CC BY
36Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2019. Том 26, №2
УДК 517.95
ЗАДАЧА ТИПА ЗАДАЧИ БИЦАДЗЕ -
САМАРСКОГО ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА К. У. Хубиев
Аннотация. Для модельного характеристически нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа с вырождением порядка в области его гиперболичности исследована задача типа задачи Бицадзе — Самарского с внут-реннекраевыми условиями. Уравнение рассматривается в смешанной области, параболическая часть которой представляет собой прямоугольник, а гиперболическая часть — полубесконечная полоса, ограниченная характеристиками волнового уравнения. В параболической части области исследуемое уравнение представляет неоднородное нагруженное уравнение диффузии, в гиперболической — неоднородное нагруженое уравнение Мак-Кендрика. В параболической части области на одной боковой границе задается значение функции, на другой — условие, связывающее значение искомой функции со значениями функции во внутренних точках области. Найдены условия существования и единственности регулярного решения исследуемой задачи, выписаны представления решений.
Б01: 10.25587/8УРи.2019.102.31510 Ключевые слова: нагруженное уравнение, уравнение смешанного типа, уравнение гиперболо-параболического типа, задача Бицадзе — Самарского, нелокальная задача, внутреннекраевая задача.
Введение
Рассмотрим характеристически нагруженное [1] уравнение смешанного гиперболо-параболического типа
ихх — Пу + Ах(ж, у)и(ж, 0) = л (ж, у), у> 0, пх + Пу + с(ж, у)и + А2(ж, у)и(ж - у, 0) = /2 (ж, у), у < 0,
в области О, ограниченной отрезками прямых ж = 0, ж =1, у = Т > 0 соответственно при у > 0 и характеристиками ж — у = 0, ж — у = 1 уравнения (1) при у < 0; А^ (ж, у),/ (ж, у),с(ж,у) —заданные функции, г = 1, 2.
Интерес к краевым задачам для нагруженных дифференциальных уравнений и к теории нелокальных задач вызван не только теоретическими аспектами, но и многочисленными приложениями их в математическом моделировании физико-биологических процессов. Исследованию различных задач для нагруженных уравнений с частными производными посвящено много работ (см. например, [1,2] и библиографию в них). К тому же в некоторых случаях для исследования разрешимости нелокальных краевых и обратных задач весьма
© 2019 Хубиев К. У.
эффективен метод, основанный на сведении их к локальным задачам для нагруженного уравнения [1, 3-6].
Краевые задачи для модельных нагруженных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа и эллиптико-гиперболического типа с нагруженным слагаемым Аи(х, 0) и вырождением порядка в области его гиперболичности как в ограниченной, так и в неограниченной областях исследованы в монографии [1, с. 159, 176]. Для нехарактеристически нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с вырождением порядка в области его гиперболичности исследована краевая задача в [7].
В [8] исследован эффект влияния «нагрузки» Аих(х, 0) + циу (0, у) на корректную постановку начально-краевых задач для существенно нагруженного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. В работе [9] для нагруженного уравнения Мак-Кендрика — фон Ферстера исследована задача Коши с данными на нехарактеристических и характеристических линиях. В [10] для нагруженного уравнения Мак-Кендрика — фон Ферстера с оператором Капуто исследована нелокальная краевая задача с интегральным условием.
Отметим также работы [11-18], в которых исследуются локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений основных и смешанного типов.
В данной работе исследуется задача типа задачи Бицадзе — Самарского для характеристически нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с вырождением порядка в области его гиперболичности, найдены условия существования и единственности решения задачи, выписано представление решения в параболической и гиперболической частях области.
1. Постановка задачи
Через Ох и О2 обозначим параболическую и гиперболическую части смешанной области О соответственно, а через J — интервал 0 < х < 1 прямой У = 0.
Регулярным решением уравнения (1) в области О назовем функцию и(х, у) из класса С (О) П С х(О) П С^О^, удовлетворяющую уравнению (1) в Ох и О2.
Для уравнения (1) исследуем задачу типа задачи Бицадзе — Самарского.
