Модель эволюции энергии в природно-технических системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 622.831

С. Н. Савченко

Модель эволюции энергии в природно-технических системах

S. N. Savchenko

Energy evolution model in natural-engineering systems

Аннотация. Рассмотрена взаимосвязь двух ведущих параметров динамической системы в процессе ее эволюции. Получено решение однородной системы дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями для нескольких частных случаев изменяющихся во времени коэффициентов системы уравнений. Дана физическая трактовка рассматриваемых примеров. Установлено, что характер изменения ведущих параметров динамической системы зависит от вида функций-коэффициентов, входящих в систему дифференциальных уравнений.

Abstract. Interrelation of two leading parameters of a dynamic system in evolution has been considered. The homogeneous system of first-order differential equations with two unknown functions has been solved for some special cases of time-varying equation coefficients. Physical interpretation of the examples considered has been presented. It has been determined that a character of change for the leading parameters of the dynamic system depends on the type of functions-coefficients composing the differential equation system.

Ключевые слова: система дифференциальных уравнений, параметры динамической системы, геологическая среда, энергия деформирования.

Key words: system of differential equations, dynamic system parameters, geological environment, strain energy. Введение

Состояние природно-технической системы (ПТС) определяется полной энергией системы. Здесь под понятием "состояние" понимается естественное состояние, к которому будет возвращаться система, освобожденная от внешних нагрузок. Изменение состояния описывается изменением полной энергии. Энергия любой ПТС с математической точки зрения не является линейной, ибо она содержит как элементы накопления, так и элементы ее диссипации, которые не обязаны быть линейными. Рассеивание энергии возникает в результате ее взаимодействия с потоком энергии другого природного происхождения. Например, рассеивание механической энергии происходит в результате ее взаимодействия с потоками тепловой, электрической, магнитной и других видов энергии [1].

Постановка задачи

Пусть эволюция напряженно-деформированного состояния некоторого участка массива горных пород ПТС зависит от ее энергии деформирования, накапливается и диссипирует. Рассмотрим систему уравнений

dN

dN = Ф1 (N - S) + f (t, N, S) dt

— = Ф2 (N - S) + f (t, N, S) dt

(1)

где N - накопление энергии деформирования; 5 - диссипация; (Ы - 5) - полная энергия деформирования; ф1, ф2 - некоторые функции времени /2 - функции внешнего силового воздействия.

Решение задачи, обсуждение результатов

Вычтя из первого уравнения (1) второе, получим:

*(^- ) = (Фх-ф2 )(* - 5) + (Л - Л). (2)

т

Если обозначить (N - S) = Ж, (ф1 - ф2) = р, (fl - ^) = q, то (2) можно представить в виде:

— = рШ + q . (3)

от

Это линейное дифференциальное уравнение [2], решение которого представляется зависимостью:

Ж = в-РЛ (С +1 дв- РЛЛ) ,

(4)

где постоянная интегрирования C определяется по начальным значениям. Исследуем несколько частных случаев. Из (4) получаем:

Ж = и + ш , (5)

где и = Се^рЛ, V = -11 дврЛ dt. Следовательно, е^рЛ = и, или | р& = 1п и, после интегрирования

1 du

последнего выражения получаем: р = -

dt

Будем считать, что функция ы пропорциональна времени плюс некоторая функция времени, т. е.

и = I + g(0 . (6)

При этом имеем:

1 + я

Р = -

* + я

Здесь и далее точка над функцией означает производную по времени.

Полагаем также, что функция V = —— , тогда V = — [дв ^Т*dt = \—^—dt = -— . Отсюда

С С Ч + g С

Ч = -( + g) ge- g . Ж = ( + #)(1 + е-гг ) .

(7)

находим

Таким образом, окончательно

(8) (9)

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть и = / + аттат^ш/). График этого выражения представлен на рис. 1.

60 50 40 30 20 10 0

а

а

^

(О

1

Л Ч

а (О

к

ш К Ч и

К

(О

К

(О

2

20 30

время (усл. ед.)

Рис. 1. Изменение параметра и = t + аг^ш^ш t)

и

-(— г))

Полагаем V = е 2 . На рис. 2 приведен график этой зависимости.

1,2 * 1

<о

ч 0,8

и

0,6 I 0,4

I

^ 0,2

0

Т-1-Г

20 30 40

время (усл. ед.)

Рис. 2. Изменение во времени параметра V

Рассмотрим ПТС, энергия которой с начала ее существования и до последнего момента имела "взлеты" и "падения".

