Некоторые задачи устойчивости упругих систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вып.5.2003

УДК 539.3

Некоторые задачи устойчивости упругих систем 1 В.Ю. Андрюкоеа, В.Н. Тарасов

В первой части работы исследуется устойчивость закритиче-ской формы равновесия упругих стержней. В частности, рассматривается поведение гибкого стержня, нагруженного продоль- " ной сжимающей силой и поперечной нагрузкой. Приведены результаты вычислений полной энергии и максимального прогиба стержня при заданных значениях внешних сил. Во второй части работы рассматривается задача устойчивости сферической оболочки, испытывающей осесимметричную деформацию. В отличие от традиционных способов расчета в настоящей работе интегрируются точные уравнения равновесия оболочки. Проводится сравнительный анализ полученных результатов с результатами, известными в механике упругих систем.

1. Устойчивость закритической формы равновесия упругих стержней

Рассмотрим стержень длины I нагруженный продольной сжимающей силой Р и поперечной силой д < 0. Пусть и> = и>(5) г — 2(5) - координаты точек упругой линии (з - длина дуги, 10(5) - прогиб , ось 2 совпадает с первоначальной недеформированной осью стержня) (рис. 1).

1Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №01-01-96431.

© Андрюкова В.Ю.. Тарасов В.Н., 2003.

Р :. Р-

„ Рис. 1

Предположим, что прогиб стержня ограничен с одной стороны жестким препятствием, так что

IV

(,) > 0.

(.обозначим через (р угол между касательной к упругой линии и осью г. Для определенности предположим, что выполнены граничные условия жесткой заделки. Определение упругой линии стержня сводится к вариационной проблеме

<

СОЭ (,£>) — дь) —> ГШП, (1)

при условиях

ги'ц = этс^, г'' й = соя^,

<р = 0, ю = 0 при 5 = 0,/, ш(У) > 0. 5 € [0,/]

(2)

Предположим, что сила Р больше первой критической силы Эйлера, и выполнено неравенство Атт2ЕЗ/12 < Р < 1б7г2£.///2, и пусть (/ь/г)-интервал максимальной длины, на котором > 0. Ясно, что

1р(1\) = = 0 /]) = гиЦг) — 0, и поэтому можно считать,

что 1\ = и, ¿2 > 1/2, и = 0, 5 0 [СМг]- Определение перемещений на интервале [0, /г] сводится к задаче изопериметрического типа

и(ги, /2 ) —)• гшп,

■и;,¿,12

<2 /

эт (¿¿я = 0

при условиях (2).

Составим по обычным правилам вариационного исчисления функционал Лагранжа.

h

L(w.<p,l2) — U(w,l2) -f J- sin<^) + mi sin<p)ds.

о

Система уравнений Эйлера для функционала L(w, (р, /2) имеет вид

EJp"ss -Ь Р sin tp - m t cos <p A cos ip = 0, A' = —q. (3)

Из второго уравнения получаем А — —qs + m2. Сделаем замену переменных s — /2т, и введем обозначения

, Pl2 ql\ (mi - т2)/з . !

* т = EJ + 2/9'

Первое из уравнений (3) записывается в виде

<р" = —/с" sin ip -f р(т — —) cos <р -f m cos <p. (4)

Из условия минимума функционала L(w, <p,l2) по Z2, получаем при ¿2 < еще одно граничное условие <¿>'(3) = 0. Уравнение (4) не интегрируется в квадратурах. Умножая обе части уравнения (4) на <р'(т) и интегрируя в пределах от 0 до 1, получим :р'2(\) = (¿>'2(0). Ясно, что у>(0) > 0 и <¿>(1) > 0, ибо, в противном случае, в достаточно малой окрестности концов интервала [0,1] прогиб будет принимать отрицательные значения. Но тогда <¿>'(0) = ^'(l)- Из последнего равенства следует, что функция w(r) симметрична относительно середины интервала [0,1], т.е.

~ т) = w(\ + r)> ~ г) = + г), г е [0, i].

