О гиперболических уравнениях с шумом, сконцентрированным на гиперплоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 519.2

Е. В. Гапечкина

О ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ С ШУМОМ, СКОНЦЕНТРИРОВАННЫМ НА ГИПЕРПЛОСКОСТИ

В работе рассматривается класс дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа с внешним воздействием в виде пространственно-временного шума, сконцентрированного на гиперплоскости и содержащего формальные производные симметричных интегралов. Показано, что нахождение потраекторных решений задачи с начальными условиями и первой краевой задачи в классе обобщенных функций сводится к нахождению решений задач того же типа, но без детерминированных аналогов стохастических интегралов в правой части, которые решаются уже классическими, а не стохастическими, численно-аналитическими методами. Приводится пример численно-аналитического решения первой краевой задачи в случае, когда шум, сконцентрированный на гиперплоскости, является только временным, а остальные компоненты правой части дифференциального уравнения достаточно гладкие. Симметричный интеграл; уравнения с симметричным интегралом; стохастическое дифференциальное уравнение; пространственно-временной шум; обобщенные функции; первая краевая задача

ВВЕДЕНИЕ

Пусть (^, ^, (^:), Р) - вероятностное пространство с фильтрацией (^:), на котором задан стандартный винеровский процесс Ж(:). Рассмотрим задачу с начальными условиями для стохастического волнового уравнения:

и« (t, х) - и 1 х) = х Ж (:)) + / х,Ж,) * Ж' (:) 4=0=п (4 и,\,=о=ио (4 х 6 К

(1)

где функции g(t, х, и), /(:, х, и) имеют непрерывные частные производные второго порядка по каждому аргументу, формальная производная винеровского процесса Ж{() понимается

в смысле Стратоновича [10] и называется белым шумом [2]. Задачи такого типа рассматривались, например, в работе [6], где приводились по-траекторные решения. Пусть ^(:, х, и) =

= Г /(:, х, и )1и , тогда, согласно [6], решение ■Ч

задачи (1) дает аналог формулы Даламбера: и (:, х ) = 2 (и о (х + : )+ и о (х - : ))+ ± 1^”° о (Х)<^Х +

g(т,х, жтух^+]>(., х,ж^№

, +

+ і іо!-(,-т) g (Т

- — [У (о, х,ж (о )№

1 Г^Х+(^-т)

2 х-(/-т)Л о

1 (»^Х+(/-т) у ч

1 (‘ї(‘х+{ї-х)(‘х ,, у ч

+ 7 іІ(,-і ^ Х ж >"

2

При /(:, х, Ж(:)) ° о последняя формула совпадает с классической формулой Даламбера. Если при этом в правой части уравнения функция g(t, х, Ж(:)) = ЖХ:), решение задачи (1) имеет вид:

и(і, х) = — (и0 (х + і) + и0 (х - і)) +

1 рх+г + —

(3)

2

и0 (фХ - гЖ (0)+^ Ж (я

(2)

В данной работе речь пойдет о стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных гиперболичекого типа, у которых в правой части присутствует белый шум, сконцентрированный на гиперплоскости, что приводит нас к поиску решения в классе обобщенных функций [3, 4, 14].

Настоящее исследование находится на стыке теории обобщенных функций и теории стохастических дифференциальных уравнений и их детерминированных аналогов. Автор впервые вводит понятие симметричного интеграла от обобщенных функций. Таким образом, данную работу можно считать развитием результатов

О. В. Захаровой [7] в классе задач, обозначенных в работе Р. Даланга [14].

Пусть 5(Я1) - пространство быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций на Я1, ^(Я1) - двойственное к нему пространство медленно растущих обобщенных функций на Я1. Обозначим Я+ = [о;+¥, Со°°(к1) - пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций на Я1, символом <г, ф > - значение функционала г е ^(Я1) на произвольной пробной функции ф е 5(Я1).

Контактная информация: gap_kate@mail.ru

Из обобщенной теоремы Колмогорова [21, теор. 3.4] следует, что существует вероятностное пространство (^, Р, Р) с фильтрацией Р: и обобщенный центрированный гауссовский процесс Р = {Р:( ф), : е К+, ф е 5(К)}, определенный на этом пространстве и связанный с шумом Р(:, х) = Р(:, х1, х2), х = (х1, х2) е К1-1 хК, по формуле:

р(ф)=Ухр (^х )ф(х )е 5 '(К)’ (4)

:е К+,фе 5(к1 )

Ковариации гауссовского процесса Р:( ф) и шума Р(:, х) задаются следующими выражениями для любых :, 5 е К+, х, у е К, ф, у е е 5(К):

Е(р:(ф)Р (У))= (: А 5)|Й1ХЙ1 г(lx, 1У)ф(хЖУ), (5) Е(Р(:, х), Р (5, у ))= 5о(: - 5)г(х, у), (6)

где функция Г(х, у): К1 х К1 ^ Я+ в общем случае ограничена либо на нее налагаются более слабые требования [13, 18]. Если шум является однородным по пространственным координатам, его ковариационная функция имеет вид: Г(х, у) = Г(х - у), х, у е К1.

