О сходимости билинейных рядов из собственных функций и их производных сингулярных эллиптических операторов второго порядка с переменными коэффициентами

Сазонов Анатолий Юрьевич

О СХОДИМОСТИ БИЛИНЕЙНЫХ РЯДОВ ИЗ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1

Обозначим через К+п+1 полупространство у > 0 точек х = (х\,хп, у) = (V,у) евклидова (п + 1)-мерного пространства Е+п+1. Пусть 0+ — ограниченная область в Е+п+1, прилегающая к гиперплоскости у = 0. Через Г0 обозначим часть границы области 0+, лежащей на у = 0, а через Г+ замыкание оставшейся части границы. В дальнейшем всюду предполагаем, что Г+ — произвольная поверхность типа Ляпунова и составляет с гиперплоскостью = 0 угол, равный п/2.

В работе изучается вопрос о сходимости билинейных рядов из собственных функций краевой задачи:

Ьу + Ау = 0, х € 0+

. ду

у|г+ = 0

г ду

= 0.

г0

Здесь

ь = Ё дХ (а„(х)А) + ду. + 'уд.+с(х),

—1

где с(х) ^ 0, к — вещественный положительный параметр. Предполагается, что а^ (х) = = а-д(х) и равномерно по х € 0+ и любого а = (а\,..., ап+\), |а| = 0 выполнено неравенство

п

У. (аз (х)аа + аП+1 ^ 5 1а12 , 5 > 0.

%3 — 1

В [1], [2] для задачи (1)—(2) установлено существование неубывающей последовательности собственных значений 0 ^ А1 ^ ... ^ Ар ^ ... и последовательности соответствующих им сколько угодно раз непрерывно дифференцируемых в 0+ собственных функций Ур(х), чётных по последней переменной у. Система функций Ур(х) плотна в пространстве функций, квадратично суммируемых с весом ук по области 0+. Имеет место следующая теорема. Теорема 1. Билинейный ряд из собственных функций краевой задачи (1)—(2) вида

ОС

п

___ Гп + &+11 -1

^2ур(х)А- 2 ,

р—1

где [I] — целая часть числа I, сходится 'равномерно во всей замкнутой области 0+.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект №07-01-00305).

Т еорема2. Билинейные ряды из первых и вторых производных собственных функций краевой задачи (1) — (2) вида

Ё ^ А-[*^]-2. Ё ^-‘. 1 < < п,

p=1 4 г / р=

(ВУ VP(X))2 2 , ВУ = Qy2 + y dy

сходится равномерно в произвольной строго внутренней замкнутой подобласти 0+ (прилегающей к гиперплоскости у = 0) области 0+.

ЛИТЕРАТУРА

1. Киприянов И.А. Асимптотическое распределение собственных значений и собственных функций одного класса сингулярных эллиптических операторов // Труды МИАН СССР. 1972. Т. 117. С. 159-179.

2. Катрахов В.В. О задаче на собственные значения для сингулярных эллиптических операторов // ДАН СССР. 1972. Т. 207, №2. С. 284-287.

Сазонов Анатолий Юрьевич Тамбовский государственный ун-т Россия, Тамбов e-mail: aib@tsu.tmb.ru

Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.

О ЕДИНСТВЕННОСТИ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ Б-ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ1

Пусть 0+ — ограниченная область в полупространстве у > 0 точек х = (х1, ...,хп,у) = = (х',у) пространства Е+п+1, прилегающая к гиперплоскости =0. Г0 — часть границы области 0+, лежащая на у = 0, Г+ — замыкание оставшейся части границы. Предполагаем, что Г+ — произвольная поверхность типа Ляпунова.

В 0+ рассматривается оператор:

. д2 д2 д2 к д В дх\ + ”. + дхп + ду2 + у ду^

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект №07-01-00305).

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Сазонов Анатолий Юрьевич