Численный анализ некоторых осцилляционных уравнений с производной дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2014. № 2(9). C. 30-35. ISSN 2079-6641

УДК 517.955

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ ОСЦИЛЛЯЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА *

Р.И. Паровик1, 2

1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, п. Паратунка, ул. Мирная, 7

2 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4

E-mail: romanparovik@gmail.com

В работе предложены математические модели неклассических динамических систем. С помощью численного метода разностных схем в зависимости от различных параметров системы были найдены численные решения моделей. Построены фазовые траектории.

Ключевые слова: оператор Герасимова-Капуто, численное решение, разностная схема, фазовые траектории

Паровик Р.И., 2014

MSC 35C05

NUMERICAL ANALYSIS SOME OSCILLATION EQUATIONS WITH FRACTIONAL ORDER DERIVATIVES

R.I. Parovik1, 2

1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia

2 Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia

E-mail: romanparovik@gmail.com

The paper presents a mathematical model of non-classical dynamic systems. A numerical method of difference schemes, depending on various parameters of the system were found numerical solutions of models. The phase trajectory.

Key words: operator Gerasimov-Caputo, numerical solution, finite difference scheme, the phase trajectories

@ Parovik R.I., 2014

*Работа выполнена в рамках проекта №°12-ЬОФН-16 «Фундаментальные проблемы воздействия мощными радиоволнами на атмосферу и плазмосферу Земли» и при поддержке Министерства образования и науки РФ по программе стратегического развития ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» на 2012-2016 гг.

Введение

Построение математических моделей, учитывающих фрактальные свойства различных сред, имеет очень важное теоретическое и практическое значение. Например, в пористой геологической среде (геосреде) в силу неоднородности и сложной топологии пор интерес представляет фрактальная размерность геосреды, которая влияет на интенсивность процессов. Эти процессы принято называть нелокальными или процессами с памятью [1].

Описание нелокальных процессов осуществляется с помощью математического моделирования - дифференциальных уравнений дробных порядков. Порядки дробных производных тесно связаны с фрактальной размерностью среды [2] и их функциональную зависимость можно установить экспериментально.

Фрактальная размерность среды может изменяться в зависимости от времени и пространственной координаты. Поэтому порядок дробной производной в общем случае является некоторой функцией от времени и пространственной координаты и, следовательно, это значительно усложняет вид уравнений, описывающих нелокальные процессы. Решения таких уравнений находится численными методами, которые можно реализовать в различных компьютерных программных средствах [3].

Эта работа является логическим продолжением работы [4].

Постановка задачи

Необходимо найти функцию смещения и (г) Исследование колебаний во фрактальной среде будем проводить согласно следующему уравнению переменного дробного порядка:

¿0(г)и (п)+ А (г) и (г) = 0, и (0) = ио, и' (0) = 0, 1 < а (г) < 2,0 < г < Т, (1)

t

где д0а(t)u (п) = р 2 J U П«M—i - производная дробного порядка Герасимова-

( а ( о (t — п) Капуто, A (t) - некоторая функция, ио - известная величина.

Динамическая система (1) в случае a (t) = а — const может иметь, например, один из следующих видов :

1) Уравнение (1) в случае, когда A (t) = юа переходит в уравнение фрактального осциллятора [5] и в терминах оператора дробного дифференцирования Герасимова-Капуто [6].

2) В случае, когда в уравнении (1) выполняется соотношениеА (t) = a + bcos (fflt), то мы приходим к уравнению фрактального параметрического осциллятора [7]-[8].

3) Если в уравнении (1) положить A (t) = t, то мы приходим к уравнению фрактальных колебаний Эйри [9].

В более общем случае, когда а = a (t), уравнение (1) можно решить методом конечных разностей. Введем т - шаг дискретизации, причем tj = jT, j = i,2,..,N, Nт = T,

и (]т) = щ. Тогда производную дробного порядка в уравнении (1) можно аппроксимировать следующим образом [3]

С(t )u (n ) =

Т -aj

Г (3 - а

']) к=0

£ (к + l)2-«j - k2-aj

(uj-k+1 - 2uj-k + Uj-k-i). (2)

Подставляя формулу (2) в уравнение (1) и после некоторых преобразований в итоге мы получаем явную разностную схему:

j-i

Uj+i = [2 - Aj/ßj] Uj - Uj-i - £ bk (uj-k+i - 2uj-k + Uj-k-i),

k=i

(3)

где bk = (k + i)2-aj - k2-aj, ßj =

<2-a j

Т -aj

Г (3 - «j

Ui = Uq.

Численное моделирование

Положим для простоты мо = 1. Рассмотрим некоторые динамические системы согласно (1).

1. Фрактальный осцилятор. Рассмотрим случай a (t) = а — const и A (t) = A — const. С помощью системы Maple построим расчетные кривые решений (3) и соответствующее ему точное решение.

Рис. 1. а) расчетные кривые, полученные по формуле (3) (красная линия) и точное решение - (синяя линия при значении параметров А = 1, а = 1.8,t Е [0,6п]. б) фазовая траектория

Из рис. 1а видно, что схема (3) хорошо аппроксимирует точное решение и колебания имеют затухающий характер. Это подтверждает фазовая траектория, имеющая устойчивый фокус (рис. 1б) .

