Моделирование на основе вариационных принципов аналитической механики математических моделей потокораспределения в системах водоснабжения при подключении устройств пожаротушения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 614.842.8: 628.1

МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ В СИСТЕМАХ ВОДОСНАБЖЕНИЯ ПРИ ПОДКЛЮЧЕНИИ УСТРОЙСТВ ПОЖАРОТУШЕНИЯ

С.А. Сазонова, Е.А. Сушко, С.Д. Николенко

Рассматривается последовательность формирования математических моделей потокораспределения для распределительных систем водоснабжения. Предполагается в случае возникновения пожара к таким системам подсоединять устройства пожаротушения, характеризующиеся существенными расходами воды на тушение пожара. Так как функционирующие системы водоснабжения претерпевают за период своей эксплуатации существенные изменения, связанные с присоединением новых потребителей или в связи с изменением параметрических характеристик при реконструкции, то требуется иметь текущую информацию о состоянии таких систем с целью проверки их готовности к применению в чрезвычайных ситуациях. Восполнить полную информацию о гидравлических системах представляется возможным с помощью численной реализации математических моделей потокораспределения, разработанных на основе вариационных принципов аналитической механики. Модели лежат в основе задачи статического оценивания состояния систем по данным манометрической съемки, позволяющей получать оперативную информацию о всех параметрах системы. С помощью такой информации возможно изменять параметры системы для обеспечения требуемых характеристик в местах присоединения устройств пожаротушения.

Ключевые слова: системы водоснабжения, пожарная безопасность, системы пожаротушения, математические модели, потокораспределение, вариационные принципы механики.

Введение. При присоединении устройств пожаротушения к системам водоснабжения (СВС) наиболее актуальным является вопрос о способности таких систем обеспечить требуемые расходы воды в случае возникновения пожара на объектах любой сложности. Места присоединения таких устройств могут быть заранее определены, а также известны их технические характеристики, в первую очередь - требуемые расходы воды. В реальных условиях конфигурация и состав СВС претерпевают постоянные изменения по причине присоединения новых потребителей, изменения режимов потребления, введения резервных участков при проведении реконструкции СВС и в силу иных обстоятельств. В реальных условиях значения запроектированных параметров СВС в местах присоединения устройств пожаротушения также меняются.

Так как нагрузка на систему в большинстве случаев увеличивается при присоединении новых потребителей без проведения необходимой реконструкции системы с целью увеличения ее мощности, то в итоге это может привести к уменьшению объема потребления воды в случае чрезвычайной ситуации, то есть при возникновении пожара. Это в свою очередь может привести к невозможности оперативного тушения очага возгорания, что приведет к осложнению или невозможности своевременной эвакуации людей, а

также приведет к человеческим жертвам и существенным экономическим потерям. Усугубить ситуацию, дополнительно понизив напор в СВС, могут так же утечки [1], объемы которых для распределительных систем водоснабжения населенных пунктов, по данным статистики могут принимать весьма существенные значения.

Произвести расчеты по определению для функционирующей СВС объемов воды в местах подключения устройств пожаротушения, а также по изменению параметров системы при проведении реконструкции можно с помощью математических моделей потокораспределения, полученных на основе применения вариационного вычисления при численной реализации моделей. Полученная таким образом информация может быть использована лицом, принимающим решение при управлении функционированием СВС.

Модели потокораспределения [2] будем формировать на основе применения энергетического эквивалентирования [3] для гидравлических систем (ГС). Основные обозначения в моделях будем применять в соответствии с [2]. Модели потокораспределения необходимы для численной обработки информации [4], полученной при проведении технической диагностики [5], в рамках решения задачи статического оценивания состояния ГС [6], позволяющей восполнить полную информацию о

параметрах функционирующей системы. При реализации задачи технической диагностики дополнительно потребуется реализовать задачу информационной безопасности [7, 8].

Постановка задачи. Рассмотрим формирование математических моделей

потокораспределения в транспортных

гидравлических системах, связанное с решением вариационной задачи на основе интегральных вариационных принципов аналитической механики.

В принципе У. Гамильтона - М.В.

