CC BY
27
УДК 539.371, 004.942
Молекулярно-динамическое исследование эволюции ротационных смещений атомов в кристалле, подвергнутом сдвиговой деформации
А.И. Дмитриев1,2, А.Ю. Никонов1,2, А.Э. Филиппов3, С.Г. Псахье1
1 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия 2 Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия 3 Институт механики, Берлинский технический университет, Берлин, 10623, Германия
В работе исследуются процессы перераспределения атомных смещений в исходно бездефектном кристаллите меди, предварительно подвергнутом сдвиговой деформации. Основное внимание уделяется эволюции динамических структур, сформированных из коллективных согласованных атомных смещений, имеющих ротационный характер. Исследования проведены с использованием метода молекулярной динамики. Для анализа эволюции динамических ротационных структур использована разработанная ранее методика идентификации вихревого движения в пространстве векторной переменной с дискретным шагом. Установлено, что направление согласованного движения атомов в ротационных структурах чередуется как в соседствующих структурах, так и во времени для отдельной ротации. При этом если пространственное чередование вращения обеспечивает сохранение сплошности материала по границам вихревых структур, то чередование направления вращения во времени способствует переносу внутренних напряжений и деформаций из объема нагруженного кристалла на его периферию в область свободных границ. При степенях деформации выше критического значения такое перераспределение может приводить к формированию дефектов кристаллической структуры. Это означает, что ротационные структуры, образованные упругими атомными смещениями, могут быть рассмотрены как динамические дефекты, поскольку являются одним из возможных механизмов релаксации внутренней структуры нагруженного материала.
Ключевые слова: ротационное движение, динамические дефекты, сдвиговая деформация, молекулярная динамика, перераспределение деформации, дефекты структуры
DOI 10.24411/1683-805X-2019-13004
Molecular dynamics study of the evolution of rotational atomic displacements in a crystal subjected to shear deformation
A.I. Dmitriev12, A.Yu. Nikonov12, A.E. Filippov3, and S.G. Psakhie1
1 Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia 2 National Research Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia 3 Technical University of Berlin, Berlin, 10623, Germany
The paper is a molecular dynamics study on the redistribution of atomic displacements in an initially defect-free copper crystallite after prior shear deformation. The focus is on the evolution of dynamic structures formed by self-consistent rotational collective atomic displacements. The evolution of the dynamic vortex structures is analyzed using an earlier developed procedure for identifying vortex-like motion in the vector variable space with a discrete step. It is found that the consistent motion of atoms in the vortex structures is alternating, both in adjacent structures and in time for a single rotation. The spatially alternating rotational motion preserves material continuity along the boundaries of the vortex structures, while the temporally alternating direction of rotation promotes the transfer of internal stresses and strains from the bulk of the loaded crystal to its periphery to the zone of free boundaries. At strains above the critical value, such redistribution can lead to the formation of structural defects in the crystal. This means that the vortex structures formed by elastic atomic displacements can be considered as dynamic defects, because they represent a possible mechanism of internal structure relaxation in the loaded material.
Keywords: rotational motion, dynamic defects, shear deformation, molecular dynamics, strain redistribution, structural defects
1. Введение
Закономерности ротационного движения элементов среды являются предметом пристального изучения вви-
© Дмитриев А.И., Никонов А.Ю., Филиппов А.Э., Псахье С.Г., 2019
ду их определяющей роли для понимания широкого круга явлений и механизмов в различных областях современной науки, включая динамику плазмы [1, 2],
астрофизические и геофизические потоки [3-5], динамику квантовых конденсатов [6-8] и магнитных объектов [9-11]. В то же время традиционно роль ротационной степени свободы в физике прочности и пластичности остается мало изученной. Это объясняется прежде всего динамической природой ротационного движения, а также сложностью его идентификации. Отметим, что впервые связь поворота атомной решетки с формированием линейного дефекта кристаллической структуры была установлена в работе F.C. Frank [12], в которой было введено понятие дисинклинации (дисклина-ции). Несмотря на то что пионерская работа F.C. Frank была выполнена на жидких кристаллах, дальнейшие эксперименты показали наличие данного явления и в других кристаллических структурах. Исследования последних лет показывают, что ротационное или вихревое движение связанных элементов среды, включая ротационную моду деформации, является очень распространенным и важным объектом, проявляющимся в твердых телах в качестве одного из аккомодационных механизмов деформации, необходимого для обеспечения сохранения сплошности нагруженного материала в условиях механического воздействия. Более того, в тех случаях, когда действие подобных механизмов оказывается недостаточным для обеспечения необходимой релаксации напряжений, вихревое движение становится предвестником процесса формирования повреждений и разрушения нагруженного материала. Проявление эффектов ротационного движения особенно выражено в материалах со сложной структурой, содержащих многочисленные интерфейсные области, которые приводят к нарушению трансляционной инвариантности кристаллической решетки и обусловливают развитие дополнительных аккомодационных механизмов пластической деформации материала в прилегающих к ним областях.
