О модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения в частных производных второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI: 10.18454/2079-6641-2015-11-2-27-38

УДК 517.95 +519.8

о модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения в частных производных второго порядка

К.У. Хубиев

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, Республика Кабардино-Балкария, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а E-mail: khubiev_math@mail.ru

Рассмотрены модели нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа как с характеристическим, так и с нехарактеристическим изменением типа, для предложенных в качестве моделей уравнений исследованы краевые задачи, выписаны решения задач в явном виде.

Ключевые слова: модель уравнения, нагруженное уравнение, уравнение гиперболопараболического типа, краевая задача

© Хубиев К.У., 2015

MSC 35М10

about model of loaded partial hyperbolic-parabolic differential equation of second order

K.U. Khubiev

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Republic of Kabardino-Balkariya, Nalchik, st. Shortanova, 89a E-mail: khubiev_math@mail.ru

We studied a models of loaded equation of mixed hyperbolic-parabolic type with characteristicly and not characteristicly modifying line. For the proposed equation models boundary value problem is considered and solutions is written out.

Key wards: equation model, loaded equation, hyperbolic-parabolic equation, boundary value problem

© Khubiev K.U., 2015

Введение

В работе рассмотрены модели нагруженного уравнения смешанного гиперболопараболического типа как с характеристическим, так и с нехарактеристическим изменением типа. В первом пунтке исследована модель нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа, меняющего свой типа на характеристической линии. Во втором пункте исследуется модель нагруженного гиперболо-параболического типа с нехарактеристическим изменением типа. В третьем пункте рассмотренна смешанная краевая задача для уравнения плоской волны в прямоугольной плоскости. Для предложенных в качестве моделей уравнений смешанного типа исследованы краевые задачи, выписаны решения задач в явном виде.

В работе [1] А.М. Нахушев предожил метод приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений, основанный на редукции к нагруженным уравнениям (см. [2]). Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений такого вида при у > 0 были рассмотрены в работах [3] - [5].

Модель нагруженного гиперболо-параболического уравнения с характеристическим изменением типа

В качестве модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения в частных производных второго порядка с характеристическим изменением типа может выступить следующее уравнение:

где а = const, r = const < &>, в2 = const > 0, в = const, ві = const < 0, u = u(x,у) - неизвестная функция.

Обозначим через 8(у) = f u(x,y)dx; Q = {(x,у) : 0 < x < r,ві < У < в2}, Q - замы-

кание области Q, Q+ = QП {у > 0}, Q— = QП {у < 0}.

Определение. Регулярным решением уравнения (1) будем называть функцию u = u(x,у) из класса C(Q) ПC2(Q-) ПCx2’^(Q+), 8(у) є С[ві,в2] ПСі]ві,в2[> удовлетворяющую уравнению (1) в Q+ U Q-.

Уравнение (1) при у > 0 совпадает с уравнением Тарга [6, с. 75]. В [7] выписано решение уравнения (1) в классе C(Q) ПСі (Q) при довольно существенных ограничениях на решение на границе области.

Когда ві < у < 0, оно принимает следующий вид

(1)

Г

0

д 2и

в8' (у)

(2)

д xd у

r

где 8'(у) = /иу(x,у^. 0

Из (2) следует, что

u(x, у) = u(x, 0) + u(0, у) — u(0,0) + в x[8 (у) — 8 (0)]

(3)

т.є. (3) - решение задачи Гурса для волнового уравнения с правой частью р8'(у). Пусть

и(0,у) = Фo(У), А < У < ^ (4)

где ф0(у) - заданная функция из класса С[вьв2] ПС1]в1,в2[.

Обозначим через т(x) = u(x,0). Тогда т(0) = ф0(0), а (3) примет вид

и(х,у) = т(x) + ф0(у) - ф0(0) + вx[8(у) - 8(0)], ві < У < 0. (5)

Из (1) при у > 0 заключаем:

a x2

u(x у) = -у 8 '(у)+ B60x + C(У), (6)

где В(у),С(у) - произвольные функции из класса C[0,в2].

