Особенности взаимодействия парциальных систем в виброзащитном контуре с двумя степенями свободы: рычажные связи в динамическом гашении колебаний Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 62.752 Хоменко Андрей Павлович,

д. т. н., профессор, ректор, Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: homenko@irgups.ru

Елисеев Сергей Викторович, д. т. н., профессор, директор, главный научный сотрудник НОЦ современных технологий, системного анализа и моделирования, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8(3952)598428, e-mail: eliseev_s@inbox.ru

Большаков Роман Сергеевич,

младший научный сотрудник, Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: bolshakov_rs@mail.ru

ОСОБЕННОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПАРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ В ВИБРОЗАЩИТНОМ КОНТУРЕ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ: РЫЧАЖНЫЕ СВЯЗИ В ДИНАМИЧЕСКОМ ГАШЕНИИ КОЛЕБАНИЙ

A. P. Khomenko, S. V. Eliseev, R. S. Bolshakov

FEATURES OF INTERACTION OF PARTIAL SYSTEMS IN VIBROPROTECTION CONTOUR WITH TWO DEGREES OF FREEDOM: LEVER TIES IN DYNAMICAL ABSORBTION OF OSCILLATIONS

Аннотация. Предлагается метод построения математических моделей и оценки динамических свойств механических колебательных систем с рычажными связями. При обосновании метода используются особенности взаимодействия парциальных систем, реализующих поступательные и вращательные виды движения. Показано, что при решении задач вибрационной защиты с выбором объекта с поступательным движением и использованием промежуточных твердых тел с упругими соединениями возможно формирование рычажных связей. Параметры рычажных механизмов в простейших конфигурациях определяются как предельные состояния упругих соединений. Разработана методика определения параметров рычажных механизмов и расположения кинематических пар вращательного типа, возникающих при предельных соединениях сочленяемых массоинерционных элементов, к которым относится объект защиты и промежуточные твердые тела.

Показаны возможности построения оригинальных динамических гасителей колебаний рычажного типа. Развиваемая методологическая основа определяет понимание рычажных механизмов как особых типовых элементов в структурной теории виброзащитных систем. Показано, что передаточная функция рычажного механизма с учетом его массо-инерционных свойств отражается операторным выражением дробно-рационального вида. Подобного рода структурное образование может рассматриваться как обобщенная пружина (или квазипружина), обладающая возможностями входить в соединения с другими типовыми элементами виброзащитных систем как обычная линейная пружина.

Приведены примеры построения математических моделей динамических гасителей рычажного типа.

Ключевые слова: рычажные связи и механизмы, динамика систем с рычажными механизмами, рычажные динамические гасители, математические модели рычажных динамических взаимодействий, обобщенные пружины.

Absract. Method of construction of mathematical models and estimation of dynamical properties of mechanical oscillation systems with lever ties is offered. Features of interaction of partial systems, which realize translational and rotational types of movement, are used at justification of method. Is shown that at decision of tasks of vibration protection with choice ofprotection object with transla-tional movement and using of intermediate rigid bodies with elastic connections formation of lever ties is possible. Lever mechanisms parameters in the simplest configurations are determined as limiting condition of elastic connects.

Method of determining of lever mechanisms and location of kinematical pairs of rotational type arising at limiting connects of articulated mass-inertial elements to which protection object and intermediate rigid bodies refer is developed.

Possibilities of construction of original dynamical absorbers of oscillations of lever type are shown. Developed methodological base determines conception of lever mechanisms as particular typical elements in structural theory of vibroprotection systems. Is shown that transfer function of lever mechanism with accounting its mass-inertial properties is represented by expression of fractional-rational view. This kind of structural formation can be considered as generalized spring (or quasi-spring) which has possibilities to penetrate in connects with other typical elements of vibroprotection systems as general linear spring.

Examples of construction of mathematical models of dynamical absorbers of lever type are given.

Keywords: lever ties and mechanisms, dynamics of systems with lever mechanisms, lever dynamical absorbers, mathematical models of lever dynamical interactions, generalized spring.

Введение

Рычажные связи и механизмы в виброзащитных системах используются достаточно широко, что нашло отражение в работах [1-6]. Вместе с тем ряд вопросов, связанных с оценкой динамических взаимодействий элементов виброзащитных систем, нуждается в большей детализации представлений, в частности, это относится к учету форм внешних возмущений и конструктивно-технических особенностей расположения твердых тел, имеющих точку вращения и разнесенные си-

стемы упругих взаимодействий между составляющими элементами [7-9]. В этом плане определенный интерес представляют работы [10, 11], в которых приведены результаты прикладных исследований механических колебательных систем с рычажными связями.

Вопросы о формах представления рычажных связей и рычажных механизмов связаны с задачами оценки динамических свойств механических колебательных систем при наличии пространственной метрики системы, когда точки приложе-

ния динамических сил разнесены между собой, а массо-инерционные элементы имеют точки вращения. Ряд вопросов взаимодействия между парциальными системами и особенностей виброзащитных систем при сочленениях элементов и предельных состояниях приведен в работах [11-13].

В предлагаемой статье основное внимание уделяется методике построения математических моделей в системах с рычажными динамическими гасителями в тех ее аспектах, которые раскрывают особенности динамических взаимодействий парциальных систем различной физической природы при достижении параметрами упругих элементов предельных значений.