Рассмотрим задачу с начальными условиями для стохастического дифференциального уравнения в частных производных гиперболического типа, приведенного в работе [14], положив здесь и далее и = и(:, х) = и(:, хь х2), ф = ф (х) =

= ф (хь х2), х = (х1, х2) е К1-1 х К:

иа (:, х)+ 2аи: (:, х)+ Ьи (:, х)- Ди(:, х)= = ^ (и(:, х1о))+ й(и(:, х1 о))Р (:, х1 о)]бо (х2),

и(о,х) = ио, —(о,х) = ио, хе К1, (8)

Э:

где : е К+, х = (х1, х2) е К1-1 х К, " а, Ь е К, g

и й - действительные функции, переменная х1 представляет собой координаты в гиперплоскости К1-1 х {о}, на которой сконцентрирован шум, х2 - координата на прямом перпендикуляре к этой гиперплоскости, 5о(х2) - дельтафункция Дирака [3], Р - гауссовский шум, белый по времени и пространственно однородный на гиперплоскости. В этом случае Г(х, у) = = Г 1(х1 - у1) 5оЫ 5о(у2), х = (х1, х2), у = (у1, у2), х1, у1 е К , ^ у2 е К.

Можно привести как минимум 3 интересных частных случая уравнения вида (7). Когда а = = Ь = о - это волновое уравнение. Когда а > о и Ь = о - это волновое уравнение со скачками, называемое при 1 = 1 телеграфным. И, наконец,

когда a = 0 и b ^ 0, - это уравнение Клейна-Гордона.

Уравнение (7) может быть получено при моделировании следующего явления [14]. Дождь капает на поверхность озера, порождая звуковые волны, которые распространяются над водой. Этот шум складывается из большого количества падений маленьких капелек дождя. После проведения соответствующего масштабирования шум, распространяющийся в трехмерной среде, можно считать пространственно однородным у поверхности озера. Следовательно, шум действует на 2-мерной границе 3-мерной области. В двумерном случае можно представить себе границу некоего плоского объекта (либо натянутую нитку или струну), которая испытывает случайное воздействие в перпендикулярном направлении. В этом случае шум действует на 1-мерной границе 2-мерной области. Таким образом, в этой модели в качестве внешнего воздействия присутствует шум, сконцентрированный на гиперплоскости и действующий вдоль прямого перпендикуляра к ней.

Существует несколько подходов к изучению дифференциальных уравнений, возмущаемых шумом, сконцентрированным на многообразиях. Одномерные случаи, когда шум на границе является точечным, исследованы в работах [11,

16, 17]. В пространствах с большей размерностью параболические уравнения с шумом изучались Dawson и Salehi [15], в гиперболическом случае для волновых уравнений - Mueller [20], Dalang, Frangos [13], Dalang [12], Millet, Sanz-Sole [18, 19], Peszat [22] и Peszat, Zabczyk [23]. В упомянутых работах показано, что для существования и единственности решений такого рода задач должны быть наложены ограничения на шум в правой части, а именно - на его ковариацию.

Одним из ключевых моментов в работе Да-ланга и Левекью [14] является характеризация тех ковариаций, для которых уравнения вида (7) с функциями g, h = const в правой части имеют действительно-значные решения в пространствах d > 2. Уравнение (7) с такой правой частью будет линейным относительно u. В пространствах размерности 2 и 3 при условии существования решения для линейного уравнения (7) доказывается существование и единственность решения нелинейного уравнения вида (7) при тех же условиях на ковариацию, что были потребованы в линейном случае.

Шум в уравнении (7) понимается в обобщенном смысле, поэтому важно придать строгий смысл этому уравнению. В работе [14] это

делается с помощью теории мартингальных мер Уолша [24] и соответствующих обобщений стохастического интеграла Уолша [12]. В пространстве 1=1 уравнение (7) имеет действительно-значное решение для всех ковариаций при любых Г. В пространствах более высокой размерности в общем случае решение существует только в пространстве медленно растущих функционалов Шварца [3].

Рассмотрим задачу для частного случая уравнения (7):

и": (:, х) + 2аи: (:, х) + Ьи(:, х) -

- Дn(t, х) = Р (:, х1 ,о)5 о (х2),

:е Я+, х = (х1, х2 )е К1-1 Х Я,"а,Ь е Я, (9)

и (о, х) = о, (о, х) = о, х е Я1,

где Р&(:, х) = Р&(:, х1, х2), х = (х1, х2 )е К1-1 ХЯ , -обобщенный гауссовский шум (4), сконцентрированный на гиперплоскости и действующий перпендикулярно ей. Существует несколько определений решения задач типа (9) [14].

