О проблеме А. В. Михалева для алгебр Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.554.36

О ПРОБЛЕМЕ А. В. МИХАЛЕВА ДЛЯ АЛГЕБР ЛИ

Е. В. Мещерина1,0. А. Пихтилькова2, C. А. Пихтильков3

1 Аспирант кафедры алгебры и математической кибернетики, Оренбургский государственный университет, elena_lipilina@mail.ru

2Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, Оренбургский государственный университет, OPikhtilkova@mail.ru

3Доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и математической кибернетики, Оренбургский государственный университет, pikhtilkov@mail.ru

Решена ослабленная проблема А. В. Михалева о первичном радикале артиновых алгебр Ли. Ключевые слова: алгебра Ли, внутренний идеал, первичный радикал, артинова алгебра Ли.

1. АССОЦИАТИВНАЯ НИЛЬПОТЕНТНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ВНУТРЕННИХ ИДЕАЛОВ АЛГЕБРЫ sln(F)

Впервые понятие внутреннего идеала было введено Джорджией Бенкарт Benkart) [1].

Считается, что внутренний идеал алгебры Ли является аналогом одностороннего идеала ассоциативной алгебры. Внутренние идеалы сыграли важную роль в классификации простых конечномерных алгебр Ли над полями положительной характеристики. Скажем, что подпространство В алгебры Ли Ь является внутренним идеалом, если [В, [В, Ь]] С В.

В работе [2] анонсировано, что для алгебры Ли в12) над алгебраически замкнутым полем ^ характеристики, не равной 2, все ее собственные внутренние идеалы одномерны, порождены матрицами

Для такого внутреннего идеала H выполнено условие A, B е H ^ AB = 0.

В работе [3] доказана абелевость собственных внутренних идеалов алгебры sln(F) над полем F характеристики нуль и поставлен следующий вопрос: верно ли, что все собственные внутренние идеалы H алгебры Ли sln(F) для поля F характеристики нуль удовлетворяют условию A,B е H ^ AB = 0?

Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема 1. Пусть F — алгебраически замкнутое поле, char F = 0. Все собственные внутренние идеалы H алгебры Ли sln(F) удовлетворяют условию: A,B е H ^ AB = 0.

Для доказательства теоремы нам потребуется лемма.

Лемма 1. Пусть F — поле, char F = 0, H — собственный внутренний идеал алгебры Ли sln (F), состоящий из верхнетреугольных матриц, A е H. Тогда в матрице A все диагональные элементы равны нулю.

Доказательство. Предположим, что ац = ajj при i < j — ненулевые диагональные элементы матрицы A.

Рассмотрим коммутатор [A, e^]. Мы будем прослеживать только ненулевые элементы полученной матрицы, лежащие ниже диагонали.

Получим:

k<j,k>i

i<l,l<j

k<j,k>i

i<l,l<j

где В — верхнетреугольная матрица.

Отметим, что в ]-й строке, г-м столбце стоит элемент а^ — ац

•п.

© Мещерина Е. В., Пихтилькова О. А., Пихтильков C. А., 2013

Схематично коммутатор С = [А, е^] можно представить себе в виде матрицы

Г (

IV0

ajj ai

\

/

а, в е F

Теперь рассмотрим коммутатор [A, [A, eji]]. Нас интересует элемент, стоящий в j-й строке и i-м столбце. Он будет равен (ajj — aii)2. Это легко проследить, производя умножение j-й строки матрицы A на i-й столбец матрицы C и умножая те же строки и столбцы матриц C и A.

Так как собственный внутренний идеал H состоит из верхнетреугольных матриц, элемент (ajj — aii)2 равен нулю. Получили ajj — aii = 0. Следовательно, все диагональные элементы матрицы A равны между собой.

Из условия tr A = 0 получаем равенство нулю диагональных элементов матрицы A. Лемма доказана.

Доказательство теоремы. Согласно теореме Ли [4], матрицы разрешимой алгебры Ли линейных преобразований конечномерного векторного пространства над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль могут быть приведены одновременно к треугольному виду.

