Некоторые задачи о течении жидкости в окрестности ядра спирального разрыва Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И

Том XV 1984

№ 5

УДК 532.527

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ В ОКРЕСТНОСТИ ЯДРА СПИРАЛЬНОГО РАЗРЫВА

А. М. Гайфуллин

В рамках идеальной жидкости исследована структура ядра спирального разрыва в осесимметричных автомодельных течениях и в плоских течениях, слабо отличающихся от автомодельных.

Под воздействием локализованного неаналитического возмущения поверхности тангенциального разрыва и свободные поверхности сворачиваются в спираль. Структура ядра таких вихреобразований включает диффундирующий с течением времени объемный вихрь [1]. В области, существенно большей, чем характерный размер вязкой зоны, задача о структуре ядра, щмеющего бесконечное число спиральных витков, описывается с помощью уравнений Эйлера.

Решение задачи об автомодельной плоской вихревой пелене получено в работах [2, 3], в которых показано, что ее форма различна в зависимости от показателя автомодельности п: логарифмическая при я<0,5 и алгебраическая при л>0,5.

Форма плоской спиральной свободной границы логарифмическая всюду, за исключением области —4,73-10“3<«<4,68-10'~3, где решения не существует [9].

Обычно исследуются плоские автомодельные поверхности разрыва. Однако этот, несомненно важный, класс не иcчepиывaet всего многообразия отрывных течений.

В данной работе исследуется структура ядра вихревой пелены в течениях, слабо отличающихся от автомодельных. На треугольном крыле малого удлинения это соответствует слабому изгибу оси вихревой пелены.

Исследуется также структура ядра вихревой пелены и свободной границы в осесимметричных автомодельных течениях. Проведено сравнение с плоским случаем.

1. Рассмотрим течение в окрестности оси спиральной вихревой пелены треугольного крыла малого удлинения. В этом случае применима теория плоских сечений.

Выберем криволинейную систему координат так, чтобы ось х совпадала с осью вихревой пелены, Г1 — расстояние до этой оси, 9 — полярный угол, отсчитываемый от плоскости крыла (рис. 1).

0 = 9, (г)

Рис. 1

Уравнение Лапласа в этих переменных имеет вид с)3 Ф -1 #

—2 (R — fi COS 6)2 4- — -jjp- (/? — Гг cos 0) (R — 2rx cos fl) +

1 д2 Ф 1 дФ „

+ ~ —ricos6)2 + 77 -30-(^ —/-1 COS 6) Sin e = 0, (1)

ri 1 где Ф — потенциал скорости, R—R(x)—радиус кривизны оси вихревой пелены.

Граничные условия задаются на пелене 0=0i*(/'i). Нормальная к пелене скорость жидкости v„ с обеих сторон равна скорости ее перемещения N:

v„ (o;)-«„(e; + 2*) = n. (2)

Кроме того, на вихревой пелене непрерывно давление

Ы = о. (3)

Квадратными скобками здесь и в дальнейшем обозначается разрыв соответствующей величины на линии 0=0i*(/'1), т. е.

[/] в; <ri) )-/(/•„ (г,)+2*).

Необходимо найти асимптотическое решение (/ч->-0, 0->-оо) уравнения (1) с граничными условиями (2) — (3).

Для решения задачи удобно ввести разные масштабы, оставив зависимость потенциала от неограниченной переменной 0 наряду с зависимостью от ограниченной

переменной т) = в — 6* (п), 0 < к) •< 2и

ф(г„ м, Я)«Ф*(/-„ 0, <, Я*), (4)

где R* — eR, е = l//?rain — малая величина, t — время.

Новая переменная г) введена только для более компактной записи условий на разрывах.

Предстааим потенциал скорости и уравнение пелены в виде асимптотического

ряда

Ф*(п. Ч. в, t, R*) = Ф*(г,, 1), 0, 0 + е®2 (/"х, Ч, 0, t, R*) + О (sJ), (5)

0* (п, t, R*) = 0! (/■„ t) + S02 [ru t, R*) + О («»). (6)

Главные члены уравнений (5) — (6) не зависят от R* и являются решением автомодельной задачи:

Ф*=а»*р,(г, 1], 0),

‘ (7)

1=1

(в)

* = 1

где г1 = Ыг, а— постоянная, определяющая кинематическую размерность задачи. Коэффициенты уравнений (7) и (8) связаны соотношением

п дАч

Ао= — а\; -щ- = — а,;. .. (9)

Отклонение от автомодельности описывается уравнением для соответствующих членов разложений (5) — (6):

Й2ф!