I. Общие положения. Постановка задачи исследования

Расчетная схема виброзащитной системы с промежуточным массо-инерционным элементом в виде твердого тела, имеющего точку вращения О1, закрепленную на опорной поверхности, представлена на рис. 1, а—г в различных вариантах упрощения и выбора форм моделей. В качестве внешних возмущений при объекте защиты в виде твердого тела с массой М, совершающего вертикальные колебания, рассматриваются силовые возмущения (гармоническая сила, приложенная к объекту с массой М) и вибрации опорных поверхностей I и II (кинематические гармонические возмущения и z2(t)). Для упрощения построения математических моделей силы вязкого сопротивления не учитываются. В работе [13] показано, что в рамках линейной структурной теории виброзащитных систем, учет влияния дополнительных массо-инерционных элементов и упруго-диссипативных связей может быть построен достаточно просто на основе базовой модели, содержащей минимальное число связей. В этом смысле расчетные схемы на рис. 1, а—г можно рассматривать как базовые. Расчетные схемы на рис. 1, а—в представляют собой механические колебательные системы с двумя степенями свободы. Одна из парциальных систем связана с угловыми колебаниями; возможности таких движений обеспечиваются упругими элементами с жесткостями к1, к2, к3. В задачах вибрационной защиты упругие элементы к1—к3 используются для учета особенностей вращательных шарниров, которые могут специально использоваться при соединении промежуточного твердого тела в т. А с опорной поверхностью II (рис. 1, а—в), а также с объектом защиты. Аналогичным образом могут рассматриваться взаимодействия элементов системы при образовании вращательного шарнира в т. В. На рис. 1, г показана расчетная схема виброзащитной системы с динамическим гасите-

лем колебаний [8], который может быть получен как частный случай преобразования расчетных схем на рис. 1 , а—в при выполнении определенных условий, в частности, при к1 ^ да, к2 = 0, к3 = 0.

2

©

2

в)

777------7771

@

©

П = 2 ку2 + 2 kl(фll - у)2 + 2 k2 (ф/ )2 +

1 2

+2к3(ф12 + У) .

(2)

Запишем уравнения движения в координатах у и ф:

Ыу" + у(к + к1 + к3) -ф(к,11 -к312) = 2, (3) 1ф" + ф(к1/12 + к211 + к3/22) - у(к1/1 - к3/2) = 0. (4)

Передаточные функции системы после преобразований по Лапласу могут быть определены в виде:

1р2

р)=2=

^ к^ ^ к 2/\ ^ к3/2

р) =^ =

ф к /1 къ /2

(5)

(6)

Рис. 1. Расчетная схема виброзащитной системы с промежуточными телами (возможные трансформации): а) система с промежуточным телом, имеющим точку вращения 01; б) схема с твердым телом, которое заменено двумя материальными точками по концам рычага 2-го рода; в) схема с учетом жесткости соединения рычага с объектом защиты; г) схема рычажного динамического гасителя колебаний по патенту [14]

Таким образом, базовая система на рис. 1, а имеет две степени свободы и состоит из двух парциальных систем, положение которых задано координатами у (неподвижный базис) и углом поворота ф относительно точки Оь Ось вращения промежуточного твердого тела перпендикулярна плоскости рисунка. Система обладает линейными свойствами. Для системы характерно то обстоятельство, что парциальные системы совершают различные движения (прямолинейные поступательные и угловые колебания — качания). Используемые упругие элементы к, кх—к3 образуют пространственную систему, формирующую так называемые рычажные связи.

В последующих выкладках используются операторные преобразования Лапласа [1, 10, 11] и частотные методы, опирающиеся на оценку свойств систем через их передаточные функции. II. Общий случай. Построение математических моделей на примере расчетной схеме по рис. 1, а II. 1. Силовое возмущение Q Ф 0, ^(1) = 0, 12(1) = 0

Найдем выражения для кинетической и потенциальной энергий в координатах у и ф:

1 2 1 2

Т = 2 ыу2 +2/ф2, (1)

2 А

Здесь р = у® — комплексная переменная [11] при этом А0 = (Ыр2 + к + к1 + к3)(1р2 + к1/12 + + к2/12 + к3/22) - (к/ - к,/2)

является частотным

характеристическим уравнением.

При силовом возмущении, как это следует из (5), возможен режим динамического гашения колебаний на частоте:

кх / + к 2 / + к3 /2 1

(7)

Из характеристического уравнения могут быть определены две частоты собственных колебаний. Частота динамического гашения ®дин — лежит между частотами также собственных колебаний. II. 2. Случай кинематического возмущения ^ = 0, Ф 0, ^(1) Ф 0) Так как система имеет две опорные поверхности I и II, то в ней рассматривается два внешних возмущения, что для оценки отклика системы требует применения принципов суперпозиции (рис. 1, а).

Если ранее предполагалось, что центр вращения О1 и центр тяжести промежуточного твердого тела совпадали, то в данном случае принимается, что твердое тело обладает относительно точки О1 моментом инерции 1, но центр тяжести смещен в точку О2 на величину /0, а промежуточное твердое тело обладает массой т0. При этом малые колебания системы рассматриваются относительно положения статического равновесия. Принципиальная схема расположения характерных точек приведена на рис. 2. При кинематическом возмущении движение опорной поверхности II создает дополнительные динамические силы инерционного типа, вызываемые колебаниями опорной поверхности; эти силы передаются через вращательный шарнир в т. О1. Для последующих исследований детализированные соотношения приведены на рис. 2.

