Об устойчивости упругих систем с неудерживающими связями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СИСТЕМ С НЕУДЕРЖИВАЮЩИМИ СВЯЗЯМИ

В. Ю. АНДРЮКОВА, В. Н. ТАРАСОВ

Отдел математики, Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар veran@list.ru, vntarasov@dm.komisc.ru

Рассматривается новый класс задач устойчивости упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения. В отличие от классической постановки, когда решение сводится к нахождению собственных значений линейных операторов, задачи, содержащие ограничения в виде неравенств, приводят к необходимости находить ”точки бифуркации” решений вариационных неравенств.

Ключевые слова: прямоугольная пластина, торообразная оболочка, кубические сплайны, односторонний контакт, метод конечных разностей, критическая сила, вариационная задача

V.YU. ANDRYUKOVA, V. N. TARASOV. STABILITY OF ELASTIC SYSTEMS WITH UNILATERAL CONSTRAINTS

New class of stability problem of elastic systems with unilateral constraints on the move is considered. In contrast to the classical case, when the solution is reduced to the eigenvalue problem of linear operators, problems containing inequality constraints, lead to the need to find ”bifurcation point” solutions of variational inequalities.

Key words: rectangular plate, toroidal shell, cubic splines, unilateral contact, finite difference method, critical force, variational problem

1. Введение

Решение классических задач на устойчивость упругих систем сводится к проблеме на собственные значения линейных операторов. В данной работе исследуется влияние односторонних ограничений на перемещения. В отличие от классического случая, наличие неудерживающих связей приводит к необходимости находить ’’точки бифуркации” решений вариационных задач, содержащих ограничения в виде неравенств. Подробно рассматриваются задачи устойчивости прямоугольных пластин и торообразной оболочки при односторонних ограничениях на перемещения. Для конечномерной аппроксимации используются кубические сплайны. В первой части работы решается задача устойчивости прямоугольной пластины, прогиб которой ограничен двумя жесткими ребрами так, что контакт между пластиной и ребрами является односторонним, при этом на двух кромках пластины выполняются граничные условия свободного края. Во второй части рассматривается осесимметричная задача устойчивости торообразной оболочки вращения с упругим наполнителем внутри, находящейся под действием внешнего нормального давления. Для вычисления работы внешних сил используется точная термодинамическая формула. Исследуется влияние нелинейных слагаемых, обусловленных односторонним контактом с упругим наполнителем, на величину критической силы.

2. Устойчивость прямоугольных пластин при односторонних ограничениях на перемещения

2.1. Постановка задачи

Пусть прямоугольная пластина нагружена по краям х = 0, х = а; 0 < у < Ь нормальными усилиями а. Обозначим через w(x,y), 0 < х < а, 0 < у < Ь прогиб пластины. Потенциальная энергия деформации пластины имеет вид [3]:

Б [а [ь

и= ^ ((△w)2 — (1 — V)Ь^^)) (1хЛу,

2 ,)о ,)о

(1)

где

д2х д2х

х = дХ2 + ~д^ ’

(д2т д2V ( д2х )2)

Ь<т,т) = 2^дХ2 • ду2 VдХдУ) )'

Работа внешних сил может быть вычислена по формуле [3]

1/<”° = 2 II а(дх)і1хі1у' (2)

Задача об устойчивости пластины сводится к отысканию сил а таких, что вариационная проблема

U — V ^ min

w

имеет нетривиальное решение.

Предположим теперь, что прогиб пластины может быть ограничен жесткими препятствиями так, что

Г w(x,yl) < 0, при х е [0,а], (.)

