Моделирование структуры и механических свойств компактной костной ткани Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

УДК 539.3

Моделирование структуры и механических свойств компактной костной ткани

Т.В. Колмакова

Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия

Построена модель компактной костной ткани. В качестве армирующих элементов конструкции рассматриваются остеоны, в качестве матрицы — прочно склеенные между собой кусочки цилиндрических ламелей, оставшихся после ремоделирования. Модельный образец компактной костной ткани представляется совокупностью структурных элементов, внутри каждого структурного элемента расположен остеон диаметром Ь с диаметром гаверсова канала Ь. Механические свойства матрицы и армирующих элементов определяются свойствами и ориентацией минерально-коллагеновых волокон в ламелях остеона. Представлены результаты расчетов напряженно-деформированного состояния образца компактной костной ткани при сжатии.

Ключевые слова: компьютерное моделирование, компактная костная ткань, остеоны, эффективные механические свойства

Simulation of the structure and mechanical properties of compact bone tissue

T.V. Kolmakova

National Research Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia

A model of compact bone tissue was developed. The reinforcing structural elements in the model are osteons, and the matrix is firmly agglutinated fragments of cylindrical lamellae available after remodeling. The mode specimen of compact bone tissue is represented by an ensemble of structural elements each in the inside having an osteon of diameter bY with haversian canal diameter b. The mechanical properties of the matrix and reinforcing elements are determined by the properties and orientation of mineral-collagen fibers in the osteon lamellae. Computation results for the stress-strain state of the specimen of compact bone tissue under compression are reported.

Keywords: computer simulation, compact bone tissue, osteons, effective mechanical properties

1. Введение

Человечество всегда стремилось улучшить качество и увеличить продолжительность жизни индивидуума. Достижение этой цели, в частности, предполагает создание материалов для искусственных органов и тканей, в том числе материалов для замены костной ткани.

Материалы, претендующие на роль костных имплантатов должны обладать биологической совместимостью, быть нетоксичными, не отторгаться организмом как инородное тело, иметь достаточную пористость для прорастания костной ткани сквозь имплантат, иметь близкие к костной ткани структуру, состав и механические свойства.

Упругие и прочностные свойства кости неодинаковы в разных направлениях и определяются ее составом и структурой [1-6].

Костная ткань непрерывно изменяется на протяжении жизни человека. Этот процесс получил название

ремоделирования или «костного оборота». В течение первых двух десятков лет жизни человека идет процесс моделирования костей скелета, когда кости скелета растут и приобретают присущую им форму. После того как сформировался скелет взрослого человека, кости способны лишь к ремоделированию [2]. Особенность этого физиологического феномена в том, что на многочисленных микроскопических участках поверхности кости возникают явления ее рассасывания (резорбции) и восстановления. Костная структура изменяется с возрастом, адаптируется и модифицируется в зависимости от окружающей механической обстановки. Изменения костной структуры зависят от образа жизни, который ведет человек, его питания, состояния здоровья.

Неоднородность механических свойств кости следует учитывать при подборе заменителей костной ткани для обеспечения их механической совместимости. Различия костной ткани и имплантата в модуле упругости

© Колмакова T.B., 2011

могут привести к утрате имплантата вследствие резорбции находящегося с ним в контакте костного вещества [3].

Таким образом, для разработки имплантатов актуальным является исследование механического поведения костной ткани с учетом индивидуальных особенностей ее строения.

В работе моделируются структура и свойства компактной костной ткани.

2. Структура компактной костной ткани

Кость представляет собой многоуровневый композит [1, 4], обладающий анизотропными свойствами. Большинство костей взрослого человека состоит из пластинчатой костной ткани. Из нее образованы компактное и губчатое вещества, распределение которых зависит от функциональных нагрузок на кость. Губчатое (трабекулярное, спонгиозное) вещество кости напоминает губку, построенную из костных пластинок (балок) с ячейками между ними [2]. Компактное (кортикальное) вещество кости намного плотнее губчатого.

Костная ткань является биологическим композитом, основу которого составляет органический и минеральный матрикс [2, 4, 5]. Большая доля органической составляющей приходится на коллаген, главным компонентом минеральной составляющей является гидрок-сиапатит Са10(РО4)6(ОН)2 [4, 5].