При определении кинетической энергии необходимо учесть, что т0 будет участвовать в относительном (угол <р), а также в переносном движениях со скоростью г :

0

2

®дин =

б

Рис. 2. Схема расположения элементов системы для смещенного центра тяжести (точка О2)

уо2 =Ф 1о " ¿1,

Если принять, что г = то в системе будет иметь место совместное возмущение по двум входам. В этом случае общая передаточная функция системы принимает вид:

ж (р) = 1= (к + К + + тоо10 1р 2 + г А0 + К1/12 + к211 + к3/22) + (т010 р2 + къ/х -

к111)( к111 + к3/2) (13)

где А = (Мр2 + к + к1 + к3)([ 7 + т0/02 ] р2 + + к1/12 + к2/12 + к3/2) - (к1/1 - к3/3)2 - характеристическое частотное уравнение для структурной схемы на рис. 3.

Выражение (13) можно упростить, если принять к3 = 0, к2 = 0, а также к1 ^ да, тогда:

(8)

р) = у = р

[(7 + т0/0 + т0/0/1)1+к/2

Т = Му2 + 27Ф2 + 2т0(Ф/0 -¿1)2. (9)

Потенциальная энергия системы в этом случае определится следующим выражением:

1 2 1 2

П = ^ к (у - ¿)2 + ^ к1( У -ф/1 - ¿1)2 +

+ 2къ{у + ф/2 -¿1)2 + 2к2(ф/1)2. (10)

Запишем уравнения движения

Му" + у(к + кх + к3) - ф(к1/1 - к3/2) =

= кг + к3 + к1 (11)

ф"( 7 + т0/02) + ф(к1/12 + к2/12 + к3/22) -

- у(к111 - к312 ) = к312 г1 - к111 г1 - т010 г" (12)

Структурная схема системы принимает после преобразований Лапласа следующий (рис. 3).

'010_ '010

-. (14)

г р 2( 7 + т0/02 + М/12 ) + к После введения передаточного отношения

г = /0// ! получим:

р) = у =

2 / 7 -2 7

р (— + т0г + т0г) + к

/

п

( /:2

р + М + т0г2) + к

(15)

Если полагать, что .7 ^ 0, то передаточная функция(15) принимает вид:

*1(р) = у = т0г(г + 1)р 2+ к . г (М + т0г )р + к

(16)

что совпадает с ранее полученными в работах [11, 14-16] результатами.

Таким образом, систему с промежуточным твердым телом при выполнении определенных условий по отношению к расчетной схеме на рис. 1, а, в частности, к2 = 0, к3 = 0, к\ ^ да и 7 ^ 0, можно преобразовать в систему с одной степенью

г

к111 к312

1

Мр2 + к + к1 + к3

к/ - к312

к г

к3 + к1

(7 + т0/2) р2 + к1/12 + к2/12 + к3/2

т010 р + к312 - к111

Рис. 3. Структурная схема системы при кинематических возмущениях от опорных поверхностей I и II

1

г

1

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

свободы. Система при кинематическом возмущении приобретает режим динамического гашения колебаний на частоте:

2 к (17)

Юдин =

т0г(г +1)

При р ^ да система проявляет свойства «запирания», при этом

\\ (р)| = У = +г) 7

Ы + т0г2

(18)

Частота собственных колебаний такой системы с одной степенью свободы (к! ^ да) определяется выражением:

к

Юсоб =

Ы + т0г

(19)

В свою очередь, характеристическое уравнение системы А '0 (при к2 = 0, к3 = 0) имеет вид

А"" = (Ыр2 + к + ^[(1 + т0/02) р2 +

+ у2] - (к^)2 = 0

(20)

или

А"" = Ыр1 (1 + т0/02 ) р 4 + [(1 + т0/02 )(к + к:)] +

+Ыр2к1/12] р 2 + кк/2 = 0.

(21)

Если принять а = т, Ь = 1 + т0/0 , то уравнение (21) преобразуется к виду

4 [Ь(к + кх)] + ак1/12] 2 кк1/12

Р +-

-р +-

■ = 0. (22)

аЬ аЬ

Парциальные частоты системы определяются выражениями

2 к + к1

Ы

п2 = -

к1/1

к1

1 + т0/0

1

(23)

(24)

/-

2 + т0г

редаточное отношение свойства рычага при 1

г0. Массо-инерционные —► 0 будут определяться

параметром т/02 При учете момента инерции рычага его массо-инерционные параметры будут определяться через отношение (1//2), что соответствует приведению момента инерции рычага 1 к концу невесомого стержня длиною /1 (т. А1).

II. 3. Преобразования структурных схем. Возможные формы связей. Рассмотрим ряд преобразований структурной схемы на рис. 3, которая может быть приведена к структурной схеме, показанной на рис. 4, что предполагает исключение угловой координаты ф . Преобразования структурных схем проводятся в соответствии с правилами преобразований, изложенными, в частности,

Если принять, что 1 ^ 0, то Ь = m0l0 , тогда из (22) можно найти частоты собственных колебаний:

1 т0г2 (к + к1) + Ык1

Рис. 4. Структурная схема системы по рис. 2

с исключением координаты ф Отметим, что кинематическое воздействие 71 в данном случае приводится к входу парциальной системы с параметрами Ыр2 + к + к\ + к3.

