, № 25. С. 79-89.

17. Рычажные связи в задачах динамики механических колебательных систем. Теоретические аспекты / С.В. Елисеев, С.В. Белокобыльский, Р.Ю. Упырь, В.Е. Гозбенко ; Иркут. гос. ун-т путей сообщ. Ирутск, 2009. 159 с. Деп. в ВИНИТИ 27.11.09, № 737.

18. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Ситов И.С. Динамика механических колебательных систем. Рычажные и инерционно-упругие связи. СПб. : Политехника, 2013. 317 с.

19. Елисеев С.В., Большаков Р.С. Определение динамических реакций упругих связей в механических колебательных системах: метод и его приложения ; Иркут. гос. ун-т путей сообщ. Ирутск, 2013. 81 с. Деп. в ВИНИТИ 16.12.13, № 366.

20. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Трофимов А.Н. Задачи динамического гашения колебаний как задачи введения дополнительных обратных связей в управлении состоянием объектов // Информационные и математические технологии в науке и управлении : тр. XVI Всерос. науч. конф. 2010. Т. 2. С. 7-16.

21. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Кашуба В.Б. Прикладные задачи структурной теории виброзащитных систем. СПб. : Политехника, 2013. 364 с.

22. Dynamics of Mechanical Systems with Additional Ties / S.V. Eliseev, A.V. Lukyanov, Yu.N. Reznik, A.P. Khomenko. Irkutsk: Irkutsk State University, 2006. 315 p.

23. Механизмы в упругих колебательных системах: особенности учета динамических свойств, задачи вибрационной защиты машин, приборов и оборудования / Хоменко А.П., Елисеев С.В., Артюнин А.И. и др. ; Иркут. гос. ун-т путей сообщ. Ирутск, 2013. 187 с. Деп. в ВИНИТИ 15.08.13, № 243.

24. Динамические взаимодействия элементов машин: расчетные схемы и математические модели вибрационных состояний / Елисеев С.В., Артюнин А.И., Логунов А.С. и др. ; Иркут. гос. ун-т путей сообщ. Ирутск, 2013. 319 с. Деп. в ВИНИТИ 08.11.13, № 313.