Сечения матроидов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510

СЕЧЕНИЯ МАТРОИДОВ © 2010 С. А. Гизунов1, В. Н. Лямин2

1докт. технич. наук, проф., заместитель начальника ГУ ГШМО РФ тел.: (4712) 58-80-96

2канд. технич. наук, науч. консультант ГУ ГШ МО РФ тел.: (4712) 58-80-96

ГУ ГШ МО РФ

Теория матроидов как инструмент описания и анализа алгебраических зависимостей определенного вида находит все более широкое применение при решении ряда конкретных задач дискретной математики. В частности, классическая проблема решения систем уравнений с искаженной правой частью напрямую связана с элементарными строгими отображениями между соответствующими векторными матроидами. Строгие отображения между матроидами определяются некоторыми модулярными сечениями матроидов, которые, в свою очередь, как порядковые фильтры, однозначно характеризуются своими минимальными элементами. Данная работа посвящена изучению свойств этих элементов и возможности построения на их основе алгебраических структур матроидного типа - псевдоматроидов, - имеющих

самостоятельное значение в категории матроидов и их отображений.

Ключевые слова: матроид, модулярное сечение, отображение, подмножество, свойство, ранг, фильтр.

На настоящий момент наиболее полное и систематизированное изложение общей теории матроидов можно найти в монографиях Уэлша [Welsh 1976] и Оксли [Oxley 1992], опубликованных соответственно в 1976 году и в 1992 году. Монография Оксли с дополнениями была переиздана в 2006 году. Отдельно следует отметить также посвященную матроидам статью Крапо и Рота [Crapo, Rota 1970] 1970 года в знаменитой серии под общим названием «Об основах комбинаторной теории». В этой статье матроиды изучаются в первую очередь как упорядоченные структуры, а именно как комбинаторные геометрии - полумодулярные геометрические решетки [Birkhoff 1967]. Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что в вышеперечисленных изданиях отсутствуют результаты, посвященные изучению матроидов и их отображений именно, как элементов соответствующей категории. Информацию на эту тему можно найти главным образом в публикациях академических журналов, в частности в статьях таких авторов, как Крапо [Crapo 1970], Нгуен [Nguyen 1977, 1979], Келли и Кеннеди [Kelly, Kennedy 1978], Лукас [Lucas 1974] и др.

В настоящей работе приводятся сведения по общей теории матроидов, а также ряд результатов, полученных авторами самостоятельно, которые потребуются для детального исследования свойств псевдоматроидов. Более полную информацию по тематике категории матроидов и их отображений можно найти в опубликованных монографиях и статьях, приведенных в библиографии.

Аксиоматизация матроидов

Матроиды как самостоятельные объекты изучения появились в середине прошлого века в результате общетеоретического взгляда на общие свойства линейных зависимостей, возникающих между векторами в пространствах векторов над полями, и алгебраических зависимостей между элементами расширений над полями. Матроид задается на некотором множестве и представляет собой абстрактное, но в то же время аксиоматически однозначное описание зависимостей определенного типа между элементами этого множества. В этом смысле матроид может быть определен различными эквивалентными способами. В частности, матроид M задан на множестве S , если о любом подмножестве этого множества можно сказать, является оно замкнутым или незамкнутым, зависимым или независимым, будет оно базой или циклом, каков его ранг и место в решетке упорядоченных по включению замкнутых подмножеств, например будет оно коточкой или нет.

Пусть |S| - мощность конечного множества S, а 2s - множество всех его

подмножеств. Символом B( S) обозначим решетку всех упорядоченных по включению подмножеств множества S .

Для любой совокупности подмножеств A С 2S семейство подмножеств J( A) = ^ {A С S; A С B} называется порядковым идеалом, а семейство

BeA

подмножеств Ф( A)=U {A С S; B С A} порядковым фильтром в решетке B(S) .

BeA

Подчеркнем, что порядковые идеалы и фильтры однозначно определяются элементами множества A как своими, соответственно, максимальными и минимальными элементами.

Классическим считается определение матроида (см.: [Crapo, Rota 1970]), связанное с оператором замыкания A ^ A, A с S, удовлетворяющим свойству

обмена. Говорят, что на множестве 2S определен оператор замыкания со свойством обмена, если для любого подмножества A С S и элементов a, b e S выполняются условия

1) A С A;

2) A = A; _ _ _

3) если a £ A и a e A u b, то b e A u a.

