CC BY
22
Исаченко А.Н.1, Исаченко Я.А.2
белорусский государственный университет, г. Минск, к.ф-м..н., доцент кафедры информационных
систем управления, isachen@ bsu.by
2 ООО «Икстет», гендиректор, г. Москва, yisachenko @ ixtet. com
О НЕКОТОРЫХ ХАРАКТЕРИЗАЦИЯХ МАТРОИДОВ И СВОЙСТВАХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ МАТРОИДОВ
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Матроид, информатика, связность, гамильтонов цикл, гамильтонов матроид, циклический граф, периметр, окружение матроида, оракул, полиномиальная сводимость.
АННОТАЦИЯ
Даётся обзор результатов авторов для гамильтоновых матроидов и характеристик матроидов. Приводятся необходимые определения и факты из теории матроидов. Рассматривается отношение связности в матроиде. В частности, эквивалентные определения связности матроида. Даются сведения о связности гамильтонова матроида, необходимых условиях и связности его циклического графа. Приведена аксиоматизация матроида в терминах периметров и окружения.
Введение
Матроиды встречаются во многих разделах теоретической информатики. В теории кодирования при рассмотрении булевых решёток двоичного простого равномерного кода, в криптографии при рассмотрении схем разделения секретов, в теории алгоритмов как основа «жадных» стратегий разработки алгоритмов, в теории сложности для исследования трудоемкости решения тех или иных задач и доказательства их полиномиальной разрешимости.
Теория матроидов тесно связана с теорией графов. Многие понятия теории матроидов появились как обобщения соответствующих графовых понятий и привели к возникновению отдельных направлений в исследовании матроидов. В свою очередь, описание свойств матроидов зачастую даётся в терминах свойств графов, построенных по определённым семействам матроида.
Широкое применение матроидов связано с простотой, удачным сочетанием комбинаторно-математического подхода и алгоритмическими обобщениями результатов дискретной математики.
Можно дать несколько эквивалентных определений матроида в терминах различных понятий [1,2]. Интересным является факт, что в алгоритмическом смысле, понятия матроида не равнозначны. Поэтому при применении матроидного подхода существенным становится форма задания матроида. Сложность задачи, рассматриваемой на матроиде, зависит от выбранного определяющего понятия. И оценивается, в том числе и количеством обращений к соответствующему форме задания оракулу [3-4]. Можно получить различную сложность для одной и той же задачи при разной форме задания матроида. Сложность задачи распознавания свойства матроида, также оценивается числом обращений к оракулу, в терминах которого определяется матроид.
Связность является общесистемной характеристикой, применяемой при синтезе систем любой природы. Отношение связности часто вводится в математическом моделировании для отражения факта наличия взаимодействия между элементами системы, или невозможности разбиения некоторого множества на составные части, или для отражения независимости элементов друг от друга. В сетевых моделях существуют понятия вершинной и рёберной связности. В топологических моделях понятие связного пространства. В проектировании программных систем связность модулей характеризует степень их независимости друг от друга. Отношение связности присутствует и в теории матроидов. В настоящей статье даётся обзор результатов, полученных авторами при исследовании гамильтоновых матроидов, матроидных оракулов и связанных с ними свойствами.
Основные определения
Основное определение матроида, как правило, даётся в терминах независимых множеств. Матроид на конечном множестве 5 определяется как пара М = (5, F) , где F'2Б - семейство, для которого выполняются следующие условия (аксиомы независимости):
СИ) ;
р2) если А 'ВиВ £F ,тоА £F ;
р3) если А,В£F и | А | = | В | +1, то найдется а £ А \ В , такое что В иа £F .
Подмножества из F называются независимыми, из 2Б \F - зависимыми.
Ранг р(А) подмножества А£2Б в матроиде М = (Б^) определяется как мощность максимального независимого множества, содержащегося в А . Максимальное по включению независимое множество называется базой, минимальное по включению зависимое множество -циклом матроида.
Если В база матроида М = ( Б^) , то её дополнение Б \В образует кобазу матроида М. При этом семейство всех кобаз образует матроид М* = ( 5 , ^ ) двойственный к исходному.
