CC BY
48
НЕКОТОРЫЕ УСЛОВНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ
SOME OPTIONAL AGREEMENTS IN THE COURSE OF ALGEBRA
Р. А. Гасанов
В работе указаны роль и значение условных соглашений при построении математических теорий в систематическом и логическом виде. Рассмотрены место и значение некоторых условных соглашений при преподавании курса алгебры, в том числе и линейной алгебры.
Ключевые слова: аксиоматической метод, условное соглашение, курс алгебры, линейная алгебра, методика преподавания.
R. A. Hassanov
In this article the role and the meaning of optional agreements in building up mathematical theory in systematic and logic type has been pointed out. The place and meaning of some optional agreements in teaching Algebra course as well as in linear algebra have also been considered.
Keywords: axiomatic method, optional agreement, algebra course, linear algebra, teaching methods.
Систематическое изложение математических теорий и различных математических дисциплин является непреложной основой преподавания математики, в том числе алгебры.
Аксиоматический метод является одним из основных методов построения математических теорий в строгом и систематическом виде. Сущность этого метода состоит в том, что вводится ряд некоторых понятий и соотношений без определений, которые называются основными (первоначальными) понятиями и соотношениями. Действительно, целый ряд конкретных предложений принимается бездоказательно, они выражают некоторые свойства основных понятий, связанных с начальными соотношениями. Эти предложения называются аксиомами математических теорий. На основе первоначальных понятий и аксиом определяются последующие понятия и доказываемые предложения (теоремы).
Вместе с ними в целом ряде областей математики встречаются условные соглашения, которые применяются с целью сохранения общности введенных понятий или простоты изложения материала. При принятии условных соглашений уделяется особое внимание тому, чтобы с их появлением не возникали противоречия в построенных теориях.
В [1] изящно и подробно изложены условные соглашения, связанные с решением квадратного уравнения. Изложим их сущность в кратком виде.
Для решения квадратного уравнения
ах2 + Ьх + с = 0 (1)
величина Ь2 - 4ас обычно обозначается через Б, ее называют дискриминантом квадратного трехчлена: Б = Ь2 - 4ас.
В зависимости от знака величины Б рассматривают три случая:
а) при Б > 0 уравнение (1) имеет два различных корня:
х1 = (-Ь + 4.Б)/2а, х2 = (-Ь - Ч.Б)/2а; (2)
б) при Б = 0 существует только одно решение, удовлетворяющее уравнению (1), им является величина -Ь/2а. В этом случае для сохранения общности считается, что уравнение (1) имеет два решения, но они совпадают. То есть условно считается, что уравнение (1) имеет два корня:
х1 = х2= -Ь/2а.
Отметим, что тот же результат получается из формулы (2) при Б = 0.
в) Рассмотрим решение при Б < 0. В этом случае уравнение (1) тоже имеет два корня, вычисляемые формулой (2).
Заметим, что это утверждение несет условный характер. Потому что принято лД) обозначать какое-либо одно из комплексных чисел, квадрат которого равен отрицательному числу Б. Но известно, что знаком <Т обозначают только арифметический корень из положительного вещественного числа. Для комплексного числа этот знак однозначного смысла не имеет. Тем не менее уславливаются при решении квадратных уравнений в случае О < 0 считать, что лД) обозначает одно из двух чисел, квадрат которого равен Б.
Именно на основе указанных соглашений выдвигается следующее утверждение:
Уравнение ах2 + Ьх + с = 0 с вещественными коэффициентами всегда имеет два корня, вычисляемые по формуле (2). Эти корни:
а) при Б > 0 вещественны и различны,
б) при Б = 0 вещественны и совпадают,
в) при Б < 0 - сопряженные комплексные числа.
При введении понятия факториал тоже используется
условное соглашение. Известно, что п! обозначается произведение всех положительных целых чисел от 1 до п: п! = 1 • 2 •... • п.
Очевидно, что в соответствии с этим определением не может вычисляться ноль факториал. Принимая 0! = 1, мы выдвинем соглашение, которое обеспечивает общ-
ность, устраняя ее нарушения в целом ряде формул и предложений. Например, известна из теории соединений следующая формула:
Ст = п! / (т! (п - т)!). (3)
На основе определения сочетания Сп" = 1 и учитывая, что 0! = 1, из формулы (3) получается СП = 1. Если мы не условимся, что 0! = 1, то нельзя сказать, что при п = т формула (3) тоже верна.