2

_L 4- J_ (ГЁ21 дК ik'lcosO —sin6 1

г дг г2 д0* R* IV дг дт\ дг I дб г )

дг2 г дг г2 д0* R* U дг ду дг -

Граничные условия (2) и (3) для второго приближения линейны:

дв2 I dft d(ft ddt \ 1 \ 1 д?х двг

дг V дг дч дг / 1 дг \ cb) дг “«a21 дг I г2 дт] ^

1 дв2 + Г2 ait <?0 — dt ’

к, dr Ійтг]

r +

dft

dr

dfL авії _j_ Г ^ ^ _______________________

di\ dr / ^ a21 I/ dt dr \ dr di) dr

(d^L_d<f1 двЛ , J_ ?9i дФ* ]

\ dr dii dr) ' r2 dri дії J

(12)

Решение ищем в виде регулярного ряда по степеням г:

СО

Ф*2=Х {В[ (1), t, R*) cos Є + Cl (Г|, t, R*) sin 0} rl+2 , і =0

! = 2 tM*. C0S 6‘ + ЬН ('• Л*) 8ІП 6>f Г‘ -

1 = 1

Подставляя в (10) — (12), получаем

Bq = 0; Со :

dBt dij

2Co

ai

b\i = 2 6ц =

а? (2

'■ Iа1>

зс0

*1 = "«Г ’

ЧаЬ

к* ■

2. Рассмотрим осесимметричное автомодельное течение. Центр спирали, в окрестности которого ищем решение, поместим в начало полярных координат г и 0 (рис. 2). Тогда

«(/-!. 6, в), (13)

где Гх = аЛП Г, 0 < ^ < со .

Автомодельное решение (13) при п<0,5 нереально, так как в начальный момент времени <=0 циркуляция равна бесконечности. Поэтому Прандтль [3] в этом случае рассмотрел автомодельное течение с «отрицательным временем» (—оо<7<0):

Ф (п, в, о = «* (_ г?п~' ч (Г, в), 1 г, = «(-*)" г. }

В данной постановке решение задачи (2.2) получается из решения (2.1) с помощью формальной замены /-»—<р-»-—ф. Поэтому представление (13) можно рассматривать во всем диапазоне изменения параметра п.

Безразмерный потенциал ср (г, 0) удовлетворяет уравнению Лапласа

д3 9 1 df 1 d2« 1 / d<f dv cos 6

—— +----------- 4----------+------------------- — sin 6 + —!L---------

dr2 r dr г2 Й02 R0 + r sin 0 \ dr d0 r

• безразмерное расстояние от оси течения до начала координат.

= 0,

где #0 -

Граничные условия задаются на вихревой пелене 0=01(г) аналогично (2)-

dвl / d<o\ г2~ г- — дг V

dr

!(>» -DM- Ц£}+ [(£)'] + 7г[(^-)!] - о-

(15)

-(3):

(16)

Свободная граница состоит из двух спиралей 0 = 01 (г) и 0 = 02(/). Нормальная к свободной границе скорость жидкости также равна скорости перемещения свободной границы

дб] 2 ( с*? \ сЬ

Га ~дг~ \пг~!)г) + Ж = 0 (17)

е1. 2 / *Г\

dr[nr-w)

при 6 = 6, 2(г).

На свободной границе давление постоянно. Воспользовавшись интегралом Бернулли для’ нестационарных течений, положим, не теряя общности, входящую в него постоянную равной нулю:

ду(г, 0! 2) 0, 2)\2 1 /dtp (г, 0j 2)\2

2(2я-1)у(г, 6иа)-2пг ' +(-'дг ’ ') +7?(—-Ж' =0. (18)

Как и в задаче с треугольным крылом, введем разные масштабы

? (г, 0) = 91 (г, ■»), 0).