В терминах циклов матроид определяется как пара М = (5, £ ), где 5 конечное множество, аЕ'2Б - семейство, для которого выполняются следующие условия (аксиомы циклов):
(с1) если С , С2£Е ,С1¿С2 , то С1ФС2 ;
(с2) если С1 , С2£Е ,С 1 ¿С2 ,и е£С1 \С2 , то для любого X£С1ПС2 существует С3 6 £ такое, что е£С3'(С 1иС2)\X .
Важное значение в теории матроидов имеет понятие связности. Элементы а,Ь£Б в матроиде М = ( Б^) называют связными, если существует цикл С такой, что а ,Ь £С .
(1) Матроид М = ( Б^) называют связным, если любые два элемента множества 5 являются связными.
Можно дать эквивалентные определения связности, основанные на разложении матроида в произведение меньших матроидов и на понятии сепаратора [3]. Произведение матроидов М; = (), определённых на попарно непересекающихся множествах Б;,г = 1 , это
матроид М = ( Б^) , где Б есть объединение множеств Б;, а F состоит из множеств, каждое из которых есть объединение ровно t подмножеств, по одному из каждого семейства F¡ .
(2) Матроид связен тогда и только тогда, когда он не разлагается в произведение меньших матроидов.
Ограничением матроида М = ( Б^) на множество А £Б называется матроид М . А = ( А^ (А)), где F (А ) = { X | X ' А,Х £ F } . Сепаратор матроида М = ( Б^) - это подмножество Т£Б такое, что
М=( Б^ ) = М. А X М. (Б \ Т), то есть является произведением ограничений матроида М = ( Б^) на множество Т и множество (Б \Т) .
(3) Матроид М = ( Б^) связен тогда и только тогда, когда он имеет только тривиальные сепараторы 0 и Б .
Гамильтоновы матроиды, связность и графы
Пусть М = ( Б ^) - матроид ранга р (Б ) = к ,к < | Б | . Цикл С матроида М называют гамильтоновым, если | С |= к + 1 . Соответственно базу В матроида называют гамильтоновой, если существует содержащий её гамильтонов цикл. Матроид, содержащий гамильтонов цикл, так же называют гамильтоновым. Данные понятия введены в работах [4,5].
В работе [6] установлен следующий факт для гамильтонова матроида.
Теорема 1. Гамильтонов матроид является связным.
По неориентированному конечному графу G = ( V ,Е) можно построить матроид М , взяв в качестве Б множество рёбер Е , и отнеся к F все подмножества рёбер образующие лес. Очевидно, что если граф G = ( V ,Е) имеет гамильтонов цикл, то матроид М является гамильтоновым. Однако, если граф имеет петли и изолированные вершины, он не является гамильтоновым, в то время как его матроид М (G) может иметь гамильтонов цикл.
В гамильтоновом графе при добавлении к гамильтонову циклу ребра образуется ровно два цикла. При добавлении элемента к гамильтонову циклу матроида число образующихся циклов может быть больше двух. Для подтверждения этого рассмотрим следующий простой пример. Пусть S = { e1,...,e7} , а X состоит из подмножеств {e 1 ,e2,e3,e4,e5,e6} , {e 1 ,e2,e3,e4,e7} , { e 3 ,e4 ,e 5 ,e6 ,e7} , { e 1 ,e2 ,e5 ,e6 ,e7} . Легко убедиться, что для £ выполняются аксиомы циклов (с1), (с2). То есть пара M = ( S,X) является матроидом. Причём цикл { e 1 ,e2, e3 ,e4 ,e5 ,e6} гамильтонов. Добавление элемента еу даёт три цикла.
Хотя «почти все» графы являются гамильтоновыми, задача определения наличия гамильтонова цикла в графе является NP-полной [У]. Теорема Бонди-Хватала утверждающая, что граф G с n вершинами является гамильтоновым тогда и только тогда, когда его замыкание -гамильтонов граф, где замыкание определяется добавлением в G ребра (u,v) для каждой пары несмежных вершин u , v , сумма степеней которых не меньше n , имеет в большей степени теоретическое значение. Имеются [8] только достаточные условия Дирака, Оре и Поша, которые полиноминально проверяемы. Перенос этих результатов на матроиды не возможен в силу того, что они формируются в терминах степеней вершин, то есть отношения инцидентности вершин -рёбер, которое отсутствует в матроиде.
