Новые интегрируемые случаи на конечномерных алгебрах Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.745.82

НОВЫЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СЛУЧАИ НА КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ

М. М. Жданова

1. Введение. Основные понятия. Рассматриваются полиномы / : ©* —R на двойственном пространстве к алгебре Ли ©. Множество таких полиномов со стандартной скобкой Пуассона {; } образует алгебру Ли, называемую алгеброй Лп-Пуассона [1]. Говорят, что полиномы fug находятся в инволюции, если их скобка Пуассона равна нулю: {/, д} = 0. Коммутативный набор полиномов /1,/2,• • •, /fc называется полным, если к = |(dim © + ind ©).

Согласно доказанной С. Т. Садэтовым [2] гипотезе Мищенко-Фоменко [3], на двойственном прост,ранет,ее к любой конечномерной вещественной алгебре Ли существует полный инволютивный набор полиномов. Для случая редуктивной алгебры Ли эта гипотеза была доказана А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко в [3]. Исходя из этой теоремы они доказали, что на компактных многообразиях некоммутативная интегрируемость эквивалентна коммутативной. Более наглядное и геометрическое доказательство теоремы С.Т. Садэтова получено A.B. Болсиновым в [1].

Цель работы — найти полные инволютивные наборы полиномов для алгебр Ли вида полупрямой суммы © = su(n) +р Сп, где р : su(n) —gl(C, п) — представление минимальной размерности.

Набор полиномов для алгебр вида so(п) + Rra (где полупрямая сумма берется по представлению минимальной размерности) был получен A.B. Болсиновым в [1].

Теорема 1 (A.B. Болсинов). Функции

Vi,...,vn и fk>x(M,v) =Tr(\v\2prst{v)(M + \B))k, k = 2,4,...,2Ы~1 где В — произвольный элемент so(п), а проекция задается формулой

prst(„)(M) = М - j^(wTMT - MvvT),

образуют полный инволютивный набор полиномов в алгебре so(п) + Rra.

Напомним, что коммутатор в алгебрах вида

© = £+pF gl(V)), (1)

где £ — алгебра Ли с коммутатором [;]<£, задается формулой

[ci +vi; с2 + v2] = [ci; с2](£ + p(ci)v2 - p(c2)vь

2. Общая схема построения полных инволютивных наборов на конечномерных алгебрах

Ли. В любой алгебре вида (1) есть коммутативный идеал S) = V. Поэтому, следуя алгоритму, описанному в [1], рассматриваем ad^ : © —gl(i5*) — представление, двойственное ограничению присоединенного представления на идеал. Далее рассматриваем рациональные сечения ф: jj* —©, где для любого а G имеем ф(а) G St (а) (St(a) — стабилизатор элемента а G в смысле представления ad^: St (а) = {д G ©|(ad^)fla = 0}).

Лемма 1. Уравнение стабилизатора элемента а G имеет вид

St(a) = {(N,u) \ ueft,p*(N)a = 0},

где р* : £ —gl(V*) — представление, двойственное представлению р.

Доказательство. Действительно, согласно явным формулам для коприсоединенного представления алгебры © [4, с. 253], а также ввиду того что fi — идеал, имеем ad*N а) = p*(N)a. Таким образом, все рациональные сечения образуют алгебру, которая распадается в прямую сумму подалгебр

Ф = {(/?: Й* ^ £ | р*(ср(а))а = 0 Va ей} и 5 = {s: fi* й}.

Рассмотрим функции /ф(х) = (х,ф(рт^*х)) и отображение а: а(гр) = /ф. Согласно [1], функции /ф(х) образуют подалгебру в Ann Sj, и задача сводится к нахождению набора полиномов на образе Ьф = Im(o;) гомоморфизма а, являющемся конечномерной алгеброй Ли над полем Fract P(fi) рациональных функций в $).

Однако из того, что алгебра сечений распадается в прямую сумму подалгебр, следует, что и для алгебр функций Ьф = {/ф}, Lv = {/и Ls = {fs} справедливо тождество

Ьф = Ь1р®Ь3. (2)

Действительно, если ¡ф1 = (fVl, fSl) и ¡ф2 = {¡V2,fS2) — Две функции из Ьф, то {¡ф1, ¡ф2} = ¡уфиф2\ =

/([VI ,¥>2],[«Ъ«2]) ~~ ({/^D /^2}' {fsn fs2})-

Лемма 2. Полупростота подалгебры St(a) для регулярного а влечет за собой полупростоту подалгебры Ly

Это утверждение очевидно вытекает из того, что полупростота St (а) влечет полупростоту алгебры сечений Ф, а а — гомоморфизм алгебр Ли.

Для алгебр Ли © первая подалгебра оказывается полупростой, а вторая — изоморфной полю -Р(й). Поэтому полный набор полиномов в алгебре Ьф может быть получен с помощью метода сдвига аргумента.

