CC BY
36
УДК 681.3
МОДЕЛЬ ЗАВИСИМОСТИ ПРОВОДИМОСТИ ОБРАЗЦА ОТ ВЛАЖНОСТИ
© И.Г. Летягин, Е.И. Глинкин
Letiaghin I.G. & Glinkin E.I. A model of the dependence of sample conductivity on its humidity. The article looks at the model developed by the authors. This model of humid material sample allows working with values, reflecting physical sense and raising the accuracy of measurement.
Кондуктометрические методы основаны на зависимости проводимости материалов, являющихся в большинстве случаев ионными проводниками, от влажности.
Возможно ли получение математической модели образца влажного материала, устанавливающей зависимость проводимости образца от его влажности для измерения влажности электрофизическими методами?
Ионы в твердых телах закреплены в кристаллической решетке или в молекуле в положениях, отвечающих минимуму свободной энергии. Заставить такой ион перемещаться в направлении электрического поля можно, только затратив некоторую энергию, называемую энергией диссоциации Ад. Эта энергия может быть доставлена за счет флуктуации теплового движения. Однако каждому иону, принимающему участие в токе, необходимо преодолевать дополнительный энергетический барьер ДА, чтобы пробиваться через структурные элементы тела. Эта добавочная энергия также получается ионом за счет флуктуаций теплового движения.
= Лд + АА . (1)
Тогда проводимость ионного проводника: y = y0exJ--J% , (2)
участок, /0 - частота колебаний иона, п - общее число
ионов в 1 мг материала.
Выражение (2) устанавливает общую зависимость проводимости ионных проводников вдоль поля с £ = 1, но ответа на интересующий вопрос о влиянии влаги на проводимость в явном виде не содержит [1]. Широко известные работы в данной области измерений не содержат функций, анализирующих зависимость У =/(И/) и поясняющих ее ход для твердых и сыпучих материалов. В известных работах Хюккеля, Дебая-Онзагера оперируют разбавленными водными растворами с ничтожными концентрациями вещества, а в нашей задаче вода в сравнительно небольших концентрациях присутствует в веществе.
С точки зрения удобства последующего использования в измерительной технике будем искать функциональную зависимость вида IV=/(¥).
Для того чтобы описать функциональную зависимость проводимости от влажности материала, сделаем некоторые допущения:
а) контролируемый образец является клеточной структурой с размером частиц, много превышающих размер молекулы воды;
б) гранулометрический состав среды стремится к сферической форме;
в) поступающая влага распределяется по поверхности клеток равномерно (рис. 1).
Сопротивление образца при ионном характере проводимости зависит от количества свободных
где у - проводимость ионного проводника, А%- суммарная энергия, получаемая ионом за счет флуктуаций теплового движения, к - постоянная Больцмана, Т -абсолютная температура, у0- собственная проводимость ионного проводника, обусловленная флуктуацией теплового движения.
Го=~Ра/<"/о-л.
Р\
где р- вероятность флуктуации теплового движения, Рм~ вероятность приобретения добавочной энергии, чтобы пробиваться через структурные элементы тела, р| - вероятность попадания ионов в дефектный
Рис. 1. Физическая модель влажного материала.
носителей и препятствующих факторов (поверхность контакта влаги в капиллярах и порах материала, структурные элементы материала, дефекты структуры материала). Концентрация свободных носителей остается неизменной, т. к. не увеличивается концентрация солей при добавлении однородной влаги, следовательно, причину увеличения проводимости нужно искать в уменьшении действия мешающих факторов. Одним из основных мешающих факторов является площадь контакта частиц материала. Рассмотрим подробнее, как осуществить переход от геометрических характеристик к электрофизическим.
Объем сферического тела сухого материала находим по следующей формуле:
Г = -пг3, 3
(3)
где г - радиус сферы частицы сухого материала.
Тогда объем сферического тела влажного материала будет:
У' = -п-(г+Аг) ,
(4)
где г + Аг - радиус сферы частицы влажного материала.
Для определения влажности необходимо найти объем влаги, окоужающей частицу
У.=У-У'=^п\г+ г/-«-5]. (5)
Итак, влажность вещества будет
К» РНїО
(6)
/? =
•я •((/■+ г)2--г2)
(10)
Для упрощения вынесения в левую часть равенства величины Аг, зависящей от влажности, введем альтернативную относительную величину
г+Аг= к-г, (11)
где к - относительный коэффициент, соответственно
, г+Аг , Аг
равный к--= 1+—; отсюда видно, что
г г
Заменяя в выражениях (5), (10) сумму г + Аг на относительную величину кг, находим конечные формулы определения объема влаги и контактного сопротивления
я =
(12)
(13)
X • п-г2(к2 - і)
Выражая г из формулы (13), получаем запись вида: 1
ІІ Х п (к2-\) х -л \к2 - і)
(14)
Подставляя г2 в выражение (12), получаем объем влаги:
где рв_ва - плотность пробы материала (древесина
650+750 кг/м3), рНго - плотность дистиллированной
воды (1 ООО кг/м3 при / = 0° С).