Определение 1. Слабым решением задачи (9) называется адаптированный обобщенный процесс и(:, х), : > о, х е Я1, со значениями в пространстве 5(К) при каждом : > о такой,

что для всех : > о и ф(х)е С¥(я1), х = (х1, х2) е е К1 х х К, справедливо

(:, х) + 2а Эп (:, х)+Ьи(:, х)- Ди(:, х), ф(х )^ =

= ^ Р (:, х1,о), ф(х1,о^, Р - п.н.

Известно [25], что единственное слабое решение задачи (9) дается формулой

(и(^ х ),ф(х )} = |[о,: ]хя--1 М (ds, 1х1,о)Х х(о(:-5)ф)(х1,о), :е Я+,фе 5(к1 ) где звездочкой обозначена операция свертки

(ф * У)(х) = {Яф(х - у Му )dУ,

ф, уе 5 (к1 ), х е Я1,

Функция О = G(t, х) = G(t, х1, х2), : > о, х = = (х1, х2) е Я1-1 х Я, является решением однородной задачи

О" + 2аО:+ ЬО -ДО = о, О(о,о)= о, о: (о,о)=8о (о),

и называется ядром Грина уравнения (9), М(15, 1х1, о) - специальным образом построенная по гауссовскому процессу из правой части уравнения (9) мартингальная мера [12, 13]. Схематически это можно представить следующим обра-

(1о)

зом. Сначала функция ф ^ Р( ф) обобщается до о-конечной Х2-значной меры А ^ Р(А), определенной для ограниченных борелевских множеств А с Я+ х Я1. Затем для М:(В) = Р([о, :] х х В), В е ВЬ(Я1), где ВЬ(Я1) - множество ограниченных борелевских подмножеств К1, определяется фильтрация

р? = о(мх (В), 5 <:, В е Вь (я1 ))

Р: = Р:0 V N,

где N состоит из Р-нулевых множеств. Мартингальная мера (М:(В), Р, : > о, В е ВЬ(Я1)) и есть соответствующая процессу Р мартингальная мера с ковариацией

е([о, :]Х А Х В ) = М (А), М (в)): =

=: Я1хЯ 1у1а (х)г(х у )1В (уI

где Г(х, у), х, у е К1 - ограниченная неотрицательная функция. Показано [14], что : ^ ^ М:(В) - непрерывный мартингал, Р( ф) =

= ГК Я ф(:, х)М (1:, 1х). Последний интеграл сужается на гиперплоскость х2 = о:

Р(ф(:, х1 ,о)) = |Я Я -1 ф(5, х1 ,о)м(15,1х1,о).

Кроме слабого решения, существует также понятие сильного решения задачи (9), приведенное в [14]. Пусть 1}1<х (Я1) - пространство обобщенных функций, интегрируемых

с квадратом на любом ограниченном множестве.

Определение 2. Функционально-значным (сильным) решением задачи (9) называется адаптированный обобщенный процесс и(:, х), : > > о, х е Я1, со значениями в 1}Хж (я1 ), такой, что функционал ф ® \Я11хи(:, х)ф(х), фе Со¥ (я1 ), : > о, совпадает со слабым решением (1о) задачи

(9).

В работе [14] доказываются необходимые и достаточные условия существования сильных решений задачи (9). Пусть Г(х, у), х, у е Я1, -неотрицательная ограниченная функция. Рассмотрим ситуацию, когда шум сконцентрирован на гиперплоскости Я1-1 х {х2} и является пространственно однородным вне этой плоскости. Тогда можно представить функцию Г в виде Г(х, у) = Г1(х1 - у1)5о(х2)5о(у2), х = (хь х2), у = (у1, y2), x1, у1 е Я , x2, у2 е Я.

Теорема [14]. Функционально-значное решение и(:, х), : > о, задачи (9) существует тогда и только тогда, когда выполняется условие:

г п(1Х)

Jя,

< ¥, где V - борелевская мера, чье

преобразование Фурье по пространственной координате х1 дает функцию Г1. В этом случае решение и = и(:, х1, х2), х2 Ф о, х1 е Я1-1, находится по формуле:

и(:, х1, х2) =

1 (11)

= Г[о,:^ М(15, dУl, х2 °1(: - 5 х1 - у^ х2 I

где О1 (:,-, х2) - сужение О(:,-) на гиперплоскость Я1 -1 х{х2}.

1. СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть Х(^), 5 е Я+, - произвольная непрерывная функция, Дя, и), 5 е Я+, и е Я, - детерминированная функция, измеримая по 5 и и. Рассмотрим разбиения Тп, п е N, отрезка [о, :]:

Т ={:!п)}. о = :'п)< :“<...< :<"><... < :“ =:, п е

что Т, с Тп+1, п е N. и =

■“■ft

е N, такие,

= max|t(n4-11 ® 0 при n . Через X(n)(5),

s е [0, t], обозначим ломаную, построенную по функции X(s) и отвечающую разбиению Tn, а

N(n) (t, u ) = S s£t 1(X(n) (s ) = u)

соответст-

через

вующую ей индикатрису Банаха. Положим

Dtkn) = tkn) -4-1, [д4п)]= [tW,tkn)], Dxkn) =

= x(t(n ))-x(tk-)1).