Задача. Найти регулярное в области О решение и(х, у) уравнения (1), удовлетворяющее следующим условиям:
и(0, у) = Ыу), 0 < у < Т, (2)
п
и(1, у) = рг(у)и(хг, у) + р(у), 0 < хх < х2 < • • • <хп < 1, п < то, (3)
1=1
где <Аз(у),Рг(у),Р(у) ^ заданные функции.
Задача с нелокальным условием (3) в параболической части относится к классу задач, предложенных А. М. Нахушевым в 1979 г. [19], и она непосредственно примыкает к задачам Самарского и Бицадзе — Самарского [20, с. 141].
Для обыкновенных дифференциальных уравнений задача с нелокальными условиями вида (3) была рассмотрена в [21]. В [22] рассмотрена нелокальная задача типа задачи Бицадзе — Самарского для уравнения эллиптического типа общего вида в прямоугольной области с условиями (3) на обеих боковых частях границы, в [23] — внутреннекраевая задача типа задачи Бицадзе — Самарского для гиперболо-параболического уравнения второго порядка с нагрузкой на линии изменения типа.
2. Основная теорема
Теорема. Если Ах (ж, у), Д (ж, у) £ С(Ох) удовлетворяют условию Гёльдера по ж, <А)(у),Рг(у) е С[0,Т], с(ж, 0) е С[0,1], А2(ж,у),/2(ж,у) е С(^) П СЧ^); постоянные pi(0), г = 1, 2,..., п, либо неположительны, либо неотрицательны и удовлетворяют неравенствам
— Ж <Р1(0)+ Р2(0) + ••• + Рп(0) < 1, Ах(ж, 0) + А2(ж, 0) + с(ж, 0) < 0, 0 < ж < 1, то задача (1)—(3) имеет, и притом единственное, решение.
Доказательство. Вначале получим соотношения между и(ж, 0) и иу (ж, 0) на линии изменения типа. Пусть существует решение и(ж, у) задачи (1), (2). Введем следующие обозначения:
т(ж) = и(ж, 0), 0 < ж < 1, (4)
V(ж) = иу (ж, 0), ^1(у) = и(1,у), 0 < у < Т, (5)
причем из условий задачи т(ж) е С(,7) П С), v(ж) е C(J), ^1(у) е С[0,Т]. Тогда из (2)-(4) следует, что
п
т (0) = ^с (0), т (1) = £ ^(0)т ^)+ р(0) = (0). (6)
i=1
Переходя в уравнении (1) к пределу при у ^ +0, получаем, что т(ж) и v(ж) на линии изменения типа 0 <ж< 1, у = 0 будут связаны следующим соотношением, принесенным из области О1:
т''(ж) — v(ж) + А1 (ж, 0)т(ж) = /1 (ж, 0). (7)
Также переходя к пределу при у ^ —0, в О2 получим
т'(ж) + v(ж) + с(ж, 0)т(ж) + А2(ж, 0)т(ж) = /2(ж, 0). (8)
Из (7), (8) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение т''(ж) + т'(ж) + [с(ж, 0) + А1(ж, 0) + А2(ж, 0)]т(ж) = /1(ж, 0) + /2(ж, 0). (9)
Лемма. Пусть функции А^ж, 0), А2(ж, 0), с(ж, 0), Д(ж, 0), /2(ж, 0) принадлежат С[0,1], постоянные pi(0), г = 1, 2,..., п, либо неположительны, либо неотрицательны и удовлетворяют неравенствам
-то <Р1(0)+ Р2(0) + ••• + Рп(0) < 1
и
А1(ж, 0) + А2(ж, 0) + с(ж, 0) < 0, 0 < ж < 1. Тогда решение задачи (6) для уравнения (9) существует и единственно.
Доказательство. Лемма является непосредственным следствием теоремы 1, доказанной В. А. Ильиным и Е. И. Моисеевым в [21]. Из этой теоремы сразу следует единственность решения задачи (6) для уравнения (9), а также существование решения при <^о(0) = 0, р(у) = 0.