Множество A при этом называется замыканием множества A. Множество, совпадающее со своим замыканием, называется замкнутым.

Определение 1. Матроидом, определенным на множестве S, называется пара

< S, 3 >, где 3с2S - семейство подмножеств, выделенных как замкнутые и удовлетворяющих условиям 1) - 3).

Свойство обмена 3) для оператора замыкания далее будем называть аксиомой замыкания для матроидов.

Обозначим через M (S) множество матроидов, определенных на множестве S

. Далее, если это не оговаривается особо, будем предполагать, что рассматриваются матроиды только из этого множества.

Для матроида M замкнутое множество называется его флатой, совокупность которых будем обозначать через . Для любого подмножества A С S

соответствующую флату A e 3m будем обозначать также через (A) . Семейство

упорядоченных по включению флат 3 м , как частично упорядоченное множество, является геометрической полумодулярной решеткой (см.: [Welsh 1976]). Обозначим ее символом В3 .

°M

В решетке Взм супремум и инфимум для любой пары флат A, B e 3м

определяются соотношениями A V B = A U B и A Л B = A О B. Замыкание пустого множества 0 и само множество S , очевидно, являются флатами и, следовательно, будут минимальным и максимальным элементами в решетке В3 .

Определение 2. Произвольное подмножество A С S называется независимым

множеством, если a £ A — a для всех элементов a e A . В противном случае подмножество A называется зависимым множеством.

Совокупности всех независимых и зависимых множеств матроида M будем обозначать соответственно через Fm и E м. С помощью понятий независимых и зависимых множеств можно также однозначно определить матроид м как пары

< S, FM > и < S,E M > .

Семейство независимых множеств Fm , упорядоченных по включению,

является порядковым идеалом Fm = J(B м) в решетке В(S) и однозначно

определяется множеством своих максимальных элементов B м, называемых базами

матроида M. Аналогично семейство зависимых множеств E м, упорядоченных по

включению, является порядковым фильтром Eм = Ф(R м ) в решетке В(S) и

однозначно определяется множеством своих минимальных элементов R м,

называемых циклами матроида M .

Циклы - это минимальные зависимые множества, и можно показать, что

семейство подмножеств A С S , таких что

A = { a e S; a e A или a e C с A u a, где C e R M},

есть семейство флат Зм матроида M, для которого множество R м является его множеством циклов. Отсюда, в частности, следует, что замыканием любой базы B e B м будет все множество S, то есть B = S .

Назовем любое подмножество B С A порождающим подмножеством

множества A в матроиде м, как только B = A. Тогда базы из в м будут минимальными элементами порядкового фильтра всех порождающих подмножеств множества S , упорядоченных по включению.

Определение 3. Рангом Гм (A) любого подмножества A с S в матроиде M

называется максимальная мощность ID | подмножества D с A , такого что D є FM . Рангом матроида называется ранг множества, на котором он определен.

Очевидно, что Гм (S) = | B |, где B любая база из семейства B м .

Ранговая функция Гм (A), A с S, удовлетворяет свойству полумодулярности, то есть Г(A О1 B) + Г(A О B) < Г(A) + r(B) для любых подмножеств A, B с S , и также однозначно определяет матроид M . Пары подмножеств A, B с S, для которых вместо неравенства выполняется равенство, называются модулярными парами.

Флата A є —m определяется через ранговую функцию следующим образом: A = | a є S; rM (A О a) = rM (A)}, откуда очевидно следует, что

rM ( A) = rM ( A).

Определение 4. Флаты A є—м называются коточками, если их ранг

M (A) = Гм, (S) — 1.

Совокупность коточек мы будем обозначать через K M , и она также однозначно

определяет матроид M .

Для семейства коточек справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1 [Welsh Пусть матроид M є M (S). Для любой флаты

A є—м ранга Ум (A) = Ум (S) — k, где k > 1, найдется совокупность коточек

Kt e K м, . = 1, k, для которых A = ^ K..

. =1

Определение 5. Матроиды M, H e M (S) называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие Ж на множестве S, сохраняющее, например, независимость подмножеств A с S , то есть A e Fm тогда и только тогда,

когда ж( A) e Fh .