Для показателя а в т ом од ел ьн ости /г >0,5 решение в окрестности центра вихревой

пелены ищем в виде неявной функции, представляющей собой ряд по степеням г:

00 00 1

Ь (г, ч, 0) = ^ X X (’)) ^2+‘ЧА (/_2) С05Ш 9 в- (19>

/=0 i «О тп— О

со со i

9i (г) = а0 + *о,о 1п г + X X X ГГ кГ- П r‘+k U~l) С°%т 01 Sin<_,n 0“ (20)

у=0 «=0 т=0 2 '

^ = „ > ^ооо = „Ало= — &<х»я;.... (21)

Подставляя разложение (19)—(20) в уравнения (15)—(16), находим, что . л _ ^ооо”2

> ■'ЧЮО Л / . ч

п 2 (и— 1)

JL

/?о ’

*000

*100— *101 — *110 = 26] 11 =

Аоо — Aoi = Аю = Ап — —

(22)

Особого рассмотрения заслуживает течение с п—\. В этом случае разложение (20) начинается с члена Лооо1пг, при остальных п — с члена А0оог2~2к. Вместо соотношения (21) имеем

k—\\ у40оо = *ооо > Апо = — *ооо ••• •

Радиальная скорость при п= 1 пропорциональна расстоянию от центра спирали, а окружная скорость стремится к постоянной величине.

Предел Ro = oo соответствует плоскому решению. В этом случае все коэффициенты при тригонометрических функциях обращаются в нуль, что не совпадает с

формулой, приведенной в [4, 5].

3. В область п<0,5 разложение (19) — (20) непродолжимо, так как циркуляция, как уже отмечалось, принимает бесконечное значение. Исключение составляет частный вид этого разложения:

00 '+1 а- )

0! = а0 In г 4- 52 52 —r‘+1 cosm 9i sin!-m 0^

i=0 m=1 I

(23)

OO I ' '

<pi (r, n, 0) = 5152Aim w r‘+2 cosm 6 sin'-m e-

i =0 m= 0 j

Для главных членов решение совпадает с решением для плоского случая [6]:

Аю = — ехр (Хао.к)) {с, cos Air) + c2sin Х?)}; 1

1 _sin2 | (24)

п ~ а0 X а0 sin (2лХ.) — sh (2яХа0) ’ )

где Х = 2/(1 4-eg).

Функции Аю 'и Ац удовлетворяют системе линейных уравнений, получаемых из (15):

Аю (1 + яо)—=/](■»), £ц /?0), 1 ^

1 ~Ь ао) — 5ао + 5Лл + 2^ю = /г (’*1» ам ^о> аи ^?о)- }

Две постоянные вю и ац, определяющие коэффициенты при главных тригонометрических членах, и четыре констанггы, входящие в Лю и Ац и определяющие решение системы (25), находятся из граничных условий отдельно для синусоидальных и косинусоидальных членов.

Следовательно', шесть граничных условий, которые не выписаны ввиду их громоздкости, определяют шесть неизвестных постоянных.

Зависимость аю#о от п приведена на рис. 3. На рис. 4 показана та же зависимость в окрестности п=0 в растянутом масштабе. Следует отметить, что в трех точках («!«—4,8-10~3; пг=—3-10~3; л3«0,27) вю, а следовательно, и ац обращаются в бесконечность. В точке —4,75-10-8 функция терпит разрыв.

Для объяснения поведения функции аю необходимо рассмотреть поле траекторий жидких частиц. Плоская задача, в зависимости от показателя автомодельности п, имеет четыре топологически различающихся типа течения [6]. Осесимметричность, по-видимому, вносит дополнительные качественные различия в топологию течения. Какое из решений реализуется в действительности, можно определить либо с помощью численного расчета полной задачи, либо с помощью эксперимента. В окрестности особых точек разложение (23)—(24) не применимо.

Величины а10 и ац обратно пропорциональны Яо. Решение Прандтля соответствует Яо = °°, т. е. плоскому случаю.