В компактной кости органический матрикс составляет около 25 %, неорганические вещества — 65 % и вода — 10 % [5]. Основным элементом конструкции компактной костной ткани являются остеоны [4, 5], которые представляют собой конструкцию из 4-20 концентрически расположенных ламелей (цилиндрических оболочек) толщиной 3-7 мкм с разными направлениями и углами навивки минерально-коллагеновых волокон (рис. 1).

Остеон образуется вокруг центрального гаверсова канала приблизительно кругового сечения, внутри которого проходят кровеносные сосуды, нервы. Ориентированы остеоны вдоль продольной оси кости.

Механические свойства кости определяются составом и ориентацией минерально-коллагеновых волокон в ламелях остеонов.

Яркость в костной ткани при поляризованном свете связана с ориентацией коллагеновых волокон в ламелях [6]. На основе полученных в поляризованном свете изображений кости выделяют 3 типа остеонов (рис. 2).

Считается, что снимки светлых остеонов соответствуют ламелям, в которых коллагеновые волокна расположены параллельно плоскости и перпендикулярно гаверсову каналу (тип I — поперечные волокна), а также могут располагаться под углом ±45° к оси остеона. Темные остеоны состоят из ламелей, в которых коллагеновые волокна располагаются параллельно оси кости (тип III — продольные волокна). В чередующихся (темно-белых) остеонах коллагеновые волокна меняют ориентацию при переходе от одной ламели к другой (тип II — переменные волокна) согласно предыдущей классификации.

3. Модель компактной костной ткани

В работе компактная костная ткань рассматривается как композиционный материал, где в качестве армирующих элементов конструкции выступают остеоны, а в качестве матрицы — оставшиеся после ремоделирования старые кусочки цилиндрических ламелей, прочно склеенные между собой, образующие довольно однородную по механическим свойствам массу [4]. В качест-

Тип I Тип II Тип III

Рис. 1. Схема строения компактной костной ткани: 1 — центральный Рис. 2. Схематическое представление ориентации коллагеновых воло-

гаверсов канал, 2 — пластинки остеона (ламели), 3 — костные полос- кон в ламелях остеона (а) и поперечное сечение компактной костной

ти (лакуны), содержащие костные клетки (остеоциты) ткани различных видов остеонов при поляризованном свете (б) [6]

ве структурного элемента компактной кости рассматривается некоторый объем, внутри которого расположен остеон диаметром Ь1 с диаметром гаверсова канала Ь (рис. 3). Размеры а1 - а16 определяются радиусом остео-на и полурасстоянием до соседнего остеона в разных направлениях. Углы а, в, у, ф показывают направление расположения соседних остеонов.

Форма структурных элементов может быть различной (рис. 4). Образец кортикальной кости представляется набором таких структурных элементов (рис. 5).

4. Оценка эффективных механических свойств остеонов

В работе эффективные механические свойства материала матрицы и армирующих элементов, остеонов, оцениваются с позиций механики композиционных материалов с учетом свойств и ориентации коллагеновоминеральных волокон (согласно описанным выше типам). Материал матрицы считается макроскопически изотропным, материал остеона — ортотропным. Эффективные свойства матрицы рассчитываются согласно правилу смеси.

4.1. Оценка эффективных механических свойств ламели остеона с расположением коллагеноминеральных волокон вдоль оси остеона

Для расчета эффективных механических свойств ламели остеона с расположением коллагено-минеральных волокон параллельно оси остеона (оси кости) используются выражения (1)-(5), полученные согласно по-лидисперсной модели среды с цилиндрическими включениями, описанной 3. Хашином и В. Розеном [7, 8].

Согласно этой модели принимается, что волокна представляют собой бесконечно длинные круговые цилиндры, заключенные в непрерывную матрицу. С каждым отдельным волокном связана оболочка из материала матрицы.

В качестве волокон для данной модели рассматриваются коллагеновые волокна, в качестве матрицы — гидроксиапатит. Система с параллельными волокнами обладает симметрией свойств в плоскости (плоскости изотропии), перпендикулярной к направлению ориентации волокон и называется трансверсально изотропной. Эффективные независимые свойства такой среды (Е11 — эффективный модуль упругости ламели вдоль

1

А = 3с(1 - с)2

М f

— Пт + П Пт М т

(

М f

Пт-П

СПт

М f

-1

Мf

Пт +1

В = -3с(1 - с)'

М т

Рис. 5. Модель компактной костной ткани

оси, совпадающей с направлением расположения минерально-коллагеновых волокон; v12 — коэффициент Пуассона при одноосном нагружении в направлении расположения волокон; К23 — эффективный объемный модуль при плоском деформированном состоянии; М12 — эффективный модуль сдвига в плоскости параллельной волокнам) рассчитываются согласно формулам