Интегрируя уравнение (4) в пределах от 0 до 1, получим, что г

m f cos <р dr = 0, а значит и m = 0. Пусть <р(а;т)~ решение уравнения о

(4) (при m = 0) с начальными условиями <р(0) = 0, ^'(0) = а ( решение

г

задачи Коши ), и w(a; т) = f sin(ip(a;r))dt. Обозначим £(а) = <р(а; 1),

о

и ф(а) = w(a; 1). При фиксированных значениях к и р находим все значения параметра а, при которых

£(а) = 0 и ф(а) = 0. (5)

24

Андрюковл В.Ю., Тприсои В. 11.

Велили(а\ т) ■> 0, т е 10, И,' то при заданных к и р найдено допустимое положение равновесия. Результаты вычислетшй для к = 2.2тг приведены в таблице 1.

Таблица 1.

i Р 0 5 p* = 8 10 p* = 14.3445

i «Г. 0 . .1.025 1.55 2.21 4.42

i t/i 0 0.0763 0.1766 0.3119 0.6794

1 ^'таг 0 0.06143 0.0943 0.1285 0.2317

j a 2 7.86 7.4 6.55 6.4 4.42

| O2 — 1.542 -0.9459 -0.06245 0.04534 0.6794

J ^rna.T 0.3290 0.3223 0.2970 "0.2967 0.2317

При р > р* уравнения (5) не имеют решений. При меньших значениях р имеются два корня at и а2, «1 < «2, («2 — сц) —> 0 при р —» р*. а таблице приведены U\ и' U2 - значейия интеграл а 1 ' , ; *

1

U(w) = J — к2(] — cos ip) — piuj dr:

что с точностью до положительной константы совпадает с полной энергией системы. (Ui - соответсвует корню Щ - аг ') Корню ¿*i соответствует положительное значение энергии. При /)* < р < р* положительное значение энергии соответствует также и корню а2. "Если считать, что в устойчивом положении равновесия энергия должна быть отрицательной, то нетривиальные положения равновесия будут существовать лишь при р < р«. При изменении к в пределах 2тт < к < Air поведение стержня будет аналогичным как и при к = 2.2тг, меняются лишь значения О]. 0?. р., р*: В указанных пределах изменения сжимающей силы а = 0 не является корнем уравнений (5),' если р ф 0, это означает, что при ненулевой силе q для всех нетривиальных положений равновесия w(s) > 0, s € (0,1). При силе Р > 1б7г2 при некоторых нагрузках стержёнь в своей средней точке будет касаться-препятствия, и: примет двухволновую форму равновесия, найти которую нетрудно, решая задачу для стержня длины 1/2'. " ' ''

2. Устойчивость сферической оболочки б случае осесимметричной деформаций

При расчете на устойчивость оболочек обычно используют приближенные уравнения равновесия.; При этом остается открытым вопрос

о точности используемых моделей. В настоящей работе делается попытка анализа точных уравнений равновесия сферической оболочки в случае осесимметричной деформации.

Предположим, что оболочка, срединную поверхность которой обозначим через S, в результате деформации принимает форму поверхности S. Пусть х = x(ux,a2), у — у(щ,и2), 2 - г(щ,и2) - уравнения поверхности S, а х = х{щ, u2), у = у(щ,и2), z = z(uuu2) -уравнения поверхности S. Обозначим g¡j, g¡j, i,j = 1, 2 -коэффициенты первой htJ, h¡j, i, j=l,2 коэффициенты второй квадратичных форм поверхностей S и S соответственно. Пусть и е2 экстремальные значения отношения

E?¿=i (9И ~ di^dujdu,

E¿=i dijduiduj

а и >с2 экстремальные значения отношения

Ei=i díjduiduj

Тогда энергия деформации U, связанная с переходом оболочки из формы S в S, вычисляется по формуле [3]

s

El h>

+ 2(1 _u2)(el + e¡ + 2i>£1e2)]ds (8)

В результате осесимметричной деформации поверхность S представляет собой поверхность вращения вокруг оси Z некоторой кривой 7, задаваемой уравнениями х = <р(0), z = ф(9), расположенной в плоскости XOZ, а уравнения поверхности вращения будут иметь вид

ж = (р(6) cos А, у = <р(в) sin X, z = ф{9), 9 <= [0, тг], А £ [0,2тг]. (9)

Угол в отсчитывается по мередиану от северного полюса z = R, у = 0, х = О, R - радиус недеформированной сферы.