4. Предельной формой автомодельности является течение с показателем автомодельности я=0,5. В этом случае А. А. Никольский предположил, что витки плоской спирали освобождаются от завихренности, которая сосредоточена в центре спирали, т. е. вихревая пелена может быть заменена точечным вихрем [7]. Этот результат был численно проверен в работе [8].

а!0 Я-0 *10*0

0,5 1 | 1 | | | 0,25 ■—г- 1 *

0,4 -0,2 0 0,2 х) 7' '! |У 0 0,0025 71

-0,5 -0,21

-1,0 -0,50

Рис. 3 ‘ Рис. 4

д___«Ученые записки» № 5 129

Справедливость этого утверждения можно доказать, используя разложение (19) — (20) для плоской пелены.

Анализ показывает, что в этом случае потенциал представляется в виде

что и соответствует точечному вихрю, так как при любом г разрыва скоростей нет, а циркуляция постоянна.

В осесимметричном случае сосредоточения завихренности в центре спирали не происходит.

5. Решение в окрестности центра спиральной свободной границы ищем в виде регулярного ряда по степеням г:

Подставив это разложение в уравнения (15), (17)—(18), получаем в первом приближении решение для плоской свободной поверхности [9]:

где 0о — угол между спиралями.

Верхние знаки в последнем соотношении соответствуют четным значениям числа е, нижние — нечетным.

Функции Лю и Ац удовлетворяют системе линейных уравнений

Четыре постоянные ащ и четыре константы, входящие в Аю и Ац, находятся из граничных условий (17) — (18) отдельно для синусоидальных и косинусоидальных членов. Следовательно, восемь граничных условий определяют восемь неизвестных постоянных.

Автор выражает благодарность С. К. Бетяеву за постановку задачи и постоянное внимание к данной работе.

1. Hall M. G. Vorten breakdown. Annual Review of Fluid Mech., 1972, vol. 4.

2. M a n g 1 e r K. W., Weber J. The blow field near the centre of a rolled—up vortex sheet. — J. Fluid Mech., 1967, vol. 30, part. 1.

3. Prandtle L. Dber die Entsteftung von Wirbeln in der idealen Flussigkeit, mit Anwendung auf dig Tragflugeltheorie und andere Aufga-ben. — Vortrage aus Hydro- und Aerodynamik, Berlin, 1924.

(г> 71> в) = Лт г 3 + А)Ю(1]) + Л020 Г® + Л030 г* + .. ,

где все Ао г о за исключением Лот не зависят от Т|.

Используя соотношение (21),

Аио = — 2&ооо >

(26)

получаем

[?i] “ Иою] — — 46ооо л,

СО І

<Pl (г, ъ в) = 52 X А‘т И) r‘+2 cos'" 6 sin‘ т в.

і-0 т =0

(27)

~ І+1 а.

і =0 т =0

Лоо = — ехр (Хйо •»]) {Єї cos Ъ) + е2 sin Ь]},

Л10 (1 + ад) — 5а0 Лш + 5Л10 2Лц — /х (?[, /?0);

^11 (1 + ао) — ®во -Ац + 5Ли + 2Л10=/з (і), ащ /?0); (і = 1, 2; j = 0, 1).

(28)

ЛИТЕРАТУРА

4. S tni t h ,J. H. B. • Theoretical work on the formation of vortex-sheete. — Pfog; Aeronaut. S<*f, 1966, vbl. 7.

.. 5.'S"fflГОі~Л'.'НГ'ВГ'Шрг6уе8"мтаіШдгіі5' of Iea3mg:edge separation’

from slender, thin, delta wings.—^Proc.; Roy. Soc. (London), 1968, Д/.306,- ■

6. A 1 e x a n d e r R. C. Family of similarity flous with vortex sheets. The Rhysics of Fluids, 1971, vol. 14, N 2.

7. Никольский А. А. О «второй» форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых потоков).— ДАН СССР, т. 116, № 2.

8. Судаков Г. Г. Расчет некоторых автомодельных трехмерных отрывных течений. — Ученые записки ЦАГИ, 1975, т. VI, № 2.

9. Б е т я е в С. К., Г а й ф у л л и н А. М. Крупномасштабная структура ядра спирального разрыва в жидкости. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1982, № 5.

,; Рркоуись поступила 14/VIII 1982