Из (6) и (4) непосредственно получаем, что С(у) = ф0(у). Пусть

и(Ху) = фг(У), 0 < у < ^, (7)

где фх(у) - заданная функция из класса С[0,в2] ПС1[0,в2[, т(r) = фх(0).

Тогда из (6) и (7) непосредственно получаем, что

В(у) = ф(у>_Ф0М - OL 8 '(у).

Тогда (6) примет следующий вид:

u(x,у) = ax(x Г) 8'(у) + xфг(у) + r—xф0(у), 0 < у < в2. (8)

2 r r

Из (8) при у ^ +0 получим, что

т (x) = ax<x=^ 8 '(0) + x Фг (0) + ^ ф0(0). (9)

2 r r

Учитывая, что решение ищется в классе С(£2), и подставив т(x) из (9) в (5), при в1 < у < 0 получаем

u(x,у) = ax(x2- Г) 8'(0) + xфг(0) + ^ф0(0) + ф0(у) - ф>(0) + вx[8(у) - 8(0)]. (10) Из (10) следует, что

— а г3 г в г2

8(у) = -12-8'(0) + 2[фг(0) - ф0(0)] + гф0(у) + ^-[8(у) - 8(0)], откуда при 2 - в г2 = 0 непосредственно получаем

8 ( ) = 2хф0(у) + г[фг (0) - ф0 (0)] a r38 '(0) в г2 8 (0)

у 2 - в г2 2 - в г2 6(2 - в r2) 2 - в г2

Из (11) при у ^ -0 имеем

2хф0(0) + г[фх (0) - фр(0)] а г3 8 '(0) в r28 (0)

2 - в г2 2 - в г2 6(2 - в r2) 2 - в г2 ,

или

a r3 r

8 (0) = —12"5/(0)+ 2 * (0) + ФЬ(0)].

Из (11) же следует, что

2r

8/(у) = *0 (у), ві < У < 0,

и, соответственно,

2r

8/(0) = 2—зТ2 *0 (0). (12)

С учетом (12) получаем

4

а л r

8 (0) = - 6(2 — в r2) *0 (0) + 2 [*r(0) + *0(0)], (13)

8 (у)

2 r*0(y) 2 — в r2

r

2 *r(0)

r(2 + в r2) 2(2 — в r2)

*0(0)

a r4

6(2 — в r2)

*0(0), ві < У < 0.

(14)

Подставляя (12) - (14) в (10), с учетом того, что 8(у) — 8(0) = 2—^ [*0(y) — *0(0)], получим, что решение уравнения (1) при ві < У < 0, удовлетворяющее условию (4), задается формулой

u(x, у)

2 — в r2 + 2в rx 2 — в r2

x

*0(у) + - *r (0) r

x(2 + в r2) r(2 — в r2)

*0(0) +

a rx(x — r) 2 — в r2

*0 (0)

а (9) примет вид

T (x)

a rx(x — r) 2 — в r2

x

*0(0) + r *r(0) +

rx

r

*0(0).

(15)

(16)

Непосредственной проверкой убеждаемся в том что (15) удовлетворяет уравнению (1) и условию (4).

На основании (8) имеем

ar r r

8(У) = —72 -8/(У) + 2*(У) + 2*0(У), 0 < У < в2,

или, при a = 0,

8/ (У) + Я8 (у)= /(у), (17)

ГЖ Я = 0^, f (У) = у * (У) + *0(У)] = a6^ * (У) + *0(У)].

