Кронекеровы индексы алгебры Ли и оценка степеней инвариантов Текст научной статьи по специальности «Математика»

что для любого простого р и любого натурального п существует такая функция f, что gdegpf ^ п. Получили противоречие. Лемма доказана.

Лемма 8. Пусть В — бесконечный базис функций к-значной логики, такой, что gdegpB < ж при некотором простом р. Тогда существуют константы в, 5, где в > 0, такие, что в ^2 п ^ Ов(п) ^ 71о§2 п + 5 при все% п.

Доказательство. Нижняя оценка следует из лемм 5-7, если взять в = (^2 gdegpB)_1.

Доказательство верхней оценки повторяет доказательство леммы 4, стоит только учесть утверждение леммы 2 и тот факт, что, согласно [4], для любого бесконечного базиса булевых функций А существуют константы &1 и е1, такие, что множество всех булевых функций от п переменных можно реализовать над А схемой глубины не более Ь1 ^2 п + е1 при всех п. Поэтому любую функцию к-значной логики от п переменных можно реализовать над базисом В схемой глубины не более С2 + С1 + 05(61 ^2 п + е1), где 02 — глубина, достаточная для реализации над базисом В всех функций к-значной логики от одной переменной; С1 — глубина, достаточная для реализации над базисом В всех функций к-значной логики от г переменных; С5 — глубина, достаточная для Д-реализации над базисом к-значной логики В бесконечного базиса булевых функций Ав. Полагая 5 = 02 + С1 + С5в1, в = С561, получаем требуемое неравенство. Лемма доказана.

Из лемм 2 и 8 непосредственно следует утверждение теоремы.

Автор выражает искреннюю благодарность О. М. Касим-Заде за постановку задачи, всестороннее внимание и ценные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. О схемах из функциональных элементов с задержками // Проблемы кибернетики. Вып. 23. М.: Наука, 1970. 43-81.

2. Сэвидж Дж.Э. Сложность вычислений. М.: Факториал, 1998.

3. Касим-Заде О.Ш. О глубине булевых функций при реализации схемами над произвольным базисом // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 1. 18-21.

4. Касим-Заде О. M. О глубине булевых функций над произвольным бесконечным базисом // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 2007. 14, № 1. 45-69.

5. Smolensky R. Algebraic methods in the theory of lower bounds for Boolean circuit complexity // Proc. 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing (1987). N.Y.: ACM, 1987. 77-82.

6. Post E. Introduction to a general theory of elementary propositions // Amer. J. Math. 1921. 43. 163-185.

7. Яблонский С.В. Введение в теорию функций fc-значной логики // Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Т. I / Под ред. С.В. Яблонского, О.Б. Лупанова. М.: Наука, 1974. 9-66.

Поступила в редакцию 09.06.2010

УДК 514.7

КРОНЕКЕРОВЫ ИНДЕКСЫ АЛГЕБРЫ ЛИ И ОЦЕНКА СТЕПЕНЕЙ ИНВАРИАНТОВ

А. C. Воронцов1

В статье вводится понятие кронекеровых индексов алгебры Ли — целочисленных характеристик, естественным образом связанных с тензором структурных констант алгебры Ли. Доказывается нижняя оценка на степени полиномиальных инвариантов коприсоеди-ненного представления алгебры Ли, формулируемая в терминах кронекеровых индексов.

Ключевые слова: алгебра Ли, коприсоединенное представление, инварианты, бига-мильтонова геометрия.

The notion of Kronecker indices of a Lie algebra as integers naturally connected to its

1 Воронцов Александр Сергеевич — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: a.s.vorontsov@gmail.com.

structure tensor is introduced. A lower bound for the degrees of polynomial invariants of the coadjoint action in terms of Kronecker indices is proved.

Key words: Lie algebra, coadjoint representation, invariants, bi-Hamiltonian geometry.

Введение. Пусть g — комплексная алгебра Ли. Для функций, определенных на двойственном пространстве g*, введем скобку Пуассона-Ли

{f,g}(x) = (x, [df (x),dg(x)]),

здесь и далее угловые скобки обозначают спаривание элементов g и g*, а дифференциалы функций f и g отождествляются с элементами алгебры Ли g.