Остроградского [9] основным параметром является функция (Н), в которой отображена разность между потенциальной (V) и кинетической (Т энергиями системы. Функцию (Н) Г. Гельмгольц [10] называет кинетическим потенциалом.

Чтобы для немеханических систем обобщить принцип У. Гамильтона - М.В. Остроградского, Г. Гельмгольц добавляет сумму работ внешних сил к кинетическому потенциалу. В результате расширенный вариационный принцип наименьшего действия в [9] записан в виде:

бЦ T -U + SРд\dx-0

(1)

где: д, - обобщенная координата, Р, , - действующая сила.

Стационарность интеграла (1) можно

получить путем варьирования дг. После преобразований получаем уравнения Ж. Лагранжа второго рода:

Р-Ж

Pi- dq

+

dU_ d dq. dx

dT dqi

(2)

На основе расширенного вариационного принципа наименьшего действия (1) можно сформировать модели потокораспределения в ГС. В этом случае следует рассматривать расчетную зону (РЗ) исследуемого объекта - то есть некоторый фрагмент метасистемы, имеющей энергоузлы (ЭУ), через которые выполняется обмен целевым продуктом между ними и всей системой.

В структурный состав РЗ входят соответствующие: источники, потребители и транспортные участки, соединяемые между собой в узлах. Вблизи узлов, а также у источников и мест присоединения потребителей размещены арматура и регуляторы, коэффициенты гидравлических сопротивлений которых могут считаться в общем случае зависящими от времени. На участках следует учесть наличие встроенных в них перекачивающих устройств. На рассмотренном фрагменте системы ЭУ обозначим и ]^р) и ч) и В РЗ будет содержатся подмножества ] 7(р) и/ткЧ) и/^(Л потребителей и ] ^ источников. В рассмотренном фрагменте системы имеют место энергетически нейтральные узлы и ветвления .

Можно условно разделить на искомые и заданные следующие гидравлические

параметры:изменения давления на ветвях И, потенциалы в узлах Н, расходы среды на ветвях Q или отборы в узлах д. К параметрам ГС следует относить и температуру, однако здесь она для транспортируемой и окружающей среды предполагается везде одинаковой, и таким образом течение будим считать изотермическим.

Для ГС объем столба жидкости для каждого элемента системы принято считать циклическими координатами. При этом под скоростями изменения циклических координат будем понимать объемные расходы среды д и Q. Данные параметры определяют стационарный режим течения целевого продукта в системе. Для нестационарного режима учитываются также параметры, s(т) и < = й<2 / йЬ.

В любом элементе следует учесть поверхностные силы: давление источников Н] е]противодавление стоков Н , ] е ] 7(Р) и ¡7(ч ) и ] 7(/У; силы трения на п участках исследуемого фрагмента системы (ИФС) г е 17Г), а также массовые и инерционные объемные силы. Конфигурация, метрические характеристики и взаимосвязи элементов ИФС заранее известны.

Формулировка вариационной задачи. Сформулируем вариационную задачу для СВС:

+

+ Pg1

0

P g 1

je J

X2 I Pl Q x

5lj ъЩт-Pg 1

xi\ieIzrFi 2 0

S 1 (Z j+H j )dq j

i<= rz 0 je J *f)

d т

1( Zj +Hj Yq3

ri(P)wr r(f) (

d x+p g 1

Qi

S 1 sQЩ

ie Izr 0

dx

S X

*(f )

л

q+ S sgn(Qy.)Qj.

J . Tzr J J

ie Ii

dx + Pg 1 S Xj S sgn(Qi,)Qj

+ Pg 1

S Xj

r r(P)uJ r (f)

S sgn(Qi)Q-qj

. Tzr J J J

ieI j

0 jeJ• [ielj

dx \dx -0.

d x +

(3)

x

0

x

Стоящие на первом месте слагаемые в (3) отображают кинетическую энергию фрагмента системы. Вторая группа слагаемых отражает работу внешних сил, воздействующих на систему. Третья группа моделирует энергоотток потребителям. Четвертая группа учитывает диссипацию энергии за счет внешних сил трения, которые для неконсервативных систем обычно относят к активным силам, определяемым из эмпирических

соотношений. Остальные группы слагаемых обеспечивают условия сплошности среды для узлов смешения, а также разделения потоков.

