CC BY
30
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.21+519.876.5
А.С.Сорокин
МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ЦИКЛИЧЕСКИМ ОПРОСОМ
1. Системы массового обслуживания мультисервер - мультиочереди (MSMQ).
Рассмотрим различные особенности нескольких систем MSMQ моделей PEPA. Для простоты представления системы, которые рассмотрены в [1-11], являются относительно небольшими, включающими в каждом случае только по три или четыре узла и два сервера. Однако, этого достаточно, чтобы обобщить эти модели на большие системы. В каждом случае рассматривают среднее время ожидания (исключая время обслуживания) клиента в системе. У всех моделей [12-25] есть некоторые особенности, которые рассматриваются в разделе 1.1.
Далее излагается подробная информация о каждой модели, указываются значения параметров, которые были применены, и приводятся один или несколько графиков, показывающих, как изменяется среднее время ожидания в зависимости от изменения условий в данной системе.
1.1 Особенности рассматриваемых систем. Хотя детали особенностей рассматриваемых систем различаются, у них у всех одни и те же компоненты, а именно, узлы и серверы. Для того чтобы представить структуру клиентов в [1-3, 510] компонент задан как внешний по отношению
к узлу. Во всех моделях процесс входа представлен in деятельностью узла, и предполагается, что процесс входа приостанавливается всякий раз, когда буфер наполнен. Во всех моделях предполагается ограниченное буферизование [2-4]. Таким образом, клиенты продолжают занимать место в буфере до окончания обслуживания. В большинстве случаев у узлов есть только единственное место в буфере.
У всех компонентов узла имеются особые производные, представляющие различные состояния узла, а также характеризующие действия, которые возможно предпринять. Например, единственный буферный узел может только выступать в in деятельности, когда он пуст. Узел выступает в деятельности подачи, когда сервер присутствует и узел занят.
Три модели симметричны относительно серверов, и две из них симметричны относительно узлов.
Для каждой из моделей вычисляют среднее время ожидания клиента для каждого узла.
Для модели опроса, представленной в [1, раздел 2.2], применен закон о малом числе испытаний в узле.
Node
•j0 = (in, Л). Nodeд + {passf,e).Node/0 1 < j < N
Nodejl = (engage., e). (servej, fM).Node
jo
def
Sj = {walk,a). S
ji
Sji ={passj, ±). Sj.ffii +{engagej,e).{
e ). {serveJ
,4 Sm,
где j © 1 = 1 когда j = N
где N = 3 :
MSMQ 1 = {Nodel(\Node2ANode30), x /sJS) где 1 < j <N
H [engage, passj ,servej)
Рис. 1: Модель симметричной системы MSMQ без обгона
Таблица 1: Параметры для моделей MSMQ1 и Опрос (Poll)
in serve walk pass engage
Л М w e e
0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 1.0 10 50 50
0.2 0.4 0.6 0
Рис. 2. Зависимость времени ожидания W клиента от оценки X прибытия клиента, для моделей MSMQ1 и Опрос ( Poll)
Nodej0 = (in, Л). Nodeл + (walk_Ej, ±). Nodej0 1 < j < N
def / ч
Node .j = (walk_Fj, ±). Node .
'j 2
Nodej2 = (serve, Mj). Nodej0 + (walk Ej, ±). Nodej2 [ M, если j = 1, \mM, если 1 < j < N,
def /
где Mj =
S. = (walk_Fj ,a). (servej ,±).^^t + (walk_Ej, a) ,
где j ® 1 = 1 когда j = N
где N = 4 :
Asym = (Node10 Node20||Node30||Node40) ^ ^ ^(SISi ), где 1 < j <N
(walk_Fj, walk_Ej, servej )
Рис. 3. Модель асимметричной системы MSMQ на языке PEPA.
Поскольку буферизование ограничено, пропускная способность узла будет пропускной способностью деятельности подачи, вычисленной из предположения, что она будет дополнением до полной оценки деятельности. Для единственного буферного узла среднее число N представителей в узле, может быть найдено из предположения, что полная деятельность соответствует 1.
Когда разрешена деятельность т, то она вычисляет Rin. Тогда N = 1 - Кы. Поскольку найдено среднее число клиентов для двух буферов, то можно найти вероятность того, что узел пуст, или подобным же способом найти вероятность того, что узел занят.