Функциями Казимира для скобки Пуассона-Ли являются инварианты коприсоединенного представления алгебры g. Это позволяет надеяться на то, что изучение свойств пуассоновой структуры на g* может дать некоторую информацию об инвариантах коприсоединенного представления.

Один из результатов такого рода принадлежит А.В. Болсинову [1], а именно имеет место

Теорема 1. Пусть g — алгебра Ли. Введем множество особых точек S = {x Е g*| codim O(x) > indg}. Пусть codimS ^ 2, k = indg и fi, ■■■,fk — алгебраически независимые полиномиальные инварианты коприсоединенного представления. Тогда

к

£

г=1

deg (dim g + ind g).

Эта оценка основана на критерии Болсинова полноты семейства функций, полученных методом сдвига инвариантов. Кроме скобки Пуассона-Ли на д* можно ввести постоянную скобку: зафиксируем ковек-тор а Е д* и определим скобку как

{¡,9}а = (а, [#(х),йд(х)\).

Можно показать, что любая скобка вида {, } + А{, }а является скобкой Пуассона, т.е. удовлетворяет тождеству Якоби. Для критерия полноты существенным является тот факт, что для фиксированной точки х ранг всех скобок в семействе {, } + А{, }а одинаков. В нашей работе рассматривается более тонкая характеристика семейства скобок {, } + А{, }а, связанная с приведением их к каноническому виду. Этот подход позволяет усилить теорему 1 получением нижних оценок на степени отдельных инвариантов, а не на их сумму.

Подход, основанный на использовании канонического вида пучка кососимметрических форм, активно применяется в пуассоновой геометрии (см. [2, 3]). Идея сдвигов инвариантов, используемая в работе, связана с обобщенным методом Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем на алгебрах Ли (см. [4-6]).

Кронекеровы индексы алебры Ли. Основным инструментом для нас является теорема Кронекера-Жордана о приведении пары кососимметрических форм к каноническому виду (см. [7]).

Теорема 2. Пусть А и В — кососимметрические билинейные формы. Тогда существует базис, в котором обе формы приводятся к блочно-диагональному виду:

А = diag(A1 ,...,Ак), В = diag(Б1, причем блоки могут быть одного из трех видов:

Аг

0 7(А)\ -.1 (А) 0 ) ,

, Bk ),

жорданов блок в случае X Е C

Вг

0 Id -Id 0

жорданов блок в случае X = то

кронекеров блок

0 Id -Id 0 1 0

1 0

1

•. -1 0

0 J (0) -J (0) 0

0 1 \

0 1

1

0

0

Это разложение определяется однозначно с точностью до перестановки блоков.

Мы не будем приводить полного доказательства теоремы, но остановимся подробно на ключевой конструкции. Цепочку векторов pi, i = 1, ...,n, назовем кронекеровой относительно пучка A + XB (здесь и далее будем считать, что A является регулярной формой в пучке, т.е. ее ранг равен рангу формы общего положения в пучке), если выполняются условия Api+i = Bpi и Api = 0.

Будем говорить, что вектор v является вектором высоты k, если существует кронекерова цепочка Pi, для которой v = pk. Обозначим через Vk подпространство всех векторов высоты k. Ясно, что такие векторы действительно образуют подпространство и имеют место включения Vi С V2 С V3 С ..., причем из-за конечной размерности эта последовательность вложенных подпространств стабилизируется, т.е. существует n, такое, что Vn = Vn+i = Vn+2 = ... . Для удобства положим V0 = {0}.

Канонический базис в теореме Кронекера-Жордана определен, вообще говоря, неоднозначно. В отличие от него пространства Vi определяются инвариантно, а их размерности связаны естественным образом с размерами кронекеровых блоков: разность dim Vk+i — dim Vk равна числу блоков, размер которых строго больше 2k — 1.