Определение 3. Симметричным интегралом называется

(/(s,X(s))* dX(s)=

=Lm X дш 1д,н / (s.x(" )(s ),

к LAI k

если предел в правой части равенства существует и не зависит от выбора последовательности разбиений Tn, n е N. В случае, когда X(t) = = W(t) - стандартный винеровский процесс, симметричный интеграл совпадает со стохастическим интегралом Стратоновича.

Пусть F(s, x, и), s е R+, и е R, x е Rd, -функционал из S(Rd) при каждом s > 0, ие R, функция /(s, и) = <F(s, x, и), f (x)> - его значение на произвольной пробной функции f (x) е

е S(Rd) Vs > 0, и е R, такие, что функция /(s, и) измерима по s и и.

Определение 4. Симметричным интегралом от обобщенной функции F(s, x, X(s)) называется функционал, действующий на пробную функцию f е S(R ) по правилу:

j>(s, x,X(s)) * dx(s),f(x)j =

de/ &t t*t

= j (F(s,x,X(s)),f(x)) * dX(s) = j /(s,X(s)) * dX(s).

Достаточное условие существования симметричного интеграла от «обычной», регулярной функции - так называемое условие (5) [Ю].

Определение 5. Будем говорить, что пара функций Х(^), 5 е Я+, и , и), 5 е Я+, и е Я, удовлетворяют условию (5) на [о, :], если:

(a) Функция Х(^), 5 е [о, :], непрерывна;

(b) При п. в. и функция^, и), 5 е [о, :], имеет ограниченное изменение и непрерывна справа по 5 е [о, :];

(c) При п. в. и справедливо равенство

1,11(х(5 ) = и) 1|(15 и) = о, где при каждом и функция |/|(5, и) есть полное изменение функции /(т, и) по переменной т на отрезке [о, 5];

(ё) Полное изменение |/|(:, и) функции /(5, и) по переменной 5 на отрезке [о,: ] локально суммируемо по и.

Чтобы существовал симметричный интеграл от обобщенной функции Р(5, х, Х(^)), достаточно, чтобы пара функций (Х(^), /5, и)), где /(5, и)= = <Р(5, х, и), ф (х)>, удовлетворяла условию (5) на [о, :]. В этом случае существуют производная /5 (5, и) = (Р (5, х, и), ф(х)) ^, интегралы

Йи)1и, Ю jx(^))■/s(s,и)1и15 и "ф(х)е 5(я1 ) симметричный интеграл от обобщенной функции Р(5, х, Х(^)) может быть вычислен по формуле:

(Ю Р (5 х х(5)) *1х(5)>ф(х)) =

= 1Х(о )(Р (^ x, ф(х))1и- (12)

- Ю Йо)(Р (s, x, ф(х)) 51и15.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных гиперболического типа

иа + 2аи: + Ьи - Ди =

= к (:, х1,о, х(:))+ й(:, х^о, х(: ))х' (: )]5о (х2), (13) х е Д : е (о, т), с начальными и краевыми условиями:

/(0, x) = U0 (x) ut| t=0 =u0(x) x е D и S.

u(^ x)|xеsT =m(t\ tе [0, t],

t , (14) (15)

где а, Ь е Я, х = (х1, х2) е Я1-1 х Я, g, к - обобщенные функции из 5'(Я), Б - некоторая ограниченная область в Я1, 5т - граница «цилиндра» с основанием Б при : = о, направленного вдоль

1 д2

оси времени, Д = £ —2 - оператор Лапласа.

,■=1дх2

Ниже будет представлен метод, позволяющий свести решение как задачи (13)-(14), так и первой краевой задачи (13)-(15) к решению задач такого же типа, не содержащих при этом симметричных интегралов, что существенно упростит решение этих задач.

В уравнении (13) X' (: ) =1 х(:) - формаль-

1:

ная производная функции Х(:), которая понимается в форме симметричного интеграла, а само уравнение (13) следует понимать в интегральной форме:

п\ (:,х)- п\ (о,х) + 2аи(:,х)-

- 2аи(о, х) + Ь1 и(5, х )15 -1 Ди(5, х )15 =

о о

: : ~

1 g(5,х1,о, х(5))15 +1 к (5,х1,о,х(^)) * 1х(^) 5о (х2),

о о _

(16)

где последний интеграл в правой части есть детерминированный аналог интеграла Стратоно-вича - симметричный интеграл [Ю].

Так как в правой части уравнения (13) (или (16)) содержится дельта-функция Дирака 5о(х2) и функции g и к, мы понимаем его как уравнение с обобщенными функциями [3, 4, 14] "фе е ^(Я1):

(и\ (:, х)- и\(о,х)+ 2аи(:,х)- 2аи(о, х) +

: :

Ь1 и(5, х)15 - 1 Ди(5, х)15,ф(х^ =

о

5, х1,о, х(^)), ф(х1,о)^15 +

^ к (5, х1,о, х(^)), ф(х1,о^ * 1х(^).