1 w(x, у2) > 0, при х е [0,а], ()

где у1, у2 - фиксированные переменные из (0, Ь). Функцию w будем аппроксимировать сплайнами [7]

w

n+2 m+2

где

(x, у) = ^ E WijBi (x) Bj (y), (5)

i=o j=o

x Є [0, l] , l = a, h = —, xi = ih, n

Bi(x) = B(x — (i — 3)h), i = 3..n — 1,

B(x) = 4F (6x+ — з (x — h)+ +(x — 2h)+ — — 2(x — 3h)+ + 6(x — 4h)+),

Bo(x) = 1 + h3 ( — 6x+ + 2 (x — h)+ —

— 2 (x — 2h)+ + 6 (x — 3h)+ ),

Bi(x) =x+h2 (—3 x++ 6(x—h)+—

— 3(x — 2h)+ + +6(x — 3h)+ ),

B2 (x) = 1 x2 + 1 ( — 11 x+ + 1 (x — h)+ —

(6)

— 4 (х — 2^)+ + 18 (х — 3^)+ ) ’

Бп(х) = В2 (I — х), Вп+1(х) = В1 (I — х),

Вп+2(х) = Во (I — х), х+ = max{0, х} = 2(|х| + х).

Меняя в определении сплайнов х на у, п на т и полагая I = Ь, получим В^(у). Подставляя (5) в

(1) и (2) получим две квадратичные формы соответственно

I(wгj) — 2 ^ ' ^^qгjkswгj'Шкв! (7)

Jij) — 2 ' ' ' Hijks^ij*-

i,j ks

g (wij)=2 EE rijkswij Wks.

i,j ks

(8)

Квадратичная функция f (wij) аппроксимирует упругую энергию пластины, д(wij) - работу внешних сил. Коэффициенты gijks, rijks есть интегралы по площади пластины от произведений Bi и их производных, в частности

р a п b

rijks = Bi (x)Bk (x)dx Bj (y)Bs(y)dy.

.! 0 J 0

Все эти интегралы могут быть вычислены аналитически с использованием системы MAPLE. Обозначим через f (wij) = 1/Df (wij) и g(wij) = 1/ag(wj).

Если положить

Wо,j = 0, W2,j = 0, Wn,j = 0, Wn+2,j = 0,

2 е [1 : т] , то при х = 0, х = а будут выполнены граничные условия шарнирного опирания:

( w(0, у) = w(a,y) = 0,

\ wжж(0, у) = wxx(a, у) = 0, 0 < у < Ь.

(9)

Если же положить

Wо,j = 0, Wlj = 0, Wn+1,j = 0, Wn+2,j = 0,

2 е [1 : т] , то при х = 0, х = а будут выполнены граничные условия жесткой заделки:

/ w(0, у) = w(a,y) = 0,

\ wx(0, у) = ь)х(а, у) = 0, 0 < у < Ь. ( )

Будем предполагать, что при у = 0, Ь выполнены граничные условия свободного края:

!82-ш(х,у) , _32т(х,у) _ п

—Щ2 + = 0,

+ (2 — V) =0, 0 < х < а.

ОХ3 ' ' ОХОУ2 ’ — —

(11)

Специально этим условиям удовлетворять не надо, так как коэффициенты wг,0, ь)г>1, ь)г>2, ьч>т+2, у)г,т, ь)г>т+1 находятся в результате решения задачи оптимизации. Граничные условия (11) являются “неудобными" в вычислительном отношении, так как они содержат производные третьего порядка.

Потребуем выполнение неравенств (4) в конечном числе точек:

w(xj,yi) К 0, —w(xj,y2) К 0,

1 1 3

xi = 1 a, x2 = 1 a, x3 = 33 a,

4^, ^2 2 ’

?l ___________2,

(12)

у1 = з Ь, у2 = з Ь.

Подставляя (5) в (12) получим систему линейных неравенств, которым должны удовлетворять коэффициенты wгj. Запишем эти неравенства в виде

б

Е^

k=i

bijk wij К 0*

(13)

Обозначим через Г конус, определяемый неравенствами <13). Таким образом, вместо (3)-(4) получаем задачу отыскания минимального числа X* такого, что задача нелинейного программирования

f (wij) — X*g(wij) ^ min

wij єг

(14)

имеет нетривиальное решение. Она сводится к проблеме идентификации условной положительной определенности квадратичных форм на конусах.

