Течение идеальной жидкости в ядре вихревой пелены Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVI 1985

УДК 532.527

ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В ЯДРЕ ВИХРЕВОЙ ПЕЛЕНЫ

А. М. Гайфуллин

Рассмотрено трехмерное отрывное обтекание крыльев, изогнутых по степенному закону и имеющих степенную форму в плане. Получено асимптотическое решение задачи об определении поля течения идеальной жидкости в ядре вихревой пелены.

При больших числах Рейнольдса (^е) в окрестности передних кромок тонких крыльев, установленных под углом атаки к набегающему потоку, происходит отрыв пограничного слоя. При Ие->оо оторвавшийся пограничный слой вырождается в вихревую пелену, свободный конец которой обычно свернут в спиралевидную поверхность. Действие сил вязкости локализовано в тонких пограничных слоях и слоях смешения. В масштабах, больших, чем характерный размер вязкой области, структура ядра описывается с помощью уравнений Эйлера. Как показали исследования, скорость в окрестности центра спирального вихреобразова-ния может заметно отличаться от скорости набегающего потока [1]. Решение уравнений Эйлера в этих случаях должно иметь особенность на центральной линии вихревой пелены. Обычно применяемая теория плоских сечений, позволяющая свести трехмерную стационарную задачу к плоской нестационарной, в окрестности этой особенности не справедлива.

Известно лишь одно аналитическое решение с особенностью на центральной линии вихревой пелены [2]. Оно основано на дополнительном предположении о коничности течения в области сильных возмущений, что справедливо только для треугольного крыла.

В настоящей работе в рамках модели идеальной жидкости исследован более широкий класс крыльев, а именно крыльев, изогнутых по степенному закону и имеющих степенную форму в плане [3, 4]. В зависимости от формы крыла получено асимптотическое поведение скоростей в окрестности центра спирального вихреобразования.

Интерес к исследованию структуры ядра спирального разрыва связан с необходимостью выяснения физических причин «взрыва» ядра вихревой пелены и построения математического описания этого явления.

1. Поделим все величины, имеющие размерность длины, на некоторую единичную длину, а скорости —на скорость набегающего

потока. Рассмотрим крыло образованное прямолинейными отрезками, параллельными оси Огх (рис. 1). Пусть длина этих отрезков меняется по закону I (х{) = є а , х", а само крыло изогнуто по закону Уі = — *ЬуХ\, где ах и ¿»і — некоторые положительные константы, 0,5<;л<оо. С острых кромок крыла будут сходить вихревые пелены, центры которых имеют координаты уг = — гЬхЧ, гі = +гах1, где а и Ь — константы, зависящие от ах и Ьх [3].

В дальнейшем будем следить только за вихревой пеленой с координатами центра ух = — еЬх\, г1 = гах".

Так как уг и расширяются по одному и тому же закону, то поворот декартовой системы координат на угол х = arctg —

ь

Х = Хх ,

V =Ух СОЭХ —2! 8ІП X ,

г—у, віпх + созх

переведет центральную линию вихревой пелены в плоскость 2 = 0: у = — з с хп, г — 0, с — (а2 + Ь2)у2.

Всю область течения в окрестности ядра вихревой пелены можно разбить на две области: область малых возмущений (область ¿і), в которой возмущенные скорости малы по сравнению со скоростью набегающего потока, и область больших возмущений (область Ь2) (рис. 2).

Выберем следующую систему криволинейных ортогональных координат. Обозначим через 5 длину дуги, взятую вдоль центральной линии вихревой пелены. Восстановим из каждой точки этой дуги нормали и обозначим расстояние вдоль них от дуги через а. В новых переменных уравнение Лапласа будет иметь вид

Я> = 1+-7?7» Нг~Нг=\,

р (5) )

где ф(5, а, г) — потенциал скорости; р(5) —радиус кривизны; Ни Я2 и Из — параметры Ламэ.

Раскроем выражение (1.1):

Vss + ?« + 9”+~ + (2 — ~ ^ } X

Х[ 1 + ° (yj + o^J^0-

(1.2)

Если вместо независимых переменных S, а, -г ввести новые независимые переменные 5, г, 0, где a = r cos 0, z=rsin0, то уравнение (1.2) примет вид:

{ 9ss + tPrr + -J-?, + -^-?98 + y [ ¥rcos6 +

+ (2 — п) fs -j cos 0 — -у a>e sin 6 J J X

X[ 1 + 0 ^ + 0(e)] = 0 . (1.3)

2. Рассмотрим сначала решение задачи в области Lь В главном приближении (г/р<1)

+ ?гг+— <РН—г ?ве = 0.