В рамках подхода физической мезомеханики внутренние границы раздела рассматриваются как самостоятельная планарная подсистема, в которой при нагру-жении возникают локальные зоны кривизны кристаллической решетки, обусловленные зарождением различных деформационных дефектов [13-15]. Необходимость совместности упругих деформаций сопряженных сред обусловливает возникновение на границах раздела концентраторов напряжений, которые способствуют распространению пластического течения посредством реализации поворотных мод деформации. В работах [16, 17] отмечается, в частности, что деформация гетерогенного материала, содержащего внутренние границы раздела и свободные поверхности, сопровождается согласованным коллективным вихревым движением элементов среды различного масштаба (атомов, нано-зерен) вблизи интерфейсных границ. Результаты теоретических и экспериментальных исследований, выполненных Z. Zhang и др. [18], указывают на то, что в на-номатериалах с высокой концентрацией межзеренных
границ вклад вращательной моды деформации может значительно возрастать при динамическом нагружении. В работах [19-24] вращение нанозерен рассматривается как один из возможных механизмов, обеспечивающих рост зерен нанокристаллического материала в условиях действия внешних напряжений. При этом если в работах [19-22] этот механизм заключается в реализации так называемой специальной вращательной деформации, вызванной зернограничным проскальзыванием и диффузией атомов по межзеренным границам нанокристаллического материала, то в работах [23, 24] вращение нанозерен объясняется проявлением ротационной деформации на наномасштабе в результате согласованных коллективных идеальных атомных сдвигов. Несмотря на разницу вышеупомянутых моделей, вращение в итоге приводит к идентичной конфигурации кристаллической решетки, т.е. дисклинационному квадрупо-лю — паре дисклинационных диполей.
В силу динамического характера ротационного движения, реализующегося только на некоторых этапах процесса нагружения, вихревые самосогласованные движения групп атомов или связанных элементов среды можно рассматривать как динамические дефекты. Поскольку природа такого согласованного движения заключается в образовании вблизи внутренних или внешних границ раздела локальных градиентов скорости и касательных к ним напряжений, то круговое движение реализуется на различных масштабах. Таким образом, выявление роли ротационных движений в перераспределении упругой энергии и, как следствие, в процессе деформации и разрушении материала вблизи внутренних и внешних границ раздела является одной из ключевых задач современного материаловедения.
Хотя прямое экспериментальное наблюдение таких дефектов часто невозможно из-за их малых пространственных и временных масштабов, их влияние на процесс деформации может привести к макроскопическим результатам. В этой связи методы компьютерного моделирования могут быть использованы в качестве эффективного инструмента для детального изучения рассматриваемых вихревых явлений [25, 26]. В то же время существует определенная сложность идентификации таких дефектов, а тем более возможности отслеживания их эволюции. В недавней работе [27] была предложена оригинальная методика идентификации вихревого движения в пространстве векторной переменной на основе вычисления циркуляции векторного поля. Это позволило установить в рамках молекулярно-динамического моделирования, что система динамических «вихрей» и «антивихрей» может перемещаться в объеме моделируемого кристаллита, обеспечивая тем самым перенос напряжений из объема нагруженного материала к его ненагруженной периферии для сохранения сплошности образца. В настоящей работе будет использована предложенная ранее методика идентификации вихревого
движения в пространстве векторной переменной для исследования характера перераспределения согласованных ротационных смещений атомов на стадии релаксации внутренней структуры материала, который был предварительно подвергнут сдвиговой деформации. Будет также показана возможность формирования структурных дефектов кристаллической решетки в результате перераспределения внутренних напряжений, обусловленного эволюцией ротационного движения атомов.
