CC BY
44Линейный анализ показал абсолютную неустойчивость плоского радиального фронта вытеснения к малым возмущениям во всем диапазоне параметров: чем меньше длина волны возмущения, тем больше интенсивность его нарастания.
В численных расчетах наблюдаются прорывы отдельных языков. Эффект стабилизации фронта при стремлении его радиуса к внутреннему радиусу ячейки (стока) не имеет места. Существенной зависимости ширины пальцев от физических параметров также не выявлено. На этом основании делается вывод, что ширина пальцев в численных расчетах диктуется величиной шага сетки, а для ее реального определения необходим явный учет физических факторов: либо поверхностного натяжения, либо вязкости в плоскости ячейки, либо молекулярной диффузии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Park C.W., Homsy G.M. The instability of long fingers in Hele-Show flows // Phys. Fluids. 1985. 28, N 6. 1583-1585.
2. Gardner J.W., Ympa J.G.J. An investigation of phase behavior-macroscopic bypassing interaction in C02 flooding // Soc. Petrol. Eng. 1982. SPE 10686.
3. Звягин A.B., Ивашнёв O.E., Логвинов O.A. О влиянии малых параметров на структуру фронта неустойчивого вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2007. № 4. 27-37.
4. Paterson L. Radial fingering in a Hele-Shaw cell //J. Fluid Mech. 1981. 113. 513-529.
5. Maxworthy T. Experimental study of interface instability in a Hele-Shaw cell // Phys. Rev. Ser. A. 1989. 39, N 11. 5863-5866.
6. Бирзина А.И. Морфологическая устойчивость фазовой границы при радиальном вытеснении жидкости в ячейке Хеле-Шоу: Канд. дне. Пермь, 2009.
Поступила в редакцию 20.04.2015
УДК 539.42
О ДВУСТАДИЙНОМ РАЗРУШЕНИИ МЕТЕОРОИДА С КОНЦЕВОЙ ВСПЫШКОЙ
J1. А. Егорова1, В. В. Лохин2
Рассматривается вход в атмосферу Земли космического тела со сверхорбитальной скоростью. Большие аэродинамические нагрузки, действие сил инерции и тепловые потоки к телу приводят к поверхностному уносу массы и возможному механическому разрушению. Из наблюдений известно, что зачастую полет космического тела завершается мощной концевой вспышкой. Предлагается один из возможных вариантов оценки энерговыделения на заключительной стадии разрушения тела, подтверждающий возможность наблюдаемого эффекта "теплового взрыва" метеороида.
Ключевые слова: метеороид, аэродинамические нагрузки, упругие напряжения, разрушение, дробление, тепловой взрыв.
The entry of a space body at super-orbital velocity into the Earth's atmosphere is considered. Large aerodynamic loads, the forces of inertia, and thermal flows to the body lead to the surface mass loss and to the possible mechanical failure. From observations it is known that the flight of a space body often ends with a powerful terminal flash. One of the possible assessments of energy release at the final stage of the body's destruction is proposed to confirm the opportunity of observing the effect of "thermal explosion" of a meteoroid.
Key words: meteoroid, aerodynamic loads, elastic stresses, destruction, fragmentation, thermal explosion.
Наблюдения полета болидов в атмосфере Земли показывают, что их разрушение в атмосфере — обычное явление [1]. Известно, что космические тела, двигаясь в атмосфере, подвергаются воздей-
1 Егорова Лидия Александровна — науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: egorovaQimec.msu.ru.
2 Лохин Валерий Викторович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: lokhinQimec. msu .ru.
ствию аэродинамических сил и за отошедшей ударной волной перед телом могут реализоваться условия значительного повышения давления и температуры. Основная причина разрушения такого тела — превышение сил инерции над упругими напряжениями выше предела прочности тела [2, 3]. К поверхности тела от ударного слоя могут передаваться мощное излучение и конвективные потоки тепла. В результате возникает так называемый эффект "теплового взрыва" [4]. Как правило, данные наблюдений входа болидов в атмосферу и их свечение обобщаются в виде кривой зависимости величины светимости от времени. Иногда световая кривая для крупного болида имеет некоторый подъем после начала свечения и резкий пик светимости с плавным погасанием за ним [1]. Мы полагаем, что такая картина свидетельствует о двустадийном процессе разрушения.