1.2 Система MSMQ с циклическим опросом, без обгона. Сначала рассмотрим симметричную
систему MSMQ. В этой системе опрос производится циклически, но так, что серверы друг другу не мешают. Таким образом, сервер, который достигает узла, должен ждать, пока обслуживание не произведено полностью перед переходом к следующему узлу, и после этого найти другой сервер для обслуживания клиента. Эта система может быть классифицирована как M /M /M /1/ Q х1/ L система.
Модель, реализованная на языке PEPA, показана на рис. 1.
S j обозначает сервер, готовый работать с узлом Nodej, Sjj обозначает представителя сервера в узле Nodej. При достижении узла сервер или пройдет (pass), если буфер будет незанятым,
Таблица 2: Значения параметров для модели Asym
in serve J (j = 2,3,4) serve j (j = 1) walk_ E walk_ F
X М mM Ю Ю
0.1 1 1 < 1/m < 5 10 10
или включится (engage ), если требуется обслужить клиента. Отметим, что в любой момент времени будет разрешено только одно из этих действий.
Рассматриваемая система имеет три узла. Узлы независимы друг от друга, но для деятельности каждый должен кооперироваться с сервером при любых passj, engagej, или servej .Эти два сервера независимы друг от друга, т.е. между ними нет никакой кооперации.
Модель состоит из 444 состояний и 1446 переходов. Значения, заданные параметрам, указаны в табл. 2. Что касается модели опроса, представленной в [1, раздел 2.2], то был исследован эффект от изменения оценки среднего времени ожидания прибытия клиента, и произведено сравнение со средним временем ожидания, полученным для подобной модели опроса:
Так как система симметрична, то особенности характеристик всех узлов будут те же самые. На рис. 2. изображен график, показывающий, как среднее время ожидания увеличивается с увеличением оценки прибытия в каждом узле, как для модели MSMQ , так и для модели опроса.
Очевидно, что когда обгон запрещен для системы данного размера, то для второго сервера возникает эффект сокращения среднего времени ожидания клиентов в системе.
Математическая модель зависимости времени ожидания W клиента от оценки X прибытия клиента для модели MSMQ1, представленная на рис. 2, будет иметь следующий вид:
W = 1.4942X064327.
Математическая модель зависимости времени ожидания W клиента от оценки X прибытия клиента, для модели опроса (POLL), представленная на рис. 2, будет иметь вид:
W = 1.69672X0'5644.
1.3 Асимметричная система MSMQ с циклическим опросом. В [14] авторы рассматривают систему узлов N, в которых у одного узла есть ёмкость K и оценка прибытия KX, в то время как у всех других узлов есть ёмкость 1 и оценка прибытия X. Предполагается, что в сети у одного узла есть высокая пропускная способность, а у остальных узлов пропускная способность низкая. Такая как система LAN, объединяющая несколько автоматизированных рабочих мест и один сервер. Было показано, что присутствие более загруженного узла совсем не влияло на среднее время ожидания клиентов в менее загруженных узлах.
def /и \
Poll = (Node10 Node20||Node30)
x S .
, passj, serve j j
Рассмотрим систему N узлов, каждый из которых имеет ёмкость 1 и оценку прибытия X , но с клиентом в одном узле, предъявляющем большее требование к обслуживанию сервера. Опрос является циклическим и обгон разрешен. Система может быть классифицирована как M /M¡ /M /1/ Q х1/L . Модель этой системы на
языке PEPA показана на рис. 3.
Исследуем эффект большего требования обслуживания в узле Node1 , от среднего времени ожидания клиентов в каждом из узлов. Предполагаем, что процесс прибытия в каждый узел определяется законом Пуассона с параметром X, и что нормальное обслуживание, усиленное обслуживание и времена блуждания в системе распределяются по экспоненте с оценками /л, mл и ю соответственно Sj обозначает сервер, готовый
обслуживать j - ый узел в системе. В этой модели не выделена деятельность, представляющая взаимодействие между сервером и узлом, для того чтобы определять, найдется ли представитель клиента в буфере. Это воздействие включено в категорию действия блуждания, приводящего к двум действиям walk_Ej и walk_Fj, представляя
одно как бесполезное, а другое как успешное блуждание к узлу Node Эти действия не могут
быть разрешены одновременно.
Отметим, что, поскольку обгон теперь разрешен для занятого узла, который в настоящее время обслуживается, и отвечает второму серверу, что он пустой. Оценка обслуживания определяется узлом и зависит от данного узла. Оценка каждой деятельности блуждания определяется сервером.