2. Описание компьютерной модели
Для исследования характера перераспределения вихревого движения атомов на этапе релаксации предварительно нагруженного материала в работе моделировалось поведение исходно бездефектного кристаллита меди (рис. 1). Кристаллит имел форму параллелепипеда с размерами 22x22x4 нм вдоль кристаллографических направлений [100], [010] и [001] соответственно. Полное число атомов превышало 150000. Центральная область кристаллита представляла собой свободно деформируемый фрагмент образца, в котором новые состояния ансамбля атомов находились на основе решения системы уравнений движения Ньютона. Атомы, принадлежащие трем крайним верхним и трем крайним нижним атомным слоям (отмечены темным цветом на рис. 1), подвергали внешнему воздействию, для чего использовалась двухэтапная схема нагружения, включающая активную и пассивную стадии. Тип нагрузки на активной стадии нагружения соответствовал деформации сдвига, для чего X компонентам скоростей атомов в нагружаемых слоях присваивались значения -30 м/с (для верхнего слоя) и +30м/с (для нижнего
Рис. 1. Исходная структура моделируемого кристаллита и схема приложения нагрузки на активной стадии нагружения (цветной в онлайн-версии)
слоя). Одновременно с этим для моделирования «чистого» сдвига У компонентам скоростей атомов, принадлежащих верхнему и нижнему нагружаемым слоям, на каждом шаге по времени присваивалось значение нуль. В направлении оси Z компоненты скоростей атомов нагружаемых слоев определялись влиянием атомного окружения. Нагружение на активной стадии продолжалось до степени сдвиговой деформации 5 %, что соответствовало упругой стадии деформирования.
На втором этапе нагружения (пассивная стадия) положения атомов вдоль осей X и У в нагружаемых атомных слоях фиксировались, сохраняя тем самым достигнутые значения деформации в ходе активной стадии нагружения. Моделировался так называемый процесс релаксации кристаллической решетки, когда эволюция всей системы определялась только на основе решения системы уравнений Ньютона без введения каких-либо дополнительных источников воздействия. Таким образом, на стадии релаксации моделировался микроканонический ансамбль, когда общее число атомов, объем системы и ее энергия оставались постоянными в процессе счета.
Для учета протяженности моделируемого фрагмента в направлении [001] использовались периодические граничные условия. Граница раздела, способствующая образованию вихревого движения атомов, моделировалась путем задания свободных поверхностей вдоль оси X. Для исключения наведенных эффектов, связанных с симметрией идеальной решетки, нагружение и релаксация кристаллита меди моделировались при температуре системы 10 К. Заданная температура в моделируемом кристаллите достигалась на основе равенства кинетической и тепловой энергии системы, а также использования распределения Максвелла для задания исходных компонент скоростей атомов. Вихревой характер движения атомов анализировался на основе построения полей атомных смещений в различные моменты времени этапа релаксации. Длительность временных интервалов, используемых для построения полей атомных смещений в моделируемом кристаллите составляла 1 пс.
Для расчетов использовался программный пакет LAMMPS [28]. Взаимодействие между атомами в медном кристаллите описывалось с помощью межчастичного потенциала, построенного в рамках метода погруженного атома [29]. Физическая корректность работы программы была проверена путем сопоставления расчетных и имеющихся экспериментальных значений энергий образования вакансий и дефектов упаковки для чистой меди. Разница значений составила менее 1 %. Для визуализации атомных смещений и конфигураций системы в различные моменты времени использовался программный пакет OVITO [30].