В [3] было доказано, что для полей нулевой характеристики все собственные внутренние идеалы H алгебры sln(F) — абелевы. Это означает, в частности, что H является абелевой алгеброй Ли. Из теоремы Ли следует, что все матрицы собственного внутреннего идеала H могут быть приведены одновременно к треугольному виду. Согласно лемме 1, диагональные элементы матриц из H равны нулю.

Пусть A и B — две матрицы из H. Предположим, что матричные единицы eki, k < l и eiji < j входят с ненулевыми коэффициентами в разложение A и B соответственно. Тогда ненулевыми в коммутаторе [A, B] могут быть только произведения ekieij, если l = i (в этом случае k < j) или eijeki, если j = k (в этом случае i < l). Оба этих произведения не могут одновременно равняться нулю. Следовательно, из равенства [A, B] = 0 следует равнество AB = 0. Теорема доказана.

Обобщим полученный результат на один класс бесконечномерных алгебр Ли.

Обозначим через glfr(V) множество линейных отображений конечного ранга бесконечномерного векторного пространства V над полем F в себя. Пусть slfr(V) = [glfr(V),glfr(V)].

Теорема 2. Пусть F — алгебраически замкнутое поле, char F = 0, V — бесконечномерное векторное пространство над F. Все собственные внутренние идеалы H алгебры Ли slfr (V) удовлетворяют условию: f, g е H ^ f о g = 0.

Доказательство. Пусть H — собственный внутренний идеал алгебры Ли slfr(V), f, g е H — произвольные.

Так как f, g — преобразования ограниченного ранга, существует векторное пространство W С V такое, что f(V),g(V) С W.

Пусть x е V — произвольное. Обозначим через U конечномерное подпространство V, содержащее W и x. Тогда, ограничивая действие элементов H на U, получим множество преобразований G = H|и. Покажем, что G — внутренний идеал алгебры Ли sl(U).

Пусть l е sl(U),s,t е H. Обозначим через U' подпространство дополняющее U до V, то есть сумма V = U © U' — прямая. Можно считать, что l е slfr(V), определяя действие l на U' нулевым образом. Тогда [s, [t, l]] е H. Ограничивая действие преобразования [s, [t, l]] на подпространстве U, получим [s, [t,l]] е G.

Возможны 3 случая.

1. G = 0. В этом случае f о g(x) = 0.

*

*

*

*

0

*

*

0

0

*

2. Подпространство С — собственный внутренний идеал алгебры Ли э1(и). Согласно теореме 1 выполнено равенство / о д(х) = 0.

Обозначим через п размерность векторного пространства и. Пусть е15е2,... — базис векторного пространства V, первые п элементов которого образуют базис и. Будем использовать обычные обозначения для матричных единиц. Выполнено равенство [э1(и), э1(и)] = э1(и). Для любого внутреннего идеала Н легко проверить справедливость включения

Согласно включению (1) следующие коммутаторы принадлежат Н:

[[егг , [егг , егк] — егк, [[егг , [егг , ] — ? г = ^ < к > п.

Следовательно, егг — е^- е [Н, Н],г,^ > п, так как егг — е^- = [е^, е^]. Согласно лемме и включению (1) элементы е^ = [егг — е^-, е^]/2 принадлежат Н. Мы показали, что все элементы вида егг — е^-, е^, г, ^ = 1, 2,... принадлежат Н.

Пусть к е Н — произвольное. Учитывая ограниченность ранга /, можно считать в бесконечной матрице А, задающей /, ненулевыми являются только первые к — 1 строк. Пусть Аг — матрица, состоящая из г-й строки матрицы А. Тогда А = А1 + ... + Ак-1. Матрица [егк, [екг, Аг]], 1 < г < к — 1 отличается от матрицы Аг конечным числом элементов. Поэтому можно считать, что все Аг е Н, 1 < г < к — 1.

Мы доказали принадлежность А е Н. Следовательно, Н = э1/г(V). В этом случае внутренний идеал Н не является собственным. Теорема доказана.

Теперь можно поставить следующий вопрос: верно Ли, что все собственные внутренние идеалы Н простой алгебры Ли над полем ^ характеристики нуль (над алгебраически замкнутым полем ^ характеристики нуль) удовлетворяют условию: А, В е Н ^ АВ = 0?