Решая задачу Коши (13) для уравнения (17), получаем

У

8(У) = е—Яу8(0) +J e—Я(у—n»/(n)dn, 0 < У < 02,

0

откуда следует 8/ (У)

У

Яе—Яу8(0) + /(у) — е—Я(у—n>/(n)dn, 0 < У < ft-

0

Подставляя (18) в (8), получаем, что решение уравнения (1) при 0 < у < в2, удовлетворяющее условиям (4), (7), задается формулой

u(x, у) = x(x — r)

( 2^2 — Г2[^r(0) + Фо(0)])е -3 + Г2 [фг(у) + фо(у)]

36x(x — r) a r5

у

e

о

12(у—П) x

ar3 [фг(п) + фо(п)]dп + -фг(у) +

r

rx

фо(у),

о < у < р2.

(19)

Легко убедиться, что (19) удовлетворяет уравнению (1), и что из (19) при у ^ +о получается (16).

Таким образом, доказана следующая

Теорема 1. Если вr2 = 2, то единственное регулярное решение u(x,у) уравнения (і), удовлетворяющее краевым условиям

и(о,у) = фо(у), фо(у) є С[в1, в2] ПС![о,в2[ п С2]в1, о], ві < у < в2,

u(r,у) = Фг(у), Фг(у) є С[о,в2] пС1[о,в2[, о < у < в2, где фо(у), фг(у) - заданные функции, задается формулами

u(x, у) =

2 — в r2 + 2в rx

x

фо(у) + “ Фг (о) —

x(2 + в r2)

2 — в г2 гоу7У 1 rrrv 7 r(2 — в r2)

фо(о) + фо (о), ві < у < о,

u(x, у) = x(x — r)

( — г2[Фг(о) + фо(о)])е ar3 + г2[Фг(у) + фо(у)]

. N J

36x(x — r) f — 12(у—п)

ar5

г 12(у—п) x r — x

/e ar3 [Фг (п ) + фо(п )]dn + - Фг (у) +-фо(у), о < у < в2.

rr

Модель нагруженного гиперболо-параболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа

В качестве модели нагруженного уравнения, меняющего свой тип на нехарактеристической линии, рассмотрим уравнение

Uxx + a ду / u(x, у)^ = о, у > о, о

uxx ^у = 0, у < о

(20)

в области Q, ограниченной отрезками ААо, ВВо, АоВо прямых x = о, x = r, у = в2 соответственно при у > о, и характеристиками волнового уравнения AC : x + у = о, BC : x — у = r при у < о.

Обозначим через Q+, Q.— параболическую и гиперболическую части области Q

г

соответственно, а через J - интервал о < x < r прямой у = о, через 8(у) = /u(x,у)^,

о < у < в2.

Определение. Под регулярным решением уравнения (20) будем понимать функцию u = u(x,у) из класса С(О) ПС2(0—) ПC2,’yi(0+), S(у) є C[0,в2] ПС![0,в2[, удовлетворяющую уравнению (20) в 0+ и О-.

Аналогом задачи Трикоми для уравнения (20) в области О будет Задача Т. Найти регулярное в области О решение u(x,у) уравнения (20), удовлетворяющее краевым условиям:

u(0,у) = фо(у), u(r,у) = (у), 0 < у < вг, (21)

u(x/2, —x/2) = у(x), 0 < x < r, (22)

где ф0(у),фДу), у(x) — заданные функции, причем ф0(0) = у(0).

Действительно, пусть существует решение u(x,у) задачи Т. Обозначим через

т (x) = u(x, 0), v (x) = u^x, 0), (23)

тогда

т (0) = ф0(0), т (r) = фг (0). (24)

Переходя в уравнении (20) к пределу при у ^ +0, и учитывая, что u^x,0) є L(J), получим функциональное соотношение, принесенное из параболической части 0+ смешанной области О

Г

t"(x) + ai I v (<§ )d<§ = 0. (25)

0

Решение задачи Коши (23) для уравнения (20) в О- представимо в виде [8]:

А—у

»(*,у) =т (x+у)+т (x—у)—2 Jv « (26)

x+у

Записав условие (22) с помощью формулы (26), в О- получим:

x

т(x) + т(0) — J" v(^)d^ = 2у(x), 0 < x < r. (27)

0

Дифференцируя (27), с учетом того, что т(0) = ф0(0) = у(0), из О- получим

v (x) = ^(x) — 2У (x). (28)

Из (25) и (28) получим уравнение

Г Г

т''(x) + ai J т'(^)d£ = 2ai У y'(<§)d£,

00

или, с учетом (24),

т ''(x) = g, (29)

где g = 2ai [у(r) — у(0)] — аі[фг(0) — ф0(0)] = 2aiy(r) — аі[фг(0) + ф0(0)].