(1)-(4):

Е11 = с^ + (1 - с)Ет +

Пт +

(

_М£

Мт

Мт

-1

_М£_

Мт

(пт - 1)

М f

— + П

Мт

-1

с +1

1

- 2

_М£_

Мт

Пт-П

+ "(Пт + 1)

С = 3с(1 - с)2

"_М^ . -1 М f + / М f п п . 3

—+п + Пт -П с

ЧМ т М т ЧМ т -

М f

-1

М f

М f

Пт +

М f

-1

с + 1

■ , (1) (1 - с) Мт /( Kf + /3) + сМ-т /(Кт + Мт /3) + 1

где с — объемная доля волокон; V , V т, мf, мт, К^ Кт — коэффициенты Пуассона, модули сдвига, объемные модули упругости коллагена ^ ) и гидроксиапатита (т);

Vl2 = (1 - c)V т + CV f + С(1 - c)(V f -V т) X

х Мт/(Кт + Мт/3) -Мт/(Кf +М f|3)

М f , / Мf . 3

X Пт -П с

^п)2 М т ,1Л М т чМт - 3

(1 - с) Мml(Kf + М^/3) + сМт/(Кт + Мт/3) + 1 К 23 = Кт +М3т + с [(К - Кт + (М f -Мт)/3) -1 +

+ (1 - с)(Кт + 4/3 Мт)-1]-1,

М12 = М^(1 + с) + Мт(1 - с)

М т

(2)

(3)

(4)

Пт = 3 - ^т, П = 3 - 4V^

Для трансверсально изотропной среды V12 ^ 21, связь между этими величинами определяется следующим выражением:

^2 _ V21 Е11 Е22

где Е22 — эффективный модуль упругости ламели поперек волокон:

4м 23 К 23

Е22 =

где

М f(1 - с) + М т (1 + с)

Представленные формулы выведены Р. Хиллом [8, 9] и 3. Хашином [8, 10].

Эффективный модуль сдвига М23 в плоскости изотропии определяется с помощью трехфазной модели среды с цилиндрическими включениями, согласно которой все, кроме одного составного цилиндра, заменяются эквивалентной гомогенной средой [8]:

2

V 23 =

К 23 +М 23 + 23 К2з/Е11

У21, V12 = ^3, V32 = V23,

К23 -М23 - 4v12м23К23 /Е11 К 23 + М 23 + 23 К23іЕ11

(6)

(7)

М 23 + 2В 1/ М 23 .

М т М т

+ С = 0,

(5)

где

4.2. Оценка эффективных механических свойств ламели остеона с расположением минеральноколлагеновых волокон перпендикулярно оси остеона Для расчета эффективных механических свойств ламели остеона с расположением минерально-коллагеновых волокон под углом 90° к оси остеона (оси кости) используются выражения [11], зависящие от эффективных механических характеристик ламели с параллельным расположением минерально-коллагеновых волокон:

+

М

X

М

М

+

+

X

X

+

+

М

М

+

X

М

М

Таблица 1

Эффективные механические свойства остеонов

Тип I Е11 = Е33, ГПа 18.71 Тип 1±45° Е11 = Е22, ГПа 20.0

Е22, ГПа 23.74 Е33, ГПа 18.71

<12 = <32 0.17 "12 = "21 0.24

<21 = V23 0.22 3 "1 = 23 " 0.20

V31 ="13 0.26 31 " = 32 " 0.19

М12 =М13 =М32 =М31> ГПа 7.05 М12 =М21> ГПа 7.75

М23 =М21> ГПа 7.98 М23 = М13 = М32 = М31> ГПа 7.52

Тип II Е11 = Е22, ГПа 21.23 Тип III Е11, ГПа 23.74

Е33, ГПа 18.71 Е22 = Е33> ГПа 18.71

"12 ="21 0.20 "12 = "13 0.22

< = 2 0.24 "21 = "31 0.17

"31 = "32 0.21 <32 =<23 0.26

М12 =М13 = М23 =М21> ГПа 7.52 М12 = М13> ГПа 7.98

М32 =М31> ГПа 7.05 М23 = М32 = М21 =М31> ГПа 7.05

Е'и

cos4 а

sin4 а

sin4 а

"22

cos4 а

22

у 21 Е'22

22

1

М12

1

М12

2v

12

2v

12

cos2 а sin2 а, (8) cos2 а sin2 а, (9)

= 12 =

Еп 1 1 — +—+-

12

2v

12

1

М12

sin2 а cos2 а,

—— = sin2 (2а) М 21 1

М-13

1 /

М 23 М13

1

+

1

2v

12

ЧЕ11 Е22

соб2 а біп2 а

----------1---------,

соБ2(2а)

М12

М13

М 23

біп2 а соб2 а ------------1------------.