2.2. Об условной положительной определенности квадратичных форм на конусах

Рассмотрим задачу нелинейного программирования

/(и) = 2<Аи, и) ^ іпіп (15)

иєяп

при ограничениях

g(u) = ^(Qu,u) = 1,

(16)

(Ь], и) < 0, і Є I = 1

(17)

Здесь А - положительно определенная, Q - неотрицательно определенная квадратные матрицы порядка п, Ь2 е Яп. Пусть и* - решение задачи (15)-(17). По теореме Куна-Таккера найдутся множители Лагранжа ^ > 0, ^ е 1 : т и А* такие, что

Аи* — X*Qu* + ^ ?=1 Щ] Ь] д(и*) = 1,

Щ (Ь] ,и*) = 0-

0,

(18)

Определение 1. Точки и*, удовлетворяющие (18), будем называть стационарными.

Введем обозначение В (А) = А — АQ. Можно показать, что для любых А < А* (В(А)и, и) > 0, для всех и е Г, и, напротив, если А > А*, то найдется вектор и е Г такой, что (В(А)и, и) < 0. Очевидно также, что А* = /(и*). Таким образом, матрица В(А) при А < А* будет условно положительно определенной на конусе Г. Вопросы идентификации условной положительной определенности квадратичных форм на конусах рассматривались в работах [8], [9]. Там получены критерии условной положительной определенности квадратичных форм в важном частном случае, когда Г = {и е Яп \и^ > 0, ^ е 1 : п}. Их применение сводится к вычислению большого количества определителей (в общем случае 2п), и в этом отношении является крайне неэкономичным.

Сформулируем метод последовательных приближений для поиска стационарных точек. Пусть решение и0 е Г, д(и0) = 1 некоторое начальное приближение. Пусть уже получена точка ик е Г, д(ик) = 1. Обозначим

Гк = {и Є Г,\^ик, и — ик) Найдем точку ик Є Гк такую, что

0}. (19)

2

Далее полагаем

\(Аик,ик) = шіп 1(Аи,и).

ибГ}

2'

(20)

— 1'

ик+1 — 5 к ик, где 5к — л/д(ик) • (21)

Поскольку ик— решение задачи минимизации (20), то найдутся множители Лагранжа цк2 > 0 и Ак такие, что

Аик Хк Quk + ^jj=l Щк] Ь] (Quk, ик ик ) — 0,

Щк] (Ь],и) — 0-

0,

(22)

Можно показать, что последовательность {Ак} монотонно убывает, ограничена снизу, и любая предельная точка последовательности {ик} является стационарной. Обозначим предел последовательности {Ак} через А*.

Замечание 1. Предлагаемый метод является локальным, и он сходится к решению задачи (15)-(17), если удачно выбрано начальное приближение. После того, как получено А*, можно воспользоваться методом ветвей и границ [10] для проверки условной неотрицательной определенности матрицы А — А*Q на конусе Г. Обычно в реальных задачах матрица

A—А*Q имеет небольшое число отрицательных собственных чисел, а трудоемкость метода ветвей и границ в задачах невыпуклого квадратичного программирования оценивается числом отрицательных собственных чисел матрицы. Если же применять метод ветвей и границ непосредственно к задаче (15) -

(17), то объем вычислительной работы будет зависеть от размерности пространства переменных.

Замечание 2. На каждом шаге предлагаемого алгоритма требуется решать задачу минимизации выпуклой квадратичной функции при линейных ограничениях (задачу выпуклого квадратичного программирования). Последняя значительно проще исходной.

Замечание 3. Если I = т.е. Г = Яп и Q -

единичная матрица, то предлагаемый алгоритм превращается в известный метод Келлога для поиска минимального собственного числа матрицы А.