Понятно, что семейство независимых множеств можно заменить любым другим введенным выше семейством.

Определение 6. Для любого матроида M дуальным называется матроид

M e M (S) , для семейства баз которого справедливо B м* = {S — B; B e B м }. Очевидно, что (M ) = M .

Утверждение 2 [Welsh 1976]. Пусть M, M e M (S) - дуальные друг к другу матроиды и A С S. Тогда

1) A e Fm. »3m (S — A) = S;

2) M (A) = | A | + (S — A) — (S);

k

з) А є К м. ^ £ - А є К м.

Бинарные матроиды

Пусть задана двоичная матрица размера к X П ранга к и £ = {1,2,...,п}. На

множестве £ определим матроид, такой что для любого подмножества А С £

справедливо: А є Рм тогда и только тогда, когда соответствующий подмножеству А

набор вектор-столбцов матрицы линейно независим. Очевидно, что матроид имеет ранг

Гм (£) = к, базами В м будут наборы из к вектор-столбцов, которым

соответствуют подматрицы ранга к и т.п. Такой матроид называется векторным матроидом.

Матроид М называется бинарным матроидом, если он изоморфен векторному матроиду. Если вектор-столбцы матрицы не двоичные, а над каким-либо другим конечным полем, то соответствующий матроид называют линейным.

Здесь и далее для любых подмножеств А, В С £ их симметрическую разность мы будем обозначать как их двоичную сумму, то есть АП В = А 0 В.

Соответственно, для совокупности подмножеств А( С £, І = 1, к их симметрическая

к ____________________________________________________

разность ДП А2П...П Ак = Е0АІ . В тасттости если подмножества АІ, І = 1 к

І=1

к к

попарно не пересекаются, то Е0 аі=Е аі .

І=1 І =1

Утверждение 3. Матроид М бинарен тогда и только тогда, когда справедливо любое из приведенных условий:

і) Д,А є К м ^ А 0 А = Ес, где С є К м;

четно.

2) В е R М,В е R М ^ | В п В

Условие 1) утверждения 3 далее будем называть аксиомой циклов для бинарных матроидов.

Для любой базы В е В м матроида М и любого элемента а е £ — В существует единственный цикл С (а, В) е R м , такой что а е С (а, В) ^ В + а. Цикл С (а, В) называется фундаментальным циклом элемента а е £ — В в базе В е В М. Легко показать, что для бинарных матроидов фундаментальные циклы удовлетворяют следующему важному свойству: для произвольного цикла С е R м ; если С — В = {$1,..., а.г}, то справедливо равенство

С = С (а1, В) 0... © С а, В).

Для любого матроида М элемент а е £, для которого Гм (а) = 0, называется петлей. Заметим, что в этих обозначениях замыкание пустого множества

0 = {а е £; Гм (а) = 0} . Аналогично элементы а, Ь е £, для которых

ГМ ({a,b}) = 1 , называются параллельными. Матроид M без петель и параллельных

элементов называется простым матроидом.

Подчеркнем, что петли матроида сами для себя являются фундаментальными

циклами, так что C(a, B) = { a } для любой петли a e S и любой базы B e B м .

Строгие отображения матроидов

Описание строгих отображений матроидов (см. [Welsh 1976]) связано с понятиями модулярного сечения семейств флат матроидов и линейного сечения их семейства коточек.

Определение 7. Отображение (ps : M —— H между матроидами м, H e M (S) называется строгим, а матроид H называется фактором матроида M , если Зн С Зм .

Замечание. Для удобства изложения в обозначениях для строгого отображения (Ps и далее для слабого отображения pw используются соответственно первые буквы

от английских strong и weak.

Любое строгое отображение между различными (неизоморфными) матроидами

обязательно понижает ранг исходного матроида. Если гн ( S) = гм ( S ) 1, то такое

строгое отображение называется элементарным (далее просто элементарным отображением), а соответствующий фактор называется элементарным фактором.

Для строгих отображений существуют альтернативные определения.

Утверждение 4 [Welsh 1976]. Рассмотрим матроиды M, H e M (S). Тогда

следующие условия эквивалентны:

1) отображение ps : M — H строгое;

2) если A С S, то Зм (A) С Зн (A);

3) если A С S и B С A, то Гм (A) — Гм (B) > rH (A) — rH (B);

4) отображение ps : H — M строгое.