Задача Дирихле (24) для уравнения (29) имеет единственное решение

т (x) = gx2/2 + qix + q2, (30)

где

Т.е.

q і =

фг (0) - Фо(0) gr 2 + ai r2

2 2r

[фг(0) - фо(0)] - ay[y(r) - y(0)] =

2 + air2 2 - air2

фг(0)-----Z----ф0(0) - airy(r), q2 = ф0(0).

2r

2r

t(x) = aix(x - r) ^у(r) - у(0) -

фг(0) - ф0(0) \ x

) + X Фг(0) - X-r ф0(0) = rr

= aix(x - r) (у(r) - Фг20) - ф0М j + x Фг(0) - X-rr ф0(0).

Из (28) получаем, что

2 2 ) r

V(x) = gx - 2y'(x) + qi =

(31)

2 і 2 2 2

= (2aiy(r) - ai [фг(0) + фо(0)])x - 2y'(x) +-22фг(0)--------ф0(0) - airy(r).

2r

2r

(32)

Из (30) и (32) очевидно, что однородная задача Т будет иметь в О только тривиальное решение u(x,у) = 0 как решение задачи Коши t(x) = 0, V(x) = 0 для уравнения (20).

После нахождения т(x) и v(x) решение задачи Т в О- задается формулой (26). Исследуем решение задачи Т в О+. Требуется найти решение уравнения

Uxx = -aiS '(у),

удовлетворяющее краевым условиям (21) и начальному условию

u(x, 0) = т(x), 0 < x < r,

(33)

(34)

где ф0(у),фг(у),т(x) — известные функции, причем ф0(0) = т(0), фг(0) = т(r).

Общее решение уравнения (33) как решение обыкновенного дифференциального уравнения с параметром у имеет вид

u(x, у) = -aiS '(у) — + qiOOx + q2(y),

где q^),q2(y) - произвольные функции из класса C[0,h]. Удовлетворяя (35) условиям (21), получим

{ ч фг (у) - ф0(у) . aiS'(у)г ф

ql(y) =-------------+ —^—, q2M = ф0(у),

и формула (35) примет вид:

u(x, у) =

a 1 x( r - x)

2

x

xr

2 S(У) + г фг (у)---------— ф0(у).

(35)

(36)

Из (36) с учетом обозначения S(у) = / u(x,у)^ после несложных преобразований

0

получим

3

S (у) = ^2 s '(у) + 2 фг (у) + 2 фо(y),

2

или, при й\ = 0,

5'(у) - X5(у) = f (у),

(37)

12 X r

где X = -----3, f(у) = — — [ф(у) + фо(у)], причем, с учетом (12), имеем

air3 2

5(0)= / u(%,0)d% = I т(%)d% = I (g% /2 + qi^ + q2 )d% = — g + уqi + Щг =

r3 r2

0 0 a^r3

0

6 [Y(r) — Y(0)] + 0^[Yr(0) — Ф0(0)] + 2[ф(0) + ф0(0)].

Решая задачу Коши для уравнения (37), получаем

5 (у)= eX у5 (0) + J eX <у—n > f (n )dn,

r

r

r

откуда следует

у

5'(у) = X еХу5 (0) + /(у)+/ X eX (у—n f(n )d n.

0

Отсюда видно, что при однородной задаче Т 5'(у) = 0.

Из (36) при у ^ 0 имеем

5' (0) x x — r

т (x) = u(x, 0) = — aix(x — r) ^ + - фД0)----ф)(0), (38)

2 r r

где

5 '(0) = X5 (0) + f (0) = —2[y (r) — Y (0)] + [ф (0) — ф>(0)].