2.3. Обсуждение результатов

В табл. 1 приведены результаты вычислений значения критического параметра а* = Б-1 а при а = 1 для различных видов граничных условий: I -граничные условия шарнирного опирания (10), II -смешанные граничные условия, когда на левом крае х = 0 выполнены условия (9), на правом - условия жесткой заделки (10), III - граничные условия жесткой заделки (10), IV - при х = 0,а, 0 < у < Ь - граничные условия шарнирного опирания и при 0 < х < а, у = 0,Ь граничные условия свободного края. В двух последних строках таблицы представлены значения и* без ограничений на перемещения, вычисленные теоретически (предпоследняя строка) и методом, рассмотренным в п.2.2. (последняя строка).

Таблица 1

Значения критической силы а* при различных граничных условиях

Гран.усл. I II III IV

Ь = 1 21.95 32.21 51.49 8.98

Ь = 0.5 60.40 69.44 91.85 5.37

Теор. 1> гг к й 2п2 к к 19.74 4п2 к к 39.48 к7 4 .4 2 а

Прибл. 9.98 20.24 39.98 2.44

Из сравнения результатов 4 и 5 строки таблицы можно сделать вывод, что редукция вариационной задачи к задаче квадратичного программирования при помощи сплайнов является адекватной и достаточно точной. Так как при отсутствии ограничений на перемещения при граничных условиях свободного края при у = 0, Ь решение задачи w(x,y) не зависит от у (см. рисунок справа), то точные значения критических сил совпадают с эйлеровыми силами для стержней [3], и не зависят от Ь. При наличии односторонних ограничений на перемещения значения критических сил зависят от Ь. Влияние односторонних связей на перемещения (неравенства (4)) значительно повышает критическую нагрузку и может быть использовано для повышения несущей способности сжимаемых по кромкам пластин. Численные эксперименты показали, что выполнение ограничений (12) в нашем случае гарантируют выполнение неравенств (4). Различие в формах равновесия при наличии и отсут-

ствии ограничений на перемещения проиллюстрировано на рисунке.

Рис. Форма равновесия пластины после потери устойчивости при наличии односторонних ограничений на перемещения (слева) и без ограничений на перемещения (справа).

3. Устойчивость торообразной оболочки при одностороннем подкреплении

3.1. Определение упругой энергии и работы внешних сил

Предположим, что оболочка, срединную поверхность которой обозначим через Б, в результате деформации приобрела форму Б. Обозначим через д^, д^, %,з = 1, 2 коэффициенты первой и второй квадратичных форм недеформирован-ной и деформированной поверхности соответственно. Предполагается, что деформация является осесимметричной. Согласно [2] энергию деформации, связанную с переходом из состояния Б в состояние Б, можно вычислить по формуле:

и = J ! Ф1(£1,£2,К1,К2)й8, (23)

где

ф

Eh3

l =

24(1 - v2)

+

Eh

2(1 - v2)

(к2 + к2 + 2vKlK2) +

-(є2 + е\ + 2v^l^2),

Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона, и - экстремальные значения отношения

,2 = 1 — д*3 )ЛЩ(1Щ

,2=1 дгз

К1 и К2 - экстремальные значения отношения

, 2 = 1 (кгЗ — )Лщ(1и2

^y]i,j=l gij duiduj

(24)

(25)

В результате осесимметричной деформации поверхность S представляет собой поверхность вращения вокруг оси £ некоторой кривой y, расположенной в плоскости XOZ и задаваемой уравнениями x = ф(0), £ = ф(0). Точка (ф(0), 0, ф(0)) кривой y при повороте на угол Л переходит в точку (ф(0) cos Л, ^(#)sinЛ, ф(0)), тогда уравнения поверхности вращения будут иметь вид [1]

x = ф(0) cos А, y = ф(О) sin А, z = ф(0).