В случае поверхности вращения первая и вторая квадратичные формы будут иметь вид ([1])

/ = {ip'2 + фа)М2 + ч>4\2-, (10)

Л

vV v'ip"

■dO +

-.dX\

vV2 +Ф,2~' ' v^^+ V-'2 ..

Уравнения сферы запишем в виде

ж = Л sin в cos A', у = Л sin 0 sin A, z = R cos в.

(11)

(12) =

Обозначим через ю(0) и д(0) нормальное и касательное перемещения точек сферы (рис.2).' Тогда декартовы координаты кривой 7 определяются выражениями

{

(R + iu)'sin в — V cos 0, (R + w) cos в + v sin 8.

(13)

Дифференцируя (13), получаем

Рис.2

х' = (Л + W — ?/) COS 0 -f (w''+ v) sin 0. z' = -(i? + lü - v') sin 0Я- {w' + v) eos

ж" = (2u/ - У + v) eos 0 + (tü" - R - w + 2v') sin г" = (w" — R ~io + 2v') coa 0 - (2 to' - + v) sin 0.

(14)

(15)

Используя формулы (6) и (7), вычислим коэффициенты квадратичных форм иедеформированлой и деформированной сферы:

hij = ^ = 0, gij = = 0 при i ф .

'flfil = Л2, 522 == Л2 áin3 д, hU - - Л, h22 = ~Bsm2'0, ' •

*'2 + г'2 =-(R - v')l 4- (v + it;')2 + 2гу(Л - и') + to2, . , g22 = x2 = (Л + w)2sin20 - (R + to)osin20 + u2cos20, (16)

¿и

?V

2 X

(Л -f го)(Зг/ -f w" - R-w)

Vx'2 + г'2 ^/(Л 4- ю)(Л.+ u; - 2v') + (u + u»')2 + V2

v"(w' + v) - v{v + 3it;') - 2(v'2 + wn)

w"v'

y/(R + w)(R + w- 2v') + (v + w')2 + v'2 '

У z'x (R + w)(v — R — w) sin2 9

v/.r'2 + ~'2 y/(R + w)(R + w~ 2v') + (v + w')2 +

\{R{w' + 2v) + w{v + w') - v'v) sin 26 - v(w' + t>) cos 9 + y/(R 4- w)(R + w~ 2v') + (y + w')2 4- у'2 Тогда i is формуя (11), (12) получаем выражения:

Íгг - v')(w - v' 4- 2R) + (v 4- w')2

51 = ' W~ '

. w — uctgO (w — uctgO)2 62 = 2 R + К '

1 (fí 4- w)('¿v' 4- w" — R — w)

- t; + '

Va

(17)

R у/Щ+ЩЯ + го-2»') 4- {V 4- го')2 4- г-'2 Я2 „»(и/ + г,) - г,(г, + Зц/) - 2(у'2 + и/2) - ц/У у/(Л 4- 1«)(Я 4-1V- 2У') 4- (и 4- к>')2 + '

(Я 4- u<){R 4- -1С - г' - (2V 4- г</)^0) 4- УУ'СЩ9 4- ь(го' + u)ctq2í? 1

у/{Я 4- и})^ 4- XV - 2г.') + (у + г//)2 4- г>,2Я2

(18)

В случае осесимметрнчной деформации оболочки выражение для упругой энергии можно записать в виде

us

7Г

2тг J Oi{e,w,w',w",v,v'y)de, (19)

где функция

Г Eh3 г 2 2 п

1 = ^24(1_V2) + +

Eh

~(e¡ + е2 + 2i/£i£2)] R2 sin 9.