Пусть Ь — алгебра Ли. В [2] введены следующие определения артиновости:

а) если убывающая цепочка идеалов стабилизируется, то алгебра называется г-артиновой;

б) если убывающая цепочка алгебр стабилизируется, то алгебра называется а-артиновой;

в) если убывающая цепочка внутренних идеалов стабилизируется, то алгебра называется гпп-ар-тиновой.

Легко проверить, что из гпп-артиновости следует г-артиновость и из а-артиновости следует г-ар-тиновость.

В [2] анонсированы примеры показывающие, что условие г-артиновости слабее, чем условия гпп-артиновости и а-артиновости.

В 2001 году А. В. Михалев на семинаре механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова «Кольца и модули» поставил проблему: существует ли г-артинова алгебра Ли, первичный радикал которой не является разрешимым?

Следующие предложение и леммы потребуются для решения ослабленной проблемы А. В. Михалева.

Предложение 1. Пусть В — ненулевой идеал алгебры Ли Ь, Ь — а-артинова или гпп-артинова. Тогда В содержит ненулевой идеал I такой, что [I, I] = I или В удовлетворяет тождеству разрешимости некоторой ступени.

3. С = эКии).

[[Н,Н],Ь] с Н.

(1)

2. ПЕРВИЧНЫМ РАДИКАЛ АРТИНОВЫХ АЛГЕБР ЛИ

Доказательство. Имеем B D B' D B" D ... D B(n) D ... — убывающая цепочка идеалов, где B(n) — n-й член производного ряда алгебры B. Из а-артиновости или inn-артиновости следует, что она стабилизируется. Существует натуральное число к, такое что B(k) = B(k+1). Пусть I = B(k). Тогда,

1) если I = 0, то B удовлетворяет тождеству разрешимости ступени к;

2) если I = 0, то [I, I] = I, I — искомый.

Следовательно, B содержит ненулевой идеал I такой, что [I, I] = I, или B удовлетворяет тождеству разрешимости некоторой ступени. Предложение доказано.

Лемма 2. Пусть L — а-артинова или inn-артинова алгебра Ли, A — ненулевой абелев идеал алгебры L. Тогда dimF A < ж.

Доказательство. Любое подпространство идеала A является абелевой подалгеброй. Если dimpA = ж, то нарушается а-артиновость.

Пусть V — подпространство идеала A. Тогда [V, L] с A. Следовательно, [V, [V, L]] = 0. Это означает, что подпространство V — внутренний идеал. Бесконечномерность идеала A противоречит inn-артиновости. Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть L — а-артинова или inn-артинова алгебра Ли, I с P(L) ненулевой идеал такой, что [I, I] = I, A — ненулевой абелев идеал алгебры L. Тогда [I, A] = 0.

Доказательство. Согласно лемме 2 идеал A — конечномерен. Присоединенное отображение ad является гоморфизмом алгебры Ли L в алгебру эндоморфизмов векторного пространстваA по отношению к коммутированию ad : L ^ End(A)(-).

Образ I идеала I при отображении ad является слаборазрешимым, то есть любое его конечномерное подпространство удовлетворяет тождеству разрешимости некоторой ступени. Слаборазрешимый идеал конечномерной алгебры Ли End(A)(-) является разрешимым [5]. Следовательно, идеал I — разрешим. Из условия [I , I ] = I следует I = 0.

Пусть i е I,a е A. Тогда ad i(a) = [i,а] = 0. Получили [I, A] = 0. Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть L — а-артинова или inn-артинова алгебра Ли. Тогда первичный радикал P(L) аогебры Ли L разрешим.

Доказательство. Нам потребуется представление первичного радикала как нижнего слабо разрешимого радикала [6].

Пусть a(L) — это любой ненулевой абелев идеал алгебры Ли L. Такой идеал содержится в любом ненулевом разрешимом идеале первичного радикала P(L), который существует согласно конструкции нижнего слабо разрешимого идеала, если P(L) = 0 (в случае равенства P(L) = 0 утверждение теоремы выполнено). Как известно [6], любой ненулевой разрешимый идеал содержит ненулевой абелев идеал.