(26)

Рассмотрим задачу устойчивости тора, нагруженного внешним нормальным давлением. Тогда в (24) и (25) и1 = в - полярный угол в плоскости меридиана, и2 = А - угол в плоскости параллельного круга. Обозначим через w(в) и и(в) нормальное и касательное перемещения точек поверхности тора. Декартовы координаты точек торообразной поверхности до деформации будут определяться уравнениями

x = (R + a cos О) cos А, y = (R + a cos О) sin A, z = a sin 0, 0 < О < 2п, 0 ^ A < 2n,

(27)

т.е. для недеформированного тора ф = R + a cos 0, ф = a sin 0. После деформации уравнения поверхности будут иметь вид (26), где

ф(0) = R + (a + w(0)) cos О — u(0) sin О, ф(0) = (a + w(0)) sin О — u(0)cos0.

(28)

Будем исследовать потерю устойчивости в малом по осесимметричной форме, когда образующиеся выпучины имеют вид кольцевых складок в направлении координаты Л (перемещения не зависят от Л). Для поверхности вращения первая и вторая квадратичная формы поверхности записываются в виде [1]

I=

II

(ф'2 + ф'2) d02 + ^2dA2,

/ ф_ф -ф ф \

' V л/ф'2+Ф'2 )

d02 + _ фф , dA2. л/ф' 2+Ф'2

(29)

Для недеформированной поверхности:

Io = a2d02 + (R + a cos 0)2dA2,

IIo = ad02 + cos 0(R + a cos 0)dA2.

(30)

Используя формулы (24), (25), (27), (29), (30), можно получить выражения для деформаций ^2 и кривизн К1, К2. Квадратичные формы I и II в случае осесимметричной деформации имеют диагональный вид. Поэтому

£l ^2 = Kl = K2 =

/2 , і/2 2

ф + ф1 — a

ф2 — (R + a cos О)2 (R + a cos О)2 ,

ф Ф — ф ф 1

a?\/ ф '2 + ф '2 a,

ф Ф — cos 0(R + a cos 0)\/ф'2 + ф'2 cos2 0(R + a cos 0)2^ф'2 + ф'2

(31)

Для внешнего нормального давления в соответствии с теоремой Эйлера-Бернулли работа внешних сил равна

А = Р АУ,

где АУ - изменение объема оболочки в результате деформации. Как известно [6], объем тела, поверхность которого задается уравнениями х = х(0,Л), у = у(в,Л), х = х(6,Л), определяется (с точностью до знака) интегралом

2

U0 = Un+2, U1

Un+1, U2 = Un

det

<10йЛ. (32)

c2n r 2n x y z

xp yq zq x\ У\ ZX J В случае осесимметричной деформации определитель в (32) не зависит от Л. Используя формулы (26)-(28) объем оболочки после деформации можно вычислить по формуле:

J Ф2 (w, u, w , u^ d0, (33)

где

Ф2 = det \\aij || ,i,j G 1:3, элементы матрицы ||aj\\ имеют вид

ац = R + a cos 0 + w(0) cos 0 — u(0) sin 0, ai3 = a sin 0 + w(0) sin 0 + u(0) cos 0, a2i = —asin 0 + w (0) cos 0 — w(0) sin 0—

— u (0) sin 0 — u(0) cos 0, a23 = a cos 0 + w (0) sin 0 + w(0) cos 0+

+ u (0) cos 0 — u(0) sin 0, a32 = R + a cos 0 + w(0) cos 0 — u(0) sin 0, ai2 = 0, a22 = 0, a3i = 0, a33 = 0.

Предположим, что внутри оболочки находится упругий наполнитель, который работает как простое винклеровское основание с жесткостью C. Тогда полная энергия деформации будет иметь вид

J — Ji + J2 — P J3,

где

/*2П

Ji = 2п / Ф1 (ei,e2,Ki,n2)a(R + a cos 0)d0,

Jo

р2п с

J2 = 2n —w2a(R + a cos 0)d0, (34)

o2

J3 = AV

В устойчивом положении равновесия полная энергия принимает минимальное значение. Таким образом, приходим к вариационной задаче

J ^ min, (35)

w,u

где функции w, u удовлетворяют условиям периодичности.

