CC BY
50
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.938
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ФРАКТАЛЬНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА С ПРОИЗВОДНОЙ ДРОБНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ПОРЯДКА ОТ ВРЕМЕНИ *
Р.И. Паровик1, 2
1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, п. Паратунка, ул. Мирная, 7
2 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4
E-mail: romanparovik@gmail.com
В работе предложена модель фрактального осциллятора с переменным показателем дробного порядка. Получено и исследовано численное решение модели. Построены фазовые траектории.
Ключевые слова: оператор Герасимова-Капуто, численное решение, разностная схема, фазовые траектории.
(с) Паровик Р.И., 2014
MATHEMATICAL MODELING
MSC 34C26
ON THE NUMERICAL SOLUTION OF EQUATIONS FRACTAL OSCILLATOR WITH VARIABLE ORDER FRACTIONAL OF TIME
R.I. Parovik1, 2
1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia
2 Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia
E-mail: romanparovik@gmail.com
We propose a model of a fractal oscillator with variable fractional order. Received and investigated by numerical solution of the model. The phase trajectory.
Key words:operator Gerasimov-Caputo, numerical solution, finite difference scheme, the phase trajectories
(c) Parovik R.I., 2014
*Работа выполнена в рамках проекта №12-1-ОФН-16 «Фундаментальные проблемы воздействия мощными радиоволнами на атмосферу и плазмосферу Земли» и при поддержке Министерства образования и науки РФ по программе стратегического развития ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» на 2012-2016 гг.
Введение
Построение математических моделей, учитывающих фрактальные свойства различных сред, имеет очень важное теоретическое и практическое значение. Например, в пористой геологической среде (геосреде) в силу неоднородности и сложной топологии пор важной ее характеристикой является фрактальная размерность, которая определяет интенсивность процессов происходящих в ней. Эти процессы принято называть нелокальными [1].
Описание нелокальных процессов осуществляется с помощью математического моделирования - уравнений с производными дробных порядков, которые связаны с фрактальной размерностью среды [2].
Фрактальная размерность среды может меняться в зависимости от времени и пространственной координаты. Поэтому порядок дробной производной в общем случае является функцией от времени и пространственной координаты и, следовательно, усложняется вид уравнений, описывающих нелокальные процессы. Решение таких уравнений находится численными методами, которые можно реализовать в различных компьютерных программных средствах [3].
Постановка задачи
В работе рассматривается процесс колебаний во фрактальной среде, который можно описать следующим уравнением переменного порядка:
д”(t)x (n)+ Ax(t) = 0, x (0) = C0, X (0)= 0, 1 < a (t) < 2,0 < t < T, (1)
t
где д«(t)x (n) = p n I X (П a 00— - производная дробного порядка Герасимова-
( a ( 0 (t — n)
Капуто, A,C0 - известные величины.
Уравнение (1) в случае, когда a (t) = а — const переходит в известное уравнение фрактального осциллятора, но в терминах оператора Герасимова-Капуто [4].
Уравнение (1) можно решить численными методами. Введем т - шаг дискретизации, причем tj = jт, j = 1,2,..,N, Nт = T, x(jт) = xk. Тогда производную дробного порядка в уравнении (1) можно аппроксимировать следующим образом [5]
, - т aj j 1 р 1
d0t x (n) = г ^ (k + 1)2 Uj—k2 aj (xj—k+1 — 2xj—k + xj—k—1) + О(т). (2)
1 I3 — aj) k=0 L J
Подставляя формулу (2) в уравнение (1) и после некоторых преобразований в итоге мы получаем явную разностную схему:
j—1
xj+1 = [2 — A/Aj] xj —xj—1 — ^ bk (xj—k+1 — 2xj—k + xj—k— 1) , (3)
k=1
о т aj
где bk = (k + 1) — aj — k2—aj, Aj = —J-----------------г, x0 = C0, x1 = x0 .