М 23

(10)

(11)

(12)

(13)

4.3. Оценка эффективных механических свойств ламели остеона с расположением минеральноколлагеновых волокон под углом ±45° к оси остеона Ламели с расположением минерально-коллагеновых волокон под углом +45° или -45° обладают анизотропными свойствами. Такие два слоя при расчете удобнее рассматривать как один симметрично армированный. Работая совместно, они образуют ортотропный слой [12]:

1 1-(Си + С22 + 2С„), (14)

33

С

М12 = С** -

// ______

М 23 =

С - С23)2

8С

2С44С55

33

С44+С55 С * + 4С33М12 4С *Ци

(15)

(16) (17)

V 23 ='

С* - 4Сззм12 С* + 4С33М12'

С13 + С23

С,, + С22 + 2С,

12

где

1

(18)

(19)

С=-(Сп + С22 + 4С66 -2С12),

8

С * = С33 (Сц + С22 + 2С12) - (С12 + С23 )2, где Су — компоненты матрицы жесткости для слоя, армированного вдоль оси остеона.

4.4. Оценка эффективных механических свойств различных типов остеонов

Эффективные свойства остеона определяются по эффективным свойствам ламелей, входящих в состав этого остеона:

2 Т|ашІЕ

Е =

І=1

1ат г^1аш г

2 ТІаш І<

V =

І=1

1аш г 1аш г

м =

2 Т1аш іМ1а І=1

< 21 =

+

+

+

Ах

ст2, МПа ш - 45.8 Я - 44.0 42-2 □ - 40-4 \=\ -38.6 \=\ -36.8

Г!35-0 гп -33.2 ^ -31.4 ■ -29.6

ст2, МПа _ -51.5 ™ -49.3 -47.2

- 45.1

- 42.9

- 40.8 -38.7 -36.5

□

□

□

□

□ .

^ -34.4

ст2, МПа ш -48.5 -46.8

- 45.1

- 43.3

- 41.6 -39.8 -38.1 -36.4 -34.6 -32.9

О

□

О

О

о

□

□

ст2, МПа и-51.5 ™ - 49.8 -48.0 -46.3 п - 44.6 -42.8 - 41.1

н-39.3

^ -37.6 ■ -35.8

□ " □ "

"

□ "

ш

□

□

□

□

□

□

00212

00205

00198

00190

00183

00175

00168

00160

00153

00145

_-0,

Н-о:

-0 Е^-0. ■ 1-0. □-0.

^2

00203

00196

00189

00181

00174

00167

00160

00152

00145

00138

□

□

□

□

П

□

62

- 0.00204

- 0.00197

- 0.00190

- 0.00183

- 0.00176

- 0.00169

- 0.00163

- 0.00156

- 0.00149

- 0.00142

□

О

□

I

о

ш

62

0.00196

0.00190

0.00183

0.00177

0.00171

- 0.00164

- 0.00158

- 0.00152

- 0.00145

- 0.00139

Рис. 7. Распределение напряжений а2 (а, в, д, ж), деформаций 62 остеоны типа I (а, б), 1±45° (в, г), II (д, е) и III (ж, з)

где к — количество ламелей в остеоне; Та — толщина остеона; Т1ашг — толщина очередной ламели; Е1ашг, V 1ашг, ц1ашг — эффективные свойства очередной ламели.

В табл. 1 представлены эффективные свойства трех типов остеонов с ламелями одинаковой толщины сухой компактной костной ткани. Полученные значения эффективных свойств не противоречат литературным данным [13-19].

4.5. Напряженно-деформированное состояние модельного образца компактной костной ткани

На рис. 6 представлена конечно-элементная модель образца компактной костной ткани. Отличие в свойствах матрицы и остеонов выделено цветом. Светлосерым отмечены изотропные свойства матрицы, темносерым — ортотропные свойства остеонов.