3.2. Численный метод

Как и выше, перемещения w(0) и u(0) будем аппроксимировать сплайнами

n+2

w = Е wj Bj(0),

j=0

n+2

u = u

jj

j=o

Bj (0), (36)

где В2 (в) определяются формулами (6) с заменой х на в при а = 2п. Граничные условия периодичности будут выполнены, если положить

Введем вектор £ G R2n с компонентами:

£i = wo, £2 = wi, ..., Zn

wn-i,

£n+i — u0, Zn+2 — u1,

., Z2n — un— i •

(37)

Подставляя (36) в функционалы Л1,Л2,Л3, получим соответственно функции /1(г), /2(г), /3(г) и

/(г; Р) = /1 (г) + /2 (г) — Р/з(г).

Необходимое условие экстремума записывается в виде

д/ (г, Р)

dz

0.

(38)

Для решения задачи устойчивости оболочки требуется найти минимальное значение силы Р, при котором происходит бифуркация решения системы уравнений (38). Необходимое условие бифуркации заключается в том, что матрица вторых частных производных становится вырожденной, те.

det

d2f (z,P) dz2

0.

(39)

Введем в рассмотрение матрицы

G =

Q d2fi (0) Q d2f2 (0)

Qi = c..2 , Q2

d2f3 (0)

дг2 дг2 дг2

Тогда уравнение (39) означает, что система уравнений

Ql г + Q2г = цСг (40)

имеет нетривиальное решение, где ц = Р - обобщенное собственное число. Отметим, что

/2(г) = \^2г,г) .

Задача поиска обобщенного собственного числа для системы (40) может быть сформулирована в виде экстремальной проблемы

х(г) = 1^1г,г) + 1^2г,г) ^ ш1п (41)

при ограничениях

(42)

wo = wn+2, wi = — wn+i, w2

wn

В самом деле, применяя правило множителей Лагранжа к задаче (41)-(42), получим уравнение

(40).

Предположим, что оболочка может отходить от наполнителя при w > 0, те. сила реакции наполнителя имеет вид

C

Cw— = Cmin {0, w} = — — (|w| — w), (43)

а энергия, связанная с упругим наполнителем, вычисляется по формуле

р 2п

^i = п C (w—)2a(R + a cos 0)d0. (44)

o

Пусть у(0) 2п-периодическая функция, и определим функционал

,2^ —

/0 Т

Рассмотрим экстремальную задачу

/»2П С

Ф2 = 2п —у2(в)а(Я + а еоя 0)^0.

02

7 = J1 + Ф2 — Р/3 ^ шіп

при ограничениях

«(0) — т(0) < 0, «(0) < 0.

(46)

Ясно, что задача (45)-(46) эквивалентна задаче минимизации функционала

Ф = J1 + ф — PJ3.

(47)

Далее для исследования задачи (45) можно применить метод, описанный в параграфе 2.2.

При конечномерной аппроксимации функционала Ф1 вместо функции /2(г) получаем функцию

/2(г). Поэтому уравнение (40) не имеет места, ибо

матрица Q2 не существует Заметим, что /2(г) является положительно однородной функцией, те. для любого а > 0 следует /2(аг) = а2/2(г), поэтому в данном случае вместо задачи (41)-(42) получаем задачу минимизации функции

Ф(г) = 1 ^1г, г) + /2 (г) ^ ш1п (48)

при ограничениях (42). Функция Ф(г) является непрерывно дифференцируемой, но не имеет непрерывных вторых частных производных.

Для решения задач (41)-(42) применялся метод последовательных приближений [5]: пусть г0 -начальное приближение, причем £(г0) = 1. Пусть получена точка гк. Тогда 5к+1 есть решение задачи выпуклого программирования

Ф(г) ^ ш1п

при ограничениях

(Сгк, г) = (Сгк,гк) = 2.

Пусть ак = £ (гк+1). Тогда

1

хк+1

у/ ак

хк+1.