2(1 - ^2)

Для внешнего нормального давления в соответствии с теоремой Эйлера-Бернулли работа внешних сил равна

А = РДК (20)

где ДУ - изменение объёма. Для вычисления объёма V, ограниченного поверхргостъто 5, воспользуемся формулой Остроградского

(7)7 1 |г1 =

V

; сон Р\ -\ сой Р2 + созы-эРз)^,

(21)

5.

где (ш], и>2, шз) - направляющие косинусы нормали к поверхности.

Предположим, что объём V ограничен замкнутой регулярной поверхностью, определяемой уравнениями

х = х(0,\), у = у(6,Х), г = г(9,\),

(22)

Положим в (21 )-Р1 у, Р3 тогда (с точностью до знака)

получим ([2]) ; ' г 1 -

'V-

Г г X у X

хв У в гша

3 3 п т-' * 7/' У а ^ а

(23)

: Используя уравнения (9) -поверхности ~5\ находим

7г

«» " ■ V = 'У ф2;(0, Ш, го',^, г/)с?0,-: - : (24)

где

Ф2(0, го, го', v, v1) = (го3 + 1с2(311 - v') + ги{ти' - 2Яу' + и2 + ЗЯ2)+

■+Я(у2 + иго') + Я3) эт 0 + (ют' — ю2у — 2Дгог> — у2ю' — у3 -¡-Дуу1) соэ 0—

-Я2(у'этв + у сов в). (25)

Подчеркнутое слагаемое в (25) можно опустить, т.к.

Я2(у' п 0 + г)"соэ

7Г

0)<10 = Я2 у

Ну в'т в — г» эт 0

= 0.

Обозначим • :;■■■■•.-: . т

Р(0, го, а'', го", г», и', у") = Фх(0, го, го', го", г', и', г/') — ©2(0, г«, го', г>, и',)

В устойчивом положении равновесия полная энергия принимает минимальное значение. Таким образом, приходим к вариационной задаче

7г /

F(0, w, w', w",v,v, v")d9 —у min, (26)

W, V

{

при этом функции w(9), v(9) должны удовлетворять граничным условиям

«/(о) = о, «»'"(о) = о, «(о) = о, (27)

ю(7г) = Wo, w'(tt) = 0, и(7г) = О,

где константа w0 определена ниже (см. формулу (30)).

Введем обозначения р — w', г = w", q = v', s = v" и разложим функцию F(9, £) = F(9, w, p, r, v, q, s) в ряд Маклорена по совокупности переменных £ = (w, р, г, v, q, s) с точностью до квадратичных слагаемых (9 рассматривается как параметр)

= F(9,w,p,r,v,q,s).

Вычисляя выражение для функции F, получаем, что F не зависит от s, т.е. §7 = 0 при w = v = p = q = r = s = 0, (хотя слагаемые в ряде Маклорена более высокого порядка переменную s уже содержат).

Вместо (26) рассмотрим вариационную задачу

ß

U= I F(9,w,w',w",v,v')d9—unin. (28)

J

о

Потеря устойчивости сферической оболочки сопровождается появлением небольшой вмятины (выпучивание конечной области небольших размеров [3]), поэтому в (28) интегрирование производится в пределах от 0 до некоторого угла ß, характеризующего размеры области выпучивания. Выбор угла ß производится на основании численных экспериментов.