3. Результаты моделирования
Моделирование показало, что в процессе нагруже-ния кристаллита смещения атомов в различные моменты этапа релаксации формируют вихреподобные структуры. На рис. 2, а приведены смещения атомов моделируемого кристаллита в момент времени, когда в левой и правой его частях можно видеть образование согласованных вихревых движений с осями вращения, ориентированными вдоль направления [001]. Для лучшей визуализации отрезки, соответствующие атомным смещениям за временной интервал с 11.4 по 12.4 пс, увеличены в 10 раз. Согласованное вихревое движение атомов в обнаруженных структурах осуществляется против часовой стрелки, что коррелирует с направлением приложенной на активной стадии нагружения сдвиговой деформации. Диаметр вихревых образований достигает 30-50 межплоскостных расстояний, что соответствует около 10 нм. При этом в центральной части кристаллита наблюдается формирование двух вытянутых вдоль оси X структур с ротационным движением атомов, ориентированным по часовой стрелке. Поскольку эти вытянутые ротации расположены друг над другом, то они приводят к согласованному коллективному
Y,
движению атомов центральной части моделируемого кристаллита по часовой стрелке, охватывающему центры обоих вихрей. На рис. 2, в показана карта плотности рассчитанных значений атомных смещений, изображенных на рис. 2, а. Согласно методике, описанной в [27], для построения карты была использована процедура интерполяции дискретного множества значений атомных смещений на области их определения, где градациями серого отмечены модули соответствующих величин. Центры ротационного вращения на такой карте могут быть идентифицированы как темные участки, окруженные светлыми областями.
Анализ смещений атомов в различные моменты времени этапа релаксации показал, что направление вращения вихревых структур в моделируемом кристаллите имеет знакопеременный характер. Так, на рис. 2, б видно, что поле смещений центрального слоя моделируемого кристаллита содержит три соседствующие вихревые структуры, направления вращения в которых отличаются знаком угловой скорости, по сравнению с вихревыми структурами, изображенными на рис. 2, а. Направление движения атомов в левом и правом вихрях в представленный момент времени ориентировано по ча-
Y,
Рис. 2. Проекции (а, б) и карты плотности (в, г) на плоскость XY смещений атомов моделируемого кристаллита меди в интервалах времени: 11.4-12.4 (а, в) и 14.8-15.8 пс (б, г). Градациями серого обозначены значения модулей смещений. Символом О отмечены центры смещений атомов с направлением вращения по часовой стрелке, X — против часовой стрелки (цветной в онлайн-версии)
X, нм
20 X, нм
10 15 20 X, нм
20 X, нм в
совой стрелке, атомы центрального фрагмента кристаллита перемещаются в противоположном направлении. Центры вихревого движения атомов вне зависимости от направления их вращения могут быть однозначно идентифицированы по карте плотности рассчитанных значений атомных смещений для соответствующего момента времени (рис. 2, г).
Для изучения эволюции вихревых смещений в работе была рассчитана циркуляция С поля векторов смещений атомов J(хп, уп) моделируемого кристаллита вокруг каждой точки массива координат с радиусом контура обхода R в последовательные моменты времени: N
с = Е ■!(Хп, Уп) • R(п), (1)
п=1
где знак • обозначает скалярное произведение; п = = 1, 2,... Ма; Ма — число сегментов контура обхода, которое должно удовлетворять требованию 1 << Ма << << N, где N — общее число значений.
На рис. 3 показаны картины распределения рассчитываемых значений циркуляции векторного поля смещений атомов в последовательные моменты времени. Темным цветом отмечены циркуляции с положительными знаками (ротации с направлением вращения против часовой стрелки), а светлым — с отрицательными (ротации с направлением вращения по часовой стрелке). Таким образом, крупные темные и светлые точки означают пространственное положение центров «вихрей» и «антивихрей» соответственно.
