CC BY
39
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 517.21 +519.876.5
А.С.Сорокин
МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК АСИММЕТРИЧНОЙ И СИММЕТРИЧНОЙ СИСТЕМ М8М0 СО СЛУЧАЙНЫМ ОПРОСОМ
Введение. В работе рассмотрено исследование моделирования оценки характеристик с использованием языка PEPA. Полученные примеры при исследовании моделирования будут использоваться, чтобы показать методы упрощения модели. При исследовании рассматриваются и сравниваются различные системы: асимметричные и симметричные системы MSMQ со случайным опросом. Они являются расширением традиционной системы опроса и обычно применяются к моделям, в которых множественные ресурсы разделены среди нескольких пользователей, возможно с различными требованиями [1-14]. Приведённые примеры включают локальные сети с многочисленными маркерами и сетями взаимосвязи мультишин в распределенных системах. Подобные системы были исследованы в [15-29].
Далее приводится подробная информация о каждой модели, указываются значения применённых параметров, и приводятся графики, показывающие изменение среднего времени ожидания в зависимости от изменения условий в данной системе.
1. Асимметричная система MSMQ со случайным опросом. Рассмотрим асимметричную систему, в которой ёмкости узлов в системе отличаются.
В системе имеются три узла, один с ёмкостью 2, а два с ёмкостью 1. Случайный опрос в системе означает, что при переходе от узла сервер может перейти к любому узлу, даже к тому же самому узлу снова. Обслуживание ограничено, так как сервер, достигающий узла Node1, когда он полон, мог бы перед переходом обслужить только одного представителя клиента. Однако, если второй сервер прибывает позже, в то время как первое обслуживание все еще происходит, то он может одновременно занять узел. Система может быть классифицирована как
Мг /Мг /M/(2,1,1)/Q х S /L .
Обгон разрешен в том смысле, что сервер при достижении узла не находит клиента и будет переходить дальше.
Модель этой системы на языке PEPA приведена на рис. 1. Предполагаем, что Nodel - узел
с характеристиками, которые отличают не только его большую ёмкость, но также и более скоростной ответ на вопросы сервера. Теперь эти вопросы представлены раздельно при проходе (pass) действий или при включении (engage).
Предполагаем, что найдется процесс, производящий места для каждого клиента в буфере для узла так, чтобы оценка прибытия, когда буфер пуст, была удвоенной оценкой прибытия, в случае, когда одно место в буфере уже занято.
В компоненте сервера S действие блуждания (walk) представлено тремя различными действиями, каждое с оценкой деятельности со/3, вероятность каждого из результатов есть 1/3. Sj обозначает представитель сервера в узле Node j, когда его можно включать (engage) или проходить (pass) в зависимости от того, есть ли требования у клиента по обслуживанию узла или нет.
На рис. 2 показана модифицированная версия узла Node1 . В этой второй версии предполагаем, что есть дефект в Node1 такой, что не можем гарантировать, правильно ли ответит сервер, когда буфер полностью пуст или полностью полон. В случае, когда только одно место в буфере занято, то с вероятностью 0.5 он ответит, что как будто буфер был пуст. В случае, когда один клиент уже находится в обслуживании, но другое место в буфере также занято, он так же потерпит неудачу с вероятностью 0.5, разрешая второму серверу уйти без обеспечения обслуживания. Исследуем влияние этого дефекта на среднее время ожидания клиента в этом узле и в других узлах. Во всех узлах, когда сервер занят, оценка того, какое обслуживание происходит, определяется сервером.
В системе нет никакой кооперации ни между этими тремя узлами, ни между двумя серверами. Однако, действия pass j , engage j и подача
( serve ) происходят при кооперации между узлом и сервером. Значения, которые были заданы для параметров, указаны в таблице 1.