С помощью трансфинитной индукции определим для каждого порядкового числа а идеал т(а) следующим образом.

1. т(0) = 0.

2. Предположим, что т(а) определено для всех а < в. Тогда определим т(в) так:

а) если в = Y + 1 не является предельным порядковым числом, то т(в) — это такой идеал алгебры L, что т(в)/т(y) = а(.L/т(y));

б) если в — предельное порядковое число, то т(в) = U т(y).

Из соображений мощности т(в) = т(в + 1) для некоторого в. Тогда, что т(в) совпадает с нижним слабо разрешимым радикалом алгебры Ли L, равным первичному радикалу P(L).

Предположим, что первичный радикал P(L) алгебры Ли L не является разрешимым. Тогда согласно предложению 1 существует ненулевой идеал I с P(L) такой, что [I, I] = I.

Пусть a,b е I — произвольные, yi — порядковое число такое, что b е т(yi + 1)\т(yi). Пусть L = L/т(y1 ). Тогда т(y1 + 1)/т(y1 ) — ненулевой абелев идеал, I = I/т(y1 ) такой, что [1,1] = I.

Согласно лемме 3 выполнено равенство [/, т(71 + 1)/т(71)] = 0. Существует порядковое число 72 < 71 такое, что ай а(Ь) е т(72 + 1)/т(72).

Продолжая проведенные выше рассуждения, получим порядковое число 73 < 72 такое, что (ай а)2(Ь) е т(73 + 1)/т(73). И так далее.

Получим последовательность убывающих порядковых чисел 71 > 72 > ..., которая не может быть бесконечной. Следовательно, существует натуральное п такое, что (ай а)п(Ь) = 0.

Из леммы 2.1 [7] следует локальная нильпотентность идеала I. Выбирая последовательно базисы в абелевых идеалах, задающих рост цепочки возрастающих идеалов т(7) с I, на основании леммы 3 можно считать, что элементы идеала I задаются верхнетреугольными блочными бесконечными матрицами с конечными столбцами и нулями на главной диагонали. Из этого представления также следует локальная нильпотентность идеала I.

Пусть г — наименьшее порядковое число, равное разности номеров столбцов и строк ненулевых блоков матриц, задающих элементы из I. Так как на диагонали матриц элементов из I стоят нулевые блоки, выполнено неравенство г > 1. У матриц из [I, I] наименьшее порядковое число, равное разности номеров столбцов и строк ненулевых блоков, больше г. Получили противоречие с равенством [I, I] = I. Теорема доказана.

Теорема 2 дает решение ослабленной проблемы А. В. Михалева для а-артиновых и гпп-артиновых алгебр Ли.

Библиографический список

1. Benkart G. On inner ideals and ad-nilpotent elements of Lie algebras // Trans. of the Amer. Math. Soc. 1977. Vol. 232. P. 61-81.

2. Мещерина Е. В., Пихтилькое С. А., Пихтилько-ва О. А. О свойствах внутренних идеалов алгебр Ли // Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов : тез. третьей междунар. шк.-конф., посвящ. 75-летию Э. Б. Винберга (Тольятти, Россия, 25-30 июня 2012 г.). Тольятти : Изд-во ТГУ, 2012. С. 32-34.

3. Мещерина Е. В., Пихтилькое С. А., Пихтилько-ва О. А. О собственных внутренних идеалах простых

алгебр Ли // Учен. зап. Орлов. гос. ун-та. 2012. № 6, ч. 2. С. 156-162.

4. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М. : Мир, 1964. 355 с.

5. Бейдар К. И., Пихтилькое С. А. Первичный радикал специальных алгебр Ли // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6, № 3. С. 643-648.

6. Балаба И. Н., Михалев А. В., Пихтилькое С. А. Первичный радикал градуированных П-групп // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 2. С. 159-174.

7. Pikhtilkov S. A. Locally Nilpotent Ideals of Special Lie Algebras // Comm. in Algebra. 2001. Vol. 29, № 10. P. 3781-3786.

