О единственности классического решения задачи Дирихле для В-эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Т еорема2. Билинейные ряды из первых и вторых производных собственных функций краевой задачи (1) — (2) вида

£ (^)2| (дХМ)2Ач*^н 1< ,,<,,

p=1 4 г / р=

^ (ВУ VP(X))2 ^Р 2 , ВУ = Qy2 + y dy

сходится равномерно в произвольной строго внутренней замкнутой подобласти 0+ (прилегающей к гиперплоскости у = 0) области 0+.

ЛИТЕРАТУРА

1. Киприянов И.А. Асимптотическое распределение собственных значений и собственных функций одного класса сингулярных эллиптических операторов // Труды МИАН СССР. 1972. Т. 117. С. 159-179.

2. Катрахов В.В. О задаче на собственные значения для сингулярных эллиптических операторов // ДАН СССР. 1972. Т. 207, №2. С. 284-287.

Сазонов Анатолий Юрьевич Тамбовский государственный ун-т Россия, Тамбов e-mail: aib@tsu.tmb.ru

Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.

О ЕДИНСТВЕННОСТИ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ Б-ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ1

© А. Ю. Сазонов, Л. Н. Суркова

Пусть 0+ — ограниченная область в полупространстве у > 0 точек х = (х\, ...,хп,у) = = (х',у) пространства Е+п+1, прилегающая к гиперплоскости =0. Г0 — часть границы области 0+, лежащая на у = 0, Г+ — замыкание оставшейся части границы. Предполагаем, что Г+ — произвольная поверхность типа Ляпунова.

В 0+ рассматривается оператор:

. д2 д2 д2 к д В 0x1 + + дхП + ду2 + у ду1

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект №07-01-00305).

где к — положительное вещественное число.

Для функций и,у Е С2 (0+) и С (0+^ имеет место формула Грина

J (иДвv — vДвu)ykdQ = J ^иЩ — v^^ ykdr, П+ г+

п — внешняя нормаль к Г+.

Пусть Дви = 0, тогда справедливо интегральное представление вида

u

(■xО) = /

r-n-k-1 ^ — ид (r-n-k-1

дП дП

nk(h Г,

г+

е = (i1,...,in,n) = (el,n), r2 = (xi — ii)2 + n2. В области y > О, u(x) = Tyu(xl, О),

i=1

где Ty f (n) = Ck $ f (VУ2 + П2 — 2yn cos a) sink ada, (Ck — const) — оператор обобщенного 0

сдвига [І].

ТеоремаІ. Пусть u(x) удовлетворяет уравнению

Дв u(x) = О

в полушаре Ш+ с центром в точке (x1 , О) радиуса R и границей S+ и непрерывна вплоть до границы. Тогда

u(xl, О) = Bk j unkd^Г, u(x) = Tyu(xl, О).

3+

Т еорема2. (Принцип максимума) Функция и(х) удовлетворяющая уравнению (2) в П+, непрерывная вплоть до Г+ и не равная тождественно константе, достигает максимального (минимального) значения на Г+.

Следствие. Пусть и(х) и V (х) обе удовлетворяют уравнению (2), непрерывны в

и |и|г+ ^ V|г+, тогда |и| ^ V всюду в П+.

Теорема 3. Задача

Лв и = /,

. ди

и |г+ = V,

ду

г0

не может иметь более двух решений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // УМН. 1972. Т. 6, №2. С.102-143.

Сазонов Анатолий Юрьевич Тамбовский государственный ун-т Россия, Тамбов e-mail: aib@tsu.tmb.ru

Суркова Людмила Николаевна Тамбовский государственный ун-т Россия, Тамбов e-mail: aib@tsu.tmb.ru

Поступила в редакцию l0 мая 2007 г.

О