Предполагается реализация следующего сценария разрушения достаточно крупного тела. В процессе движения в атмосфере метеороид многократно дробится за счет аэродинамических сил инерции. На первой стадии дробления разрушение считаем связанным с неоднородностями в строении. Таким образом, после первой стадии образуется облако достаточно однородных крупных фрагментов. На второй стадии из-за повышения скоростного напора эти однородные фрагменты продолжают разрушаться, но уже взрывоподобно [5], на еще более мелкие и мельчайшие осколки и частицы. Это происходит из-за резкого возрастания нагрузки, которая определяется скоростью тела и плотностью газа и растет с уменьшением высоты. Для крупного тела торможение невелико, скорость большая, а плотность атмосферы возрастает экспоненциально с уменьшением высоты. Облако фрагментов продолжает движение в горячем излучающем газе ударного слоя. За счет экстремально высоких температур в ударном слое поверхность осколков значительно нагревается и за достаточно короткий промежуток времени большая часть осколков метеороида расплавляется и испаряется. Такое явление выглядит для наблюдателя как яркая "концевая вспышка".
Уравнения физической теории метеоров. В физической теории метеоров решаются совместно уравнение движения центра масс метеороида с переменными массой и площадью миделя с заданным коэффициентом сопротивления и уравнение потери массы с заданным коэффициентом теплопередачи и эффективной энтальпией уноса массы с поверхности метеороида [1, 6-8]. Уравнения движения и уноса массы с граничными условиями записываются в виде
(!)
граничные условия
Н = оо, р = 0, М = М0, У = У0,
где V, М, <5, <5 — текущая скорость, масса метеороида, площадь его миделя и удельная эффективная энтальпия уноса массы с поверхности метеороида за счет аэродинамических сил и аэродинамического нагрева; Си и Сн — коэффициенты сопротивления и теплопередачи; р — плотность газа; Н — высота над поверхностью Земли.
Продолжительность свечения и длина пробега частицы. Мы предполагаем, что частица светится, пока она не затормозилась до некоего критического значения скорости, когда величины скоростного напора недостаточно для поддержания высокой температуры у поверхности тела. Без ограничения общности будем считать форму фрагментов шарообразной, тогда массу и площадь сечения можно выразить следующим образом:
М = ^тт5г3, 5 = тг г2,
О
здесь 5 — плотность метеороида, г — его радиус.
С учетом этого предположения, поделив второе из уравнений (1) на первое, будем иметь
= - Уг. (2)
(IV з дсъ 1 ;
Считая отношение коэффициентов постоянным, интегрируя (2) и принимая во внимание граничные условия, получаем следующее выражение для радиуса:
Оценка величины V® для характерных значений входящих в нее величин Сд = 2; Сн = 0,01; Ро = 2 • 104 м/с; <5 = Ю7 Дж/кг показывает ее малость: щщ^2 "С 1. Тогда можно приближенно считать, что радиус тела не меняется. Плотность газа в окрестности точки дробления также
предполагаем постоянной. Считая входящие в эти выражения коэффициенты сопротивления, теплопередачи и эффективную энтальпию уноса массы постоянными, можно получить следующую простую оценку для скорости:
" = »¿ЯК (3)
Пусть испаряющаяся частица светится, пока ее скорость больше некоторого критического значения У*. Тогда из формулы (3) можно найти время свечения частицы:
= 8(Уо - У*)5
* Ш0У*рСв Го'
Интегрируя по времени (3), получаем длину пробега частицы, пока она светится:
3 рСв V К о
Оптическая светимость крупного метеора пропорциональна кинетической энергии унесенной массы, которая определяется интенсивностью абляции и светимостью нагретого воздуха [1]:
(V2 (1М
где т — коэффициент светимости. Для крупных тел второе слагаемое в формуле (4) играет существенную роль, однако им можно пренебречь для тел небольшого размера [1]. Поэтому для образовавшихся после дробления осколков мы оставляем только первый член. Тогда, воспользовавшись уравнениями (1) и подставив в (4) значение скорости из формулы (3), получим
'—^(Чч^Р (г>)
Первая стадия дробления. Предполагается, что разрушение метеороида начинается, когда аэродинамические нагрузки вызывают внутри тела упругие напряжения, превышающие предел прочности его материала. В этом случае реализуется модель прогрессивного дробления [8]. Конкретная форма осколков и их число зависят от имеющихся в теле неоднородностей и трещин, т.е. носят случайный характер.