Нам понадобится следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть A — регулярная скобка пучка A + XB и aij — кронекеровы цепочки либо заканчивающиеся нулем, либо продолжающиеся до бесконечности, такие, что их начальные векторы aio, i = 1, ... ,m, образуют базис в Ker A. Пусть ri ^ Г2 ^ ... ^ rm — длины этих цепочек (в случае цепочки бесконечной длины мы считаем, что r = то). Тогда

1) ri ^ ki, где 2ki — 1 ^ ... ^ 2km — 1 — размеры кронекеровых блоков в каноническом разложении Кронекера-Жордана для форм A и B;

2) можно выбрать числа ni так, что векторы aij, j < ni, будут линейно независимы, причем aij, j < ni, i ^ k, образуют базис в пространстве Vk.

Доказательство. В условиях теоремы подпространства Vi можно описать следующим образом:

Vi = span{aio}, V2 = Vi + span{aii},

Vk = Vk_i + span{aik}.

Вложение Vk-i + span{aik} С Vk очевидно из определения. Докажем обратное утверждение по индукции. Для Vi включение имеет место по условию теоремы. Рассмотрим произвольный вектор h Е Vk. Согласно определению, Ah = Bak-i. По предположению индукции hk-i Е Vk-i выражается линейно через векторы aj,j ^ k — 1. Получаем Ah = Bhk-i = cijaij = cijaij+i. Последнее равен-

ство означает, что h может отличаться от Xj^k-i cij aij+i лишь на вектор, лежащий в ядре формы A, но Ker A = Vi С Vk-i.

Пусть некоторый вектор aij высоты k линейно выражается через другие векторы меньшей высоты либо через векторы той же высоты других цепочек. Тогда то же самое верно для любого вектора a^+i. Это означает, что для каждой цепочки можно определить число ni так, чтобы векторы aij,j < ni, были линейно независимы, но их линейная оболочка совпадала с линейной оболочкой всех векторов aij,j < ni. Назовем ni эффективными длинами цепочек. Вообще говоря, эти величины определены неоднозначно: на очередном шаге нам может потребоваться выбрать один из нескольких зависимых векторов и оборвать соответствующую цепочку.

Если мы укоротим все цепочки до их эффективной длины, то разность dim V¿+i — dim Vi можно интерпретировать как количество цепочек, эффективная длина которых превосходит i. Но выше уже было отмечено, что эта разность равна количеству кронекеровых блоков, размер которых больше 2i — 1. Это означает, что количество кронекеровых блоков размера 2ni — 1 равно количеству цепочек с эффективной длиной ni. Иначе говоря, каждой цепочке соответствует кронекеров блок, при этом размер этого блока равен 2ni — 1, где ni — эффективная длина соответствующей цепочки. Набор чисел ni, таким образом, не зависит от произвола в выборе базиса в span(aj), поскольку определяется набором размеров кронекеровых блоков в каноническом виде. □

Рассмотрим алгебру Ли g. Для любой пары элементов (a,x) Е g* х g* обозначим

М£, п) = {a, [i, П), М£, П) = {x, [i, п])

и рассмотрим семейство кососимметрических билинейных форм Aa + XAx.

Поиск набора кронекеровых цепочек для данного семейства — чисто алгебраическая процедура. Рассмотрим для всевозможных пар (a,x) семейства Aa + XAx. Можно считать, что векторы aij алгебраически

зависят от a и x. Для каждой пары (a,x) определена цепочка подпространств Vi(a,x). Выберем такую пару (ao,xo), для которой dim Vi(ao,xo) = max(ax) dim V(a, x). Эти размерности определяют размеры кро-некеровых блоков для пары общего положения. Если для какой-то пары dim Vn(a,x) < dim Vn(ao,xo), то это означает, что среди векторов {aj(a,x),i < n} появились линейно зависимые векторы, которых не было для векторов {aj(ao,xo),i < n}. Пары (a,x), для которых это имеет место, выделяются некоторым алгебраическим условием. Таким образом, существует непустое, открытое по Зарисскому множество пар в g* х g*, для которых размеры кронекеровых блоков в каноническом виде одинаковы. Будем называть такие пары регулярными.