Определение 8. Подмножество флат Yм С Зм называется модулярным сечением семейства флат Зм матроида M ,

1) если упорядоченное по включению подмножество флат Yм является порядковым фильтром в решетке В3 ;

2) для A, B e Yм , если A, B - модулярная пара, то A О B e Yм . Определение 9. Совокупность Фм подмножеств множества S называется

модулярным фильтром матроида M,

1) если упорядоченная по включению совокупность подмножеств Фм

является порядковым фильтром в решетке В(S) ;

2) подмножество флат Зм О Фм является модулярным сечением семейства

флат Зм.

rH (A) =

Модулярный фильтр называется собственным, если он - не пустое множество и соответствующее модулярное сечение не совпадает с множеством всех флат .

Между матроидами H є M (S), являющимися образами элементарных отображений матроида M , и собственными модулярными фильтрами M имеется взаимно однозначное соответствие (см. [1]): если Ф, собственный модулярный фильтр матроида M , то функция вида

Ум (A) —1 если A є Фм Ум (A), если А £ Фм

будет ранговой функцией матроида H є M (S), являющегося образом элементарного отображения матроида M. Обратно, если Ps : M — H есть элементарное отображение, то совокупность подмножеств A с S , для которых rH ( A) = Ум, (A) — 1, образует собственный модулярный фильтр в матроиде M.

Определение 10. Подмножество L м семейства коточек K, матроида M называется линейным сечением семейства K м, если для любых коточек Kl,K2 є L м, покрывающих в решетке B—, флату К О К^, справедливо условие: любая покрывающая флату К О К2 коточка К є K м также принадлежит подмножеству L м .

В [Welsh 1916] показано, что между отличными от множества S модулярными сечениями семейства флат и линейными сечениями семейства коточек K м

матроида м є M (S) существует взаимно однозначное соответствие.

Вместе с тем возможна ситуация, когда модулярное сечение матроида совпадает с множеством S, и, следовательно, не содержит коточки из семейства K м .

Определение 11. Для матроида M его транкацией (верхним усечением) называется матроид T (M), семейство независимых множеств которого определено следующим образом:

FT (M ) = { A с S;A є FM и 1 A 1 < rM (S)}. (1)

Заметим, что верхнее усечение бинарного матроида не обязательно бинарный матроид.

Если матроид H - результат верхнего усечения матроида M , то матроид M, в свою очередь, называется наращением матроида H. Под тривиальным наращением матроида H понимается сам матроид H. Матроиды, допускающие нетривиальные наращения, называются эректабельными.

Наличие между матроидами M и H элементарного отображения,

порожденного модулярным фильтром Ф, , принято обозначать через M —Ф—— H .

Для произвольного строгого отображения р5 : М — Н порядка к, где к = Гм (£) — Гн (£) , будем использовать понятие порядка подмножества А С £ и обозначать его Пр^ (А) = Гм (А) — Гн (А).

Определение 12. Для строгого отображения М —— Н порядка к матроид N е М (£) называется лифтом матроида Н в матроиде М, если существует

строгое отображение М---------— N —У—— Н, такое что отображение N —У—— Н

элементарное, а отображение М — N - строгое, порядка к — 1.

Лифты существуют всегда для любого фактора Н в матроиде М. в частности, лифт Хиггса - это матроид N е М (£), флаты которого есть флаты Зн и флаты

А е Зм , такие что Пр^ (А) = 0.

Продолжая процедуру лифтации, мы получим факторизацию строгого отображения (р5 : М — Н порядка к вида

м = н0 ——— н, ———... ——— нк = н , (2)

где отображения Н.—1 ———— Н. являются элементарными отображениями, порожденными модулярными сечениями У| или, соответственно, модулярными

фильтрами Ф-, для всех . = 1, к. Факторизация (2) называется факторизацией Хиггса, если каждый матроид нм есть лифт Хиггса строгого отображения М —— Н1,

. = 1, к.

Приведем далее результаты Келли и Кеннеди (см. [И1§§8 1968]), посвященные факторизации Хиггса произвольных строгих отображений.