+

:

= 1^(5

(17)

+

Определение 6. Слабым решением задачи (13)-(14) в области Б х [о, Т] называется обобщенная функция и(х, :) из класса 5,(Я1), удовлетворяющая уравнению (17) в области Б х [о, Т] и начальным условиям (14) на нижнем основании цилиндра 5Т.

Определение 7. Слабым решением первой краевой задачи (13)-(15) в области Б х [о, Т] называется обобщенная функция и(х, :) из класса 5(Я1), удовлетворяющая уравнению (17)

в области Б х [о, Т], начальным условиям (14) на нижнем основании цилиндра 5Т и граничным условиям (15) на его боковой поверхности.

Задача (13)-(14) является обобщением задачи (7) в том смысле, что в правой части уравнения (13) в качестве шума по времени содержится формальная производная симметричного интеграла [Ю] (в случае, когда Х(:) = Щ:) - траектория винеровского процесса, то формальная производная стохастического интеграла Стра-тоновича), в качестве шума по пространству -обобщенные функции g и к, которые могут быть как гауссовским шумом, рассмотренным в [14], так и функциями от траекторий винеровского процесса, фрактального броуновского движения, стационарных случайных процессов с непрерывными реализациями и так далее.

В настоящей работе показано, что существование и единственность слабых решений задач (13)-(14) и (13)-(15) вытекают из существования и единственности обобщенных решений задач с классическими дифференциальными уравнениями того же типа, что и исходное, не содержащих симметричных интегралов в правой части и на границе. В случае, когда в правой части дифференциального уравнения содержится только белый шум по времени 1 х(:), действующий на гиперплоскости Я1-1, а функции g и к достаточно гладкие, предложенная в работе техника позволяет не только решатьзадачи типа (7), но и моделировать полученные вычисления в пакетах прикладных программ, например, в среде МаАаЬ, тогда как численное решение и моделирование решений задач типа (7) в виде стохастических интегралов по мартингальным мерам весьма затруднительно.

3. МЕТОД РЕШЕНИЯ

Рассуждения для первой краевой задачи

(13)-(15), приведенные ниже, будут справедливы также и для задачи (13)-(14). Модифицируем метод, предложенный в [Ю], и будем искать решение этих задач в виде

и(:, х) = 1о р(5, х, х(^))15 + ио (х),

u(о, х) = ио (x), и':|:=о =ио (х ),

где функция р = р(:, х, и) е 5,(Я1), : е Я+, х е Я1, и е Я, в обобщенном смысле дифференцируема по х и имеет совместно непрерывную производную р": ^ (:, х, и) = Р": ь (:, и), функция Р(:, и)= <р(:, х, и), ф (х)> для любой ф е ^Я1).

(18)

о

Подставив в уравнение (17) вместо функции и(:, х) правую часть выражения (18), "ф (х) е е S(Яd) получим:

(р(:, х, х(:))- р(о, х, х(о)), ф(х)) =

+

+

+

2а|р(*,х,X(s))ds -‘I' № х, x(т))dтds -&! и0 (х^ +

I Л(Гр(1, х, Х(х))Л У* + (19)

10ли0 (х)*1 ф(х)) + ^(* х1,0, Х(* ))б0 (х2 )ds, Ф(х^ + £(^ X1,0,Х(*))50 (х2 \ ф(х)) * dХ(s)•

Левую часть (19) запишем следующим обра-

зом:

(р(:, х, х(:)) - р(о, х, х(о)), ф(х^ =

= ( р(:, х, х(:))-р(:, х, х(о))+

+ р(:, х, х(о))- р(о, х, х(о)), ф(х)) = (2о)

= 1х(о)( P(t, x, ф(х)) 'и 1и +

+ Ю( p(s, х х(о))ф(х)) 'А

Согласно формуле (12) для вычисления симметричного интеграла заменим интеграл в правой части уравнения (19) на выражение

| (к(^, х1,о,х(5))бо (х2), ф(х)) * 1х(5) =

0к(:, х1,о, (х2)ф(х))1и - (21)

- Ю 1хх((о")^к(s, х1 ^ и)бо (х2 ф(х^'* 1и15

и, подставив (2о), (21) в соотношение (19), после некоторых алгебраических преобразований получим:

1х(о) [(p(t, x, ф(х)'и -(к(^ х1,0, и)5о (х2 ) ф(х^ =

1о {[- 2ар(5, х, х(5))-Ь1^р(т, х, х(т))1т- Ьи0 (х)+

+ Д([0"р(т, х, х(т))1т)+ Дио (х)], ф(х )) -

-(p(s, x, X(0)), ф(х)+( g(5 xl,0, х(5 ))5о (х2 ), ф(х)-

- 6о)(к(s, х1,0, и)б0 (х2 ), ф(х)\М15.

(22)

В целях упрощения опустим далее треугольные скобки в смысле применения функционалов к произвольным пробным функциям фе S(Яd).