Для разъяснения значения исследуемых вопросов в математике покажем еще один пример из алгебры. В теории групп изложение понятий систем образующих может приводиться в следующей трактовке [2, с. 173].
Пусть Б - какое-либо подмножество группы С. Обозначается <Б> - совокупность возможных произведений вида
91£192£2 ... 9кЕк (91, 92.....9к £ Б; е^ ...Ек= ±1). (4)
Это наименьшая подгруппа группы С, содержащая Б. После обоснования этого утверждения говорят, что <Б> -подгруппа, порожденная подмножеством Б. Если <Б> = С, то говорят, что множество Б есть система, образующая группу С. В частности, если Б состоит из одного элемента 9, то <Б> = <9> есть циклическая подгруппа, порожденная элементом 9. При этом возникает вопрос: в случае если к = 0, что можно сказать о произведении (4)? Этот вопрос заставляет принимать условное соглашение, которое позволяет не нарушить логики и не войти в противоречие. Так, согласно [2], удобно считать, что в число произведения (4) входит пустое произведение (к = 0), которое по определению равно е (е - единица группы).
Следует отметить, что условные соглашения играют существенную роль в математике, в том числе и в алгебре. По нашему мнению, учитывать их и уделять им внимание в преподавании алгебры необходимо. При этом выделение условных соглашений и обоснование их специальным образом является одним из действующих факторов в развитии математических познаний студентов и глубокого изучения преподаваемых материалов на лекциях и практических занятиях. Невнимание к этим вопросам в некоторых случаях приводит к туманным соображениям и нарушениям межпредметных связей, в результате не формируется систематическое и логическое мышление. С другой стороны, определенное внимание к условным соглашениям помогает различать и изучать первоначальные определяемые и условно принимаемые понятия и соотношения.
Условные соглашения занимают определенное место и в линейной алгебре. Первый раз с условным соглашением в курсе линейной алгебры мы встречаемся при определении линейно независимой системы векторов [3, с. 176].
Определение 1. Система векторов а1,а2,а3,...,ат называется линейно независимой, если для любых скаляров А1, А2, ...,Ат из равенства А1а1 ± А2а2 ± ... ± Атат = 0 следуют равенства А1 = А2 = ... = Ат = 0. После этого следует принимать следующее условное соглашение - пустая система векторов линейно независима.
Определение 2. Пусть Б и Т - две системы векторов. Если каждый ненулевой вектор любой из этих систем можно представить в виде линейной комбинации векторов другой системы, то Б и Т называются эквивалентными системами векторов. При этом считается, что:
1) пустая система векторов эквивалентна пустой системе векторов;
2) пустая система векторов эквивалентна системе, состоящей из нулевых векторов.
Учитывая эти соглашения, можно доказать следующую общую теорему.
Теорема 1. Если две конечные системы векторов эквиваленты и каждая из них линейно независима, то эти системы состоят из одинакового числа векторов.
Если бы мы не принимали условные соглашения, то теорема 1 не относилась бы к пустой системе векторов.
Теперь рассмотрим понятие базиса и ранга конечных систем векторов.
Определение 3. Базисом конечной системы векторов называется непустая, линейно независимая ее подсистема, эквивалентная всей системе.
Определение 4. Рангом конечной системы векторов называется число векторов, принадлежащих любому базису системы. Ранг системы нулевых векторов и пустой системы векторов считается равным нулю.
Принимаемое указанное выше условное соглашение устраняет нарушение общности в ряде предложений. Например, можно указать следующее предложение:
Предложение: Ранг любой подсистемы конечной системы векторов не больше ранга всей системы.
Рассмотрим условное соглашение при введении размерности конечномерного векторного пространства.
Определение 5. Базисом конечномерного векторного пространства называется непустая конечная линейно независимая система векторов, порождающая это пространство.
Определение 6. Размерностью ненулевого конечномерного векторного пространства называется число векторов какого-либо базиса пространства. Размерность нулевого векторного пространства считается равной нулю.