Можно показать, что любая предельная точка последовательности хк является стационарной, те. удовлетворяет правилу множителей Лагранжа

дФ= г

— щ^х*,

дх

(49)

где л - обобщенное собственное число и г* - собственный вектор.

3.3. Результаты численных эксперимен-

тов

В работе [3] на основании линейной теории тонких оболочек приведена формула критического нормального давления для торообразной оболочки:

фЕН

(50)

Ч

(45) где

Ф

+

а(1 — V2) ’

4к2 (и2 + 1-2' п2к2 + (1 + V)2к2 + (1 + V))

(4 + к2) (п4 (2 + к2) + (1 + V) к2п2)

+

2Ь2

(

п2 — 1 +

к2

3а2 (4 + к2)

+

п2 (2 + к2) + (1 + V) к2

Ь2к2

+

6а2 (4 + к2) ’

к = ^,п = 1,2, 3... и п выбирается из условия минимума ч в (50).

В табл.2 приведены значения критического параметра

-= ^ Р Ч 12(1 — V2)

и значения параметра q, вычисленные по формуле (49). Из табл.2 видно, что при используемой в работе аппроксимации наблюдается удовлетворительное совпадение с теоретическими результатами.

Таблица 2

Сравнение результатов с известными значениями критического давления

ь 0.346 0.346 0.346 0.489 0.489 0.489

и 20 15 15 10 15 20

а 5 5 4 2.5 5 5

Ч 0.012 0.017 0.021 0.036 0.014 0.022

Ч 0.012 0.012 0.019 0.037 0.017 0.017

В табл.3 введены следующие обозначения:

С - жесткость наполнителя, д* - значение критического параметра в случае жесткой связи с оболочкой упругого наполнителя (см. (34)), д* - значение критического параметра в случае, когда оболочка может отходить от наполнителя (см. (44)), д-значение критического параметра для оболочки без наполнителя

(С = 0).

Таблица 3

Значения критического давления для торообразной оболочки с упругим наполнителем внутри

ь 0.346 0.346 0.346 0.346 0.489 0.489

и 20 20 15 15 20 20

а 5 5 5 5 5 5

С 1 3 1 3 1 3

* Ч* 0.017 0.026 0.022 0.030 0.034 0.058

Ч* 0.015 0.021 0.021 0.026 0.029 0.041

Ч 0.013 0.013 0.017 0.017 0.017 0.017

Таким образом, учет условия “односторонности" контакта оболочки и наполнителя является

Ш и.и

2

п

2

необходимым при решении задачи на устойчивость. Отметим, что в работе использовалась точная нелинейная теория оболочек. На необходимость применения нелинейной теории оболочек при решении задач на устойчивость указывается в работе [4].

Литература

1. Погорелое А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974. 176 с.

2. Погорелое А.В. Геометрическая теория устойчивости оболочек. М.: Наука, 1966. 296 с.

3. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

4. Паймушин В.Н. Проблемы геометрической нелинейности и устойчивости в механике тонких оболочек и прямолинейных стержней // ПММ Т71. 2007. Вып.5. С.880 - 893.

5. Тарасое В.Н. Об устойчивости упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения // Труды Института математики и ме-

ханики. Российская академия наук. Уральское отделение. 2005. Т. 11. № 1. С. 177-188.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматгиз, 1963. Т. 3. 656 с.

7. Заеьялое Ю.С., Кеасое Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

8. Крепс В.Л. О квадратичных формах, неотрицательных на ортанте // ЖВМиМФ. 1984. Т. 24. № 4. С. 497-503.

9. Рапопорт Л.В. Устойчивость по Ляпунову и знакоопределенность квадратичной формы на конусе // ПММ. 1986. Т.50. Вып. 4. С.674-679.

10. Сухарее А.Г. Глобальный экстремум и методы его отыскания // Математические методы в исследовании операций. М.: Изд-во МГУ. 1983. С.22-37.

Статья поступила в редакцию 04.02.2013.