Также отметим, что из теоремы 1 в работе З. А. Нахушевой [22] можно непосредственно получить единственность решения задачи (6) для уравнения (9) на произвольном интервале (а, 6), а не на интервале (0,1), и с нелокальными условиями, заданными как в точке а, так и в точке 6, для случая, когда рД0) > 0,
п
Е^(0) < 1.
i=1
Для полного доказательства леммы необходимо доказать существование решения задачи (6) для уравнения (9) при условиях <^о(0) = 0, р(у) = 0. Решение задачи (6) для уравнения (9) представимо в виде
1
т (ж) = У Со (ж, СЖСЖ + Сос(ж, 1)^(0) - Сос(ж, 0)^(0), (10)
о
где
I (е£-1)(1-е~')
^ е-1 '
0 < С < ж, ж < С < 1,
— функция Грина задачи Дирихле
т (0) = <А)(0), т (1) = ^1(0)
для уравнения
т ''(ж) + т' (ж) = д(ж), д(ж) = /1 (ж, 0) + /2(ж, 0) - [с(ж, 0) + А1(ж, 0) + А2(ж, 0)]т(ж), ех — 1 „ , _ 1 - е1-х
Сос(ж,1) =-Сос(ж,0)
е-1 е-1
Считая д(ж) пока известной функцией, из (10) получим
причем из условий леммы следует, что
ех- - 1
м = 1 - о)сос(Жг, 1) = 1 - ^
i=1
i=1
Подставляя ^1(0) = т(1) из (11) в (10), получаем интегральное уравнение Фредгольма II рода
1
т (ж) + у к (ж, От = д(ж)
(ж) + у к (ж, с
с непрерывными ядром и правой частью
(12)
К(х, О = (с0(ж, О + (х, 1) ¿>(0)Со(Жг, И0 0) + 0) + А2(0 0)],
1п
0) + 1) ^рг(0)Сос(Жг, 0)
м i=1
<Аз(0)
+
м
i=1
[/1(0 0) + /2(С, 0)] с
Существование решения уравнения (12) следует из единственности решения задачи (6) для уравнения (9). Лемма доказана.
Таким образом, при выполнении условий леммы функция т(ж) определяется однозначно, причем т(ж) е С[0,1] и С2]0,1[. Из (8) видно, что V(ж) е С 1]0,1[.
В гиперболической части области 02 решение задачи (1)-(3) сводится к решению задачи Коши (4) для неоднородного уравнения Мак-Кендрика
их + иу + с(ж, у)и = /(ж, у),
(13)
где /(ж, у) = /2(ж, у) — А2(ж у)т(ж — y, 0).
Решая задачу (13), (4) по тому же алгоритму, как и для однородного уравнения Мак-Кендрика [20, с. 180], получим формулу
и(ж, у) = т(ж — у)е
х + у
1 Ч I
_|__Р Я—у
2
t + x —у ж + у 2 ' 2
) .Й;
ж+у
„ в + X — У 3—Х + у\ 2 I с(
/I ------- I е
2
2
у я+у 2 ' 2
) ^
¿в,
х-у
которая будет решением задачи (1)-(3) в 02.
Если функции \\(х,у), ¡\(х,у) £ С(Ох) удовлетворяют условию Гёльдера по ж, ^о(у),рДу) е С[0,Т], то решение задачи (1)-(3) в области представимо
1
х-у
в виде
У У
и(ж,у)=У (ж,у;0,п)Ып) ¿П (ж, у; 1, п)<Мп) ¿П
о о
1 У 1
+ | С(ж,у; С, 0)т(С) ¿С + / / С(ж,у; С,пШС,п) - А1(С,п)т(С)] ¿С ¿П, (14)
оо
где
с(ж,у; С,п) =
4тг(г/ — 77) к=
53 ГХР
Г(ж — £ + 2/г)21 Г(ж + £ + 2/г)21
- ехр . 4(п- У) .
— функция Грина первой краевой задачи (2), (4), (5) для уравнения Фурье [20, с. 267].