Утверждение 5. Пусть р5 : М — Н произвольное строгое отображение

матроидов М и Н. Тогда

1) факторизация (2) есть факторизация Хиггса тогда и только тогда, когда

Ф1 С Ф2 С... С Фк;

2) если (2) факторизация Хиггса отображения р£ , то модулярный фильтр

Ф- = {А с £; Пр£(А) > к —.},. = 1,к;

3) если (2) факторизация Хиггса отображения р5, то

н * = н* —— н*—1 ——... —— н0 = м * есть факторизация Хиггса

строгого отображения р^ : Н — М .

Слабые отображения матроидов

Определение 13. Отображение р]¥ : М — Н между матроидами

М, Н е М (£) называется слабым отображением, если Рн С Рм .

Также как и для строгих отображений, для слабых отображений существуют альтернативные способы их определения.

Утверждение 6 [Oxley 1992]. Для матроидов M, H e M (S) следующие условия эквивалентны:

1) отображение pw : M — H слабое;

2) для любого цикла C e R м существует цикл D e R н, такой что

D С C;

3) Гм ( A) > Гн (A) для любого A С S;

4) если Гм (S) = Гн (S), то отображение ps : H — M слабое.

Заметим, что условие 3) утверждения 6 следует из условия 3) утверждения 4 для

B = 0 и, таким образом, любое строгое отображение является слабым.

Определение 14. Подсемейство независимых множеств G м e Fm называется слабым сечением матроида M ,

1) если упорядоченные по включению подмножества Gм - порядковый

фильтр в упорядоченном по включению семействе подмножеств Fm ,

2) если A £ G м и A U a, A u b e G м для некоторых элементов

a, b e S, | B | = | A | +1 и B с A u a u b, то B e G M.

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 7 [Nguyen 1979]. Отображение Pw : M — H для матроидов M, H e M (S) будет слабым отображением тогда и только тогда, когда

Fm — Fh есть слабое сечение матроида M.

Поскольку любое строгое отображение является слабым, то оно также

однозначно определяется своим слабым сечением.

Утверждение 8 [Nguyen 1979]. Пусть M —Ф—— H элементарное

отображение матроидов M, H e M (S), порожденное модулярным фильтром

Фм. Тогда соответствующее ему слабое сечение имеет вид Фм О Fm .

Теорема 1. Если M —G—— H слабое отображение матроидов M и H, порожденное слабым сечением G . Тогда

G= J (вм — вн ) О Ф( RH — R м ).

Доказательство. По определению слабое сечение

G= Fm — Fh = J (B м ) — J (B н ). Пусть A e G . Так как подмножество

A £ J(B н ), то A e Ф(R н ), так как оно зависимое в матроиде H . Кроме того, A e J(B м ), и, следовательно, A £ 0(R м). Таким образом,

A e J(B м ) О Ф( R н ) и A £ J(B н ) О Ф(R M ). Из того, что при слабом отображении J(B н ) С J(B м ) и, соответственно, Ф(R м ) С Ф(R н ), следует,

что A e J(B M — B м О B H ) О Ф(R H — R H О R M ).

Покажем, что для любых слабых отображений, в том числе и для строгих отображений, рассматриваемых как слабые отображения, справедливо равенство

J(B M — B M О B H ) О Ф(R н — R H О R M ) =

= J(B м — B н ) оФ( R h — R м ) . Действительно, если ранги матроидов M и

н оДинаковы, то B м О B н = B н и J (B м — B м О B н ) = J (B м — B н ). Если отображение M —G—— H строгое, то B м О B н = 0 и J(B м — B м О B н ) = J(B м ) = J(B м — B н ) . Аналогично равенство

Ф(R н — R н О R м ) = Ф(R н — R м) выполняется и в ситуации, когда

R н о R м ^ 0 или R н о R м =0.

Таким образом, справедливо включение

G С J(B м — B н ) О Ф(R н — R м ), из которого и следует доказательство утверждения теоремы, поскольку обратное включение

J(B м — B н ) О Ф(R н — R м ) С G очевидно. U

В отличие от строгих отображений слабыми отображениями могут быть связаны матроиды одного ранга. Следовательно, теоретико-множественное включение семейств

независимых множеств Fm матроидов M e M (S) индуцирует частичный порядок, называемый порядком слабого отображения (далее слабым порядком) на всем множестве матроидов M (S) . Наибольший элемент в слабом порядке - свободный матроид B( S), в котором все подмножества множества S независимы и замкнуты, а наименьший элемент - матроид нулевого ранга, в котором все элементы множества S петли и независимых подмножеств нет вообще. Если матроид M покрывает матроид н в слабом порядке на множестве M (S) , то слабое отображение pw : M — H

называется простым слабым отображением (далее простым отображением).