Если принять, что параметры упругих элементов к2 = 0, к3 = 0, то структурная схема системы (по рис. 4) преобразуется к следующему виду (рис. 5).

1,2соб

Ыт 0г2

+ (М)2

(1 + т0/,2) р2 + к1/12

[т0г2 (к + к1) + Ык 1 ]2 - 4кк1т0Ы/2

(25)

4(Ыт 0г2)2

где г = .

Из (25) следует, что частоты собственных

колебаний существенным образом зависят от гео-

метрических параметров системы. Если иметь в

виду свойства рычажных связей, то пространственные характеристики определяются через пе-

1

Ыр + к + к1

к1 [(1 + т0/^)р2 + к1/12] + (т0/0р2 -к1/1)к1/1

(1 + т0/,2) р2 + к1/12

Рис. 5. Структурная схема системы при к2 = 0, к3 = 0

2

2

7

1

7

Поскольку пружина жесткостью к\ отражает упругие свойства вращательного шарнира при вертикальных однонаправленных движениях, то целесообразно структурную схему на рис. 5 привести к форме, имеющей отрицательную обратную цепь, как показано на рис. 6.

кх (3 + т0/0) р + к1к2

(3 + т01о) р + к^2

1

Ир1 + к

к1(у + то1о2) + к1 (то1о Р 2/1)

(3 + т01^) р2 + к1/12

нимается, что г = г,

1 •

(— + т0* 2) Р 2 /

Л

1

Ир2 + к

1 /У -2\ 2 -2

к + (— + т0/ )р + т0гр

/

Рис. 7. Структурная схема системы (по рис. 2) с предельным значением жесткости упругого элемента ^

Свертка структурной схемы на рис. 7 позволяет получить окончательный вариант преобразований, представленный на рис. 8.

[3 / + т0/(/ + 1)]р2 + к

Г - 2 (И + -2) + т0* Л1 р2 + к

У

Рис. 8. Структурная схема системы по рис. 2 с предельными значениями ^

Передаточная функция системы при кинематическом возмущении г имеет вид

- 2

У [-2 + т0*(* +1)] р + к Щ р) = У =--

г .. , -

(26)

(И +

3

+ т012)р2 + к /

Примем, что — = тп^ является приведенной

массой к концу стержня Д. При этом из (26) следует, что возмущение со стороны основания может сформировать несколько передаточных функций, отражающих сложную структуру внешнего возмущения со стороны вибрирующей опорной поверхности

Рис. 6. Структурная схема с выделением параметра ^ для предельной оценки

Полагая, что к ^ да, преобразуем схему на рис. 6 к следующему виду (рис. 7). При этом при-

(27)

(28)

(29)

у (р) = А + (3/ Л12) + т0*2р2 + т0*р2

1 А" А" А" А"

где А" = (И + 3 / /х2 + т012 + т0/) р2 + к - характеристическое уравнение. Если принять, что 3 = 0, то

, -2 2 -2 р)=+т1_р_+.

1 А"' А'" А"'

Здесь Д0" = Ир2 + т012 р2 + т0гр 2 + к.

Каждой из компонент (29) соответствует своя амплитудно-частотная характеристика, что в суммарном виде может быть отражено на рис. 9 при 3 ^ 0. Отметим, что система имеет частоты собственных колебаний и динамического гашения соответственно:

2 к (30)

®соб =

2

®дин =

И + т0/(/ +1) к

т0/(/ +1)

(31)

При р ^ да возникает режим «запирания», который характеризуется значением передаточной функции (26).

\Ж (р)| = т0,(1 +1) . (32)

И + т0?(/ +1)

Возможные формы амплитудно-частотных характеристик приведены на рис. 9.

0

■Особ Шдин

Рис. 9. Амплитудно-частотные характеристики механической колебательной системы с промежуточным твердым телом

г

к

г

г

Отметим, что в данном случае промежуточное твердое тело (парциальная система углового движения ф) трансформируется в динамический гаситель колебаний рычажного типа [14]. В целом метод построения математической модели основан на исключении угловой координаты ф и формировании дополнительной цепи отрицательной обратной связи по отношению к объекту защиты с передаточной функцией Ыр2 + к. При этом, в физическом смысле, обратная связь соответствует динамической жесткости обобщенной пружины, имеющей передаточную функцию в виде дробно-рационального отношения. При проведении упрощения к\ ^ да, то есть при введении предельного перехода, исходная система теряет одну степень свободы и преобразуется в систему с динамическим гасителем колебаний рычажного типа. При увеличении к1 до больших значений вторая частота собственных колебаний исходной системы становится очень большой и смещается на значительное расстояние по оси частот, что дает возможность рассматривать условно «потерю» одной степени свободы движения, так как механические колебательные системы с сосредоточенными параметрами в данном случае рассматриваются в качестве работоспособных лишь в низкочастотной части спектра внешних возмущений.

Таким образом, в расчетной схеме системы по рис. 2 движения основания создают инерционные силы, которые трансформируются рычажными связями, создавая дополнительные динамиче-

2 2 2

ские инерционные возмущения т® г и т® г, передаваемые объекту защиты (в задачах виброзащиты и виброизоляции).