Для получения характеризации гамильтоновых матроидов вводится понятие степени его элемента.
Пусть M = (S,F) - матроид. Степень d(e) элемента eGS есть количество циклов матроида M , содержащих e .
В частности, если d (e) = 0 , то элемент e входит в любую базу матроида M .
В работе [9] установлено необходимое условие для гамильтонова матроида.
Теорема 2. Пусть M = (S,F) - матроид на множестве S с n элементами и рангом р (S ) = k, 0 < k <n . Если матроид M = ( S,F) гамильтонов, то для любого e GS имеет место неравенство d(e)>n-k .
Как уже отмечалось в ведении, описание некоторых свойств матроидов можно дать в виде указания свойств графов, построенных по определённым семействам матроида. Приведём такой результат для гамильтоновых матроидов.
Пусть M = (S, X) матроид на множестве S , определённый семейством циклов X . Циклический граф G(M)=(V,E) матроида M это граф с множеством вершин V =C и множеством рёбер E , состоящим из пар (C1 ,C 2) таких, что:
1) C1UC 2 связное подмножество матроида M ;
2) р(C1UC2) = | C1UC2| - 2 .
Одно из свойств гамильтонова матроида дает следующее утверждение [10].
Теорема 3. Циклический граф гамильтонова матроида является связным.
Перейдем к рассмотрению функций , определённых для матроидов.
Периметры и окружения матроида
Через циклы можно определить две функции периметра и получить соответствующую аксиоматизацию матроида [11,12].
Пусть M = (S,F) матроид на множестве S с семейством независимых множеств F . H -периметром матроида (S ,F) это функция yH :2S ~^{0,..., | S |} со значениями Yh (A ) = max { | C |: C С А,С-цикл } , если A зависимое множество, и ун (A )= 0 , если A GF .
Теорема 4. (Аксиомы Я-периметра). Функция ун :2S ^ {0,..., | S | } является функцией Я-периметра некоторого матроида (S,F) тогда и только тогда, когда для неё выполняются условия:
hp1) если ун(X)>0 , то существует множество YСX , для которого
Ун(X) = Ун(Y)= |Y| ;
hp2) если X^ Y , то ун(X)>ун(Y) ;
hp3) если ун (X) = | X | , то ун (X\x ) = 0 для любого xGX ;
hp4) если Ун(X) = |X|,ун(Y)= |Y|,X?Y,xGXnY , то
Ун((XUY)\x)>0 .
L-периметр матроида (S ,F) это функцию yL :2S— {0,| S | } со значениями Yl (A ) = min { | C |: C С A,C-цикл } , если A зависимое множество, и YL (A ) = 0 , если A GF . Аксиомы L-периметра даёт следующее утверждение.
Теорема 5. (Аксиомы L-периметра). Функция yl :2S — {0| S | } является функцией L-периметра некоторого матроида (S ,F) тогда и только тогда, когда для неё выполняются условия:
lp1) если Yl (X )> 0 , то существует множество YС X , для которого Yl (X)=YL(Y) = | Y| ; lp2) если X ^Y , то YL (X )<Yl (Y) ;
lp3) если Yl (X) = | X | , то Yl (X\x)= 0 для любого xGX ; lp4) если Yl(X)=|X| ,Yl(Y)= |Y | ,X*Y,xGXnY , то YL((XUY)\x)>0 .
Для того чтобы дать определение функций окружения напомним определение гиперплоскости матроида. Если A cS , то замыкание а( A) это объединение A с элементами из S \A добавление которых не изменяет ранг A . Множество A замкнуто, если A = ü( A) . Замкнутое множество называется плоскостью, а плоскость ранга р (S) — 1 гиперплоскостью.
L-окружением матроида (S,F) это функция qL :2S — 1,| S | , да , заданная равенствами A )= min { | L |: A С L,L — гиперплоскость } , если ранг р (A) меньше ранга р(S) , и tyL( A)= да , в противном случае.