Полагаем, что яркость свечения облака фрагментов после дробления повышается за счет того, что площадь поверхности образовавшихся фрагментов увеличивается. Пусть т — начальная масса тела, т* — масса фрагмента, N — число фрагментов. Считаем фрагменты одинаковыми и имеющими шарообразную форму, тогда т = Nт*. Площади сечения фрагмента и исходного тела связаны соотношением
'о \ 2/3 /о \ 2/3 Зт*4 ' / Чт \ /
Attö ) ' N2/3'
То есть яркость фрагмента меньше яркости начального тела в N2/3 раз, а яркость всех фрагментов больше яркости исходного тела в N/N2/3 раз, поэтому для скачка светимости имеем соотношение
N=(If)\ (6)
V-'o /
По данным наблюдения за изменением яркости тела можно определить число фрагментов при дроблении.
Прочность метеороида в момент разрушения найдем по эмпирической формуле работы [1], где кажущаяся прочность метеороида в момент разрушения имеет вид
с * = 0,365 pV2 = 0,365 p0V2exp(-^j . (7)
Здесь /Л, — высота разрушения, к = 6,7 км — шкала высот стандартной атмосферы, ро — плотность воздуха при Н = 0. Учитывая формулу для повышения прочности образовавшихся фрагментов <т**, предлагаемую статистической теорией Вейбулла [8], находим
<7„ / А Н\ VAt
- = ехр ( -
с*
= „ = (8)
где а — масштабный фактор, АН = V— разность высот первой и второй стадий разрушения, а — интервал времени от первой до второй стадии разрушения. Вторая стадия дробления. На заключительной стадии полета и свечения крупных болидов, как уже говорилось, часто наблюдается мощная вспышка [1]. Мы предполагаем, что это связано с внезапным разрушением тела (или нескольких тел) за счет больших аэродинамических нагрузок, образованием облака осколков и их последующим термическим разрушением [4, 9, 10].
Число образовавшихся фрагментов и их размеры неизвестны. Предположим, что размер и число осколков метеороида в облаке фрагментов соответствуют спектру размеров осколков тела, внезапно разрушенного взрывом [3]:
^ = к = 1,2. ат
Это уравнение имеет следующее решение:
2 ( 1 Л т
т = з ~ ) ' т=м■
Здесь М — масса крупного фрагмента перед дроблением, т — масса осколка этого фрагмента после дробления.
Найдем интенсивность вспышки метеорного облака фрагментов. Под вспышкой мы понимаем увеличение светимости испаряющихся фрагментов метеороида за достаточно короткий период времени вследствие дробления. Величину светимости, определяемую формулой (5), будем интегрировать по массе фрагментов, тогда получим
1
т / ч [ Л ( V2 с1т\ , . .
т*
Введем безразмерное время t:
ín^vJ^Y1'3
и относительную светимость I = /s(í)//s(0). Подставляя (1) и (3) в (9), дифференцируя и деля на /о(0), получаем окончательно для светимости
Ш = f ]\го9/5 - 1) Í2fo (l + £) 5 + 5 i (l + £) dfo, (11)
wt ^ '
где w = y^y ) ^o = ■ Интегральное выражение (11) дает кривую погасания осколков тела после взрывоподобного дробления. Также можно определить яркость вспышки. Найдем ее, подставив в (11) время t = 0:
i
/е(0) = Н J(r-9/5 _ i) 2r dr = 6, о
откуда следует, что яркость усилилась в 6 раз.