II. 4. Кинематическое возмущение при совпадении т. О1 и О2 ^ = 0, = 0, т,2 = 0)

Расчетная схема системы приведена на рис. 1, а, где промежуточный массо-инерционный элемент представлен твердым телом, имеющим момент инерции 1 относительно точки вращения О\. Центр тяжести твердого тела находится в той же точке О1. Твердое тело опирается на объект защиты (М) через упругие элементы к\ и к3; пружина жесткостью к2 связывает твердое тело 1 с

опорной поверхностью II, закон движения которых определяется 7^).

Так как кинетическая и потенциальная энергии системы определяются выражениями

1 2 1 2

Т = ^ Ыу 2 + ^ 1ф 2, (33)

1 2 1 2

п = 2к(у - 7)2 + 2к1(у - ф1/1 - 71)2 +

1 2 1 2

+2к1(ф/1) + 2к3(у+ФА -71);

(34)

то уравнения движения в данном случае принимают вид:

у"Ы + у(к + к1 + к3) + ф(к3/2 - к1/1) =

— к7 + к17| + к3 7|,

ф"1 + ф(к1/12 + к/2 + к3/2) + у(к3/2 -

(35)

(36)

к1/1) — к1/171 +1^3/2 71.

Структурная схема системы, после преобразований уравнений (35), (36) по Лапласу, примет вид показанный на рис. 10.

Отметим, что кинематическое возмущение от опорных поверхностей I и II формирует внешние воздействия или выходные сигналы по двум парциальным системам.

Если исключить координату ф, то можно

ввести в рассмотрение преобразованную структурную схему (рис. 11).

Рис. 11. Преобразованная структурная схема с положительной обратной связью

1 1

Ыр2 + к + к1 + к3

к1/1 - к3/2

№

к1/1 - к3/2

к1 7

к1 + к3

1

1р2 + к1/12 + к2/12 + к3/2

к3/2 - к1/1

Рис. 10. Структурная схема системы по рис. 2 при совпадении т. О1 и О2

у1

7

1

7

1

В структурной схеме на рис. 11 положительная обратная связь может быть трансформирована в отрицательную, что представлено на рис. 12.

к1к3(1 + г) + (1 / /12)(к1 + к3) + к2(к1 + к3г )

(1 / /12) р2 + к1 + к2 + к3г2

1

Ыр2 + к

к + к

(к1 - к3г)

(1 / /12) р2 + к1 + к2 + к3г2

(к к^г)

(37)

к1к3(1 + г)2 + к2 (к1 + к3г )

+

к + к 2 + къг

При к2 = 0:

\(р)= у= (к + к1 + к3 )(к1 + к3г) - (к1 - к3г)2 (38)

7 к1к3 (1 + г)2 '

Ыр + к + -—

к1 + к3 г

При к3 = 0 выражение (37) примет вид:

\ (Р) = у =

(к + кх + к3)кх - (кх - к3г')2 (Ыр2 + к )(кх + к3г)2 + к1к3 (1 + г)2

(39)

При к3 = 0 передаточная функция упрощает-

ся до

\ (Р) = у = -

кк1

к

Рис. 12. Структурная схема по рис. 11 с введением передаточных отношений

При 1 = 0 и 7 = 71 получим упрощенную систему с одной степенью свободы с выделением особенностей форм реализации рычажных связей.

Передаточная функция системы при 7 = 71 и 1 = 0 определяется выражением

\(р)= у = (к + к1 + кз)(к1 + к2 + к3г) -7 Ыр2+к+

2 - 2 ' (40)

г кгЫр + кк Ыр + к что вполне соответствует физическим представлениям о взаимодействиях элементов систем при выбранных параметрах.

II. 5. Кинематическое возмущение при совпадении центра вращения О1 с центром тяжести О2

Конечный результат при совпадении точек О1 и О2 можно также получить из выражений (14), (15) при условии /0 = 0, что приводит к определению передаточной функции в виде

ВД = ^ — г

7 р2(-2 + Ы) + к

Р 2( 1 + к

(41)

В (41) соотношение 1//\ можно рассматривать приведение массо-инерционных свойств промежуточного твердого тела к массе некоторой материальной точки тпр = 1//2, которая находится на конце невесомого жесткого стержня длиной /1 (точка А, рис. 2).

В этом случае кинематического возмущения в систему вводится дополнительная связь по ускорению, как это показано на рис. 13, а—г.

Сравнительный анализ показывает, что кинематическое возмущение создает более сложную систему внешнего воздействия, чем силовое. Это

а)

в)

-1

к + тпр Р'

1

(Ы + тп„ ) р

тпр Р + к

(Ы + тп„ ) р2 + к

Рис. 13. Варианты структурных моделей для системы с уравновешенным промежуточным твердым телом: а) дополнительная связь параллельна пружине; б) дополнительная связь как воздействие по двум каналам; в) кинематическое воздействие как комплексный фактор возмущения; г) обобщенная структурная схема

7

7

к

7

7

7

к

связано с формированием возбуждения в нескольких формах при возникающих переносных силах инерции и особенностях передачи силовых факторов рычажными связями.

По существу, учет инерционных свойств промежуточного твердого тела сводится к процедурам приведения момента инерции к форме взаимодействия элементов систем с моделью, построенной либо из невесомого стержня с материальной точкой, обладающей определенной приведенной массой, либо невесомого стержня с двумя материальными точками по концам стержня. При этом в обоих случаях проявляются рычажные связи. Вибрации опорные поверхности II (рис. 1, а-г) во всех случаях оказывают влияние, создавая инерционные силы, однако при J ^ 0 взаимодействия с использованием рычажных связей трансформируются в создание обобщенного упругого элемента. В работах [17, 18] такие элементы предложено называть квазипружинами или компактами. Различие между понятиями связано с составом структурного образования, которое может содержать не только пружины, но и диссипативные и массо-инерционные элементы.