Удовлетворяя (14) условию (3), получим интегральное уравнение относительно неизвестной функции ^1(у):
У
^ п
^м + у 53рг(у)с« (жг,у; 1,п)^1(п) ¿п = ^ы, (15)
^Ы = Р(у) + 53Рг(у)
1 У
У С(жг,у; С, 0)т(С)^С + / (жг,у;0,п)^о(п)
оо У 1
+ |1 С(жг ,у; С,п)[/1(С,п) - А1(С,п)т(С)] ^П
оо
Рассмотрим ядро интегрального уравнения (15): 1
4а/тг(У - т?)3/2
X ^ж.
к=-^>
иж» - 1 + 2к) ехр
(жг - 1 + 2к)2
4(П - У)
/ ^
X I 53(1+ ж» + 2к)ехр
к=о
ж» + 2к)ехр (1 + ж» + 2к)2
+ (ж» + 1 + 2к) ехр (1 + ж» +2к)2
(жг + 1 +2к)2
53рг(у)с«(ж» -у; 1,п)
г=1 / ^
X I 53(1 + ж» + 2к) ехр
4(П - У)
п
53рг(у)
4(п - у)
^53 (1 - ж» + 2к) ехр
к=о
4(П - У) 1
= - 77)3/2
(1 - ж» +2к)2
4(П - У)
г=1
2^-77)3/2
к=о
(1 +жг +2А:)2 4(П - У)
^53(1 - ж» + 2к) ехр
к=о
(1 - ж» +2к)2
4(П - У)
1
1
<
7-\з?2 + Хг + 2/г) ехР
(1 +жг + 2 к)2
4(п - у)
+ i=1
Учитывая, что
У2рЖу)тл=7-АзТг Х^1 ~ Жг + 2/г) ехР
= (! -
(1 -жг +2к)2 4(т]-у)
к=0
при |д| < 1 и
(£j + 2к) ехр
+ 2А:)2 4 (у - г])
(£j + 2к) ехр
Г к2 1 £2 ке^
ехр ехр
. (у -п). 4 (у - г})_
где
< Qj ехр £2 ехр ке^
4 (у - г})_ . (у-л).
со^ = 8ир(£3- + 2к) ехр(-к2/Л.) > 0, £1 = тт{1 + i х^ = 1 + Х1 > 0
£2 = тш{1 — х= 1 — Хп > 0, j = 1, 2,
получим,что
п
Mj (у - п)-3/2 ехр
j= 1
—^
М.;
4(У - П) тах{рДу)}, j = 1, 2.
1 - ехр
У - П
^ 2а/7Г г
Аналогично получается оценка для правой части ^(у) интегрального уравнения (15). Из этих оценок следует, что уравнение (15) есть интегральное уравнение Вольтерра второго рода, которое имеет, и притом единственное, решение ^1(у), причем ^1(у) € С[0, Т]. После нахождения функции ^1(у) решение задачи (1)—(3) в задается формулой (14). Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применения. М.: Наука, 2012.
2. Дженалиев М. Т., Рамазанов М. И. Нагруженные уравнения как возмущения дифференциальных уравнений. Алматы: РЫЛЫМ, 2010.
3. Нахушев А. М. О нелокальных задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, № 1. С. 92-101.
4. Огородников Е. Н. Некоторые характеристические задачи для систем нагруженных дифференциальных уравнений и их связь с нелокальными краевыми задачами // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2003. Т. 19. С. 22-28.
5. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76, № 6. С. 840-853.
з
1
-£з
6. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 9. С. 1166-1179.
7. Хубиев К. У. Краевая задача для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с вырождением порядка в области его гиперболичности // Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 2018. С. 113-117. (Сер. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Т. 149).
8. Аттаев А. Х. О некоторых задачах для нагруженного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). С. 9-14.
9. Attaev A. Kh. The Cauchy problem for the Mc Kendrick-Von Foerster loaded équation // Intern. J. Pure Appl. Math. 2017. V. 113, issue 4. P. 47-52.
10. Березгова Р. З. О некоторых задачах для нагруженного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 19, № 3. С. 5-9.
11. Борель Л. В. О разрешимости вырожденных нагруженных систем уравнений // Мат. заметки СВФУ. 2015. Т. 22, № 4. С. 3-10.