On the A. V. Mikhalev's Problem for Lie Algebras

E. V. Mescherina, O. A. Pikhtilkova, S. A. Pikhtilkov

Orenburg State University, Russia, 460352, Orenburg, pr. Pobedy, 13, elena_lipilina@mail.ru, OPikhtilkova@mail.ru, pikhtilkov@mail.ru

Weakened A. V. Mikhalev' sproblem about the prime radical of artinian Lie algebras is solved. Key words: Lie algebra, inner ideal, prime radical, artinian Lie algebra.

References

1. Benkart G. On inner ideals and ad-nilpotent elements of Lie algebras. Transaction of the American Mathematical Society, 1977, vol. 232, pp. 61-81.

2. Mescherina E. V., Pikhtilkov S. A., Pikhtilkova O. A. About properties of Lie algebras inner ideals. Abstracts of the third international school conference «Algebras,

algebraic groups and the theory of invariants», devoted to the 75 anniversary of E. B. Vinberg (Tolyatti, Russia, on June 25-30, 2012). Tolyatti, TGU Publ. house, 2012, pp. 32-34 (in Russian).

3. Mescherina E. V., Pikhtilkov S. A., Pikhtilkova O. A. On proper inner ideals of simple Lie algebras. Uchenye zapiski Orlovskogo gosudarstvennogo universiteta

[Scientific notes of the Oryol State University], 2012, no. 6, pt. 2, pp. 156-162 (in Russian).

4. Jacobson N. Algebry Li [Lie algebras]. Moscow, Mir, 1964, 355 p. (in Russian).

5. Beidar K. I., Pikhtilkov S. A. Prime radical of special Lie algebras. Fundamentalnaya i prikladnaya mathematika, 2000, vol. 6, no. 3, pp. 643-648 (in Russian).

6. Balaba I. N., Mikhalev A. V., Pikhtilkov S. A. Prime Radical of Graded ^-groups. Journal of Mathematical Sciences [Fundamentalnaya i prikladnaya mathematika], 2008, vol. 149, no. 2, pp. 1146-1156.

7. Pikhtilkov S. A. Locally Nilpotent Ideals of Special Lie Algebras. Comm. in Algebra, 2001, vol. 29, no. 10, pp. 3781-3786.

УДК 511.4

АЛГОРИТМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ОДНОГО КЛАССА ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

А. Ю. Нестеренко

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерной безопасности, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Москва, nesterenko_a_y@mail.ru

В работе исследуется класс иррациональных чисел, задаваемых быстро сходящимися рядами с рациональными коэффициентами. Рассматривается задача о восстановлении неизвестных параметров рациональных коэффициентов по заданным рациональным приближениям. Получены верхние и нижние оценки на неизвестные параметры, а также предложен алгоритм поиска неизвестных. Приведены результаты вычислений на ЭВМ.

Ключевые слова: разложения действительных чисел, восстановление параметров.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть Ь > 1 натуральное число. Мы будем рассматривать действительные числа а > 0, заданные равенством

^ m

а = ЕЕ м U ^Ъ-П, m,d,s е N' uu...,um е Q, (1)

П=О 1=i (dn + Х*У

а величины х\,...,хт — различные натуральные числа. Многие математические константы, такие как 1п2, п, константа Каталана, могут быть представлены в указанном виде. Более подробно, см. в работе [1].

В работе [2] автором рассматривались представления чисел вида (1) в системе счисления по основанию Ь

Y^ anb-n, 0 < an <Ъ, n = 1,2,..., (2)

а = у an

n=0

а также, исследовались статистические свойства последовательности натуральных чисел {«п}П=0.

В данной работе решается следующая задача. Пусть для некоторого натурального числа г задано рациональное приближение к числу а

ar = ^^ anb n, \а — ar \ <Ъ r, ar е Q.

п=0

Необходимо определить значения величин х1,..., хт, если известны значения и щ,..., ит.

Поскольку неизвестные величины различны, то мы будем дополнительно считать, что выполнены неравенства

Х1 < Х2 < ■ ■ ■ <хт. (3)

© Нестеренко А. Ю, 2013

89