Заметим, что правая часть равенства (22) является функцией ограниченной вариации по переменной :, в то время как левая — нет, следовательно, интегранды в обеих частях равенства (22) равны нулю [1о]. Значит,

р\ (5, х, и) = к(5, х1,0, и)50 (х2), (23)

- 2ар(5, х, х(5)) - Ь^)р(х, х, х(т))1т - Ьи0 (х) +

+ д(т0р(т, х, х(т))1т)+ Ди0 (х) - р\ (5, х, х(0))+

+ g(5 х1,0, х(5))5о (х2 ) - £«*' (5 х1,0, и)§0 (х2 )1и = 0

(24)

Согласно равенству (23), интеграл 1хх(о)к'5 (5, х1,0, и)50 (х2 )1и в уравнении (24) может быть вычислен следующим образом:

Іх(<0) (* хі,0, и)бо (х2=

= іХ((0)Р"и* (* х, и)а,и =

= р\, (* х, Х(*))- р\, (* х, х(о)).

(25)

Из последних двух выражений получаем,

что:

р\ (*, х, х(*)) = -2ар(*, х, х(*))-- ‘і0р(х, х, Х^с^т -

(26)

- Ьи0 (х)+ л(0р(т, х, Х(х))л)+ Ли00 (х)+

+ £ (* хl,0, Х(* ))5о (х2 )

Проинтегрировав равенство (23), найдем структуру функции Р:

р(*, х, Х(*)) = К(*, х, Х(*))+С (*, х), (27)

где К(*, х,Х(*)) = 50 (х2 )іХ((0)^(5, х1,0, ьУі’О - известная функция. Функция С(*, х) - обобщенная функция из ^(К1), которая находится из уравнения (26) с начальным условием р(0, х, Х(0)) = = Ых):

(С '* (*, х)+2аС (*, х)+

+ ‘10 С (с, х^х + Ьи0 (х )-

-Л(і0 С (с, х^-Лщ (х), ф(х ))= (28)

= (Ф(*, х, Х(*)), ф(х )),

С (0, х) = ^0 (х), где Ф - известная функция:

Ф(:, х, х(: ))=-К': (:, х, х(:))- 2аК(:, х, х(: ))-

- Ь1<0 К(5, х, х(5 ))15 + Д ([,0 к(5, х, х(5 ))15)+

+ g (t, х1,0, х(: ))5о (х2 ) = [- 1хх(о) к:(:, х1,0, и)1и -

- 2а и! к(:, х1,0, и)1и - Ь1(01хх((5)к (^, х1,0, и)1и15 +

g(t, х1,0, х(:))]5о (х2 )+ К 1хх(0)[к"х1х1 (5 х1,0, и)5о (х2 ) + h(s, х1,0, и)(5о (х2 ))' к^.

+

+ к(5, х,

(30)

Воспользовавшись формулами [3] для вычисления производной дельта-функции

х5'о(х ) = -5о(х),

5"о (х) = -Г 5о(х) 1 = х5'о (х)-5о(х) = -2 50(х)

0 ^ х ) х2 х2 ’

получим:

Ф(t, x, х(:)) = [g(t, х1А х(:)) - 1ох(:) [к':(t, и) +

+ 2ак(:, х1,0, и)]1и -1(010х(х) [Ьк(5, х1,0, и) -

- к"х х (5, х1, и)+ 2к(^, х1,0, и)/(х2 )2 ]1и15]б0 (х2).

1 1 (29)

Подставив выражение (27) в (18), получаем, что решение задачи (13)-(15) имеет вид:

и(:, х) = 10 р(5, х,х(5))15 + и(0, х) =

= 10 К(5, х, х(5 ))15 + С(:, х), где

С(:, х) = |(0 С(5, х)15 + и(0, х), С (о, х) = и(0, х). (31)

Переписав уравнение (28) в терминах С (:, х) с начальными и граничными условиями, получим аналог первой краевой задачи (13)-(15), в отличие от которой в правой части уже не будет «шума» в виде симметричного интеграла или его производной:

(С"и +2аС\ +ЬС - ДС, ф(х)) =

= (Ф(:, х,х(:)),ф(х), х е Б, : е [о, т]

С(0,х) = и0(х), С':|:=0 =и0(х), хе Б иSт, (33)

C(t, х)| xеsт =т(:)-10к(5 x, х(5 ^

: е [о, т],

где функция Ф(:, х, Х(:)) в правой части находится по формуле (29).

В связи с тем, что в задаче (32)-(34) содержатся обобщенные функции, ее решение также следует искать в классе обобщенных функций

[3, 8].

(32)

(34)

Таким образом, решение краевой задачи (13)-(15) для дифференциального уравнения в частных производных гиперболического типа с шумом в правой части, сконцентрированным на гиперплоскости и содержащим формальные производные симметричного интеграла [10] (детерминированного аналога стохастического интеграла Стратоновича), сводится к решению обобщенной краевой задачи (32)-(34) с обычным дифференциальным уравнением, не содержащим симметричные интегралы, с функциями от произвольных непрерывных функций (в частности, реализаций винеровского процесса) в правой части и на границе. Следовательно, решив задачу (32)-(34) с помощью стандартных численно-аналитических методов математической физики (см., например, [4], [5], [8]), мы найдем решение исходной краевой задачи (13)-

(15).