Из (32) и (38) видно, что lim u(x,у) = lim u(x,у) = т(x).

у^+0 у^—0

Далее решение задачи Т в О+ задается формулой (36). Очевидно, что однородная задача, соответствующая задаче Т, будет иметь в О+ только тривиальное решение u(x, у) = 0.

Таким образом, доказана

Теорема 2. Если ф0(у), ф(у) є C[0,в2] ПС1]0,в2[, Y(x) єC1[0,r] nC2]0,r[, то задача T имеет, и притом единственное решение, которое в О— задается формулой

x + у 2r

u(x, у) = Y (x — у) — Y (x + у) + a1(x + y)(x + у — r)Y (r) —

1 — -2lт:^(alr(x + у) — a r2 + 2) фь(0),

a1r(x + у) — a1r2 — 2 ф- (0) +

а в О+ - формулой

u(x, у) = ^

(a1r2 + 6)[фг (0) + фь(0)] — 2a1r2Y (r)

+

x

+--

r

1-

3(r — x)

ф (у) +

rx

1 — 3x

r

у

36x(r x) f 12(у—n)

ф0(у)-------e a1r3 [ф(n) — Ф0(П)]dn.

a1rJ

Смешанная краевая задача для уравнения плоской волны в прямоугольной области

Рассмотрим в области D = ОЙ U J нагруженное волновое уравнение

д 2ы д х2

д 2

= ^д у2

Г

J ы(х, y)dx, о

(39)

где а = const > 0.

Определение. Под регулярным решением уравнения (39) будем понимать функцию ы = ы(х,у) из класса C(D) ПC2(D), удовлетворяющую уравнению (39) в D.

Задача S. Найти регулярное решение ы(х,у) уравнения (39), удовлетворяющее условиям (21) и условиям

Г Г

J ы(х, 0 )dx = Т, J ыу(х, 0 )dx = V, (40)

о о

где ф0(у), фГ(у) — заданные непрерывные функции, т, V — заданные постоянные.

Г

Пусть, как и в предыдущих пунктах, 8(у) = Jы(х,y)dx. Тогда уравнение (39)

0

можно переписать в виде

ыхх = а8 (у),

откуда непосредственно следует, что

х

ы(х,у) = а8 (у) — + Аі(у)х + Bi(у),

где Аі(у) и Ві(у) - произвольные функции независимой переменной у. Из (41) получим

(41)

Г х2 Г3 Г2

8(у) =J а8"(у)- + Аі(у)х + ВіШх = а8"(у)- + Аі(у)- + Bi(у)г.

(42)

Перепишем (42) в виде

или же

6 6 Г2

8 //(у) — ОЙ 8 (у) = — ОЙ ^Аі (у) 2+Ві (у)г] = Аі2(у),

8 "(у) — с2 8 (у) = Ап(у),

где с2 = а6з, Аі2(у) = — а6з [Аі(у)Г2 + ві(у)г].

(43)

Решение уравнения (43) с учетом условий (40) представимо в виде [9, с. 99]

ш /*

8 (у) = £ а^1(у; с2)+ Al2(t )иі(у — t; c2)dt, і=і і

у

где m = 2, a1 = 8'(0) = v, a2 = 8(0) = т, U совпадает с функцией Барретта:

- c2(k— 1)y2k— 1 1 - c2k— 1 y2k— 1 1 - c2k+1y2k+1 1

2\ v-1 С у 1 С У 1 С У 1 л/ \

- £ Пк_ », = - £ л,,.. .>. = -sh(cy),

U1 (у, -2) = £

k=1 Г(2*) ctt1 (2k — 1), -to (2k +1), c

- „2k-2,,2k—2 - „2k-2„2 k-2 - „2k, ,2k

U2(y, c2) = £

^ У

С~ У

С у

=1 r(2k — 1) =1 (2k — 2)! k=0 (2k)!