С другой стороны, выразим переходное (межклеточное) сопротивление
(7)
где с! - межэлектродное расстояние, равное в данном случае единице, х ■ концентрация солей в образце, 5 - площадь контакта клеток вещества.
Из треугольника со сторонами г, г + Аг, И найдем сторону И (рис. 1)
А=7(г+ гУ-,7
(8)
Площадь контакта клеток 5 равна площади круга, описываемого радиусом И, и будет равна:
5=тг-Л2
(9)
Подставляя выражения (8), (9) в (7), получим выражение для расчета сопротивления контакта:
К =-*•
3
У-
К
(*3-і)
(15)
где х - концентрация солей в межклеточной жидкости пробы влажного материала (диапазон значений лежит в
пределах х= Ю"4 (Ом-см)"'т 150 (Ом-см)-1 или
X = Ю'2 (Ом-см)“1^ 15-103 (Ом-см)“1), У - проводимость пробы влажного материала.
Таким образом, итоговое выражение №=]{У) имеет следующий вид
ЩУ) = -
( 1 ч 3/2 / ч
•Рн2о
^ ъ-*лк ~Ч)
Г 'Рв-ва
Я
..(16)
Рн2о
График зависимости ЩУ) построим при следующих входных значениях
Рн2о= 1000 кг/м3, Рв-ва = 650 кг/м3, г = 10'3 м, х = 10 (Ом-см)"1 [2].
Рис. 2. Зависимость проводимости образца от влажности, полученная на основании расчета рассматриваемой математической модели.
Из графика видно, что он состоит как бы из трех частей (IV = 0-2,5-3 %, ^=2,5-3-30-50 %, ^= 30-50-*80 %). Наибольшей чувствительности на кондукто-метрическом методе можно достичь только при малых значениях влажности, что подтверждают многочисленные труды [1,3, 4]. Анализируя подробнее функциональную зависимость, видно, что участку IV = 0^2.5-3 % соответствует наибольший диапазон изменения проводимости У = 10'12-10'50м м , однако измерение таких проводимостей вызывает определенные сложности. Участку IV = 2,5-3-5-30-50 % соответствует диапазон линейного изменения проводимости У = 10'5-10^0м м , что можно считать наиболее приемлемым при измерениях влажности. Участку IV = 30-50 %н-80 % соответствует диапазон изменения проводимости У= 10^-10'3 Ом м, но применение данного диапазона для широкого класса веществ представляется нецелесообразным. Следовательно, наилучшие результаты достижимы на диапазоне IV = 2,5-3-30-50 %. В зависимости от материала диапазон может немного изменяться в ту или иную сторону. Принимаем данный диапазон за базовый для измерения влажности древесины.
Величина г не имеет функциональной зависимости от влажности материала и определяется лишь его структурой.
Для всех материалов органического происхождения (как и почти для всех капиллярно-пористых материалов) зависимость сопротивления Rx от влагосодержа-ния [4] в общем виде может быть выражена степенной функцией:
где С и к - положительные постоянные, зависящие от исследуемого материала и условий измерения.
Функция R\{W), используемая в кондуктометриче-ских влагомерах, имеет два характерных участка:
а) начальный участок, соответствующий низкой и средней влажности, характеризуется очень высокой крутизной и в полулогарифмических координатах может быть аппроксимирован прямой
lg Rx = ü-b W , (18)
где а и b - постоянные, зависящие от материала и условий измерения.
На этом участке влагомер имеет очень высокую чувствительность к изменениям влажности, являющейся основной величиной, которая определяет величину Rx, влияние других факторов на величину Rx незначительно по сравнению с влиянием влажности.
Как следствие, результат измерения влажности мало зависит, например, от изменений геометрических размеров электродов;
б) участок повышенной влажности характеризуется значительным снижением крутизны характеристики R£W) с ростом влажности. Чувствительность влагомера резко понижается с ростом влажности. На величину измеряемого сопротивления начинают оказывать превалирующее влияние факторы, не связанные с влажностью (химический состав материала и т. д.). Начиная с определенных значений влажности, применение рассматриваемого метода становится практически невозможным вследствие недостаточной чувствительности [3].
Исследования предложенной математической модели fV-ДУ) показали, что она хорошо аппроксимируется приведенной выше зависимостью Я=Л«) (17).
Полученные зависимости не противоречат приведенным во множестве работ практическим результатам и хорошо согласуются с экспериментальными данными.
ЛИТЕРАТУРА
1 Кричевский Е.С., Бензарь В.К.. Венедиктов М.В. и др. Теория и практика экспрессного контроля влажности твердых и жидких материалов / Под ред. Е.С. Кричевского. М.: Энергия, 1980. 240 с.
2. Енохович A.C. Справочник по физике и технике. 3-е изд., пере-раб. и доп. М.: Просвещение, 1989. 224 с.
3 Кричевский Е.С., Вопченко А.Г., Галушкин С..С. Контроль влажности твердых и сыпучих материалов / Под ред. Е.С. Кричевского. М.: Энергоатомиздат, 1986. 136 с.
4 Берлинер М.А. Электрические измерения, автоматический контроль и регулирование влажности. Энергия, 1965. 488 с.
Поступила в редакцию 7 сентября 1998 г.