Замечание. В случае, когда в уравнении

(13) функции g = 0, к = 1, Х(:) - траектория стандартного винеровского процесса, начальные условия и0(х) = 0, и0(х) = 0, задача (13)-(14) сводится к задаче (9). Ранее ее решение было получено в виде стохастического интеграла по мар-тингальной мере типа Уолша (11) (см. [12],

[14]).

4. ПРИМЕР

Рассмотрим частный случай первой краевой задачи (13)-(15), где в правой части находится только временной шум, х = (х1, х2) е Я х Я:

и":: -и"х1х1 -и"х2 х2 = [4^(: )81П(х1 ) +

+ 8т(:)ж'(:)е08(х1 )]50 (х2 ),

(х1, х2 )е (- 0.1;0.1)х(- 0.1;0.1),: е (0,1),

и(0,х) = 0,и':|:=0 = 0,хе [-0.1;0.1]х[-0.1;0.1]

и(:,-0.1, х2) = и (:,0.1, х2) = 0,

и(:, х1,-0.1) = и(:, х1,0.1) = 0,:е [0;1],

(35)

где в качестве произвольной непрерывной функции неограниченной вариации Х(:) в уравнение входит траектория стандартного винеров-ского процесса W(t) = Щ:, ю), W(0) = 0, : е [0; +да], заданного на вероятностном пространстве с фильтрацией (^, Е, (Е:), Р) [1, 2]. Подобную краевую задачу можно поставить для мембраны, случайная сила на которую воздействует перпендикулярно поверхности вдоль полосы, шириной которой можно пренебречь. Согласно изложенному выше методу, решение задачи (35) представляется в виде:

и(:, х) = С08(хх )8о (х2 )]^ (?) 1 + С(:, х), (36)

где неизвестная функция C(t, x) находится из краевой задачи

C"tt -C''xlxl -C\2x2 = 4W(t) sin(xl )d0 (x2 ) -

- 50 (х2 )[W (t) sin(t )cos(x1) -

- cos (Xi)(l + 2/ X22 l(tW (s) sin(s )ds],

(х1, х2 )e (- 0.1;0,l)x(- 0.1;0. l), t e (0;l),

C~(0, X ) = 0, C't|t=0 = 0,

(xl,x2)e [-0.l;0.l]x[-0.l;0.l],

C (t, x 1 (x es = - cos(xl )d0 (x2 )J0 w (s )sin(s H (x es,

t e [0;l],

(37)

Для того, чтобы решить численно задачу (37), дискретизируем ее. Вместо дельтафункции Дирака 80(x2) перейдем к обычной непрерывной функции (или точнее, дельтаобразной последовательности непрерывных функций, сходящейся к функции Дирака равномерно на любом конечном отрезке [9]). В результате от обобщенной задачи (37) мы перейдем к классической, для которой существуют хорошо разработанные методы для численноаналитического решения и моделирования полученных вычислений в пакетах прикладных программ.

При моделировании правой части и граничных условий первой краевой задачи (37) заменим значение дельта-функции Дирака в точках

сетки {xj = ijDxj } ij = ° , Dxj = l / N x.,

j = l,2, выражением

l

SN- X )-

AX2

0, x2 Ф 0.

(3S)

Построим конечно-разностную схему задачи (37) для х = (х1, х2) е [0, /] х [0, /], : е [0, Т], которая реализует принципы построения численных решений подобных задач в среде МаЙаЪ.

Введем расчетную сетку |:к = кД:, х1, = ьДх},

Al

,x

j j j -■ T/ Nt, Ax; = I / Nx

k = 0, N|, і; = 0, Nx

j j

j = І,2, Ax = (Ax, Ax2). Построим первую краевую разностную задачу:

ck+І - 2c,k + ck-> ck+І - ck

-----+ 2a—---------— +

+ bck

c

i+І

Al

2ck + ck-y = ф k

(39)

где фk =ф(lk, x1, x(tk)) - значения правой части (32) на точках сетки, І = (іі, i2), i; = 0, Nx ,

к = 0, Му, ] = 1,2 . Аппроксимируем начальные и граничные условия:

С - С _1 / Л

с0 = и0(° іЛх), г 2Л!г = и0 (хг), 1 = (*і, Ь), (40)

с0к =т (!к, Х((к)), < =Мг (<к, Х(ік)), к=Щ.(41)

Заметим, что с~1 в выражении (40) - это формальная запись, значение с-1 вычисляется из этого начального условия.

Исследуем устойчивость численной схемы по методу Фурье [5]. Подставив в нашу разно-

стную схему решение вида c

= 1kejx.