Оценка модели для болида Маршалловых островов. Оценим полученную модель для болида Маршалловых островов SN94032 [1]. Кривая светимости имеет характерный для крупных болидов вид с небольшим подъемом в начале свечения и резким максимумом в конце.
Мы полагаем, что начальное повышение интенсивности свечения связано с дроблением на несколько крупных осколков. Оценим количество осколков но формуле (6). Считая, что светимость увеличилась в 20 раз, получаем 8000 осколков. Принимая во внимание, что масса болида 400 т [1], приходим к заключению, что средняя масса осколков составляет 50 кг. Диаметр тела составляет 6,3 м. Тогда его плотность 3,06 г/см3, что соответствует обыкновенному хондриту.
Кажущуюся прочность тела в момент разрушения найдем но формуле (7). Получаем 16,7 атм, или 16,92 бар. Согласно графику светимости время пробега крупных фрагментов до разрушения 0,7 с. Учитывая, что скорость входа метеороида в атмосферу составляет 24 км/с, из (8) получаем величину масштабного фактора а = 0,279. Прочность фрагмента носле разрушения больше прочности материнского тела, так как исходное тело содержало трещины и неоднородности, вдоль которых и произошло дробление. Зная число фрагментов и масштабный фактор, находим прочность фрагментов но формуле (8):
сг** = 204,9 атм.
Для второй стадии разрушения интегрирование дало увеличение светимости в 6 раз. По данным наблюдений, светимость увеличилась примерно в 8 раз. Найдем время пробега частиц при погасании. Подставляя соответствующие величины в выражение для времени (10), получаем 1,22 с, что близко к данным наблюдения.
На рисунке представлены кривая светимости (кривая 1) для болида Маршалловых островов SN94032 из работы [1| и теоретические оценки настоящей работы
(кривая 2). 1УУ4 г. спутниковой сетью |i|
Заключение. В работе обсуждается процесс дробления метеороида. На первой стадии дробления, предполагая шарообразную форму фрагментов, оцениваем их количество но увеличению светимости всей массы осколков. Кривая светимости позволяет определить время пробега фрагментов до разрушения и их прочность. Вторая стадия дробления взрывоподобное разрушение крупных фрагментов. На этой стадии мы считаем спектр размеров осколков соответствующим типичному распределению но размерам для тела, внезапно разрушенного взрывом [3]. Имея распределение осколков по размерам и массе, мы можем оценить кривую погасания. Быстрое разрушение и испарение мелких осколков метеороида обусловливают эффект теплового взрыва.
Авторы выражают благодарность Г.А. Тирскому за полезные обсуждения материала статьи.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 14 01 00775а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Попова О.П., Немчинов И.В. Метеорные явления (болиды) в атмосфере Земли // Катастрофические воздействия космических тел / Под ред. В.В. Адушкина и И.В. Немчинова. М.: ИКЦ "Академкнига", 2005. 92 117. (Popova О.P., Nemchinov I.V. Bolides in the Earth atmosphere // Catastrophic Events Caused by Cosmic Objects. Dordrecht: Springer Netherlands, 2008. 131 162.)
2. Егорова Л.А. Напряженно-деформированное состояние и разрушение метеороида при движении в атмосфере // Прикл. матем. и механ. 2011. Вып. 3. 513 518. (Yegorova L.A. The stress-strain state and disintegration of a meteoroid moving through the atmosphere // J. Appl. Math, and Mech. 2011. 75, N 3. 363 366.)
3. Немчинов И.В., Попова О.П., Тетерев А.В. Внедрение крупных метеороидов в атмосферу: теория и наблюдения // Инж.-физ. журн. 1999. 72, № 6. 1233 1265. (Nemchinov I.V., Popova О.P., Tctcrcv A.V. Penetration of large meteoroids into the atmosphere: Theory and observations // J. Eng. Phys. and Thermopliys. 1999. 72, N 6. 1194 1223.)
4. Егорова Л.А., Лохин В.В. О механизме дробления метеороида в стадии концевой вспышки // Ломоносовские чтения. Секция механики. Апрель 2012: Тез. докл. М.: Изд-во МГУ, 2012. 72.