Модель системы, свободная от дефектов, имеет 368 состояний и 1570 переходов. Модель дефект-
def
Node100 = (in,2X).Node110 + (pass1 ,2e).Node100
def
Node110 = (in ,X). Node in + (engage 1,2e) Node 120
def
Node111 = (engage 1,2e).Node121
def
Node120 = (in, X). Node 121 +(pass1,2e).Node120 +(serve, ±).Node1
def
Node120 = (engage 1,2e ).Node122 + (serve, ±).Node110
def
Node 122 = (pass 1,2e). Node 122 + (serve, ±).)ode120 Node j0 = (in, X). Node j + (pass j , e). Node j0 j = 2,3
j 2
j 2
def / \
Node ji = (engage j , e j. Node
Node j 2 = (serve, Lj.Node ]0 + (pass, e).Node
def
S = (walk, о / 3). S1 + (walk, о / 3). S2 + (walk, о / 3). S3 Sj = (pass j ,±).S + (engagej ,±).(serve,,w).S 1 < k < 3 MSMQff = (Node100|| Node20|| Node30 S x Х) )/|pass;- , engagej| aaa 1 < j <3
H (engage^, passj, servej)
Рис. i: Асимметричная модель MSMQ с отмеченным узлом Node1
Node100 = (in,2X).Node110 + (pass1 ,2e).Node1/,
, def , , ,
Node110 = (in ,X). Node in +(engage1, e).Node120 +(pass1, e).Node110
' def/ \ '
Nodem = (engage1,2e|Node121 , def , , , Node120 = (n X).Node121 +(pass1,2 e).Node120 + (serve, ±).Node100 , def , , , Node121 = (engage 1, e) Node 122 +(pass1, e).Node121 + (serve, ±).Node110 , def , ,
Node122 =(pass1,2 e ).Node122 +(serve, ±).Node120
MSMQwf = (Node100||Node20||Node30), x \(s||s)/|pass.-,engage.■ ]; âââ 1 < j <3
^ (engagej, passj, serve )
Рис. 2: Модифицированная версия модели с дефектным интерфейсом Node1
Таблица 1: Значения параметров для моделей
MSMQff и MSMQwf _______________
in pass j èëè engage j serve walk
X èëè 2X e èëè 2e fi a>
0.1 e = 50 1.0 3,6,9,12,15
ной системы имеет то же самое число переходов 1570, но 1618 состояний. Среднее время ожидания в каждом узле было вычислено с использованием закона о малом числе испытаний, в то время как для каждой из моделей среднее время блуждания было различно.
Результаты, показанные на рис. 3 и 4, были сравнены, для того чтобы оценить эффект дефектного соединения. Узлы Node2 и Node3 имеют те
же особенности, что только для узла Node2 указаны на графиках.
Математическая модель зависимости времени ожидания W клиента в системе без дефекта от оценки блуждания о , представленная на рис. 3, будет иметь вид:
для узла Node _1
W = 2.0742995®“0-9305069;
Рис. 3.Зависимость времени ожидания клиента в системе без дефекта от оценки блуждания.
Рис. 4: Зависимость времени ожидания клиента в дефектной системе от оценки блуждания.
для узла Node _ 2 W = 1.90479®“0-911348.
Математическая модель зависимости времени ожидания клиента W в дефектной системе от оценки блуждания о , представленная на рис. 4, будет иметь вид:
для узла Node _ 1
W = 3.4495 о“0'8666; для узла Node _ 2
ттг 1 '7/|/Г'7 ~0.876569
W = 1.7467 о .