Анализ последней задачи позволяет получить значение, так называемой, верхней критической нагрузки ([4]), т.е. точку бифуркации для решений уравнений Эйлера функционала (26). Уравнения Эйлера для функционала имеют вид

Fw ¿e^w' + ¿2 Fw" — 0, }•" _ Ä.P, — n

1 у AR*- v —

de2 w ~ (29)

Afi'' ' ^ " ao

" Системе удовлетворяет тривиальное решение w — Wq = const, г = и. которое легко наити".из уравнения

, Fjfj,U',0,0,0,0) = 0., ; '

гешая его, находим

—6рД4(1 — и2)

" Р1гЧ ! - И -г 48ЕЛД2(1 + и) + 24р/?3(1 - у2) Второе из уравнений системы (29) запишем в виде

I Н III I /I

Li(w,ii}',.w",ty"f,v\v"\ = 0, ' ■-' (31)

in

Ь1 = /•„ — 1\,!д — Р\,1Шго' — Ег,1шпю" — Гу'^'У-

11 / т? н

-Ру>уУ с- /V,.,/?; . Дифференцируя (31) по 0. получаем

4- Р,:и,ь>' + Руи,,1и" 4- Рг,,„»»и/" + Ру„о' + Р^у"—

- ' - ' — Ру'вО —Ру:дхиги' — Р^вы'Ци" — Ру10и,ч и/" —

' т-1 ■ II 7-1 / тр II тр И г1 п III

- V — Гу1шв1и — Гу'ши> — Гу'уиГеШ — Г.у'хи'Чи — Гу1у,11<)\Ю —'

— РуЫ>1,УдКА) - Гу.увг' - Ру'уУ" - Ру^^у" - Ру1у1у'1' — 0. (32)

Более подробно выпишем первое уравнение системы (29)

Рщ ~ Рш'в ~ Рш'и;^' — Рш'ш'ш" - Ры'^'и"' - Р-,и>г,у' — Рт'уП)" + Ри/»&0 +

" и/"IV IV}1" + 2РШ1'-Ш>'еи)'" + Рш11Ш„ш1У+

+2 Рш".уву\+ Рши^у" + 2 Рипусу" + Ри,чу>у"' = 0.; (33)

, Выразим из (32) у'" и подставим в уравнение (33). тогда придем к линейному дифференциальному уравнению вида

= 0. \ (34)

В уравнениях (31) — (34) сделаем замену переменных к; = ю + и)0, после чего получим систему линейных однородных уравнений вида

Ьг(€),€)',{Х",€)м,у',у'') = 0, .

Уравнения (35) представляют собой систему однородных дифференциальных уравнений 6-го порядка относительно функций 0 и и, которой удовлетворяет тривиальное решение и? = 0, *> = 0.

Таким образом, решение задачи на устойчивость сводится к определению нагрузки р, при которой система уравнений (35) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее однородным краевым условиям

{

w'(a) = 0, w"'(a) = 0, t»(or) - 0, ,, v

w(ß) = w0, w'{0) « О, v(ß) = 0. { }

Эти уравнения, по-видимому, можно проинтегрировать только численно.

Подробнее опишем алгоритм рассчета на устойчивость. Пусть хЬх{в) и Уг(в) решения задачи Коши для уравнений (35) с начальными условиями

{

ш(а) = dQ, w'{a) = 0, w"(a) = 0, w"'{a) = 0, . .

v(a) = 0, v'(a) = 0, l U

а w2(0) и v2(0) решения задачи Коши для задачи (35) с начальными условиями

{

ui(a) = 0, {?'(«) = 0, w"(a) = d0, w"\a) = О,

v(a) = 0, w'(a) = 0, w

и, наконец, м3(0) и у3(0) решения задачи Коши для задачи (35) с начальными условиями

{

w(a) = О, w'(a) = 0, w"(a) = 0, w"'(a) = О, г>(а) = 0, г/(а) = d0.

(39)

Очевидно, что трехпараметрическое семейство решений

Г w{6) =ащ{в) + Са«5з(0) + с3й3(0), \ v{9) = ClVl(0) + c2v2(0) + c3v3(0)

удовлетворяет дифференциальным уравнениям (35) с описанными выше граничными условиями.

Для того, чтобы краевая задача (35) — (36) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы

miß) w2{ß) w3{ß) В= | w[(ß) w'2(ß) w'3(ß) Vl(ß) v2(ß) v3(ß)

был равен нулю.