Из (1) следует, что верхнее усечение является слабым отображением. Более

того, если н ——— T (H) верхнее усечение матроида н, то соответствующее

слабое сечение есть не что иное, как множество баз матроида H , то есть, G= B н .

Кеннеди [Kennedy 1973] и Лукас [Lucas 1974] получили следующие важные для дальнейшего результаты.

Утверждение 9. Верхнее усечение любого эректабельного матроида не может быть простым отображением.

Утверждение 10. Образ бинарного матроида при сохраняющем ранг слабом отображении - бинарный матроид.

Из этих утверждений следует, что слабый порядок в категории матроидов и их отображений характеризуется тем свойством, что покрытия в соответствующем частичном порядке, понижающие ранг исходного матроида, обязательно чередуются с покрытиями, сохраняющими его ранг. При этом если исходный матроид был бинарным, то покрытия, сохраняющие ранг, сохраняют и бинарность, в то время как изменение ранга может привести и к потере бинарности.

Таким образом, с учетом того, что порядковые фильтры однозначно определяются своими минимальными элементами, теорема 1 принципиально важна для описания слабого порядка в категории матроидов.

Теорема 2. Пусть заданы матроиды М, Н £ М (£) и М —— Н -

элементарное отображение, порожденное модулярным фильтром Фм . Тогда

справедливо равенство Фм — ф (^ н — ^ м )•

Доказательство. Доказательство следует из теоремы 1 и того факта, что В м П В н — 0 и соответствующее элементарному отображению слабое отображение однозначно определяется слабым сечением

1( В М ) П Фм = 1( В М - В н ) П Фм . и

Следовательно, циклы из подсемейства R н — ^ м , будучи минимальными

элементами модулярного фильтра Фм , однозначно определяют элементарное

отображение М —Ф—>■ Н . Более того, далее мы покажем, что с их помощью можно в явном виде описать и циклы из подсемейства R м — R н . Предварительно отметим,

что для любого матроида М £ М (£) и циклов С, С2 £ R м , так как

| С1 и С21 — | С11 + | С21 — | С1 п С2 | , то из свойства полумодулярности ранговой функции для матроидов справедливо неравенство

Гм (С, и С2) < | С1 и С21 — 2. (3)

Теорема 3. Пусть заданы матроиды М, Н £ М (£), М ——Н -

элементарное отображение, порожденное модулярным фильтром Фм и

R М п R Н ф R М. Тогда для любого цикла С £ R м — R н существуют циклы

£>„ д £ R Н — R М, такие что С — Д и .Д.

Доказательство. Ситуация, когда R м П R н — R м возможна только тогда,

когда семейство циклов R м содержится в семействе циклов R н , то есть, когда

R М — R Н — 0. Пусть R М П R Н Ф R М и цикл С £ R М — R Н. Для любого

элемента а £ С справедливо а £ Зм (С — а) . Поскольку при строгом отображении

Зм (С — а) С Зн (С — а) , то а £ 3Н (С — а) . Отсюда следует, что существует

цикл Э £ R Н, такой что а £ Э С (С — а) и а — С . Понятно, что тогда

обязательно Э £ R н — R м и, следовательно, Э С С. Так как такой цикл

существует для любого элемента а £ С, то с — и э есть объединение циклов из

семейства R н — R м. Следовательно, С £ Ф(R н — R м ) — Фм , и, таким

образом, Гн (С) — Гм (С) — 1 — | С | —2 . Доказательство теоремы следует из неравенства (2). Ш

Для любого матроида М флата из семейства Зм называется циклической, если она является объединением циклов. Из теоремы 3, в частности, следует, что флата

3н (С) для любого цикла С £ R м — R н будет циклической флатой в матроиде

Н.

Теорема 4. Пусть заданы матроиды М, Н £ М (£) и М ——-> Н -элементарное отображение, порожденное модулярным сечением У м . В этом случае R М п R Н Ф0 тогда и только тогда, когда в решетке Взм существуют не принадлежащие модулярному сечению У м циклические флаты.