I ^- — aj)
Надо отметить, что в случае, когда a (t) = a — const решение уравнения (1) можно записать через функцию типа Миттаг-Леффлера:
x (t)= C0Ea,1 ( —Ata), (4)
где Еа ,в (Z) = L
J=o Г (аk + в)
функция типа Миттаг-Леффлера, Г(x) - функция Гаус
Численное моделирование
Положим для простоты Со = 1. С помощью системы Maple построим расчетные кривые решений (3) и (4) для этого реализуем следующие команды:
> restart:
>with (plots):
> T:=6*Pi:
> n:=1000:
> A:=1;
> a:=1.8:
> tau:=evalf(T/n):
> x[0]:=1:
> x[1]:=1:
> B:=(tau"a)/GAMMA(3-a):
> for j from 1 to n-1 do
x[ j+1]:=(2-A/B)*x[ j]-x[ j-1]-sum(((k+1)"(2-a) — k"(2-a))*(x[ j — k+1]-2*x[ j — k]+x[ j-1-1]),k=1.. j-1): y[0]:=0:
У[ j]: = (x[ j+1]-x[ j])/tau:
od:
> R:=seq([ j*tau,x[ j]], j=0..n-1);
>A1:=pointplot([R],style=line, color=red)
> f :=sum((-1 "a)"k/GAMMA(a*k+1),k=0..infinity):
> A2:=plot(f ,1=0..6*Pi, color=blue)
> display (A1,A2);
i -w л
Рис. 1. Расчетные кривые, полученные по формуле (3) красная линия и точное решение (4) - синяя линия при значении параметров А = 1, а = 1.8,? € [0,6п]
Из рис.1 видно, что схема (3) хорошо аппроксимирует точное решение (4) и колебания имеют затухающий характер. Это подтверждает фазовая траектория, имеющая устойчивый фокус (рис.2).
> pointplot([seq([x[j],y[j]], j = 0..n — 1)],style = line,color = red):
Рис. 2. Фазовая траектория
Рассмотрим случай, когда в решении (3) a (t) = (1—£—5)cos0-т)+£—S+3, где 5 и е определяют границы изменения параметра a (t): 1 + £ < a < 2 — 5, причем 5 + е < 1,5, е > 0, m - произвольное число [5].
> restart:
>with (plots):
> T:=6*Pi:
> n:=1000:
> A:=1;
> a:=1.8:
> tau:=evalf(T/n):
>m:=7:
>e:=0.69:
>delta:=0.003:
> x[0]:=1:
> x[1]:=1:
> for h from 1 to n-1 do
t [h]:=h*tau:
a[h]:=eval/(1/2*((1-e-delta)*cos(m*t (h))+e-delta+3)):
B[h]:=(tau"a[h])/GAMMA(3-a[h]):
od:
> for j from 1 to n-1 do
x[ j+1]:=(2-A/B[ j])*x[ j]-x[ j-1]-s«rn(((k+1)"(2-fl[ j])-r(2-a[ j]))*(x[ j - k+1]-2*x[ j - k]+x[ j-1-1]),k=1.. j-1):
y[0]:=0:
У[ j]: = (x[ j+1]-x[ j])/tau:
od:
> R:=seq([j*tau, x[j]],j=0..n-1);
>pointplot([R], style=line, color=red)
Рис. 3. Расчетная кривая решения уравнения (1) в случае а (t) =
(1 — є — 8) cos (t • m) + є — 8 + З 2
> pointplot([seq([x[j],y[j]],j=0..n-1)], style=line, color=red):
Рис. 4. Фазовая траектория
Из рис. 3 видно, что колебательный процесс имеет затухающий характер, но фазовые траектории в отличие от предыдущего случая (рис. 2) деформированы (рис. 4). Этот факт указывает, что в этом случае колебательный процесс затухает медленнее и в этом можно убедиться, например, сравнивая рис. 1 и рис. 3.
Необходимо отметить, что в отличии от работы [4] фазовые траектории (рис. 2 и рис. 4) построены в плоскости [x(t),X (t)], а не в плоскости [x(t), d0t—1x(n)]. Поэтому мы не наблюдаем эффектов, связанных с появлением в центре фазовой плоскости точки многократного возврата.
Заключение
Введение в уравнение (1) эффектов «памяти» в виде производной дробного порядка a (t) дает возможность более адекватно описать явления и процессы в естественных средах. В колебательных процессах введение «памяти» увеличивает время релаксации, что может быть полезным при интерпретации экспериментальных данных.
Интерес представляет, когда в уравнении (1) коэффициент A = A (t). Более конкретный вид этой функции может быть следующий: A(t) = 5 + еcos(®t), что определяет обобщенное уравнение Матье. Решение уравнение Матье в зависимости от параметров 5, е может иметь незатухающий вид [6].
Библиографический список
1. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его приложение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
2. Шогенов В.Х., Ахкубеков А.А., Ахкубеков Р.А. Метод дробного дифференцирования в теории броуновского движения // Известие вузов Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2004. №1. С.46-50.
3. Самарский А.А., Вабишевич П.Н., Самарская Е.А. Задача и упражнения по численным методам. М.: КомКнига, 2007. 208 c.
4. Мейланов Р.П., Янполов М.С. Особенности фазовой траектории фрактального осциллятора // Письма ЖТФ, 2002. Т. 28. Вып.1. С.67-73.
5. Shen S., Liu F. Error analysis of an explicit difference approximation for the fractional diffusion equation with insulated ends // ANZIAM J. 2005. 46(E). P. 871-887.
6. Паровик Р.И. Обобщенное уравнение Матье // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2011. №2(3). С. 12-17.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 27.04.2014