Рассматриваемая система состоит из четырех узлов, которые не взаимодействуют друг с другом, и двух серверов, которые так же непосредственно не взаимодействуют. Кооперация узла и сервера необходима для всех блужданий walk_E и walk_F , и действия подачи (serve ) . Значения параметров указаны в табл. 3. Эффект изменения оценки обслуживания клиентов в узле Node1 был рассмотрен относительно среднего времени ожидания клиента в других узлах.
Модель имеет 560 состояний и 2064 перехода. Среднее время ожидания Wj вычислено для
каждого узла с использованием закона о малом
числе испытаний. Эти значения, представлены требования обслуживания 1/ т в Nodeг, и указа-
графиком зависимости времени ожидания W от ны на рис. 4.
def
Node100 = (in,2X). Node110 + (pass1,2e). Node100
def
Nodeuo = (in,X). Nodelu + (engage1,2e). Node120
def
Node111 = (engage 1,2e). Node121
def
Node120 = (in,X). Node121 + (pass1, 2e). Node120 + (serve, ±). Node100
def
Node120 = (engage 1, 2e). Node122 + (serve, ±). Node110
def
Node122 = (pass 1,2e). Node122 + (serve, ±). Node120
Nodej0 = (in, X). Nodej1 + (pass'j , e). Nodej0 j = 2,3
j 2
\T
j2
def, ,
Nodej1 = (engage j , e). Nodej
Nodej2 = (serve, ±). Nodej0 + (pass'j , e).Node
def
S = (walk ,®/3).S1 + (walk ,®/3).S2 +(walk ,®/3).S3 Sj = (pass j , ±). S + {engage ^ , ±). (serve, ¿u). S 1 < k < 3
MSMQff = (jVode100||Node20||Node3o ) X n(s||S )/|pass^ , engage j ] aaa 1 < j < 3
" (engage, pass, serve j)
Рис. 5. Асимметричная модель MSMQ с отмеченным узлом Node1
Модель зависимости времени ожидания для узла Node _2 W = 0.1835 (1/т)
W клиента от требования обслуживания 1/ m ,
представленная на рис. 4, будет иметь вид: для узла Node _3 W = 0.183595 (1/т)
для узла Node _1 W = 0.18638 (1/т)0.0039438; для узла Node _4 W = 0.183618 (1/т)
,0.1992003
т)
>0.2007189
def
Node100 = (in,2Ä). Node110 + (pass1,2e). Nodej
/
100
def
Node110 = (in,X). Node111 + (engage1, e). Node120 + (pass1, e). Node11
def
Node111 = (engage1, 2e). Node1
121
def
Node120 = (in,X). Node121 + (pass\,2 e). Node120 + (serve, ±). Nodeb
def
Node121 = (engage 1, e). Node122 + (pass1, e). Node121 + (serve, ±). Node11
def
Node122 = (pass1,2 e). Node122 + (serve, ±). Node1
e120
MSMQwf ={Nodel00 ||Node20||Node30 1 ^ ^(S||S )/{pass, engage ] aaa 1 < j < 3
" (engage, pass, serve j
Рис. 6. Модифицированная версия модели с дефектным интерфейсом Node1
Таблица 3: Значения параметров для моделей
MSMQff и MSMQwf
in passj или engage j serve walk
X или 2X е или 2е M о
0.1 e = 50 1.0 3, 6, 9, 12, 15
Предполагаемое время ожидания клиента в узле Nоde1 мало изменяется в зависимости от изменения требования обслуживания в узле. Предполагаемое время ожидания клиента в других узлах растет быстрее в зависимости от изменения требования обслуживания, чем в узле Nodel. Интересно отметить, что эта оценка при-
роста идет несколько медленнее в узле Nodel в зависимости от изменения требования обслуживания по сравнению с отмеченным узлом Nod^ .
Отмеченный узел Node2 имеет возможность использовать второй сервер, обгоняющий первый сервер, занятый в узле Node1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сорокин А.С. Модели симметричных систем опроса в теории организации очередей.//Вестник. КузГТУ, 2011. № 6 . С. 66-71.
2. Сорокин А.С. Алгебра процесса моделирования характеристик// Вестник. КузГТУ, 2011. № 5. С. 105-109.
