CC BY
24
Вестник МГТУ, том 16, № 4, 2013 г.
стр. 789-792
УДК 622.831
Некоторые возможные варианты эволюции двухпараметрической динамической системы
С.Н. Савченко
Горный институт КНЦ РАН
Аннотация. Рассмотрена взаимосвязь двух ведущих параметров динамической системы в процессе её эволюции. Получено решение однородной системы дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями для нескольких частных случаев изменяющихся во времени коэффициентов системы уравнений. Дана физическая трактовка рассматриваемых примеров. Установлено, что характер изменения ведущих параметров динамической системы зависит от вида функций-коэффициентов, входящих в систему дифференциальных уравнений. Если одна из функций пропорциональна другой, то наблюдается согласованное изменение ведущих параметров во времени. Если функции различны, то возможно как согласованное, так и несогласованное изменение параметров динамической системы.
Abstract. Interrelation of two leading parameters of a dynamic system in evolution has been considered. Homogeneous system of first-order differential equations with two unknown functions has been solved for some special cases of time-varying equation coefficients. Physical interpretation of the examples considered has been presented. It has been determined that a character of change for the leading parameters of the dynamic system depends on a type of functions-coefficients composing the differential equation system. If one function is proportional to another one, a concerted change of the leading parameters in time is observed. If the functions are different, both concerted and non-concerted change of the dynamic system parameters is possible.
Ключевые слова: система дифференциальных уравнений, параметры динамической системы, геологическая среда, энергия деформирования
Key words: system of differential equations, dynamic system parameters, geological environment, strain energy
1. Введение
В работах (Мельников и др., 2001; 2008; Савченко, 2008) исследованы вопросы эволюции динамических систем, где рассмотрены системы с одним управляющим параметром. Процессы, происходящие в природе, природно-технических системах, финансовой и социальной сферах деятельности зависят от множества факторов, которые каким-то образом взаимодействуют друг с другом и влияют на общую картину развития рассматриваемого явления - эволюцию динамической системы. Из всего множества факторов можно выделить несколько, так называемых ведущих параметров. Нас будут интересовать системы с двумя ведущими параметрами, которые можно трактовать как две взаимные противоположности явления: порядок и хаос, добро и зло, накопление энергии и её диссипация и т.д.
2. Постановка и решение задачи
С математической точки зрения такие динамические системы независимо от их природы могут быть описаны системой дифференциальных уравнений:
dN/ dt = cp\(t)N + cp2(t)S + f\(t, N, S);
dS / dt = p(t)N + p4(t)S + f2(t, N, S), (1)
где N и S - ведущие параметры, t - время, p - некоторые, вообще говоря, известные функции. Если в (1) функции f1(t, N, S) и f2(t, N, S) тождественно равны нулю, то такая динамическая система называется самоорганизующейся.
Относительно геологической среды будем трактовать параметр N как накопление энергии деформирования, а параметр S - как её диссипацию. Тогда разность этих параметров (N - S) будет характеризовать полную энергию системы. Очевидно, что скорости изменения во времени и того, и другого параметров самоорганизующейся системы зависят от величины полной энергии. В соответствие с этим частный вид системы уравнений (1) можно представить следующим образом:
dN / dt = p(t) (N - S);
dN / dt = p2(t) (N - S). (2)
Более того, предположим, что скорость диссипации энергии составляет некоторую постоянную часть, зависящую от скорости накопления полной энергии в любой момент времени, т.е. p2(t) = (1/n)p(t). Тогда (2) принимает вид:
789
Савченко С.Н. Некоторые возможные варианты эволюции...
dN
dt
p(t )(N - S)
> .
dS=m.( n - s )
dt n
Вычитая из первого уравнения (3) второе, получаем:
d (N - S) _ n-1 dt n
cp(t)(N - S)
Отсюда после интегрирования имеем:
N - S = (N
So)exp
——1 [ p(t)dt , n J
(3)
(4)
(5)
где N0 и S0 - значения параметров в начальный момент времени t = 0. Подставив (5) в первое и второе уравнения (3), после интегрирования получим решение системы (3) в виде:
N = (No - So)jp(t)
exp
n -1
n
I p(t)dt
dt
S = -1 (No - So) I p(t) exp n—11 p(t)dt
n
dt
(6)
Рассмотрим несколько примеров эволюции динамической системы для различных функций pt), полагая n = 10.