Ясно, что (let(В) — f(p) - является функцией от параметра р. Выражение для упругой энергии оболочки (8), а также формулы для деформаций £2 и для характеристик изменения кривизн з<2 не совпадают с общепринятыми в механике упругих оболочек. Поэтому вместо (6) и (7) используем равенства ([5]):

£i = -^(и' + w), е2 = + vctgff),

' * - X2 = -CM(W' V), . (41)

Применяя формулы (41) для вычисления упругой энергии, получим

Ф, - ^I^ffZTJj ((^/-^)2+(u/-v)2ctg20+2I.(u./'-u')(u/-t')ctg^ +

+ + + (w + vctg0)2 + 2//(го + г/)(to + vctg0)^j sm0.

Остальные вычисления производятся по той же самой схеме, что описана выше. В этом случае и'о определяется формулой

- 1 -pR2{l--v). 2PR(v~ I)-Eh'

Наряду с граничными условиями (36) рассмотрим граничные условия'

f w'(a) = 0, w'"(a) = 0, v(a) — О, ' .

\ Щп/2) = 0, ш'"(тг/2) = 0, и(тг/2) = 0. { '

Г w'(a) = 0, ш'» = 0, о(а) =0,

Д ш(тг/2) = 0, у/'(7г/2) = 0, v(n/2) = 0. 1 j

которые могут быть поставлены только на экваторе сферы. Равенства (42) характеризуют условия симметрии перемещений w(0) и v(0) относительно точки в = тг/2, (43) - условия "антисимметрии", то есть

го(7г/2 — 0) -= —w(ix/2 + в), v(n/2 г- в) = —и(тг/2 + в). .

Значения минимального критического параметра р/ Е в зависимости от безразмерной величины h/R приведены в таблице 2, при этом деформации и изменения кривизн определялись формулами (41).

В последней строке таблицы приведено теоретическое значение безразмерного параметра Р/Е = 1.21(/г/Й)2, полученного на основании теории пологих оболочек [4]. Заметим, что в этом случае работа внешних сил вычислялась с использованием приближенной формулы.

Таблица 2.

Гран.усл. h/R 1/10 1/20 1/30

/ в = тг/2 -0.6 -0.2 -0.16

/? = тг/3 -0.62 -0.27 -0.187

II -0.64 -0.38 -0.19

И II -0.58 -0.265 -0.175

111 0 = тг/2 -0.58 -0.27 -0.175

Теор.зпач. -0.012 -0.003 -0.001

В таблице в графе I выписаны результаты вычислений с использованием граничных условий (36), в графе II - граничных условий (42), в графе III - граничных условий (43).

Заметим, что формула р = 1.21 E(h/R)2 получена с использованием уравнений теории пологих оболочек, и работа внешних сил определялась по приближенным формулам. Судя по результатам, приведенным в таблице, пренебрежение малыми слагаемыми в уравнениях равновесия сферической оболочки может существенно повлиять на величину критического давления

Аналитические выкладки приведены с использованием системы "MAPLE 5" [6].

Литература

1. Погорелов A.B. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974. 176 г.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3. М.: Наука, 1970. 800 с.

3. Погорелов A.B. Геометрическая теория устойчивости оболочек. М.: Наука, 1966. 296 с.

4. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

5. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. JL: Политехника, 1991. 656 с.

6. Дьяконов В.П. Математическая система МАРЬЕ 5. М.: Солон, 1998. 400 с.

Summary

Andryukova V.Yu., Tarasov V.N. Some problems of stability of elastic system

In the first part of work the stability of the supercritical form of an equilibrium of elastic rods is investigated. In particular, the behaviour of a flexible rod loaded with a longitudinal contracting force and a transversal load is considered. The outcomes5 of calculations of full energy and maximum sag of a rod for specific values of external forces are indicated. In the second part of work the problem of a spherical shell stability experiencing an axisymmetrical strain is considered. As distinct from traditional methods of account in the present work the exact equations of shell equilibrium are integrated. The comparative analysis of obtained outcomes with outcomes which are known in a mechanics of elastic systems is carried out.

Сыктывкарский университет

Поступила 11.11.2002