Теорема 6. (Аксиомы L-окружения). Функция :2S — {1| S | ,да} является L-окружением некоторого матроида (S,F) тогда и только тогда, когда для неё выполняются условия:
М) если (X )< да , то существует множество Y ¡2 X , для которого ф,(X)=9L(Y)=|Y| ; ls2) если X^Y , то qL(X)<yL(Y) ;
ls3) если ф^X) = |X|<да , то 9l(XUx)=да для любого xGS\X ; ls4) если <pL(X) = |X|,yL(Y) = |Y |,X^Y,xGXUY , то
9l((XnY)ux)<да .
Я-окружением матроида является функция фн:2S — {1,|S |,да } , определяемая равенствами фн(A ) = max { | H|: AC H ,H — гиперплоскость } , если ранг A меньше ранга S , и фн (A )=да , в противном случае.
Теорема 7. (Аксиомы Я-окружения). Функция :2 S — {1,..., | S | ,да } является L-окружением некоторого матроида (S ,F) тогда и только тогда, когда для неё выполняются условия:
hsl) если ф^ X)< да , то существует множество Y ¡2 X , для которого ф,(X)=9L(Y)=|Y| ; hs2) если X^ Y , то qL(X) >yL(Y) ;
hs3) если qL(X) = | X|<да , то XUx)=да для любого xGS\X ; hs4) если <pL( X ) = | X | ,yL (Y ) = |Y | ,X^Y,x G X UY , то
9l((XnY)ux)<да .
Функции Я-периметр, L-периметр, Я-окружение и L-окружение двойственного к матроиду M = ( S,F) матроида M * =( S,F *) называют соответственно Я-копериметром, L-копериметром, Я-коокружением, L-коокружением и обозначют Yh * ,Yl * ,фн * >VL * . Получим для любого X£F :
YH(X) = |S-VL*(S\X),YL(X)= |S | —фн*(S\X) . Если р (X)<р (S) то:
Фн(X) = |S I-Yl*(S\X)ф(X) = |S|-YH*(S\X) . Матроидные оракулы
Предположим теперь, что рассматривается некоторая задача на матроиде M = (S,F) . С точки зрения вычислительной сложности [7] размер задачи следует определить через количество элементов множества S . При этом количество входных данных будет зависеть от способа задания матроида и выражаться либо через число подмножеств, определяющих то или иное семейство матроида, либо через число значения той или иной функций на всех подмножествах из 2s . Но число подмножеств в семействах, определяющих матроид, может экспоненциально зависеть от мощности S . Что приводит к экспоненциальной временной сложности от мощности S построения входных данных для задачи. Тем самым становиться бессмысленным определение временной сложности алгоритма решения задачи как функции от длины входа, так как генерирование самого входа требует экспоненциального времени. Для устранения данной трудности вводится понятие оракула матроида.
Пусть дан матроид M = (S,F) , а u - некоторое понятие матроида. Если понятие определяет характер каждого множества A QS , то через u (M) обозначим соответствующее семейство подмножеств. Если u определяет функцию, то через u (A,M) обозначим её значение для подмножества A на матроиде M . Оракулом O(u) назовём инъективное отображение
Wu(2S,^(S)) ^E(u),
где ^ (S) - совокупность всех матроидов на множестве S , E (u) - множество конкретное для каждого понятия. Например, для таких понятий как независимое, конезависимое, базис, кобазис, цикл, коцикл, плоскость, коплоскость, гиперплоскость, когиперплоскость E(u)= { ДА,НЕТ } и Wu (A,M )={ ДА, если A eu (M) ;НЕТ,еслиА €u (M) } .
Для понятий замыкание, козамыкание E(u) = 2S , для понятий ранг, коранг, Я-периметр, Я-копериметр, ¿-периметр, ¿-копериметр E(u)={0,...,|S | } , для понятий Я-окружение, Я-коокружение, ¿-окружение, ¿-коокружение E(u)={1,..., |S |,с» } .
Для всех этих понятий Wu(A,M)=u(A,M) .