Пример 1. Пусть pt) = 1/t2, N0 = 1, S0 = 0.1 условных единиц. С учётом этого из (6) имеем:
N = exp(-o.9/1); S = o.1N . (7)
На рис. 1 приведены графики изменения параметров N и S , а также (N - S) для этого случая.
Здесь приведён пример системы, энергия которой в течение некоторого времени нарастает, а затем стабилизируется на определённом уровне. Такая ситуация в геологической среде может наблюдаться, например, при ведении горных работ с последующей остановкой их и консервацией рудника.
Пример 2. Полагаем p(t) = cos2 t при тех же начальных условиях. В этом случае решение (6) представляется в виде:
N = exp
o.9l
t sin2t 2+ 4
S = o.1N
(8)
На рис. 2 показаны графики изменения соответствующих параметров.
Здесь наблюдается система с неуклонным нарастанием полной энергии. При этом в некоторые моменты времени скорость нарастания параметров и полной энергии замедляется, но в конечном итоге система приходит в критическое состояние. Например, при циклическом ведении горных работ с некоторыми периодами "затишья" энергия деформирования массива то возрастает, то несколько замедляется, но при дальнейшем ведении горных работ может произойти горный удар, или техногенное землетрясение. Изменение порядка ведения горных работ с целью предотвращения катастрофы с математической точки зрения означает изменение вида функции p(t).
Пример 3. Рассмотрим случай динамической системы с обострением. Пусть ppt) = 1/(t0 - t), где t0 - время обострения, которое для конкретности расчётов полагаем равным 5 условным единицам. Выполнив расчёты по формулам (6) при прежних начальных условиях, получим:
N =
5
0.9
5 -1
S = 0.1N.
(9)
На рис. 3 приведены графики зависимостей (9) и величины (N - S).
Отсюда видно, что при t ~^t0 = 5 и слева, и справа скорости роста параметров системы стремятся к бесконечности. В первом случае (при стремлении слева) происходит рост параметров, а после времени обострения - снижение. Такая ситуация в массиве горных пород может наблюдаться в некотором объёме, например, в окрестности трещин при разрушении барьера, разделяющего их.
Пример 4. Полагаем ppt) = tg t. Из (6) при тех же начальных значениях параметров получаем:
N = l/(cost)0 9 ; S = o.1N . (10)
Рис. 4 иллюстрирует характер изменения параметров системы для этого случая. Здесь наблюдается некоторая периодичность возрастания и снижения параметров, т.е. система в некоторые
790
Вестник МГТУ, том 16, № 4, 2013 г.
стр. 789-792
моменты времени находится в состоянии "катастрофы", после чего переходит на новый энергетический уровень и далее циклы повторяются.
время (усл. ед.)
Рис. 1. Изменение параметров N, S и (N - S) для функции cp(t) = 1/t2.
1 - параметр N, 2 - параметр S,
3 - полная энергия (N - S)
Рис. 3. Изменение параметров N, S и (N - S) для функции p(t) = 1/10 -1 (усл. обозначения на рис. 1)
время (усл. ед.)
Рис. 5. Изменение параметров N, S и (N - S) для функций pi(t) = t/1 + t2, Р2 = t.
(усл. обозначения на рис. 1)
в ремя (усл. ед.)
Рис. 2. Изменение параметров N, S и (N - S) для функции pt) = cos2 t (усл. обозначения на рис. 1)
время (усл. ед.)
Рис. 4. Изменение параметров N, S и (N - S) для функции p(t) = tg t (усл. обозначения на рис. 1)
время (усл. ед.)