12. Сабитов К. Б. Начально-граничная задача для параболо-гиперболического уравнения с нагруженными слагаемыми // Изв. вузов. Математика. 2015. № 6. С. 31-42.
13. Islomov B., Baltaeva U. I. Boundary-value problems for a third-order loaded parabolic-hyperbolic equation with variable coefficients // Electronic J. Diff. Equ. 2015. V. 2015, issue 221. P. 1-10.
14. Sadarangani K. B., Abdullaev O. Kh. About a problem for loaded parabolic-hyperbolic type equation with fractional derivatives // Intern. J. Diff. Equ. 2016. P. 1-6.
15. Зикиров О. С., Холиков Д. К. Об одной задаче для нагруженного псевдопараболического уравнения третьего порядка // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 2. С. 19-30.
16. Хубиев К. У. Аналог задачи Трикоми для характеристически нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами // Уфимск. мат. журн. 2017. T 9, № 2. С. 94-103.
17. Тарасенко А. В. О разрешимости нелокальной задачи для нагруженного параболо-гипер-болического уравнения // Изв. вузов. Математика. 2018. № 3. С. 62-69.
18. Хубиев К. У. Задачи со смещением для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с оператором дробной диффузии // Вестн. Удмуртск. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2018. Т. 28, № 1. С. 82-90.
19. Нахушев А. М. Краевые задачи для нагруженного интегродифференциального уравнения гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференц. уравнения. 1979. T. 15, № 1. C. 96-105.
20. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая шк., 1995.
21. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма — Лиувилля в дифференциальной и разностной постановках // Докл. АН СССР. 1986. Т. 291, № 3. С. 534-539.
22. Нахушева З. А. Об одной нелокальной эллиптической краевой задаче типа задачи Би-цадзе — Самарского // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. Акад. наук. 2013. Т. 15, № 1. С. 18-23.
23. Хубиев К. У. Внутреннекраевая задача для нагруженного уравнения смешанного типа // Изв. вузов. Северо-Кавк. регион. Сер. Естеств. науки. 2008. № 6. C. 23-25.
Поступила в редакцию 2 марта 2019 г. После доработки 25 марта 2019 г. Принята к публикации 3 июня 2019 г.
Хубиев Казбек Узеирович
Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, ул. Шортанова, 89 А, Нальчик 360000 khubiev_math@mail .ru
Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2019. Том 26, №2
UDK 517.95
A PROBLEM OF THE BITSADZE—SAMARSKII TYPE FOR A LOADED HYPERBOLIC-PARABOLIC EQUATION K. U. Khubiev
Abstract: We investigate a problem of the Bitsadze—Samarskii type with inner boundary conditions for a model characteristicly loaded equation of a mixed hyperbolic-parabolic type with degeneration of order in the hyperbolic domain. The equation is considered in a mixed domain with a rectangle as the parabolic part and a semi-infinite strip bounded by the characteristics of the wave equation as the hyperbolic part. In the parabolic domain, the equation is a loaded nonhomogeneous heat equation, while it is a loaded nonhomogeneous McKendrick equation in the hyperbolic domain. The function's values are given on one side of the boundary of the parabolic domain; on the other side of that boundary we give a condition binding the value of the unknown function with the function's values at the interior points of the its domain. The existence and uniqueness conditions for the regular solution to the problem are determined and the solution representations are written out.
DOI: 10.25587/SVFU.2019.102.31510 Keywords: loaded equation, equation of mixed type, hyperbolic-parabolic equation, nonlocal problem, the Bitsadze—Samarskii problem, inner boundary value problem.
REFERENCES
1. Nakhushev A. M., Loaded Equations and Their Applications [in Russian], Nauka, Moscow (2012).
2. Dzhenaliyev M. T. and Ramazanov M. I., Loaded Equations As Perturbed Differential Equations [in Russian], Gylym, Almaty (2010).
3. Nakhushev A. M., "Nonlocal boundary value problems with shift and their connection with loaded equations," Differ. Uravn., 21, No. 1, 92-101 (1985).
4. Ogorodnikov E. N., "Some characteristic problems for loaded systems of differential equations and their relationship with non-local boundary value problems," Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 19, 22-28 (2003).