° г г2

Представим потенциал скорости в виде ряда

ср (5, г, 6) = 5 + в* 52"-1 (Ч> 6) + в* 54”-3 ?2'(т1, 9) + .

где 7) = г/г 5".

Введем обозначения

И = ¥* = 1 + $2 $'2п~2 «1 (71. е) + г* 54,1-4 и2 О»]. 9) + • • •

V = уг~е 8п~у (т), б) + г3 53п_3 г/2 ("Ч. ®) + ■ • • ;

1

11) =----- Ф

(2.1)

(2.2)

(2.3)

= г 5”-1 гг»! (?), 0) 4- г3 53л-з 0) —(— . . .

!

Уравнение (2.1) удовлетворяется автоматически, если ввести две функции <1*1(5, г, 0) и ф2(5, г, 0) следующим образом [2]:

иГ — ^хьЬг — ^1гЪ<> ,

= ^ 15ф2в —1»ифа5, . (2.4)

^ = Ц^1 г ^2 5 — '>1 5 'Ь Г • .

Из (2.3) и (2.4) следует

* А + ^_±и<в0, г = 1, 2,

\ а5 1 дг г дЬ/

Т. е. ЧТО И 1)32 постоянны вдоль линий тока.

Существует определенный произвол в выборе функций г|з1 и г|32. Положим

Ф, = г2 S2nfl (% 0) + в4 S4n~2f2 (7], 0) , Ь — g(fi, е) •

(2.5)

В этом случае §(т], 0) = const представляет собой уравнение вихревой пелены в плоскости 5 = const. Будем решать задачу (2.1) — (2.5) последовательно: сначала для первых членов разложения, затем для вторых и т. д.

Подставляя (2.5) в (2.4), получаем

"Ч — fl в gV; f\ 1j ge , vx t\ = (2nfx — n v^)g-9 + n y\fi в gn Л (2.6)

w1 = — 2nfxgri .

Введем новые независимые переменные S, rj, g так, чтобы 0 = 0(r],g) при g = 0 и g = g!l! представляло уравнение вихревой пелены в плоскости 5 = const. Переход осуществляется по формуле

д 1 д

дЬ

Jg

dg '

д __а_____д

д-ц д-ri 6g. dg

В новых переменных уравнение (2.6) примет вид

'Ч= ' Ап !

bgv1ri = 2nfl — nt\fu; В w1 = 2п /, 0,, .

(2.7)

Кроме того, из уравнения (2.3)

^1 = ®1 7J — 1

в*Т]

£ >

ill

?1

(2.8)

Граничные условия ставятся на вихревой пелене. Из условия равенства давлений

(2« — 1) < Ь > + 2я* < (1 + ^ 0t) > = 0 ,

П_

(2.9)

где < > означает разрыв функции при переходе через спираль.

Представим функции 0 (т), g), ^ (*1, g), /г (у, g) в виде ряда по [5]:

6 = ео £) 7>~1,п + е1 (71. g) + 02 Сч. g) 7)1/" + • • •; |

?1 = ¥1,о (*1, g)r¡2-2/" + <í>l,l(r¡, g) Т}2-1'" + ?1.2 (ъ g)1)2 + • | (2-10)

А = Ло (ч. g) V Л-Ал Сч. £) ■ч2+1/" +Ал С7!, g) 'Ч2+2/" • )

Кроме граничного условия (2.9), необходимо еще поставить геометрическое граничное условие на функцию 0 (г^, :

воСч. g) = %Ыш, е1 К 0) — е1 Сч, 5‘*) = 2тс ; [ (2л1)

ьп (*1> 0) = е« Сч, £*)•

Подставляя разложение (2.10) в уравнения (2.7), (2.8) и граничные условия (2.10), (2.12), получаем выражения для 0О, 01 и скоростей (система уравнений не выписана ввиду громоздкости):

Радиальная скорость определяется из уравнения неразрывности

Аналогично находятся и последующие члены разложений (2.3):

Выражения (2.12) — (2.14) указывают на то, что при 1<я<оо и т)-»-0 окружная и радиальная скорости стремятся к нулю, а осевая — к единице, т. е. решение (2.12) — (2.14) не особое, и поэтому его можно распространить на всю область течения в окрестности ядра вихревой пелены (область Ь& отсутствует). При 0,5<п<1 и г)->0 скорости и и ии представляются в виде расходящегося ряда (2.3), (2.12), (2.14), причем каждый последующий член ряда имеет большую особенность, чем предыдущий. В этом случае необходимо рассмотреть течение жидкости в области ¿2.