Теперь покажем условное соглашение, связанное с ортогональной системой векторов.
Определение 7. Если скалярное произведение векторов а и Ь равняется нулю, то векторы а и Ь называются ортогональными.
Определение 8. Система конечномерного векторного пространства а1, а2, а3,..., ат называется ортогональной, если любые два ее вектора взаимно ортогональны. Система, состоящая из одного вектора, считается ортогональной.
Условное соглашение связи с этим определением позволяет выразить некоторые предложения, связанные с ортогональной и неортогональной системами векторов.
В некоторых случаях введенные условные соглашения позволяют выражать в удобном виде ряд предложений. Например, рассмотрим условное соглашение, связанное с детерминантом квадратной матрицы.
Из определения матрицы и детерминанта видно, что детерминант можно рассматривать как сумму конечного числа слагаемых, а матрицу - как таблицу. В таком случае можно говорить об элементах, столбцах, строках, диагоналях таблицы, и в том числе матрицы. Эти определения не подходят к детерминанту. Каждой квадратной матрице соответствует один детерминант. Будем считать, что можно говорить об элементах, строках, столбцах пли диагоналях детерминанта [4, с. 17]. Подразумеваем под этими терминами соответственно элементы, строки, столбцы или диагонали отвечающей этому детерминанту матрицы. В результате принятых условных соглашений ряд предложений, связанных с детерминантом, выражается в относительно простом виде. Покажем сущность всех этих рассуждений на одном примере свойства детерминанта [3, с. 230].
Свойство. Если каждый элемент ¡-й строки (столбца) квадратной матрицы А есть сумма т слагаемых, то определитель матрицы А равен сумме т определителей, причем в матрице первого определителя в ¡-й строке (¡-м столбце) стоят первые слагаемые, в матрице второго - вторые и т. д., а остальные строки те же, что и в матрице А.
На основе выдвинутых условных соглашений указанное свойство можно сформулировать в следующем виде: Если каждый элемент детерминанта ¡-й строки (столбца) состоит из суммы т слагаемых, то данный детерминант равен сумме т детерминантов, причем в первом детерминанте ¡-й строки (столбца) стоят первые слагаемые, во втором детерминанте - вторые слагаемые и т. д., элементы в остальных строках (столбцах) остаются как в исходном (данном) детерминанте.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болтянский В. Г. Сидоров Ю. В., Шабунин М. И. Лекции и задачи по элементарной математике. М.: Наука, 1974. 577 с.
2. Винберг Э. Б. Курс алгебры. М: Изд-во МЦНМО, 2011. 522 с.
3. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. М.: Наука, 1979. 559 с.
4. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984. 296 с.
ФОРМИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ КУЛЬТУРЫ СТУДЕНТОВ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ВУЗОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
FORMATION OF INFORMATION CULTURE OF STUDENTS OF PHYSICAL AND MATHEMATICAL SPECIALTIES OF PEDAGOGICAL HIGHER EDUCATION INSTITUTIONS WHEN TRAINING IN THE SOLUTION OF PROBLEMS OF ELEMENTARY MATHEMATICS
Н. Г. Кузина, Н. В. Сидорова
В статье определяется понятие информационной культуры, рассматривается процесс формирования информационной культуры в аспекте решения математических задач.
Ключевые слова: информационная культура, формирование информационной культуры, решение задач как информационный процесс.
С момента возникновения человечества появилась необходимость в сборе, передаче и хранении информации. С развитием цивилизации отношение человека к информации менялось, изменялись и способы ее использования. В наше время информационные потоки в обществе становятся более «плотными» и информация неминуемо проникает в самые разные сферы деятельности человека. Возникает опасность, что данная
N. G. Kuzina, N. V. Sidorova
In the article the notion of information culture is determined, the process of forming of information culture is considered in the aspect of solving of mathematical problems.
Keywords: information culture, forming of information culture, solving of mathematical problems as informational process.
тенденция будет подавлять в людях способность к креативности и самостоятельному принятию решений.
Анализ нормативных документов реальной образовательной практики в педагогическом вузе показал, что формирование информационной культуры студентов педвузов в учебном процессе, как правило, идет стихийно, вне планируемой работы преподавателя. Сложившаяся система педагогического образования оказывается не-