Доказательство. Предположим, что R м П R н Ф0. Тогда любой цикл С £ R м П R н не принадлежит модулярному фильтру Фм , который соответствует

модулярному сечению, породившему элементарное отображение М —У—>■ Н. Так как для любого матроида замыкание любого цикла есть циклическая флата, то необходимость доказана.

Наоборот, пусть решетка В3 содержит циклическую флату, не принадлежащую модулярному сечению У м . Тогда, поскольку циклическая флата есть объединение циклов, то найдется цикл С £ R м , не принадлежащий модулярному фильтру Фм . Согласно свойству 2) утверждения 6 всегда имеется цикл э £ R Н ■ такой что Э С С . Пусть Э С С. Так как Э £ Фм , то должно выполняться равенство Гм ( Э ) = Гн (Э). Однако, с другой стороны,

Гм (Э) — | Э | > Гн (Э) — | Э | — 1. Следовательно, Э — С и С £ R м П R Н .и

Таким образом, в ситуации, когда R м П R н —0 для матроидов М,Н £ М (£), связанных элементарным отображением М —У—У Н ,

модулярному сечению Ум принадлежат все циклические флаты А £Зм . В некоторых случаях это условие можно уточнить.

Предположим, что элементарное отображение М —У—> Н есть отображение верхнего усечения, так что модулярное сечение Ум — £ и соответствующий

модулярный фильтр Фм — ф (В М ) . Очевидно, что если | С | — Гм (£) + 1, где цикл С £ R м , то С £ R м — R н , и, следовательно, С £ R н, и, согласно теореме 4, в решетке В3 все циклические флаты матроида М принадлежат

модулярному сечению У м тогда и только тогда, когда | С | — Гм (£) + 1 для всех циклов с £ R М . Поскольку в этом случае Ум — £ , то все вышесказанное означает, что для любого матроида М £ М (£) множество £ является единственной циклической флатой тогда и только тогда, когда | С | — Гм (£) + 1 для всех циклов

С £ R м .

Таким образом, изучение свойств матроидов, связанных в категории матроидов и их отображений морфизмами, сводится к изучению свойств некоторых сечений их семейств циклов. Именно этот факт позволил в работе [Гизунов, Лямин а] корректно ввести понятие псевдоматроидов, порожденных элементарными отображениями матроидов, цикловая структура которых совпадает с упомянутыми выше сечениями. Свойства псевдоматроидов и их частного случая полуматроидов детально изучены в работах авторов [Гизунов, Лямин а, б; Гизунов].

Библиографический список

Birkhoff G. Lattice theory., Amer. Math. Soc., 1967.

Crapo H.H. Erecting geometries., Anuals N.Y. Acad.Sc., 1970, 89-92.

Crapo H.H., Rota G.G. On the foundations of Combinatorial Theory. Combinatorial Goemetrics., M.I.T. Press, Cembridge Mass., 1970.

Higgs D.A. Strong maps of geometries., J.Comb.Theory., 5(1968), 185-191.

Nguyen H.Q. Functors of the category of combinatorial geometries and strong map., Discrete Math., 20(1977), 2, 143-158.

Nguyen H.Q. Weak cuts of combinatorial geometries., Trans.Amer. Math. Soc., v-250,

1979.

Kelly P.J., Kennedy D.G. The Higgs factorization of a geometric strong map., Discrete Math., 22(1978), 2, 139-146.

Kennedy D.G. Factorization and majors of strong maps., Lecture Note Series, Univ. North Carolina, 1973.

Lucas D. Properties of rank preserving weak maps., Bull.Amer. Math. Soc., 80(1974), 1, 127-131.

Oxley J.G. Matroid Theory., N.Y., Oxford Univ. Press, 1992, 532 p.

Welsh D.J.A. Matroid Theory., London, Acad. Press., 1976, 433 p.

Гизунов С.А., Лямин В.Н. Псевдоматроиды, порожденные отображениями матроидов. Готовится к печати. а

Гизунов С.А., Лямин В.Н. Псевдоматроиды, порожденные G-отображениями бинарных матроидов. Готовится к печати. б

Гизунов С.А. Неизоморфные бинарные матроиды. Готовится к печати.