5. Kozhanov A. I., "A nonlinear loaded parabolic equation and a related inverse problem," Math. Notes, 76, No. 6, 784-795 (2004).
6. Kozhanov A. I. and Pul'kina L. S., "On the solvability of boundary value problems with a nonlocal boundary condition of integral form for multidimensional hyperbolic equations," Differ. Equ., 42, No. 9, 1233-1246 (2006).
7. Khubiev K. U., "Boundary-value problem for a loaded equation of hyperbolic-parabolic type with degeneracy of order in the domain of hyperbolicity," Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz., 149, 113-117 (2018).
8. Attaev A. Kh., "On some problems for loaded partial differential equation of the first order," Vestn. KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki, 16, No. 4-1, 9-14 (2016).
9. Attaev A. Kh., "The Cauchy problem for for the MC Kendrick-Von Foerster loaded equation," Int. J. Pure Appl. Math., 113, No. 4, 47-52 (2017).
© 2019 K. U. Khubiev
10. Berezgova R. Z., "On a nonlocal boundary-value problem for the Mckendrick von Foerster loaded equation with Caputo operator," Vestn. KRAUNC, Fiz.-Mat. Nauki, 19, No. 3, 5—9 (2017).
11. Borel' L. V., "On solvability of degenerate loaded systems of equations," Mat. Zametki SVFU, 22, No. 4, 3-11 (2015).
12. Sabitov K. B., "Initial-boundary problem for parabolic-hyperbolic equation with loaded sum-mands," Russ. Math. (Iz. VUz), 59, No. 6, 23-33 (2015).
13. Islomov B. and Baltaeva U. I., "Boundary-value problems for a third-order loaded parabolic-hyperbolic equation with variable coefficients," Electron. J. Differ. Equ., 2015, No. 221, 1-10 (2015).
14. Sadarangani K. B. and Abdullaev O. Kh., "About a problem for loaded parabolic-hyperbolic type equation with fractional derivatives," Int. J. Differ. Equ., No. 2016, 1-6 (2016).
15. Zikirov O. S. and Kholikov D. K., "On some problem for a loaded pseudoparabolic equation of the third order," Mat. Zametki SVFU, 23, No. 2, 19-30 (2016).
16. Khubiev K. U., "Analogue of Tricomi problem for characteristically loaded hyperbolic-parabolic equation with variable coefficients," Ufim. Mat. Zh., 9, No. 2, 92-101 (2017).
17. Tarasenko A. V., "On solvability of nonlocal problem for loaded parabolic-hyperbolic equation," Russ. Math. (Iz. VUZ), 62, No. 3, 53-59 (2018).
18. Khubiev K. U., "Boundary value problem with shift for loaded hyperbolic-parabolic type equation involving fractional diffusion operator," Vestn. Udmurt. Univ., Mat. Mekh. Komp. Nauki, 28, No. 1, 82-90 (2018).
19. Nakhushev A. M., "Boundary value problems for loaded integro-differential equations of hyperbolic type and some of their applications to the prediction of ground moisture [in Russian]," Differ. Uravn., 15, No. 1, 96-105 (1979).
20. Nakhushev A. M., Equations of Mathematical Biology [in Russian], Vysshaia Shkola, Moscow (1995).
21. Il'in V. A. and Moiseev E. I., "A nonlocal boundary value problem for the Sturm-Liouville operator in a differential and a difference treatment [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk SSSR, 291, No. 3, 534-539 (1986).
22. Nakhusheva Z. A., "On a Bitsadze-Samarsky type nonlocal elliptic boundary value problem," Dokl. Adyg. (Cherkess.) Mezdunar. Akad. Nauk, 15, No. 1, 18-23 (2013).
23. Khubiev K. U., "Inner boundary value problems for the loaded equations of mixed type," Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Sev.-Kavk. Reg., Estestv. Nauki, No. 6, 23-25 (2008).
Submitted March 2, 2019 Revised March 25, 2019 Accepted June 3, 2019
Kazbek U. Khubiev
Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS, 89A Shortanov Street, Nalchik, 360000, Russia k hub i e v _m at M! m a i 1 .ru