2. Фрактальный осцилятор с переменным параметром а. Рассмотрим случай,

,0. (1 - £ - 8) ес8^ ■ т) + £ - 8 + 3 когда в решении (3) а ^) =-^-и А ^) = 1, где 8 и £ определяют границы изменения параметра а 1 + £ < а < 2 — 8, причем 8 + £ < 1,8,£ > 0, т - произвольное число [6].

Из рис. 2а видно, что колебательный процесс имеет затухающий характер, но фазовые траектории в отличие от предыдущего случая (рис. 1б) деформированы

Рис.2. а) расчетная кривая решения уравнения (1) в случае а ) =

(1 - е - 5) ео8(? ■ т) + е - 5 + 3 , -2-; б) фазовая траектория

(рис. 2б). Этот факт указывает, что в этом случае колебательный процесс затухает медленнее.

3. Фрактальный осциллятор Эйри. Рассмотрим случай, когда

а (, )=(1 - £ - 5) ео^ ■ т) + £ - 5 + 3, А (, ) =,.

Параметры задачи выбирались: т = 7, £ = 0.69, 5 = 0.003, а = 1.8, а = 3.

Рис. 3. а) расчетная кривая б) фазовая траектория

На рис. 3а видно, что колебательный процесс имеет быстро затухающий характер, а фазовая траектория (рис. 3б) представляется изогнутой, но близка по форме к устойчивому фокусу. Такое поведение решения хорошо согласуется с ранее полученными результатами [8].

Учет свойства эредитарности в модельном уравнении (1), по-видимому, приводит к быстрой диссипации энергии колебательной системы и уменьшению времени до ее полной релаксации.

4. Фрактальный параметрический осцилятор. Рассмотрим случай, когда a (t) = (1 - £ - 8) cos(t ■ m) + £ - 8 + 3

-2- и A (t) = a + bcos (at). Параметры задачи выбирались:

m = 7, £ = 0.69, 8 = 0.003, a = 1.8, a = 3.

Необходимо отметить, что фазовые траектории рис. 4 подтверждают возможность использования дробного исчисления в описании нелинейных эффектов. Действительно на рис. 4а фазовая траектория закручивается по часовой стрелке, а особая точка представляет собой устойчивый фокус.

На рис. 4б фазовый портрет меняется: сначала траектория закручивается по часовой стрелке, а потом, начиная с некоторого момента времени г, раскручиваться.

Кульминацией такого перехода является фазовая траектория рис. 4в, на которой видно, что фазовая траектория раскручивается, т.е. мы видим неустойчивый фокус.

5. Обобщенный фрактальный параметрический осцилятор. Рассмотрим слу-

(1 - £ - 8) ео8(г ■ т) + £ - 8 + 3 , .. , . . . . чай, когда а (г) =-^- и А (г) = а + Ьеояр (юг), ео8^ (тг) =

в- (-1)к (гт)вк

— (тг)в = £ _/0,—тт--функция типа Миттаг-Леффлера. Параметры за-

-1 к=0 Г (в к + 1)

дачи выбирались: т = 7, £ = 0.69, 8 = 0.003, а = 1.8, т = 3, в = 1.2.

Eß ,i

Рис. 5. Фазовая траектория (случай 5)

На рис. 5 видно как меняется фазовый портрет по сравнению с другими случаями. Фазовая траектория помимо нелинейных эффектов как в случае 4, сильно сжимается.

Необходимо отметить, что в отличии от работы [6] фазовые траектории в этой статье построены в плоскости [и (г), и' (г)], а не в плоскости [и (г), —1и (п)]. Поэтому мы не наблюдаем здесь эффектов, связанных с появлением в центре фазовой плоскости точки многократного возврата.

Библиографический список

1. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его приложение. М.: Физматлит, 2003. С. 272.

2. Шогенов В.Х., Ахкубеков А.А., Ахкубеков Р.А. Метод дробного дифференцирования в теории броуновского движения // Известие вузов Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2004. №1. С.46-50.

3. Shen S., Liu F. Error analysis of an explicit difference approximation for the fractional diffusion equation with insulated ends // ANZIAM J. 2005. 46(E). pp. 871-887.

4. Паровик Р.И. О численном решении уравнения фрактального осциллятора с производной дробного переменного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2014. №1(8). С. 60-65.

5. Mainardi F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena // Chaos, Solitons and Fractals, 9(7), 1996, pp. 1461-1477.

6. Мейланов Р.П., Янполов М.С. Особенности фазовой траектории фрактального осциллятора // Письма ЖТФ, 2002. Т 28. вып. 1. С. 67-73.

7. Паровик Р.И. Задача Коши для нелокального уравнения Матье // Доклады АМАН. 2011. Т. 13. №2. С. 90-98.

8. Parovik R.I. Fractal Parametric Oscillator as a Model of a Nonlinear Oscillation System in Natural Mediums // Int. J. Communications, Network and System Sciences. 2013. Vol. 6. P. 134-138.

9. Паровик Р.И. Задачи Коши для обобщенного уравнения Эйри // Доклады АМАН. 2014. Т. 16. №3. С.64-69.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 23.06.2014