В системе, свободной от дефекта,
MSMQff можно увидеть, что хотя предполагаемое время ожидания одинаково во всех узлах,
def
Node j о = (in, X).Node j1 +(walk-Ej, e J.Nodej q 1 < j < N
def
Node j1 = (walk - Fj, ej.Node
j 2
Node j2 = (serve j, ±). 'Node j0 + (walk_Ej, e). Node j2
def
Gen]0 = (accept, Я). )pack, p). Оєп}1
GenjY = (in,d). ((serve j , Wj _l).Genji + (serve j , W2 .l). Gen j00) w1 = M _ 1, w2 = 1 (m _ ñdáaíáá íáeáóiá / ñiiáuáíey )
где
def
Compj = Nodej0 ( X )enj0
lin, servej
Sj = (walk_Ej,ю). Sj0j + (walk_Fj ,ю). (servej , ^S-Sj©1 ,
aaa j © 1 = 1 eiaaá j = N
aaa N = 3 :
System = (c°mP\\|Comp2||Comp3) ^ X )||S1)/L, aaa 1 < j <N
L = \accept, pack, walk _Ej , walk _ Fj j Рис. 5: Модель PEPA расширенной системы MSMQ System
Таблица 2. Значения па раметров для System
mean no.packets accept pack in walk-Eè walk-F serve
M А p d min (e,a¡) и
5-25 0.05 0.1 20 min(50,10) = 10 1.0
клиенты в узле Node1 испытывают несколько более длинные задержки. Для всех узлов уменьшено среднее время ожидания, когда уменьшено ожидаемое среднее текущее время серверов. В случае дефектной системы MSMQwf предполагаемое время ожидания клиентов в узле Node2 или Node3 при дефекте совсем не изменяется. Однако предполагаемое время ожидания клиентов в узле Nodel значительно увеличивается, особенно, когда оценка деятельности блуждания является замедленной.
2. Симметричная система MSMQ со случайным опросом с детальными узлами.
Последняя рассматриваемая модель показывает, что система MSMQ обычно вложена в большую систему, и демонстрирует, как легко это смоделировать в модели на языке PEPA. В [21] автор выдвигает на первый план вложение модели опроса в глобальную модель.
Рассмотрена симметричная система MSMQ с ёмкостью узла 1 и ограниченным обслуживанием, в которой разрешен обгон. Это можно классифицировать как М /М/М/1/Q х1/L систему, подобную асимметричной модели, представ-
ленной в разделе 1, в случае m = 1. Однако теперь также считается, что компоненты системы ответственны за генерирование клиентов, которые
достигают узлов. Предполагается, что каждый клиент - фактически пакет и часть сообщения. Для того, чтобы передать каждое сообщение, может быть необходимо несколько пакетов. Модель этой расширенной системы указана на рис.5.
Аспекты MSMQ системы подобны моделям, представленным в предыдущем разделе. Однако отметим, что деятельность in теперь просто представляет поставку пакета с генератора на буфер. Оценка этой деятельности определена генератором.
Предполагается, что процесс прибытия описывается законом Пуассона, с оценкой X, поставляющей сообщения генератору о готовности их принять. Это представляется принимающей деятельностью (accept ).
Каждое принятое сообщение разбито на пакеты (pack). Предполагается, что средняя длина сообщения - M пакетов. Пакеты поставляются в буфер по одному, с помощью in деятельности.
Когда закончилось обслуживание пакета, он будет заменен другим, пока все сообщение не будет отправлено. Тогда возобновляется процесс прибытия. Так как среднее число пакетов в сообщении - M , когда обслуживание пакета закончено, другой пакет уже доступен с вероятностью M—1/ M. Таким образом, пассивная
Рис. 6: Зависимость среднего времени передачи сообщения от среднего числа пакетов в сообщении.
деятельность подачи (serve ) с этим результатом имеет вес M -1, тогда новое сообщение с вероятностью 1/M должно быть обработано прежде, чем доступен другой пакет. Итак, вес деятельности подачи, которая возобновляет процесс прибытия, равен 1.
Теперь узлы системы представлены сложными компонентами Comp j, кооперацией «генератора» Genj0 и «узла», Node j0 . Эти компоненты должны кооперировать действия in и serve j . Они объединены друг с другом как серверы. Действия блуждание walk-Ej, блуждание walk -Fj, serve j требуют кооперации сервера и
соответствующего соединения.
Это означает, что три компонента, Genj,
Node j и S j должны кооперироваться так, чтобы была достигнута serve j деятельность.
Модель имеет 888 состояний и 3858 переходов. Значения параметров указаны в таблице 5.