Проведен расчет напряженно-деформированного состояния модельного образца компактной костной ткани, содержащей остеоны упомянутых выше типов при сжатии вдоль их оси нагрузкой 40 МПа. На рис. 7 представлены распределения напряжений и деформаций на участке модельного образца, отсеченного плоскостью ХУ.

Результаты расчетов показывают неравномерное распределение напряжений в окружной ткани модельных образцов, армированных остеонами типа I и 1±45°. Наименьшие напряжения наблюдаются в остеонах типа I (рис. 7, а).

5. Заключение

В работе представлен обзор литературы по строению компактной костной ткани, классификации ее армирующих элементов — остеонов. Создана модель компактной костной ткани. С позиций механики композиционных материалов проведена оценка эффективных механических свойств различных типов остеонов. Представлены результаты расчетов напряженно-деформированного состояния модельных образцов костной ткани. Данные результаты показали, что остеоны типа I менее чувствительны к сжимающей нагрузке по сравнению с остеонами других типов.

Литература

1. Архипов-Балтийский С.В. Рассуждение о морфомеханике. - Кали-

нинград: Норма, 2004. - 820 с.

2. Аврунин А.С., Корнилов Н.В., Суханов А.В., Емельянов В.Г. Форми-

рование остеопоротических сдвигов в структуре костной ткани (костные органы, структура костной ткани и ее ремоделирование, концепция патогенеза остеопороза, его диагностики и лечения). -СПб: Ольга, 1998. - 84 с.

3. Путляев В.И. Современные биокерамические материалы // Соро-совский образовательный журнал. - 2004. - Т. 8. - № 1. - С. 4450.

4. Утенькин А.А. Кость — многоэтажный композит // Химия и жизнь. - 1981. - № 4. - С. 38-40.

5. Данильченко С.Н. Структура и свойства апатитов кальция с точки

зрения биоминералогии и биоматериаловедения (Обзор) // Вюник СумДУ. Физика, математика, механика. - 2007. - N° 2. - С. 33-59.

6. Фигурска М. Структура компактной костной ткани // Российский журнал биомеханики. - 2007. - Т. 11. - № 3. - С. 28-38.

7. Хашин 3., Розен Б. Прикладная механика. - М.: Мир, 1964. - 71 с.

8. Кристенсен Р. Введение в механику композитов / Под ред. Ю.М. Тарнопольского. - М.: Мир, 1982. - 334 с.

9. Hill R. Theory of mechanical properties of fibre-strengthened materials: I. Elastic behavior // J. Mech. Phys. Solids. - 1964. - V. 12. -P. 199-212.

10. Hashin Z. Viscoelastic fiber reinforced materials // AIAA J. - 1966. -V. 4. - P. 1411-1417.

11. ВасильевВ.В. Механика конструкций из КМ. - М.: Машиностроение, 1988. - 268 с.

12. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. - 400 с.

13. Currey J.D. Three analogies to explain the mechanical properties of bone // Biorheology. - 1964. - V. 2. - P. 1-10.

14. Lawson A.C. Collagen calcium phosphate composites // Proc. Inst. Mech. Engrs. - 1998. - V. 212. - Part H. - P. 413-425.

15. Evans G.P., Behiri J. C., Currey J.D., Bonfield W. Microhardness and Young’s modulus in cortical bone exhibiting a wide range of mineral volume fractions, and in a bone analogue // J. Mater. Sci.-Mater. M. -1990. - P. 38-43.

16. Hellmich C., Barthelemy J.-F., DormieuxL. Mineral-collagen interactions in elasticity of bone ultrastructure — a continuum micromechanics approach // Eur. J. Mech. A. Solid. - 2004. - No. 23. - P. 783810.

17. Budyna E., Hoc T. Multiple scale modeling for cortical bone fracture in tension using X-FEM // REMN. - 2007. - No. 16. - P. 215-238.

18. Hengsberger S. Mechanical characterization of bone from the tissue down to the lamellar level by means of nanoindentation. - Lausanne: EPFL, 2002. - 118 р.

19. Hengsberger S., Kulik A., Zysset Ph. Nanoindentation discriminates the elastic properties of individual human bone lamellae under dry and physiological conditions // Bone. - 2002. - V. 30/1. - P. 178184.

Поступила в редакцию 16.06.2011 г., после переработки 05.09.2011 г.

Сведения об авторе

Колмакова Татьяна Витальевна, к.ф.-м.н., доц. ТГУ, kolmakova@ftf.tsu.ru