Определение. Пусть g — алгебра Ли, пара (a, x) Е g* х g* регулярна в описанном выше смысле. Рассмотрим пару форм Aa(£,n) = (a, [£,n]), Ax(^,n) = (x, [£,п]). Пусть размеры кронекеровых блоков в каноническом виде Кронекера-Жордана для пары Aa и Ax равны 2ri — 1. Назовем числа ri кронекеровыми индексами алгебры Ли.

Оценка степеней инвариантов. В следующей теореме мы используем кронекеровы индексы для оценки степеней полиномиальных инвариантов алгебры Ли снизу.

Теорема 4. Пусть g — алгебра Ли, fi, ■■■,fк (k = indg) — набор алгебраически независимых полиномиальных инвариантов коприсоединенного представления и degfi ^ degf2 ^ ■■■ ^ degfk. Пусть ri ^ Г2 ^ ■■■ ^ Гк — кронекеровы индексы алгебры Ли g. Тогда deg fi ^ ri.

Доказательство. Для того чтобы доказать утверждение теоремы, мы предъявим кронекеровы цепочки, которые удовлетворяют условиям теоремы 3 и длины которых равны deg fi. Нам понадобится важное утверждение, лежащее в основе метода сдвига аргумента.

Утверждение 1 [8]. Пусть f (x) — (локальный) инвариант коприсоединенного представления в окрестности точки a Е g*. Рассмотрим разложение f (a — Xx) в ряд по степеням X:

f (a — Xx) = Xigi(x), i

где gi(x) — однородные многочлены степени i от переменной x. Тогда градиенты dgi образуют кронеке-рову цепочку относительно пучка форм Aa + XAx.

Доказательство. Поскольку f (x) — локальный инвариант, градиент df (x) лежит в ядре формы Ax для любого x. Запишем это условие в точке a — Xx:

Aa-\x df (a — Xx) = Aa^2 Xidgi — XA^Yl Xidgi = 0-

i

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X, получаем

Aadgi = Axdgi-i,i ^ 2, Aadgi = 0,

что доказывает утверждение. □

Вернемся к доказательству теоремы. Выберем точку a, в которой дифференциалы инвариантов линейно независимы. Выберем x так, чтобы пара (a, x) была регулярной. Для каждого инварианта fj рассмотрим цепочку, описанную в утверждении 1. Поскольку инварианты fi полиномиальны, длина цепочки, получающейся из инварианта fj, не превосходит степени этого инварианта. Рассмотрим кронекеровы цепочки для всех инвариантов fi, ■■■,fk. Дифференциалы инвариантов в точке a независимы, значит, полученные цепочки удовлетворяют условиям теоремы 3, т.е. их длины не меньше размеров кронеке-ровых блоков в каноническом виде для пары форм Ax и Aa. Поскольку пара (a, x) регулярна, размеры кронекеровых блоков равны кронекеровым индексам алгебры д, откуда следует утверждение теоремы. □

Замечание 1. Введем множество особых точек S = {x Е g*| codimO(x) > ind g}. Если codim S ^ 2 и deg fi = ^(dimg+indfl), то оценка в теореме 4 становится точной, т.е. если f\, ..., Д (k = ind fl) — набор алгебраически независимых полиномиальных инвариантов коприсоединенного представления, deg fi ^ deg f2 ^ ■■■ и ri ^ r2 ^ ■■■ — кронекеровы индексы алгебры Ли g, то deg fi = ri.

Доказательство. Условие codim S ^ 2 означает, что можно выбрать a и x так, чтобы все формы в пучке Aa + XAx имели один и тот же коранг, равный индексу алгебры. Это означает, что в каноническом виде пучка отсутствуют жордановы клетки. Таким образом, сумма размерностей кронекеровых блоков равна размерности алгебры g, а количество векторов, получаемых из сдвигов инвариантов, равно ^(dinifl + indfl). Из этого следует, что в точке общего положения все эти векторы независимы, т.е. длина кронекеровых цепочек совпадает с их эффективной длиной. □

Пример 1. Если g — полупростая алгебра Ли, то коразмерность множества особых точек равна 3 и эффективные длины цепочек равны степеням соответствующих инвариантов. Выбрав канонический набор

инвариантов, получим, что кронекеровы индексы алгебры Ли равны степеням свободных образующих в кольце инвариантов коприсоединенного представления, т.е. показателям алгебры Ли.