3. Индекс и размерность алгебр ©. Для рассматриваемых (вещественных) алгебр найдем их размерности и индексы. Имеем

dim 0 = dim(su(n)) + dim Сп = п2 - 1 + 2п = п2 + 2п - 1. Индекс алгебр типа (1), согласно формуле Раиса [5], вычисляется по формуле

ind 0 = ind Sto(a;) + ind p*,

где Sto(a;) — стационарная подалгебра регулярного элемента х G С* в £ относительно представления р*: Sto(x) = {ge£\p*(g)x = 0}.

Пространство Сп естественным образом отождествляется с (Сга)* при помощи эрмитова скалярного произведения. Это позволяет нам отождествить р* с р. Действительно, пусть й G V* — двойственный элементу и G V в смысле отождествления, v G V, N G su(n). Тогда

(.p*(N)u, v) = —(й, pi(N)v) = -(и, Nv) = (-NTu, v) = (Nu, v)

(черта обозначает комплексное сопряжение, Т — транспонирование матрицы).

Поэтому, во-первых, справедлива формула ind р* = ind р = 1, так как, действуя на регулярный элемент v всеми матрицами из SU(n), мы получаем подмножество Сп коразмерности 1, выделяемое условием |г>| = const. Во-вторых, имеет место

Лемма 3. Для регулярного элемента v стационарная подалгебра в смысле представления р* (Sto(f) = {N G su(n) I Nv = 0}) изомо'рфна su(n — 1).

Доказательство. Найдем такую подалгебру для вектора v = (1,0,... ,0)т: Nv = 0 тогда и только тогда, когда

/ ац а\2 ■ ■ ■ еЦгД

-«12

\-dln

/1\

Значит,

N =

/ \о/

/о о...0\

о

/0\

о

Voy

\0

/

Таким образом, подалгебра матриц изоморфна 8и(п — 1) и ind Я^и) = indsu(n — 1) = п — 2. Следовательно, М(зи(п) +р Сп) = п — 1.

4. Полный инволютивный набор функций на алгебре © = 8и(п) +р Сп. Двойственное пространство к этой алгебре отождествляется с самой алгеброй посредством скалярного произведения

((Мьгл); (М2,у2)) = Тг МХМ2 + 11е<гл; у2)С,

где 11е( ; — вещественная часть эрмитова произведения в Сга, т.е. скалярное произведение в М2га овеществленных векторов из Сп.

Коммутативный идеал й = Сп имеет размерность 2п. Следуя алгоритму, описанному в п. 2, рассмотрим вторую компоненту прямой суммы (2)

Ls = {fs I SGFractP(Cra)}.

Гомоморфизм —линеен над полем Ггас1Р(Сга). Следовательно, подалгебра Ь3 определяется одним элементом где 1 — нейтральный элемент по умножению в поле Ггас1Р(Сга): —в ■

Рассмотрим теперь первую компоненту прямой суммы Ь^. Из леммы 3 следует, что стабилизатор регулярного элемента и является полупростой алгеброй, что, согласно лемме 2, влечет полупростоту алгебры Ьр.

В алгебре Ь^ функции записываются в виде /(М, г>) = ТгМ<£>(г>). В частности, можно взять <£>(г>) = О = РГЭ1;(» А где А — некоторый фиксированный элемент 8и(п), а ргд^^-А — стандартная ортогональная проекция, для которой можно привести рациональную по и формулу. Тогда

¡(М,у) = Тг МргадА = Тг (ргэдм) А = Тг А (ргэд м) . Формула для проекции имеет вид

1 /а т т л\ vTAvn — 2 т vTAv ^

-¡2 -Avv + vv А) + -г-ъ---VV1 + ---Tf^E,

V\z |f|4 п— 1 [п — l)\v\z

где Е — единичная матрица. В алгебре сечений функции Тгр(р(и)к принадлежат центру пуассоновой алгебры, поэтому в алгебре Ь^ соответствующие функции будут записываться следующим образом:

Д(М, у) = Тг (ргк = 0,1,... , (п - 1).

Их сдвиги имеют вид f|Ct\ = Тг ^рг+ ХВ)^ . Если мы домножим формулу на |г>|4, то получим

искомые полиномы Д;л = Тг (М^Гд^(М + ХВ))к.

Теорема 2. Функции ..., ь2п и /к,\, к = 0,... ,п, где В — произвольный элемент 8и(п), образуют полное коммутативное семейство в Р(©).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Болсинов A.B. Полные инволютивные наборы полиномов в пуассоновых алгебрах: доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко // Тр. семинара по вект. и тенз. анализу. Вып. 26. М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2005. 87-109.

2. Садэтов С. Т. Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко // Докл. РАН. 2004. 397, № 6. 751-754.

3. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерных алгебрах Ли // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1978. 42, № 2. 396-415.

4. Трофимов В.В., Фоменко А. Т. Алгебра интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. М. ; Ижевск: Факториал и изд-во "Просперус" Удмуртского гос. ун-та, 1995.

5. Rais M. L'indice des produits semi-directs E xp © // C. rend. Acad. sei. Paris. 1978. 287, N 4. 195-197.

Поступила в редакцию 15.12.2005