Поскольку система симметрична, особенности характеристики всех узлов одинако-
вы. Вместо среднего времени ожидания клиента, или пакета, в узле вычисляют среднее время передачи сообщения. Используем закон о малом числе испытаний, который сейчас применен к сложной паре узлов. Находим среднее число сообщений (messages) в узле Nm, отмечая, что найдется один представитель сообщения всякий раз, когда не разрешена принимающая (accept)
деятельность. Поэтому полагаем полную деятельность равной 1 , найдем Raccept и выводим,
что Nm = 1 _ Raccept. Находим пропускную способность сообщения, Xm , полагая вероятность деятельности (serve, w2, ±) равной 1/M хц всякий раз, когда посланы все пакеты сообщения. Предполагаемое время передачи сообщения в
системе Tm , тогда Tm = Nm / Xm
Значение предполагаемого времени передачи, когда среднее число пакетов в сообщении M , изменяется в пределах от 5 до 30 (рис. 6.). Математическая модель зависимости времени передачи сообщения W от среднего числа пакетов в сообщении n, представленная на рис. 6, будет иметь вид: для System
W = 0.0038 n2 +1.325П + 9.533;
для SysP
W = 0.0305n2 +1.805n + 10.33.
Это сравнение с предполагаемым временем передачи сообщений той же самой длины в родственной модели опроса SysP
Syspd=Comp\Comp J |Comp3)( >< s
" ( walk_Ej, walk_Fj, serve j)
х (S1 'S/Accept, pack, walk_Ej , walk_Fj ].
Заключение. Анализ результатов полученных на основе изучения асимметричной и симметричной систем (MSMQ) со случайным опросом показывает практические преимущества создания мо-
делей по сравнению с простыми системами. Использование асимметричных и симметричных систем (MSMQ) со случайным опросом базируется на способности строго бигомотетичных компонент выполнять действия, приводящие к производным множествам. Эти производные множества в свою очередь сами строго бигомотетичны. Одним из методов упрощения модели могут быть отношения между строгим биподобием и основным марковским процессом. При упрощении модели находят компоненты, которые выполняют одинаковые действия. Для гарантии поведения компонент проверяют, действительно ли является тем же самым. С точки зрения алгебры процесса, если для одной компоненты найдется меньшее производное множество, то она может заменить другую компоненту в модели и привести к пространству состояний основного марковского процесса. Практическое применение данного подхода автоматического формирования модели с
помощью асимметричных и симметричных систем (MSMQ) со случайным опросом заключается в динамическом планировании задач в параллельных и распределенных приложениях. Подобные подходы важны в системах, где модель должна обновляться постоянно и динамически в зависимости от текущего состояния ресурсов. Такой подход к формированию PEPA-модели надёжности основан на применении асимметричных и симметричных систем (MSMQ) со случайным опросом для смоделированных компонент системы. Так как строгое биподобие есть отношение соответствия для асимметричных и симметричных систем PEPA, то оно наиболее полно удовлетворяет условиям отношения строгого бимоделирования. Использование асимметричных и симметричных систем (MSMQ) со случайным опросом применено для упрощения пространства состояний одной из моделей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сорокин А.С. Парадигмы программирования и алгебра процесса моделирования характеристик. // Вестник. КузГТУ, 2011. № 4 (86). Кемерово, С. 77-82.
2. Сорокин А.С. Алгебра процесса моделирования характеристик. //Вестник. КузГТУ, 2011. № 5(87) . Кемерово, С. 105-109.
3. Сорокин А.С. Модели симметричных систем опроса в теории организации очередей.// Вестник. КузГТУ., 2011. № 6(88) . Кемерово, С. 66-71.
4. Сорокин А.С. Моделирования характеристик систем мультисервер-мультиочереди MSMQ. // Вестник. КузГТУ, 2012. № 1(89) . Кемерово, С. 84-87.
5. Aldinucci M, Danelutto M. Algorithmic Skeletons Meeting Grids. // Parallel Computing, 32(7-8). 2006. p. 449-462.
6. Hillston J. A Compositional Approach to Performance Modelling. Cambridge University Press, 1996.
7. Сорокин А.С. Применение полумарковских процессов к определению характеристик надежности технологических схем. // Вестник. КузГТУ, 2005. № 1(45). Кемерово, С. 3 -9.
8. Сорокин А.С. Структурное моделирование надежности технологических систем с использованием скелетонов// Вестник. КузГТУ, 2008. № 4(68). Кемерово, С. 31-45.