Уравнения движения системы могут быть получены после подстановки подынтегральной функции в соотношения (1). После преобразования два первых члена в правой части пропадут, в итоге уравнения движения преобразуются к виду:

P+

d_ d х

8T

5qi

-hj+hj+i-0.

(4)

Обозначения в (4) аналогичны (1), за исключением второго индекса у неопределенных множителей X, который соответственно обозначает входной и выходной узлы структурного элемента системы.

d_ 8 ( 2 ^ Wi nrr d 8 i Q21

d х [dQi l 2 J =PgdTx 8Qi 1. g^i2 J

где й™ - инерционный член, ш, -жидкости в полости трубопровода, скорость потока.

масса столба w i = м>(т) -

(г,+Н, )-Х ,=0,

Если вместо ф использовать традиционное обозначение расхода на участке то после дифференцирования кинетической энергии по скорости получим выражение

Из (4), учитывая каждую переменную, получим для СВС с возможностью присоединения устройств пожаротушения

Zj+Hj

-X j=0:

-Ху+Ху+1=0, ieIzr;

jeJV J* (f); jeJ * (/);

(5)

В (5) неопределенные множители являются узловыми потенциалами, а отдельно взятое в них соотношение является уравнением И. Бернулли, являющееся экстремалью вариационных задач (3).

Модель неустановившегося

потокораспределения. Для того чтобы получить

[ С Jxfc^JxföSj+^JxföüLt MU]x

модель неустановившегося потокораспределения, необходимо объединить подсистемы цепных и контурных уравнений и дополнить их условиями неразрывности. В результате получим систему уравнений в следующей векторно-матричной форме

(6)

и(k)

H ex1

[ к

Г А Ш®

АШХП\Х Их1

где: «={/-}; ш={Г и/-}; ={Ц{Р) и/^ и -число узлов, в которых значения потенциалов являются исходной информацией; р - количество цепей (р = е - 1); И = - диагональная

матрица, в которой

- гидравлическое сопротивление участка /; = (р^/д^) - индуктивность для гидравлических систем.

Система уравнений (6)-(8) является замкнутой, так как подмножества /¡^щ и/^и

Л(k)" q mx1

(7)

(8)

и и /^у,) справедливы для всех узлов ИФС, а их количество (p+1+m) соответствует числу контуров (г) и равняется числу участков (п) для плоских графов в соответствии с соотношением Л. Эйлера.

Модель установившегося

потокораспределения Из (6)-(8) получим математическую модель установившегося потокораспределения путем исключения зависящих от времени соотношений.

[ CpxJx[R„(dJx Qnxi =\ M'pxe]*

H

ex1

[ Krxn\x\[Rn(d)]x Q„x1 = [ 0rxi],

[ ^mxjx Q„xi = qm

(9) (10) (11)

В модели (9)-(11) устройства пожаротушения учитываются как дополнительные потребители, присоединенные к энергоузлам, имеющие характеристики применяемых для пожаротушения устройств.

Для систем теплоснабжения аналогично разработаны в работе [2] соответствующие математические модели потокораспределения, в которой подробно приведены все обозначения для рассмотренных моделей.

Библиография

1. Квасов И.С., Панов М.Я., Сазонова С.А. Диагностика утечек в трубопроводных системах при неплотной манометрической съемке / И.С. Квасов, М.Я. Панов, С.А. Сазонова // Известия высших учебных заведений. Строительство. -

1999. - №9. - С. 66-70.

2. Сазонова С.А. Итоги разработок математических моделей анализа потокораспределения для систем теплоснабжения / С.А. Сазонова // Вестник Воронежского государственного технического университета. -2011. - Т. 7. - № 5. - С. 68-71.

3. Сазонова С.А., Манохин В.Я., Манохин М.В. Обеспечение безопасности функционирования трубопроводных систем при реализации математических моделей на основе функционального эквивалентирования / С.А. Сазонова, В.Я. Манохин, М.В. Манохин // Вестник Воронежского института ГПС МЧС России. -2015.- № 2 (15). - С. 32-36.