Рис. 6. Изменение параметров N, S и (N - S) для функций (13)
(усл. обозначения на рис. 1)
Пример чисто ниспадающего изменения параметров системы можно получить, полагая p(t) = -1/t.
Приведённые выше примеры - это примеры согласованного изменения параметров, что следует из того, что функция p2(t) является частью (долей) функции p(t). Поэтому характер изменения параметров одинаков. Совсем иначе могут изменяться параметры, когда функции p(t) и p(t) различные. В этом случае решение системы уравнений (2) имеет следующий вид:
791
Савченко С.Н. Некоторые возможные варианты эволюции...
Пример 5. Пусть p (t)
N - S = (N0-S0)exp[[(p - фг )dt N = N0 + (No - So)[ p (t) exp[[ (p - <p2 )dtpt S = S0 + (N0 - S0)[p2 (t) exp[[(p - p2 )dtpt I
t3 [r
; p2= t. Тогда expll (pj -p2)dt
1 +1
+ t
(11)
N
-S = (N0 -S0)hJl + i2
0 °0
S = S0 + (N0 - S0)
N = N0 + (N0 - S0)
VT
+r -1
Vi+12 + 1U1+12 - 2
(12)
На рис. 5 показаны графики изменения параметров при начальных значениях S0 = 0.5; N0 = 1.0. Из этого рисунка видно, что значение параметров N и S с течением времени увеличиваются, а разность (N - S) - убывает. Такая ситуация может наблюдаться, например, в финансовой сфере деятельности некоторой организации, когда с ростом прибыли увеличиваются незапланированные расходы и, в конечном итоге, наступает банкротство.
Пример 6. Пусть
(1 - 0,2/)exp(/ - 0,1/2)
р1--------------2--------------’
exp(/ - 0,1/2) - 0,4/ - cos/
0,4 + sin /
Р2 =------------2--------------•
exp(/ - 0,1/2) - 0,4/ - cos/
После соответствующих вычислений получаем:
N - S = (N0 - S0)[exp(/ - 0,1/2) - 0,4/ - cos/ +1]
N = N0 + (N0 - S0)[exp(/ - 0,1/2) -1,
(13)
(14)
S = S0 + (N0 - S0 )[cos/ + 0,4/ -1]
На рис. 6 параметр N сначала монотонно возрастает, а затем монотонно убывает, а параметр S с некоторой периодичностью возрастает, приближаясь к величине параметра N. Такая ситуация с течением времени может наблюдаться, например, в живых организмах, когда к концу жизненного цикла количество расходуемой энергии приближается к количеству потребляемой. Наступает своеобразная катастрофа.
3. Заключение
Таким образом, математическая модель эволюции самоорганизующейся динамической системы с двумя ведущими параметрами может быть представлена решением системы однородных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями и коэффициентами p>\(t) и p2(t), зависящими от времени. Характер изменения ведущих параметров динамической системы зависит от вида функций p(t) и p2(t). Если одна из функций p(t) или p2(t) пропорциональна другой, то наблюдается согласованное изменение ведущих параметров во времени. Если функции p(t) и p2(t) различны, то возможно как согласованное, так и несогласованное изменение параметров динамической системы.
Литература
Мельников Н.Н., Козырев А.А., Савченко С.Н. Нелинейные эффекты в геологической среде и прогноз динамических событий при ведении горных работ. Неклассические задачи геомеханики. Якутск, с. 156-160, 2008.
Мельников Н.Н., Козырев А.А., Савченко С.Н., Панин В.И., Мальцев В.А. Прогноз и профилактика горно-тектонических ударов и техногенных землетрясений с позиций нелинейной геодинамики. ФТПРПИ, № 4, с. 17-31, 2001.
Савченко С.Н. Закономерности эволюции природных и природно-технических систем. Геодинамика напряжённого состояния недр Земли. Новосибирск, с. 507-515, 2008.
792