т.е. (44) принимает вид

= ch (су),

У

1 - 1 f

8 (у) = тЛ(су) + - У8^су) + - sh[c(y — t )]A^(t )dt.

0

Из (45) получаем

У

8 '(у) = т с sh^) + Vch(cy) + J ch[c(y — t )]A12(t )dt,

0

У

8''(у) = тс2Л(су) + v c sh(cy)+ A12W + cj sh[c(y — t)]A12(t)dt.

0

Подставляя (46) в (41), получим

(45)

(46)

/X,

sh[c^ — t)]A12(t)dt] 2 + A1 (у)х + B1 (у).

0

(47)

Удовлетворяя (47) условию (21), непосредственно получим

В1(у) = Фо(у).

Относительно А1(у) получим

a r

~Y

тс2Л(су) + vcsh^)+ А12(у) + cJ sh[c(y — t)]A^(t)dt + А1(у)г+B1 (у) = ф-(у),

0

a r

9 А 9

a r^f a r"

A12(у) + -уc sh[c(y — t)]A12(t)dt+A1 (у)— = фг(у) — фо(у) — -у [тс2Л(су) + vc s^-у)]

Учитывая, что Al2(y) = — 0^1^) — o—251(у), получаем:

3— 3-r /*

— yA (у) + rA1 (у) — —] sh[c(y — t)]A1 (t)dt =

0

/a—2 sh[c^ — t )]flo(t )dt-— [тс2Л(су) + v c sh^)].

У

У

2

У

где

У

Ai(y) + 3с J sh[c(y -t )]Ai(t )dt = f (y), (48)

0

2 6c f

f(y) = arprc2ch(cy) + vcsh(cy)] - -[q>r(y) + 2^(y)] - — sh[c(y - t)]^(t)dt.

0

Уравнение (48) есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно неизвестной функции Ai(y). Несложно проверить, что единственное решение уравнения (48) задается формулой

Ai(y) = f (y)

3c

72

y

J sin [72c(y -1 )]f (t )dt.

0

Таким образом, доказана

Теорема 3. Пусть ^0(y), (y) є C[0,в2] ПC2]0,р2[. Тогда задача S имеет, и притом единственное решение, которое задается формулой

/X2

sh[c(y -1)]Ai2(t)dt] -j + Ai (y)x + Bi (y),

y

и

где Ai2(y) = -Ts [Ai(y)^ + Bi (y)r],

3c f

Ai(y)= f(y) -^У si^v/2c(y-1^f(t)dt, Bi(y) = Ф0(У),

2 6c f

f (y) = ar[fc2ch(cy) + vcsh(cy)] - - [фг(y) + 2^(y)] --j sh[c(y - t)]^(t)dt

Замечание. Решение u(x,y) задачи S по переменной y будет принадлежать тому же классу, что и функции (p0(y),(y).

Автор выражает благодарность А.М. Нахушеву, который обратил внимание на важность исследования уравнений вида (1), (20), (39).

Библиографический список

1. Нахушев А.М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. - 1982. - Т. 18, - № 1. - С. 72-81.

2. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. - 1976. - Т. 12, - № 1. - С. 103-108.

3. Ozturk I. Boundary value problem for the loaded differential equation of fractional order // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 1995. - Т. 1, - № 2. - С. 12-17.

4. Токова А.А. О первой краевой задаче для одного нагруженного дифференциального уравнения второго порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2005. -Т. 8, - № 1. С. 87—91.

5. Токова А.А. Об одной нелокальной краевой задаче для нагруженного дифференциального уравнения со знакопеременной характеристической формой // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. — 2011. — № 2. — С. 40—45.

6. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применения. М.: Наука, 2012. — 232 с.

7. Хубиев К.У. Об одной модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения в частных производных второго порядка с характеристическим изменением типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. — 2015. — Т. 17, — № 2. —С. 48—51.

8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. — 735 с.

9. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. — 272 с.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 12.09.2015