III. Варианты массо-инерционных свойств промежуточного твердого тела III. 1. Рычаг 2-го рода с учетом инерционных свойств

На рис. 1, б, в рассмотрена расчетная схема с промежуточным твердым телом, имеющим точку вращения О1, но его массо-инерционные свойства представлены эквивалентной схемой замещения двумя материальными точками m1 и m2 по концам (т. А и В) невесомого жесткого стержня с рычагами l1 и l2, то есть промежуточное твердое тело моделируется инерционным рычагом 2-го рода.

Контуром III на рис. 1, б обозначено твердое тело, которое имеет момент инерции J. Центр тяжести совпадает с центром вращения твердого тела О1. Используются две координаты y и ф.

В системе два парциальных образования, совершающих угловые и вертикальные колебания. Упругие связи представлены пружинами k, k1, k2 и ks; li = OiA.

Выражения для кинетической и потенциальной энергий имеют вид:

К.. 1 . -.2 1

T = 2 My + 2 m [ф ) + z]2 + 2 m2 [(#2 ) + z]2, (42) П = 2k(y-z)2 + 2kx(y-y -z)2 + 2ЧУ1)2, (43) П = 2k(y-z)2 + 2k,(y-ф1, -z)2 + 2k2(/^)2.(44)

Пусть ф11 = У1, ф12 = У2, У1 = у2/.

Уравнения движения системы при записи с использованием преобразований Лапласа можно представить в виде

у(Ыр2 + к + к1) - к1 у1 = к1! + к!, (45) у1 [т + т2г2) р2 + к1 + к2 ]-- к1 у = (т2г - т1)р 2 ! - к1!. Из (46) найдем, что

_ ![(т2? - т1)р2 - к1] + к1у ( _ у1 = / -2ч 2 7 у . ( )

(т1 + т2г )р + к1 + к2 После подстановки (47) в (46) получим

(46)

У

(Mp2 + k + k1) -

k2

(m1 + m2i2) p2 + k1 + k.

= z

(k1 + k) +

[(m2i2 - m1)p2 - k1 ]k1 (m1 + m2i2) p2 + k1 + k2

(48)

Найдем передаточную функцию системы

W (p) = f =

у (k1 + k)[(m1 + m2i )p + k1 + k2] +

(Mp2 + k + k1)[(m1 +

+k1 + k2 ] + k1 (m2i2 - m1)p2 - k12

(49)

+m2i2) p2 + k1 + k2 ] - kf Если разделить числитель и знаменатель

(49) на ki, то при k1 ^да получим:

У

W (p)=f =

m2i(1 + i) p + k + k2 z [M + m1 + m2i2] p 2 + k + k2

. (50)

Выражение (50) при k2 = 0 совпадает по своей структуре и сущности с полученными ранее выражениями (15), (16), характеризующими свойства систем с промежуточными твердыми телами при кинематическом возмущении.

III. 2. Динамический гаситель колебаний рычажного типа

Расчетная схема динамического гасителя колебаний приведена на рис. 1 , г. В данном случае в системе имеется один упругий элемент жесткостью k и две опорные поверхности I и II, которые движутся по известным законам z(t) и z1(t).

Если рассматривать У как координату абсолютного движения относительно неподвижного базиса, то угол поворота ф определяет положение рычага (l1, l2) в относительном движении. В данном случае

Ф =

У - z1 l

(51)

В свою очередь, точка В получит движение, определяемое соотношениями

Ув = Ф ¡2 =(у - !1)г (52)

где г = ¡2И\ - передаточное отношение рычага.

Точка В будет перемещаться в другом направлении, совершая относительное движение по сравнению с точкой А в силу специфики рычажных связей (в данном случае рассматривается рычаг второго рода [9]).

Тогда скорость точки В относительно неподвижного базиса может быть найдена по формуле

у в =-( у - 71)г + 71.

(53)

Выражение для кинетической энергии с учетом (51)—(53) примет вид

1 2 1 2

Т = -(Ы + т1)у2 + т2[(у - 71)г + 7Х]2.(54)

Потенциальная энергия системы, в свою очередь, может быть найдена из выражения

П = 2к{у-г)2.

(55)

\ (Р) =е =

у т2г(г +1) р + к

7 (Ы + т1 + т2г2) р2 + к

(58)

2 к резонанса сймн =

тг (г +1)

<с

соб '

к

При этом сшб =--, но при

Ы + т1 + т2г

ю «запирание» не будет больше единицы

т (г +1) Ы + т

> 1, г >-1, тогда

Ы + т1 + т2г т2г(г +1)

72

т0

> 1.

Ы + т1 + т2г'

На рис. 14 показаны три вида амплитудно-частотных характеристик.