20 X, нм
20 X, нм
Рис. 3. Проекция на плоскость ХУ пространственного распределения значений рассчитанной циркуляции поля векторов атомных смещений в различные моменты времени: 10.1 (а), 11.7 (б), 15.4 (в), 16.5 (г), 18.7 (<)), 22.4 пс (е)
Анализируя представленные картины распределения циркуляций можно выделить некоторые закономерности, свойственные проявлению согласованных коллективных смещений атомов вихревого характера. Прежде всего отметим, что центры ротационного движения атомов одного знака угловой скорости чаще всего окружены (экранированы) зонами ротаций, в которых вращение ориентировано в противоположном направлении. Таким образом, реализуется согласование смещений атомов по границам соседствующих ротационных структур, необходимое для сохранения сплошности нагруженного материала. Во-вторых, из рис. 3 видно, что согласованное движение атомов в ротационных структурах, формирующихся в определенных частях моделируемого кристаллита, с течением времени имеет знакопеременный характер. Первоначально (рис. 3, а, б) в центре моделируемого кристаллита наблюдается формирование ротационной структуры, в которой атомы согласованно смещаются в направлении против часовой стрелки (что обусловлено действием сдвиговой деформации на активной стадии нагруже-ния). На временном интервале с 14 по 17 пс центр кристаллита служит местом формирования ротационной структуры с вращением атомов, ориентированным по часовой стрелке. В интервале времени с 17 по 20 пс центральный фрагмент моделируемого кристаллита вновь становится местом формирования ротационного движения с направлением согласованного смещения атомов против часовой стрелки. Аналогичные закономерности смещения групп атомов наблюдаются не только для центрального фрагмента кристаллита, но и для других его областей. Отметим, что знакопеременный во времени характер ротационных структур указывает на упругий диапазон атомных смещений. В-третьих, видно, что упругая волна ротационных атомных смещений одного знака может проходить сквозь аналогичную упругую волну ротаций того же знака, распространяющуюся от противоположного нагружаемого слоя. На рис. 3, б такие волны, движущиеся навстречу друг другу, обозначены как 1 и 2. В момент времени, представленный на рис. 3, в, видно, что обе волны атомных смещений вихревого характера прошли сквозь друг друга и двигаются к противоположным краям моделируемого кристаллита. При этом результатом их прохождения сквозь друг друга является формирование в центральной части кристаллита вихревой структуры с противоположным знаком ротационного движения, что, как отмечалось выше, является способом сохранения сплошности материала. Согласно результатам моделирования подобный механизм формирования циркуляции противоположного знака при взаимном прохождении волн атомных смещений однонаправленного вихревого характера наблюдается как для волн с положительным, так и с отрицательным направлением вращения.
Несмотря на упругий диапазон атомных смещений и знакопеременный во времени характер ротационного движения, результирующие смещения каждого из атомов не являются нулевыми. Результатом таких колебаний является перенос напряжений и деформаций из центральной части кристаллита в область свободной поверхности. Последнее также подтверждается сменой характера симметрии распределения атомных смещений от горизонтальной к диагональной. В более поздние моменты времени этапа релаксации распределение цир-куляций векторов атомных смещений становится симметричным относительно линии АВ, проходящей через левый верхний и правый нижний края кристаллита
Рис. 4. Пространственная конфигурация атомов моделируемого кристаллита меди в момент начала формирования дефектов структуры (23 пс), деформация сдвига, достигнутая в ходе активной стадии нагружения 7.5 % (а); увеличенное изображение фрагмента, отмеченного рамкой на рис. 4, а (б). Стрелкой показана точка просмотра выделенного фрагмента структуры. Центры атомов окрашены согласно анализу поиска ближайших соседей, реализованного в программе OVITO [30]: светло-зелеными точками показаны атомы с ГЦК-структурой, крупными красными — атомы с ГПУ-структурой, серыми — атомы с неопределенной структурой (цветной в онлайн-вер-сии)
(рис. 3, г-е). Дальнейший результат развития аккомодационных механизмов определяется величиной результирующей сдвиговой деформации кристаллита, которая была достигнута в ходе активной стадии нагружения. Если достигнутая деформация меньше некоторого критического значения (в нашем случае ~6 %), то упругие колебания, включая ротационные движения атомов, в кристаллите будут со временем затухать, сохраняя при этом диагональный характер симметрии. В случае большей величины сдвиговой деформации, достигнутой в ходе активной стадии нагружения, перераспределение упругих атомных смещений и напряжений от центральных областей к свободным поверхностям приводит к формированию дефектов кристаллической структуры в левом верхнем и правом нижнем краях нагруженного кристаллита. На рис. 4, а изображена структура кристаллита в момент возникновения в нем в указанных вершинах дефектов упаковки, которые распространяются от свободной поверхности образца в объем кристаллита за счет скольжения ограничивающих их частичных дислокаций Шокли с векторами Бюргерса Ь = 1/6 (112). Величина деформации сдвига, достигнутой в ходе активной стадии нагружения, для данного кристаллита составила 7.5 %. На рис. 4, б представлен увеличенный фрагмент левого верхнего фрагмента кристаллита, развернутый в лабораторной системе координат для лучшей визуализации сформировавшихся пересекающихся дефектов упаковки.