5. Григорян С. С. О движении и разрушении метеоритов в атмосфере планет // Космич. исслед. 1979. Вып. 6. 875.
6. Стулов В.П., Мирский В.Н., Вислый А.И. Аэродинамика болидов. М.: Наука, 1995.
Сравнение теоретической и наблюдаемой светимости болида Маршалловых островов SN94032, зарегистрированного 1 февраля
7. Тирский Г. А. Взаимодействие космических тел с атмосферами Земли и планет // Соросовский образ, жури. 2000. 6, № 5. 76-82.
8. Тирский Г.А., Ханукаева Д.Ю. Баллистика дробящегося метеорного тела с учетом уноса массы в неизотермической атмосфере II // Космич. исслед. 2008. 46, № 2. 120-132. (Tirskiy G.A., Khanukaeva D.Y. Ballistics of a fragmenting meteor body with allowance made for ablation in the non-isothermal atmosphere // Cosmic Res. 2008. 46, N 2. 122-134.)
9. Егорова JI.А., Лохип В.В. Баллистика и разрушение космических тел в атмосфере планет // Вестн. Нижегород. ун-та им. II.II. Лобачевского. Ч. 2. 2011. № 4. 130-132.
10. Egorova L.A. , Lokhin V. V. On the mechanism of crushing meteoroid with end flash effect // EPSC Abstracts. Vol. 7. EPSC2012-769 2012 (Electronic publication): http://meetingorganizer.copernicus.org/EPSC2012/ EPSC2012-769.pdf.
Поступила в редакцию 10.06.2015
УДК 539.3
НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ УПРУГОГО ПРОСТРАНСТВА СО СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОБЪЕМНЫХ СИЛ
В. А. Вестяк1, Д. В. Тарлаковский2
Рассматривается однородное упругое изотропное пространство со сферической полостью, на которое действуют нестационарные осесимметричные объемные силы. На границе полости возмущения отсутствуют. Для решения используются разложения в ряды по полиномам Лежандра и их производным, а также преобразование Лапласа по времени. Решение представлено в интегральном виде с ядрами в виде функций Грина. Определена структура этих ядер и найдены их оригиналы. Приведены примеры расчетов.
Ключевые слова: упругое пространство, сферическая полость, ряды по полиномам Лежандра, преобразование Лапласа, функции Грина.
A homogeneous elastic isotropic space with a spherical cavity is considered. Unsteady-asymmetric volume forces are exerted on this space. Disturbances are absent at the boundary of the cavity. Series expansions in Legendre polynomials and their derivatives as well as the Laplace time transform are used. The solution is represented in an integral form with kernels in the form of Green's functions. The structure of these kernels is determined and their originals are found. Numerical results are discussed.
Key words: elastic space, spherical cavity, Legendre polynomials, Laplace transform, Green's functions.
Введение. К настоящему времени достаточно подробно исследованы нестационарные процессы в упругих телах со сферическими границами под действием поверхностных нагрузок (см., например, [1]). При этом малоизученным остается воздействие на такие тела нестационарных объемных сил, что объясняется сложностью построения решений неоднородных уравнений теории упругости. Одна из таких задач и исследуется ниже.
Постановка задачи. Рассматривается однородное изотропное упругое пространство со сферической полостью радиуса Го, на которое действуют нестационарные объемные силы. Осесиммет-ричное перемещение точек пространства описывается уравнениями Ламе в сферической системе координат г, в, $ (г ^ 0, 0 ^ в ^ 7Г, —7Г < $ ^ 7г) [1, 2]:
u = Ln(u) + L12(v)+Fr(r,e,T), v = L2i(u) + L22(v)+Fe(r,e,T), (1)
1 Вестяк Владимир Анатольевич — канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. каф. математического моделирования НИУ МАИ, e-mail: ka£311 Qyandex.ru.
2 Тарлаковский Дмитрий Валентинович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. лаб. НИИ Механики МГУ, e-mail: tdvhomeQmail.ru.