т2г(г +1)

Уравнение движения системы после промежуточных выкладок принимает вид

у"(Ы + т1 + т2г2) + ку = т2г'(г' +1)7"" + к7. (56) Если 7 = 71, то есть опорные поверхности I и II на рис. 12 объединяются, то уравнение (56) определится:

у"(Ы + т1 + т2г) + ку = т^г +1)7" + к7. (57) При использовании преобразований Лапласа из (57) можно получить передаточную функцию

0

с2дин Ю2соб Ю1соб Ю1дин Ю

Рис. 14. Амплитудно-частотные характеристики системы

с динамическим гасителем: а) система «запирается»; б) система имеет динамическое гашение после резонанса; в) система имеет режим динамического гашения до резонанса

Судя по выражению для передаточной функции (58), можно сделать вывод, что кинематическое возмущение создает сложное воздействие — через упругий элемент и через возникающие силы инерции.

На рис. 15 представлены различные формы эквивалентных соединений массо-инерционных элементов при рычажном механизме, являющемся динамическим гасителем при кинематическом возмущении.

а) -

' 7

т2гр

Из (58) следует, что вид амплитудно-частотной характеристики существенно зависит от передаточного отношения г. Так, например, из

условия Ы + т1 + т2г = т2/(/ + 1) = т2г2 + т2г сле-

Ы + т

дует, что при г =-1 передаточная функция

т2

будет равна 1. Произойдет «запирание» системы от кинематического воздействия.

Если т^С +1) > Ы + т1 + т2г, то частота динамического гашения будет меньше частоты

2

■2 2 т2г р

1

(Ы + т1) р

б)

-1

т2гр

7

X.

1

(Ы + т1 + т2тг )р

Рис. 15. Варианты представления структурных схем виброзащитных систем с рычажным динамическим гасителем: а) кинематическое возмущение имеет две

22

компоненты, реализуемые действием двух элементов тр I и тр21; б) элемент с передаточной функцией тр2!2 как дифференцирующее звено 2-го порядка в параллельном соединении с пружиной к; в) элемент трЧ2 как отрицательная обратная связь по ускорению

7

7

к

1

Рычажные механизмы, как следует из сравнительного анализа структурных схем на рис. 15, а—в, формируют достаточно широкий спектр воздействий. Важным обстоятельством является то, что рычажный механизм создает отрицательную обратную связь по абсолютному отклонению и выступает в соединениях с другими элементами как «пружина» определенного вида. Более подробно динамические свойства гасителей колебаний как таковых, в том числе и при экспериментальных исследованиях, приведены в [15].

Заключение

Рычажные связи и рычажные механизмы в механических колебательных системах встречаются достаточно часто, что соответствует, если воспользоваться динамическими аналогиями, использованию в электрических системах различных трансформаторов. Рычажные связи проявляются в механических системах как устойчивые соотношения между значениями параметров состояния и могут проявляться в системах, где все типовые элементы совершают поступательные движения. Рычажные связи возникают при рассмотрении межпарциальных взаимодействий.

В данной работе показано, что рычажные механизмы в механических колебательных системах, на которых особенно наглядно реализуются рычажные связи, формируются при взаимодействиях парциальных систем с разными видами движений. Варианты таких сочетаний достаточно многочисленны. В простейших случаях, если рассматриваются задачи вибрационной защиты, когда объект совершает прямолинейные колебания, то вторая парциальная система совершает угловые колебания. Расположение осей вращения и способ организации вращательного движения имеют существенное значение.

1. Предлагаемый метод построения математических моделей виброзащитных систем (или механических колебательных систем) заключается в том, чтобы на основе математических моделей исходной системы в виде дифференциальных уравнений во временном пространстве или области преобразований Лапласа сформировать структурную модель. Такая структурная математическая модель является, по своей физической сути, структурной схемой эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления.

Математические модели различных видов допускают взаимно однозначные преобразования. В рамках такого подхода парциальная система вращательного типа при определенных условиях трансформируется в рычажный механизм, имеющий точку вращения и возможности соединений с

другими типовыми элементами системы и опорными поверхностями.

2. В общем случае рычажные связи определяются передаточной функцией дробно-рационального вида, где числитель и знаменатель имеют второй порядок. Физическая сущность передаточной функции «рычажного» типового звена состоит в том, что такое звено является обобщенной пружиной (или квазипружиной), динамическая жесткость которой зависит от частоты и отражает параметры пространственного расположения взаимодействующих с рычажным механизмом элементов. Рычажный механизм как форма реализации рычажной связи обладает рядом особенностей, если его массо-инерционные (и другие) свойства учитывать в зависимости от частоты внешнего воздействия. При малых массо-инерционных параметрах и частотах рычаг является упругим элементом, структура которого отражает конструктивно-технические особенности исходной системы.

3. Предлагается метод оценки динамических свойств рычага, основанный на формировании сочленений в виде вращательных кинематических пар, что достигается использованием предельных значений упругих элементов, жесткости которых входят в числитель и знаменатель передаточной функции рычага.

4. Наличие рычажных механизмов проявляется в том, что силовые и кинематические формы внешних возмущений реализуют различные схемы динамических взаимодействий элементов исходной системы.

5. Предложена и обоснована методологическая основа поиска и разработки динамических гасителей колебаний рычажного типа.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., Засядко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. Иркутск: ИГУ. 2008. 523 с.

2. Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В., Фомина И.В. Возможности сочленения твердых тел в цепных механических системах // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. №3. С. 146152.

3. Елисеев С.В., Кашуба В.Б., Ермошенко Ю.В. Рычажные связи в задачах динамики транспортной подвески // Системы. Методы. Технологии. 2011. № 9. С. 24-31.

4. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Кашуба В.Б., Ситов И.С. Рычажные связи в механических цепях. Динамические аспекты // Системы. Методы. Технологии. 2012. № 4(16). С. 7-13.

5. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Большаков Р.С. Метод структурных преобразований и его приложения в задачах динамики виброзащитных систем. Определение реакций связей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. № 1(41). 2014. с. 8-23

6. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Кашуба В.Б. Прикладные задачи структурной теории виброзащитных систем. Санкт-Петербург : Политехника, 2013. 363 с.

7. Елисеев С.В. Рычажные связи в задачах динамики механических колебательных систем. Теоретические аспекты / Елисеев С.В., Белокобыльский С.В., Упырь Р.Ю., Гозбенко В.Е. Иркут. гос. ун-т путей сообщения. Ирутск, 2009. Деп. в ВИНИТИ 27.11.2009, № 737-В2009.

8. Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Сочленения звеньев в динамике механических колебательных систем. Иркутск : Изд-во ИрГУПС, 2012. 156 с.

9. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Ситов И.С. Динамика механических систем. Рычажные и инерционно - упругие связи : монография. СПб. : Политехника, 2013. 319 с.

10. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Ме-хатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск : Наука, 2011. 384 с.

11. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем. Иркутск : Изд-во ИрГУПС, 2012. 288 с.

12. Елисеев С.В., Гордеева А.А., Фомина И.В. Динамические свойства колебательных систем при пре-

дельных значениях параметров // Вестник ВСГУТУ. № 4(35). 2011. с. 45-54

13. Елисеев С.В., Лонцих П.А. Оценка форм взаимодействия между парциальными системами в механических цепях. Возможные упрощения // Вестник ИрГТУ. 2012. № 6. Т. 65. С. 17-21.

14. Патент 133232 Российская Федерация, МПК Р16Р7/10; Р16Р15/04. Устройство для гашения колебаний / Елисеев С.В., Савченко А.А., Трофимов А.Н., Паршута Е.А., Артюнин А.И. опубл. 12.02.2013.

15. Елисеев, С.В., Паршута Е. А., Большаков Р. С. О возможностях мехатронных подходов к задачам виброзащиты технических объектов // Вибрация машин: измерение, снижение, защита. 2012. № 4(31). С. 46-50.

16. Трофимов А.Н. Концепция обратной связи в динамике механических колебательных систем и процессы динамического гашения колебаний : автореф. дис. ... канд. техн. наук. Иркутск, 2012. 19 с.

17. Елисеев С.В. Ковыршин С.В., Большаков Р.С. Особенности построения компактов упругих элементов в механических колебательных системах. Взаимодействия с элементами систем и формы соединения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. Вып. № 4(36). С. 61-70.

18. Большаков Р.С. Компакты упругих элементов механических колебательных систем. Вопросы построения и взаимодействия с элементами систем // Молод. вестн. УГАТУ. 2013. № 1. с. 71-80.

УДК: 517.925; 531.36

Иртегов Валентин Дмитриевич,

д. ф.-м. н., с. н. с., Учреждение Российской Академии наук, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел. (3952) 45-30-92, е-таИ: irteg@icc.ru

Титоренко Татьяна Николаевна, к. т. н., с. н. с., Учреждение Российской Академии наук, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел. (3952) 45-30-12, е-таИ: titor@icc.ru

О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА

V. D. Irtegov, T. N. Titorenko

ON SOME CLASSES OF SOLUTIONS OF THE MOTION EQUATIONS OF A GYROSTAT

Аннотация. Рассматривается задача о движении гиростата в поле постоянной силы тяжести. Геометрия масс тела и начальные условия его движения соответствуют интегрируемому случаю Сретенского (обобщение случая Горячева - Чаплыгина). Решается задача выделения инвариантных многообразий (ИМ) уравнений движения гиростата и исследования их качественных свойств. На основе модифицированной процедуры Рауса - Ляпунова и методов компьютерной алгебры получен ряд новых ИМ коразмерности 3 и семейства одномерных ИМ. Исследованы качественные свойства найденных ИМ. Например, показано, что семейства одномерных ИМ являются подмногообразиями ИМ коразмерности 3. Некоторые из ИМ коразмерности 3 имеют точки пересечения, которые соответствуют перманентным вращениям гиростата вокруг вертикали. Для указанных движений получены достаточные условия устойчивости по Ляпунову. Все вычислительные задачи решались при помощи системы компьютерной алгебры «Mathematica».

Ключевые слова: гиростат Горячева - Чаплыгина, инвариантные многообразия, устойчивость, компьютерная алгебра.

Abstract. The problem of motion of a gyrostat in constant gravity field is considered. The geometry of masses of the body and the initial conditions of its motion correspond to the Sretensky integrable case (the generalization of the Goryachev - Chaplygin case). The problem of finding the invariant manifolds for the motion equations of the gyrostat is stated. On the base of the modified Routh-Lyapunov technique and computer algebra methods, the new invariant manifolds (¡Ms) of 3 codimension and the families of one-dimentional ¡Ms have been found. Quantitative properties of the ¡Ms have been investigated. For example, it was shown that the families of one-dimensional ¡Ms are submanifolds of the ¡Ms of 3 codimension. Some of the ¡Ms have intersection points, which correspond to permanent rotations of the gyrostat around a vertical. The sufficient stability conditions in the sense of Lyapunov have been obtained for