4. Заключение и выводы
В работе были проанализированы закономерности аккомодационных механизмов, развивающиеся на стадии релаксации внутренней структуры кристаллита бездефектной меди, предварительно подвергнутого сдвиговой деформации. Авторами была использована предложенная ранее оригинальная методика, основанная на вычислении циркуляции поля векторной величины, определенной в некоторых точках пространства, и позволяющая не только визуализировать вихревое движение частиц этого пространства, но и проанализировать его эволюцию. С использованием предложенной методики было установлено, что на этапе релаксации кристаллита упругие колебания атомов в узлах кристаллической решетки совершают коллективные согласованные смещения, имеющие ротационный характер. Анализ эволюции ротационных смещений атомов на этапе релаксации показал, что коллективные смещения атомов с одним знаком угловой скорости формируют протяженные структуры, первоначально вытянутые вдоль нагружаемых слоев кристаллита. В дальнейшем эти ротационные структуры распространяются в объем кристаллита подобно упругим волнам. Две волны ротационного движения атомов одного знака угловой скорости, распространяющиеся в объем кристаллита от противоположных
нагружаемых слоев, могут нроходить сквозь друг друга. В результате этого в центре их нересечения формируется циркуляция ноля векторов атомных смещений нро-тивоноложного знака. Это обеснечивает сохранение снлошности материала, носкольку смещения атомов но границам циркуляций разного знака являются взаимно согласованными. Обнаружено, что согласованное движение атомов в ротационных структурах, формирующихся в различных частях моделируемого кристаллита, часто имеет во времени знаконеременный характер. Это означает, что ротационные структуры одного знака угловой скорости чередуются с ротациями другого знака, нри том что центры этих ротаций нрактически совна-дают. Несмотря на знаконеременный во времени характер ротационного движения и унругий дианазон атомных смещений, результирующие смещения каждого из атомов, вовлеченного в две циркуляции нротивонолож-ного знака не являются нулевыми. Результатом таких смещений атомов является нерераснределение деформаций и внутренних нанряжений таким образом, что концентраторы нанряжений локализуются вблизи свободных новерхностей. Последнее нодтверждается нере-ориентацией вытянутых структур ротационного движения атомов и возможностью формирования дефектов кристаллической решетки вблизи свободной новерхнос-ти в случае, когда значение сдвиговой деформации, достигнутой в ходе активной стадии нагружения, нревы-шает критическое значение. Таким образом, в работе ноказано, что ротационные атомные смещения являются одним из возможных механизмов релаксации внутренней структуры нагруженного материала за счет нереноса деформаций и внутренних нанряжений из объема исходно бездефектного кристаллита на его нери-ферию в область внешних (свободных) либо внутренних границ раздела.
Исследования вынолнены нри финансовой ноддерж-ке Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013-2020 гг. (нроект III.23.2.4). Результаты моделирования, связанные с формированием дефектов кристаллической структуры в результате нерераснределения унругих нанряжений, нолучены в рамках вынолнения гранта Российского научного фонда № 17-19-01374. Молекулярно-динамичес-кое моделирование вынолнено на сунеркомньютере Skif Cyberia в рамках Программы новышения конкуренто-снособности ТГУ.