3. Сорокин А.С. Парадигмы программирования и алгебра процесса моделирования характеристик. // Вестник. КузГТУ., 2011. № 4. С. 77-82.
4. Aldinucci M, Danelutto M. Algorithmic Skeletons Meeting Grids. // Parallel Computing, 32(7-8). 2006. p. 449-462.
5. Hillston J. A Compositional Approach to Performance Modelling. Cambridge University Press, 1996.
6. Сорокин А.С. Применение полумарковских процессов к определению характеристик надежности технологических схем. // Вестник КузГТУ, 2005. № 1. С. 3 -9.
7. Сорокин А.С. Структурное моделирование надежности технологических систем с использованием скелетонов// Вестник. КузГТУ, 2008. № 4(68). Кемерово, С. 31-45.
8. Сорокин А.С. Математическое моделирование оценки надежности технологических систем// Вестник. КузГТУ., 2008. № 5(69). Кемерово, С. 28-37.
9. Сорокин А.С. Применение методов теории вероятностей к исследованию некоторых процессов производства.//Труды 4-ой междунар. конф. Кибернетика и технологии XXI века. Воронеж, 2003. С. 312-323.
10. Сорокин А.С. Марковские процессы в теории надежности технологических систем гидродобычи угля // Вестник. КузГТУ., 2008. № 1. С. 61-69.
11. КоэнДж., Боксма О. Граничные задачи в теории массового обслуживания. М.: МИР, 1987.
12. Королюк B.C., Томусяк А.А. Описание функционирования резервированных систем посредством полумарковских процессов. //Кибернетика, вып.5, 1965.
13. Сорокин А.С. Системы линейных уравнений. Основные понятия анализа. Полумарковские процессы. (Гриф УМО). Изд. СибГИУ. Новокузнецк, 1998. - 151 с.
14. Marsan, M.A., Donatelli S., Neri F. GSPN Models of Markovian Multiserver Multiqueue Systems.//
Performance Evaluation, 11, 1990.
15. Raith T. Performance Analysis of Multibus Interconnection Networks in Distributed Systems.//In M. Akiyama, editor, Teletraffic Issues in an Advanced Information Society ITC-11. Elsevier, 1985.
16. MorrisR.J.T., Wang Y.T. Some Results for Multiqueue Systems with Multiple Cyclic Servers. In H. Rudin and W. Bux, editors, //Performance of Computer Communication Systems. Elsevier, 1984.
17. KamalA.E., Hamacher V.C. Approximate Analysis of Non-exhaustive Multiserver Polling Systems with Applications to Local Area Networks.//Computer Networks and ISDN Systems, 17(1), 1989.
18. Yang Q., Ghosal D., Bhuyan L. Performance Analysis of Multiple Token Ring and Multiple Slotted Ring Networks. //In Proceedings of Computer Network Symposium, Washington DC, 1986.
19 Yuk T.I., Palais J.C. Analysis of Multichannel Token Ring Networks.//In Proceedings of the International Conference on Communication Systems, 1988.
20. Takagi H. Queueing Analysis of Polling Models: An Update.//In H. Takagi, editor, Stochastic Analysis of Computer and Communication Systems. IFIP/North Holland, 1990.
21. Choi H., Trivedi K.S. Approximate Performance Models of Polling Systems Using Stochastic Petri Nets//In Proceedings of INFOCOM' 92, 1992.
22. Ibe O.C., Trivedi K.S. Stochastic Petri Net Models of Polling Systems.//IEEE Journal on Selected Areas of Communication, 8(9), 1990.
23. Grillo D. Polling Mechanism Models in Communication Systems - Some Application Examples.//In H. Takagi, editor, Stochastic Analysis of Computer and Communication Systems. IFIP/North Holland, 1990.
24. Marsan M. A., Donatelli S., Neri F., Rubino U. On The Construction of Abstract GSPNs: An Exercise in Modelling. In J. Billington and W. Henderson, editors, Petri Nets and Performance Modelling.//IEEE, December 1991.
25. Bunday B.D., Khorram E. The Efficiency of Uni-directionally Patrolled Machines with Two Robot Repairmen.//European Journal of Operational Research, 39(1),1989.
□Автор статьи:
Сорокин Андрей Семенович - канд. физ.-мат.наук, доцент, ст.н.с.
(филиал КузГТУ , г. Новокузнецк).
тел.: 8(3843) 772459