3. Итак, совершив сначала асимптотическое разложение по е, а затем по т], получаем решение в области Ьи Анализ показывает, что это двухпараметрическое разложение допускает свертку. Действительно, все I члены док и ик скоростей можно просуммировать:

е0 = сопз1, 0, = — 2л#/£* ;

Щ = ®>1,1 + 2 + ■ • • = 60— (2« — 1) 01 е у) + . . . ;

= «1, 1 + «1. 2 + . . . = ----------------------— 00 Ч2 2/” +

2(1 - и)

(2.12)

л (2л —1)

(2.13)

V

8,

г0

?е>2 = ^2, 1 + ^2, 2 + • • • = —------------------— 00 7]3-3/л —

2(1 - л)

(2.14)

оо

е*£<2*-1)(л-1) л = г\/п _|_ г2Щ^1г2-21пу1(\-п) .

2 £* 5<2А_1) (л_1) 2 (2« - 1) (1 + е2/л 00 г2-2/«)2'1 -») х

ОО

£(24-1) (л-1) г .

13

о© 2/1—1

и* = 1 + £ е2* Я**«-») ик,! = (1 + е2/" 0^ Г2-2'" )21^ ,

А=1

со

и2 = 2 е“ 52А (»- » и*, 2 = (2л - 1) г’/« 60 X й= 1

4л-3

X (1 + ®2/" 0о г2"‘2/п )2 (1_ п) (й - ^) 018 г2~1/п /5 ;

со

и;=2е2* 52й<л-1> и*,, .

А = 1

Тогда

иг; = гг»* = гг»^ + г + • • • ;

и == и* = и!" + «2 4- «* + . . . •

При О ,5<я<1 и г-*-0 особыми являются только те»* и и’. Непосредственной проверкой можно показать, что выражения (3.1) и (3.2) будут решением поставленной задачи в области Ь2. Кроме того, так как эти

выражения получены из соотношений (2.12) — (2.14), то они верны так-

же в области Ьх.

Таким образом, ряд (3.2) является композитным решением задачи, пригодным как для области Ьи так и для области Ь2.

Радиальная скорость находится из уравнения неразрывности

^ = ^ = -у) 01г• (3-3)

Возмущенные скорости при 0,5<я<1 становятся сравнивыми со скоростью набегающего потока (размер области ¿2) на масштабах 1

г =* О (е1-л).

Совершим в формулах (3.1), (3.2) предельный переход (г-*-0) при 0,5<л< 1

2л-1 2л—1 1 л

И гп (1—л) 0^1—л г—2+1/л ^ £1—л 01-л /•—1 _ (3.4)

Выражение (3.4) указывает на то, что центральной окрестностью вихревой пелены является вихревое образование с интенсивностью Го,

1 П

равной 2л 51_п 601-п .

4. До сих пор решение задачи (1.3) с соответствующими граничными условиями искалось только в главном приближении. Найдем, какой вклад в решение вносит учет кривизны центральной линии вихревой поверхности.

Представим скорости в виде

и = м* + и0 (р), V = V* + (р), и» = (р), (4.1)

)

(3.2)

где

(4-2)

Подставляя (1.1) и (4.2) в (1.3) и учитывая условие равенства давлений на разных берегах вихревой пелены, получим

Сравнивая скорости (4.3) с соответствующими скоростями (3.1) — (3.3), находим, что влияние кривизны на главные разрывные члены в

14-п

скоростях существенно только на масштабах г = О (в1-”).

1. Hall М. G. A theory for the core of a leading — edge vortex. — J. Fluid Mech., 1961, vol. 11, part 2.

2. M a n g 1 e r K. W., Weber J. The flow bield near the centre of a rolled-up vortex sheet.— J. Fluid Mech., 1967, vol. 30, part 1.

3. Никольский А. А., Бетяев С. К., Малышев И. П. О предельной форме отрывного автомодельного течения идеальной жидкости.— В кн.: Проблемы прикладной математики и механики. — М.: Наука,

4. С у д а к о в Г. Г. Расчет некоторых автомодельных отрывных течений.— Ученые записки ЦАГИ, 1975, т. VI, № 2.

5. Б е т я е в С. К., Г а й ф у л л и н А. М. Крупномасштабная структура ядра спирального разрыва в жидкости. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1982, № 5.

wi sx — г (1 + e2in 0Q г2-2/я)~1 sin 0 ;

Р

и°г да—е1'" 0О г1_1/п Wi ;

(4.3)

л W,

— ПГ---------------- 7]1/п sin 0 .

ЛИТЕРАТУРА

1971.

Рукопись поступила 7/VI 1984 г.