4. Сазонова С.А., Николенко С.Д., Манохин В.Я., Манохин М.В. Численная апробация математических моделей мониторинга безопасного функционирования систем газоснабжения / С.А. Сазонова, С.Д. Николенко,

B.Я. Манохин, М.В. Манохин // Известия Казанского государственного архитектурно-строительного университета. - 2016. - № 1 (35). -

C. 255-264.

5. Сазонова С.А., Сушко Е.А. Разработка методов и алгоритмов технической диагностики и обеспечение безопасности систем пожаротушения, тепло-, водо-, газоснабжения и промышленных технологических трубопроводов / С.А. Сазонова, , Е.А. Сушко // Вестник Воронежского института ГПС МЧС России. -2017. - № 2 (23). - С. 40-45.

6. Квасов И.С., Панов М.Я., Сазонова С.А. Статическое оценивание состояния трубопроводных систем на основе функционального эквивалентирования / И.С. Квасов, М.Я. Панов, С.А. Сазонова // Известия высших учебных заведений. Строительство. -

2000. - №4. - С. 100-105.

7. Жидко Е.А. Методология формирования системы измерительных шкал и норм

Вывод. Рассмотренные модели потокораспределения, полученные на основе применения вариационных принципов

аналитической механики, необходимы при решении прикладных задач оценивания состояния для восполнения полной информации о текущем состоянии СВС с целью обеспечения лицом, принимающим решения, требуемых мощностей, присоединенных к ней устройств пожаротушения.

References

1. Kvasov I.S., Panov M.YA., Sazonova S.A. Diagnostika utechek v truboprovodnyh sistemah pri neplotnoj manometricheskoj s"emke / I.S. Kvasov, M.YA. Panov, S.A. Sazonova // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Stroitel'stvo. - 1999. - №9. - S. 66-70.

2. Sazonova S.A. Itogi razrabotok matematicheskih modelej analiza potokoraspredeleniya dlya sistem teplosnabzheniya / S.A. Sazonova // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. - 2011. - T. 7. - № 5. - S. 68-71.

3. Sazonova S.A., Manohin V.YA., Manohin M.V. Obespechenie bezopasnosti funkcionirovaniya truboprovodnyh sistem pri realizacii matematicheskih modelej na osnove funkcional'nogo ehkvivalentirovaniya / S.A. Sazonova, V. YA. Manohin, M.V. Manohin // Vestnik Voronezhskogo instituta GPS MCHSRossii. - 2015.- № 2 (15). - S. 32-36.

4. Sazonova S.A., Nikolenko S.D., Manohin V.YA., Manohin M.V. CHislennaya aprobaciya matematicheskih modelej monitoringa bezopasnogo funkcionirovaniya sistem gazosnabzheniya / S.A. Sazonova, S.D. Nikolenko, V.YA. Manohin, M.V. Manohin // Izvestiya Kazanskogo gosudarstvennogo arhitekturno-stroitel'nogo universiteta. - 2016. - № 1 (35). - S. 255-264.

5. Sazonova S.A., Sushko E.A. Razrabotka metodov i algoritmov tekhnicheskoj diagnostiki i obespechenie bezopasnosti sistem pozharotusheniya, teplo-, vodo-, gazosnabzheniya i promyshlennyh tekhnologicheskih truboprovodov / S.A. Sazonova, , E.A. Sushko // Vestnik Voronezhskogo instituta GPS MCHS Rossii. - 2017. - № 2 (23). - S. 40-45.

6. Kvasov I.S., Panov M.YA., Sazonova S.A. Staticheskoe ocenivanie sostoyaniya truboprovodnyh sistem na osnove funkcional'nogo ehkvivalentirovaniya /I.S. Kvasov, M.YA. Panov, S.A. Sazonova //Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Stroitel'stvo. - 2000. -№4. - S. 100-105.

7. ZHidko E.A. Metodologiya formirovaniya sistemy izmeritel'nyh shkal i norm informacionnoj bezopasnosti ob"ekta zashchity / E.A. ZHidko // Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. - 2015. - № 2 (97). - S. 17-22.

8. ZHidko E.A., Kolotushkin V.V., Solov'eva

информационной безопасности объекта защиты / Е.А. Жидко // Вестник Иркутского государственного технического университета. -2015. - № 2 (97). - С. 17-22.