Пусть функции, входящие в (1), имеют вид:

Ф: =

1

Ф2 = I-

г + аг^тОт г) ^ - sin2 г (Т + arcsin(sin г))

- cos г

/ = г

COS Т (-+агсял(яп())

-е 2

sin2 г

; /2 =- aгcsin(sin г)

COS г (П+ аюшЛ>т()) -е 2

sin2 г

(10)

Тогда после преобразований, приведенных выше, получаем

Ш = ( + arcsin(sin t))

1 + ехр(-— - arcsin(sin t))

(11)

2 О § й а щ

« м

в Ч м и

К

(О %

К

т

100 -,

0

10 20 30

время (усл. ед.)

40

50

60

Рис. 3. Периодическое изменение энергии ПТС

График этой зависимости представлен на рис. 3. Если при каком-то значении времени /0 выражение (11) дополнить зависимостью

Ш1 = [(2^, -1) + arcsin(sin t)]

1 + ехр(-—- arcsin(sin t))

(12)

0

то график суммарного выражения (11) и (12) будет иметь вид, приведенный на рис. 4. 80

л ^

5

и Ср

5Т И т

20 40 60

время (усл. уд.)

80

100

Рис. 4. График изменения удельной энергии деформирования ПТС с "взлетами" и "падениями"

Здесь принято ?0 = 40 (усл. ед.). Такая эволюционная зависимость может быть условно перенесена на "жизнь" некоторого живого организма, которая характеризуется "периодическими взлетами и падениями". Пример 2. Пусть функции, входящие в (1), имеют вид:

, 1 • = 1 + — + эт Т; п

2

2/

4/4

/ = -% ехр(-я); /2 = ж ехР(-я);

После необходимых преобразований (13) получаем:

Ф2 = — (сое — + сое—); п 3 15

Я = Ф1 Ф2

(13)

2 2Т 4Т и = t + (1,31831 + t — (^ — + ^—);

п 3 15

п 2 21 4t

V = ехр(— (1,31831 + t — (^— + ^—))); 2 п 3 15

¥ = и( 1 + у).

(14)

График функции Щ?) представлен на рис. 5. Из рисунка видно, что энергия ПТС имеет различные величины подъемов и падений, в зависимости от способов накопления и диссипации. Эта зависимость напоминает экспериментальные данные по изменению акустической эмиссии при нагружении образца горных пород [3].

ч

(О

о

и

Н

и

и а

(О

К

п

400 350 300 250

время (усл. уд.) Рис. 5. Зависимость Щ?) по (14)

Рассмотрим уравнение (3) и его решение (4) с несколько другой точки зрения.

1 п

Пусть р = - — , д = X [№]8(/() ,

t +1 I = 1

(15)

где - импульс г-го отклика в момент времени ^ продолжительностью т,. Например, 1¥0 = 20; = 5;

гг = 12; = 16; = 20; гъ = 25; = [Г2] = [Ж3] = 3; = = 5; т, = 0,1.

0

Вестник МГТУ, том 19, № 1/1, 2016 г. стр. 35-39 Решение (4) при этом имеет вид:

К = -+-¡К + £[Щ](*, + 1)Л. (16)

' +1 [ г = 1

25 т-

0 5 10 15 20 25 30 35

время (усл. ед.) Рис. 6. График зависимости (16)

Такую ситуацию можно рассматривать как некий отклик массива на массовый взрыв. В моменты времени t¡ происходит образование трещин с выделением некоторой величины энергии.

Выводы

1. Характер изменения упругой энергии деформирования природно-технической системы в математической форме представляется системой обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от времени.

2. Эволюция энергии деформирования природно-технической системы зависит от скорости накопления и диссипации энергии в процессе природного или техногенного изменения внешнего воздействия.

3. Энергия деформирования эволюционирующей системы может характеризоваться "подъемами" и "падениями" в зависимости от того, в какие моменты времени происходит большая часть накопления по сравнению с диссипацией или наоборот.

Библиографический список

1. Фрейденталь А., Гейрингер Х. Математические теории неупругой сплошной среды. М. : Физматгиз, 1962. 432 с.

2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М. : Физматгиз, 1958. 468 с.

3. Соболев Г. А., Пономарёв А. В. Физика землетрясений и предвестники. М. : Наука, 2003. 270 с.

References

1. Freydental A., Geyringer H. Matematicheskie teorii neuprugoy sploshnoy sredy [Mathematical theories of inelastic continuum]. M. : Fizmatgiz, 1962. 432 p.

2. Stepanov V. V. Kurs differentsialnyh uravneniy [Course of differential equations]. M. : Fizmatgiz, 1958. 468 p.

3. Sobolev G. A., Ponomaryov A. V. Fizika zemletryaseniy i predvestniki [Earthquake physics and precursors]. M. : Nauka, 2003. 270 p.

Сведения об авторе

Савченко Степан Николаевич - Горный институт КНЦ РАН, д-р техн. наук; e-mail: savc@ goi.kolasc.net.ru

Savchenko S. N. - Mining Institute KSC RAS, Dr of Tech. Sci.; e-mail: savc@ goi.kolasc.net.ru