Литеpатypа
1. Berger M.A. Introduction to magnetic helicity // Plasma Phys. Control. Fusion. B. IOP Publ. - 1999. - V. 41. - No. 12. - P. 167-175.
2. Hasegawa H., Fujimoto M, Phan T.-D., Rume H., Balogh A., Dun-lop M.W., Hashimoto C., Tandokoro R. Transport of solar wind into Earth's magnetosphere through rolled-up Kelvin-Helmholtz vortices // Nature. - 2004. - V. 430. - No. 7001. - P. 755-758.
3. Sayanagi K.M., Dyudina U.A., Ewald S.P., Fischer G., Ingersoll A.P., Kurth W.S., Muro G.D., Porco C.C., West R.A. Dynamics of Saturn's
great storm of 2010-2011 from Cassini ISS and RPWS // Icarus. -2013. - V. 223. - No. 1. - P. 460-478.
4. Filippov A.E. Simple model of dust medium evolution // Phys. Lett. A. - 1994. - V. 189. - No. 5. - P. 361-366.
5. Kizner Z., Khvoles R. Two variations on the theme of Lamb-Chaplygin:
supersmooth dipole and rotating multipoles // Regul. Chaotic Dyn. -2004. - V. 9. - No. 4. - P. 509-518.
6. PromentD., Onorato M, Barenghi C.F. Vortex knots in a Bose-Einstein
condensate // Phys. Rev. E. - 2012. - V. 85. - No. 3. - P. 36306.
7. Filippov A.E., Radievsky A.V., Zeltser A.S. Kinetics of vortex formation in superconductors with d-pairing // Phys. Rev. B. - 1996. -V. 54. - No. 5. - P. 3504-3507.
8. Gem A.K., Grigorieva I.V., Dubonos S.V., Lok J.G.S., Maan J.C., Filippov A.E., Peeters F.M. Phase transitions in individual sub-micrometre superconductors // Nature. - 1997. - V. 390. - No. 6657. -P. 259-262.
9. Leonov A.O., Mostovoy M. Multiply periodic states and isolated skyr-mions in an anisotropic frustrated magnet // Nat. Commun. - 2015. -No. 6. - P. 8275.
10. Kiselev N.S., Bogdanov A.N., Schafer R., Rofiler U.K. Chiral skyr-mions in thin magnetic films: New objects for magnetic storage technologies? // J. Phys. D. Appl. Phys. - 2011. - V. 44. - No. 39. -P. 392001.
11. Filippov A.E. Kinetics of vortex structure formation in magnetic materials // J. Exp. Theor. Phys. - 1997. - V. 84. - No. 5. - P. 971-977.
12. FrankF.C. LXXXIII. Crystal dislocations.—Elementary concepts and definitions // Philos. Mag. - 1951. - V. 42. - No. 331. - P. 809-819.
13. Панин B.E., Гриняев Ю.В. Физическая мезомеханика — новая парадигма на стыке физики и механики деформируемого твердого тела // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - C. 9-36.
14. Панин B.E. Поверхностные слои и внутренние границы раздела как самостоятельные подсистемы в твердых телах // Поверхностные слои и внутренние границы раздела в гетерогенных материалах / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006. - С. 32-69.
15. Егорушкин B.E., Панин B.E. Масштабная инвариантность пластической деформации планарной и кристаллической подсистем твердых тел в условиях сверхпластичности // Физ. мезомех. -2017. - Т. 20. - № 1. - С. 5-13. - doi 10.24411/1683-805X-2017-00012.
16. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Панин А.В., Чернявский А.Г. Пластическая дисторсия — фундаментальный механизм в нелинейной мезомеханике пластической деформации и разрушения твердых тел // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 1. - С. 31-46. - doi 10.24411/1683-805X-2016-00041.