8. Жидко Е.А., Колотушкин В.В., Соловьева Э.В. Теоретические основы проектирования и конструкции жидкостных пылеулавливающих устройств / Е.А. Жидко, В.В. Колотушкин, Э.В. Соловьева //Безопасность труда в промышленности. - 2004. - №2. - С.8 —11.

9. Гамильтон У. Об общем методе динамики / У. Гамильтон // Вариационные принципы механики: Сб. статей под ред. Л.С. Полака - М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1959. - С. 175-233.

10. Гельмгольц Г.О физическом значении принципа наименьшего действия / Г. Гельмгольц // Вариационные принципы механики: Сб. статей под ред. Л.С. Полака. - М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1959. - С. 430 - 459.

EH.V. Teoreticheskie osnovy proektirovaniya i konstrukcii zhidkostnyh pyleulavlivayushchih ustrojstv / E.A. ZHidko, V.V. Kolotushkin, EH.V. Solov'eva // Bezopasnost' truda v promyshlennosti. - 2004. - №2. -S.8 -11.

9. Gamil'ton U. Ob obshchem metode dinamiki / U. Gamil'ton // Variacionnye principy mekhaniki: Sb. statej pod red. L.S. Polaka - M.: Izd-vo fiz.-mat. lit., 1959. - S. 175-233.

10. Gel'mgol'c G.O fizicheskom znachenii principa naimen'shego dejstviya / G. Gel'mgol'c // Variacionnye principy mekhaniki: Sb. statej pod red. L.S. Polaka. - M.: Izd-vo fiz.-mat. lit., 1959. - S. 430 -459.

SIMULATION ON THE BASIS OF VARIATIONAL PRINCIPLES OF THE ANALYTICAL MECHANICS OF MATHEMATICAL MODELS OF DISTRIBUTION IN WATER SUPPLY SYSTEMS BY CONNECTING FIRE EXTINGUISHING DEVICES

The sequence of formation of mathematical models of flow distribution for distribution systems of water supply is considered. It is assumed, in the event of a fire, to connect to such systems fire extinguishing devices, characterized by a significant expenditure of water for extinguishing the fire. Since functioning water supply systems undergo significant changes during their operation due to the accession of new consumers or due to changes in the parametrical characteristics during the reconstruction, it is required to have current information on the status of such systems in order to check their readiness for use in emergency situations. It is possible to complete the complete information on hydraulic systems with the help of numerical realization of mathematical flow distribution models developed on the basis of the variational principles of analytical mechanics. Models underlie the task of static estimation of the state of systems based on the data of a manometric survey, which allows obtaining on-line information about all parameters of the system. With the help of such information it is possible to change the system parameters to provide the required characteristics in the places of connection offire extinguishing devices.

Keywords: water supply systems, fire safety, firefighting systems, mathematical models, flow distribution, variational principles of mechanics.

Сазонова Светлана Анатольевна,

доцент, к.т.н.,

доцент кафедры пожарной и промышленной безопасности,

Воронежский государственный технический университет,

Россия, г. Воронеж,

e-mail: Sazonovappb @vgasu. vrn. ru,

Sazonova S.A.,

Cand. Tech. Sci., Assoc. Prof.,

Voronezh State Technical University,

Russia, Voronezh.

Сушко Елена Анатольевна,

доцент, к.т.н.,

заведующая кафедрой пожарной и промышленной безопасности,

Воронежский государственный технический университет,

Россия, г. Воронеж,

e-mail: u00075@vgasu.vrn.ru,

Sushko E.A.,

Cand. Tech. Sci., Head. of Dept. of Fire and Industrial Safety, Voronezh State Technical University, Russia, Voronezh,

Николенко Сергей Дмитриевич,

доцент, к.т.н.,

профессор кафедры пожарной и промышленной безопасности,

Воронежский государственный технический университет,

Россия, г. Воронеж,

e-mail: nikolenkoppb 1 @yandex. ru,

Nikolenko S.D.,

Cand. Tech. Sci., Prof.,

Voronezh State Technical University,

Russia, Voronezh.

© Сазонова С.А., Сушко Е.А., Николенко С.Д., 2017