Приведем также пример, когда неравенства в теореме 4 становятся строгими.

Пример 2. Рассмотрим полупрямую сумму эо(2) +р М2 +р М2. Здесь р обозначает естественное действие, на каждом слагаемом алгебра действует независимо. Индекс этой алгебры Ли равен 3. Легко понять, что линейных инвариантов коприсоединенного представления у нее нет, т.е. все инварианты имеют степень не ниже 2. При этом набором кронекеровых индексов этой алгебры является {1,1, 2}.

Замечание 2. В теореме 4 можно отказаться от условия к = тёд. Пусть д — алгебра Ли, fl, . (в ^ тё д) — набор алгебраически независимых полиномиальных инвариантов коприсоединенного представления и deg fl ^ deg f2 ^ ... ^ deg fs. Пусть п ^ Г2 ^ ... ^ г к — кронекеровы индексы алгебры Ли д. Тогда deg fi ^ г^ в.

Доказательство. Выберем регулярную точку а, в которой дифференциалы независимы. Выберем локальные инварианты (необязательно полиномиальные) fs+l, ...^к, к = д, так, чтобы градиенты с/к были независимы в точке а. Утверждение 1 справедливо и для локальных инвариантов, поэтому для набора fl, ...^к можно воспользоваться теми же рассуждениями, что и в доказательстве теоремы 4 (если добавленные нами инварианты не являются полиномиальными, их степень будем считать равной бесконечности). Получим для степени каждого инварианта оценку deg ^ ^ Гi, но она тем более будет верна, если мы ограничимся меньшим количеством инвариантов. □

С помощь теоремы 4 можно получить оценку на степени полиномиальных инвариантов произвольного представления алгебры Ли д.

Следствие. Пусть задано представление ф алгебры Ли д в пространстве V, коразмерность орбиты общего положения равна д, инварианты этого действия Д, ...,/я полиномиальны, их градиенты независимы в некоторой регулярной точке х Е V и deg fl ^ deg f2 ^ ... . Рассмотрим полупрямую сумму г = д +ф* V*, где ф* — представление, двойственное к ф. Пусть к1 ^ к2 ^ ... ^ кя ^ ... — кронекеровы индексы алгебры Ли г. Тогда deg fi ^ к.

Доказательство. Инварианты действия ф являются также инвариантами коприсоединенного представления группы г. Согласно замечанию 2, с помощью теоремы 4 можно в этом случае получить оценку степеней инвариантов действия ф. □

Автор благодарен А.В. Болсинову за внимание к работе и многочисленные замечания, позволившие значительно улучшить текст статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Болсинов А.В. Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейств функций в инволюции // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. 55, № 1. 68-92.

2. Bolsinov A.V., Oshemkov A.A. Bi-Hamiltonian structures and singularities of integrable systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2009. 14. 431-454.

3. Zakharevich I. Kronecker webs, bihamiltonian structures, and the method of argument translation // Transformation groups. 2001. 6, N 3. 267-300.

4. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем // Функц. анализ и его прил. 1978. 12, № 2. 49-59.

5. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых систем на алгебрах Ли // Успехи матем. наук. 1984. 39, вып. 2. 3-56.

6. Fomenko A.T. Algebraic properties of some integrable Hamiltonian systems // Lect. Notes Math. Vol. 1060. Berlin: Springer-Verlag, 1984. 246-257.

7. Thompson R.C. Pencils of complex and real symmetric and skew matrices // Linear Algebra and Appl. 1991. 147. 323-371.

8. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Интегрируемость уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли // Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу. Вып. 19. М.: Изд-во МГУ, 1979. 3-94.

Поступила в редакцию 16.06.2010