9. Сорокин А.С. Математическое моделирование оценки надежности технологических систем// Вестник. КузГТУ, 2008. № 5(69). Кемерово, С. 28-37.
10. Сорокин А. С. Применение методов теории вероятностей к исследованию некоторых процессов производства.//Труды 4-ой междунар. конф. Кибернетика и технологии XXI века. Воронеж, 2003. С. 312-323.
11. Сорокин А.С. Марковские процессы в теории надежности технологических систем гидродобычи угля // Вестник. КузГТУ, 2008. № 1(65). Кемерово, С. 61-69.
12. Коэн Дж., Боксма О. Граничные задачи в теории массового обслуживания. М.: МИР, 1987.
13. Королюк B.C., Томусяк А.А. Описание функционирования резервированных систем посредством полумарковских процессов. //Кибернетика, вып.5, 1965.
14. Сорокин А.С. Системы линейных уравнений. Основные понятия анализа. Полумарковские процессы. (Гриф УМО). Изд. СибГИУ. Новокузнецк, 1998. - 151 с.
15. Marsan, M.A., Donatelli S., Neri F. GSPN Models of Markovian Multiserver Multiqueue Systems.// Performance Evaluation, 11, 1990.
16. Raith T. Performance Analysis of Multibus Interconnection Networks in Distributed Systems.//In M. Akiyama, editor, Teletraffic Issues in an Advanced Information Society ITC-11. Elsevier, 1985.
17. Morris R.J.T., Wang Y.T. Some Results for Multiqueue Systems with Multiple Cyclic Servers. In H. Rudin and W. Bux, editors, //Performance of Computer Communication Systems. Elsevier, 1984.
18. Kamal A.E., Hamacher V.C. Approximate Analysis of Non-exhaustive Multiserver Polling Systems with Applications to Local Area Networks.//Computer Networks and ISDN Systems, 17(1), 1989.
19. Yang Q., Ghosal D., Bhuyan L. Performance Analysis of Multiple Token Ring and Multiple Slotted Ring Networks. //In Proceedings of Computer Network Symposium, Washington DC, 1986.
20. Yuk T.I. , Palais J.C. Analysis of Multichannel Token Ring Networks.//In Proceedings of the International Conference on Communication Systems, 1988.
21. Takagi H. Queueing Analysis of Polling Models: An Update.//In H. Takagi, editor, Stochastic Analysis of Computer and Communication Systems. IFIP/North Holland, 1990.
22. Choi H., Trivedi K.S. Approximate Performance Models of Polling Systems Using Stochastic Petri Nets//In Proceedings of INFOCOM' 92, 1992.
23. Ibe O.C. , Trivedi K.S. Stochastic Petri Net Models of Polling Systems.//IEEE Journal on Selected Areas of Communication, 8(9), 1990.
24. Grillo D. Polling Mechanism Models in Communication Systems - Some Application Examples.//In H. Takagi, editor, Stochastic Analysis of Computer and Communication Systems. IFIP/North Holland, 1990.
25. Marsan M. A., Donatelli S., Neri F., Rubino U. On The Construction of Abstract GSPNs: An Exercise in Modelling. In J. Billington and W. Henderson, editors, Petri Nets and Performance Modelling.//IEEE, December 1991.
26. Bunday B.D. , Khorram E. The Efficiency of Uni-directionally Patrolled Machines with Two Robot Repairmen.//European Journal of Operational Research, 39(1),1989.
27. Kurkova I.A., Malyshev V.A. Martin boundary and elliptic curves// Markov Proc. Relat. Fields. 1998. V. 4. № 2. P. 203-272.
28. Kurkova I.A.,Suhov Yu.M. Malyshev’s theory and JS-queues. Asymptotics of stationary probabilities// Ann. Appl. Probab. 2003. V. 13. № 4. P. 1313-1354.
29. Malyshev V.A. Networks and dynamical systems.//Adv. Appl. Prob. 1993. V. 25. P. 140-175.
□Автор статьи:
Сорокин Андрей Семенович - канд. физ.-мат.наук, доцент, ст.н.с.
(филиал КузГТУ , г. Новокузнецк)
Тел.: 8(3843) 772459