17. Псахъе С.Г., ЗолъниковК.П., Дмитриев А.И., Смолин А.Ю., Шилъ-ко Е.В. О динамических дефектах вихревого характера в деформируемом материале // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 4. - С. 2937. - doi 10.24411/1683-805X-2013-00001.
18. Zhang Z., He G., Zhang H., Eckert J. Rotation mechanism of shear fracture induced by high plasticity in Ti-based nano-structured composites containing ductile dendrites // Scripta Mater. - 2005. - V. 52. -No. 9. - P. 945-949.
19. Ovid'ko I.A., Sheinerman A.G. Special rotational deformation in na-nocrystalline metals and ceramics // Scripta Mater. - 2008. - V. 59. -No. 1. - P. 119-122.
20. Morozov N.F., Ovid'ko I.A., Sheinerman A.G., Aifantis E.C. Special rotational deformation as a toughening mechanism in nanocrystalline solids // J. Mech. Phys. Solids. - 2010. - V. 58. - P. 1088-1099.
21. Gutkin M.Y., Ovid'ko I.A., Skiba N.V. Crossover from grain boundary sliding to rotational deformation in nanocrystalline materials // Acta Mater. - 2003. - V. 51. - P. 4059-4071.
22. Feng H., Fang Q.H., Zhang L.C., Liu Y.W. Special rotational deformation and grain size effect on fracture toughness of nanocrystalline materials // Int. J. Plasticity. - 2013. - V. 42. - P. 50-64.
23. Ovid'ko I.A., Sheinerman A.G. Nanoscale rotational deformation in solids at high stresses // Appl. Phys. Lett. - 2011. - V. 98. - P. 181909.
24. Ovid'ko I.A., Sheinerman A.G. Nanoscale rotational deformation near crack tips in nanocrystalline solids // J. Phys. D. Appl. Phys. - 2012. -V. 45. - P. 335301.
25. Psakhie S.G., Shilko E.V., Popov M.V., Popov V.L. The key role of elastic vortices in the initiation of intersonic shear cracks // Phys. Rev. E. - 2015. - V. 91. - P. 063302.
26. Псахъе С.Г., Золъников К.П., Дмитриев А.И., Крыжевич Д.С., Никонов А.Ю. Локальные структурные трансформации в ГЦК-решетке в условиях контактного взаимодействия различного типа. Молекулярно-динамическое исследование // Физ. мезомех. -2012.- Т. 15. - № 1. - С. 23-31.
27. Dmitriev A.I., Nikonov A.Yu., Filippov A.E., Popov V.L. Identification and space-time evolution of vortex-like motion of atoms in a loaded solid // Физ. мезомех. - 2018. - Т. 21. - № 3. - С. 48-58. -doi 10.24411/1683-805X-2018-13006.
28. Plimpton S. Fast parallel algorithms for short-range molecular dynamics // J. Comput. Phys. - 1995. - V. 117. - No. 1. - P. 1-19.
29. Mishin Y., Mehl M.J., Papaconstantopoulos D.A., Voter A.F., Kress J.D. Structural stability and lattice defects in copper: Ab initio, tight-binding, and embedded-atom calculations // Phys. Rev. B. -2001. - V. 63. - No. 22. - P. 224106.
30. Stukowski A. Visualization and analysis of atomistic simulation data with OVITO—the open visualization tool // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. - 2010. - V. 18. - No. 1.- P. 15012.
Поступила в редакцию 07.12.2018 г., после доработки 15.05.2019 г., принята к публикации 22.05.2019 г.
Сведения об авторах
Дмитриев Андрей Иванович, д.ф.-м.н., доц., внс ИФПМ СО РАН, проф. ТГУ, dmitr@ispms.ru Никонов Антон Юрьевич, к.ф.-м.н., мнс ИФПМ СО РАН, нс ТГУ, anickonoff@ispms.ru
Филиппов Александр Эльвинович, д.ф.-м.н., проф., Берлинский технический университет, Германия, filippov_ae@yahoo.com Псахье Сергей Григорьевич, д.ф.-м.н., проф., чл.-к. РАН