Если имеется задача Q на матроиде M = (S,F) , заданном понятием u, то сложность её решения алгоритмом Л относительно оракула O (u) определяется как число элементарных операций, обозначим его через m u (й,Л,М) , выполняемых алгоритмом. При этом одно обращение к оракулу O(u), то есть получение значения Wu (A,M), так же считается элементарной операцией. Сложность алгоритма Л для задачи Q относительно оракула O (u) определяется как max(mu(Q^,M)) по всем матроидам из ^(S) , при заданной мощности S .
Возникает вопрос: отличается ли сложность алгоритма (по полиномиальности) относительно разных оракулов?
При рассмотрении двух оракулов будем говорить, что оракул O (u l) полиномиально сводим к оракулу O (u 2) , если значение Wu 1 (A,M) может быть получено за полиномиальное число обращений к оракулу O (u 2) . Граф полиномиальной сводимости для двадцати двух матроидных оракулов приведен в работах [13,14]. В частности, для приведенных выше понятий матроида справедливо следующее утверждение.
Теорема 8. Оракулы независимое, конезависимое, базис, кобазис, цикл, коцикл, плоскость, коплоскость, гиперплоскость, когиперплоскость, замыкание, козамыкание полиномиально сводимы к оракулам Я-периметр, ¿-периметр, Я-окружение, ¿-окружение, ¿-коокружение, Я-коокружение, ¿-копериметр, Я-копериметр.
Литература
1. Welsh D.J.A. Matroid theory.- London: Acad. Press, 1976.- 433 с.
2. Oxley J. G. Matroid theory. - N.Y., Oxford University Press, 1992 и 2006. - 532 с.
3. Айгнер М. Комбинаторная теория. - М.: Мир, 1982. - 558 с.
4. Исаченко А.Н. Приложения теории матроидов и гамильтоновы матроиды //Третья международная научная конференция «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения»: тезисы докладов, Брест, 17-22 сент. 2012 г. / Брест. гос. ун-т им. А.С. Пушкина. - Брест: БрГУ 2012. - С. 29-30.
5. Исаченко А.Н., Исаченко Я.А. Периметр матроида и задача коммивояжёра на матроиде //XI Белорусская
математическая конференция: тезисы докладов междунар. науч. конф. Минск , 5-10 нояб. 2012 г. Ч.4. - Минск: Институт математики НАН Беларуси, 2012. - С. 87-88.
6. Исаченко А.Н., Исаченко Я.А. Свойства гамильтоновых матроидов // Международный конгресс по информатике: информационные системы и технологии International Congress on Computer Science: Information Systems and Technologies: материалы междунар. науч. конгресса, Республика Беларусь, Минск, 4-7 нояб. 2013 г. - Минск: БГУ 2013. -С. 538-541.
7. Рейнгольд Э., Нивергейт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. - М.: Мир, 1980. - 476 с.
8. Оре О. Теория графов - М.: Наука, 1980. - 336 с.
9. Исаченко А.Н., Исаченко Я.А. Гамильтоновы циклы матроида // Проблемы теоретической кибернетики. Материалы XVII международной конференции (Казань 16-20 июня 2014 г.).- Казань: Отечество, 2014. - С. 116118.
10. Исаченко А.Н., Исаченко Я.А. Циклический граф гамильтонова матроида// Дискретная математика, алгебра и их приложения: Тез. докл. Междунар. науч. конф. Минск, 14-18 сентября 2015 г.. - Мн.: Институт математики НАН Беларуси, 2015. - С. 108-109.
11. Исаченко А.Н., Исаченко Я.А. Н-периметр и ¿-окружение матроида // Материалы XI Международного семинара «Дискретная математика и её приложения», посвященного 80-летию со дня рождения академика О.Б. Лупанова (Москва, МГУ 18-23 июня 2012 г.) - М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ 2012. - С. 246-248.
12. Исаченко А.Н., Исаченко Я.А. О периметрах и окружениях для матроида // Вестник МГАДА. Серия «Экономика», №1 (20). - М.: МГАДА, 2013. - С. 63-67.
13. Исаченко А.Н. Полиномиальная сводимость матроидных оракулов // Известия АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1984, №6. - С. 33-35.
14. Исаченко А.Н., Ревякин А.М. О сводимости матроидных оракулов // Вестник МГАДА. Серия «Философские, социальные и естественные науки», №3 (9). - М.: МГАДА, 2011. - С. 117-121.