где

X = mAx , m є R, получим характеристическое уравнение l2 + zy1 + z2 = 0, где

z =------------1-(2rx cos X + 2r), z2 =----1-.

1 1 + 2aAl x 12 1 + 2aAl

В частности, если строить численную схему для однородного волнового уравнения при, a = = b = 0 получим уравнение на А:

I2 + 2[rx (1 - cos X)-l]l +1 = 0,

решая которое, находим условие устойчивости

1

численной схемы:

значит,

< 1, решение устойчиво [2б].

Л! 2

Гх =Т~2 Лх

Краевую задачу (37) будем решать численно с помощью пакета прикладных программ МаЙаЪ, используя вышеприведенную конечноразностную схему. В результате проделанных вычислений получим решение краевой задачи (37), а затем по формуле (36) перейдем к решению задачи (35), графики которого в разные моменты времени приведены ниже (рис. 1, 2).

Ax2

Рис. 1. График решения задачи (35) в момент времени t = 0,1

Рис. 2. График решения задачи (35) в момент времени t = 0,l3

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стохастическое исчисление / С. В. Анулова [и др.] // ВИНИТИ. l989. Т. 49. С. 5-260.

2. Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 408 с.

3. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

4. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. 320 с.

5. Ворожцов Е. В. Разностные методы решения задач механики сплошных сред: Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. 86 с.

6. Захарова О. В. Аналог формулы Даламбера для решения задачи Коши колебания бесконечной струны под действием случайной внешней силы // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т. 16, В. 2. С. 261-262.

7. Захарова О. В. Математическое моделирование некоторых колебательных процессов в среде со случайными возмущениями: дис. канд. физ.-мат. наук. Уфа.: УГАТУ, 2009. 120 с.

8. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

9. Микусинский Я., Сикорский Р. Элементарная теория обобщенных функций. Т. 1. М.: Изд-во иностранной литературы, l959. 79 с.

10. Насыров Ф. С. Симметричные интегралы и стохастический анализ // Теория вероятностей и ее применение. 2006. Т. 51, № 3. С. 496-517.

11. Alos E., Bonnacorsi S. Stochastic partial differential equations with Dirichlet white-noise boundary conditions // Ann. Inst. H. Poincare. Probab. Statist. 2002. Vol. 38(2). P. 125-154.

12. Dalang R. C. Extending the martingale measure stochastic integral with applications to spatially homo-

geneous SPDE’s // Electronic Journal of Probability.

1999. Vol. 4, Article Nr 6.

13. Dalang R. C., Frangos N. E. The stochastic wave equation in two spatial dimensions // Ann. Prob. 1998. Vol. 26(1). P. 187-212.

14. Dalang R.C. Leveque O. Second-order hyperbolic SPDE’s driven by homogeneous gaussian noise on a hyperplane // Transactions of the AMS. 2006. Vol. 358, № 5. P. 2123-2159.

15. Dawson D. A., Salihi H. Spatially homogeneous randow evolutions // J. Mult. Anal. 1980. Vol. 7. P. 141180.

16. Da Prato G., Zabczyck J. Evolution equations with white-noise boundary conditions // Stoch. and Stoch. Reports. 1993. Vol. 42. P. 167-182.

17. Mao X., Markus L. Wave equation with stochastic boundary values // J. Math. Anal. and Appl. 1993. Vol. 177. P. 315-341.

18. Millet A., Sanz-Sole M. A stochastic wave equation in two space dimension: smoothness of the law // Ann. Prob. 1999. Vol. 27(2). P. 803-844.

19. Millet A., Sanz-Sole M. Approximation and support theorem for a wave equation in two space dimensions // Bernoulli. 2000. Vol. 6(5). P. 887-915.

20. Mueller C. Long time existence for the wave equation with a noise term // Ann. Prob. 1997. Vol. 25(1). P. 133-151.

21. Neveu J. Processus aleatoires gaussiens // Presses de l’Universite de Montreal, 1968.

22. Peszat S. The Cauchy problem for a nonlinear stochastic wave equation in any dimension // J. Evol. Eq. 2002. Vol. 2. P. 383-394.

23. Peszat S., Zabczyck J. Nonlinear stochastic wave and heat equations // Prob. Th. and Rel. Fields.

2000. Vol. 116. P. 421-443.

24. Walsh J. B. An introduction to stochastic partial differential equations // Ecole d’ete deprobabilites de Saint-Flour XIV, Lecture Notes in Math., Springer Ver-lag, 1984.

25. Wilcox C. H. The Cauchy problem for the wave equation with distribution data: an elementary approach // The American Mathematical Society Monthly. 1991. Vol. 98. P. 401-47.

26. Applied numerical methods using Matlab / W. Yang [et al.]. Canada: John Wiley & Sons, Inc. 2005. 518 p.

ОБ АВТОРЕ

Гапечкина Екатерина Викторовна, асп. каф. математики. Дипл. магистр прикл. матем. и информатики (2008). Иссл. в обл. стохастического анализа и теории дифференциальных уравнений.