Модель течения Громеки - Бельтрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 627

А.Л. Зуйков, Г.В. Орехов, В.В. Волшаник

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ ГРОМЕКИ — БЕЛЬТРАМИ

Рассмотрена аналитическая модель винтового течения невязкой несжимаемой жидкости в цилиндрическом канале. Модель основана на решении уравнений Громеки методом разложения Фурье — Бесселя. Получены аналитические функции распределения по длине и радиусу цилиндрического канала аксиальных, азимутальных и радиальных скоростей движения жидкости и функции тока. Выполнен анализ полученного решения.

Ключевые слова: винтовое течение, идеальная жидкость, уравнения Громеки, разложение Фурье — Бесселя, аксиальные, азимутальные и радиальные скорости, вихрь скорости, циркуляция, функция тока.

Течение, при котором вектор вихря и вектор скорости совпадают по направлению и с вязаны между собой соотношением

rot U = kU,

где k — скалярный коэффициент, называется винтовым [1, 2]. Винтовое движение наблюдается в так называемых «свободных» вихрях, сходящих с крыловых профилей конечного размера, лопастей пропеллеров, гребных винтов, некоторых типов турбин, при ветровом обтекании сооружений. Если k = const во всей области течения, то его называют однородно-винтовым, или течением Громеки — Бельтрами. Доказано [3], что однородно-винтовой поток идеальной жидкости может быть только установившимся.

Рассмотрим невязкое течение Громеки — Бельтрами, ограниченное непроницаемыми стенками канала цилиндрической формы (трубы), симметричное относительно его продольной оси. Это течение отвечает уравнениям

д V д V dux , 2

x ' x- + —- + k ux = 0; rdr

дх 2 + дr 2

д \ + д 2ue

дх 2 дr 2

д 2ur + д 2ur

дх2 dr2 rdr

+ддИk 2 - 71 w=0;

k2 - -2 I ur = o,

V r2

dur

(1)

в которых и и0 и иг — аксиальная, азимутальная и радиальная проекции вектора скорости на оси цилиндрической системы координат х - 0 - г; х, 0, г — соответственно аксиальная, азимутальная и радиальная координаты.

Зададимся на входе в трубу (при х = 0) равномерным вдоль текущего радиуса г распределением аксиальных скоростей

их (г ,0) = V = А' (2)

ПК

где Q и V — расход потока и его среднерасходная скорость; Я — радиус трубы; и нормируем по Vи Я первое уравнение системы (1), т.е. положим в нем

ux = uxV , r = rR, x = xR , k = —,

в результате чего получим

дЧ

дх2

дГ2

+ + k ^ x = о. rdr

(3)

(4)

Воспользуемся далее методом Фурье, согласно которому будем искать частные решения нормированного уравнения (4) в виде произведения двух функций

и х (Г, х) = ф(Г) -ф( х)

где ф(Г) — функция только переменной Г, а ф(х) — функция только от х . Тогда, подставляя (5) в (4), будем иметь

(5)

I d2Ф

ф^ту + Ф

дх

^ д2ф + дф ^ дг2 rdr

+ k 2фф = 0,

или, деля уравнение на произведение фф и разделяя переменные, находим

(д2ф , 2 ' —т + k ф

дх2

(^

д 2ф + дф дг2 rdr

(6)

Но последнее равенство, где в результате разделения переменных левая часть осталась зависимой только от х, а правая — только от Г, возможно лишь в случае, когда обе части одновременно не зависят ни от х, ни от Г, т.е. представляют собой одну и ту же постоянную. Обозначим эту постоянную через п, тогда (6) перепишется как

( Л

д ф / 2 —г + к 2Ф дХ2

2

д 2ф + дф дг2 гдг

л

= П ,

и сведется к двум линейным дифференциальным уравнениям второго порядка

д2ф дх 2

\Р -л)Ф = 0;

д 2ф дф , . —у + ^т + пФ = 0,

дг rdr

(7)

с граничными условиями

их (г,0) = 1 при х = 0 для 0 < г < 1,

1 1

| их (г, x)2rdr =| их (г,0)2^г =1 для 0 < х < да.

(8)

В результате приходим к задаче Штурма — Лиувилля: найти такие значения параметра п, при которых существуют тождественно неравные нулю решения уравнений (7), удовлетворяющие граничным условиям (8), из которых первое соответствует равенству (2), а второе отражает закон сохранения объемного расхода в произвольном сечении по длине трубы в силу непроницаемости

МГСУ-

4/2013

ее стенок. При этом возможны три случая, соответствующие тому, какое значение — больше, меньше или равное нулю — принимает постоянная п. В первом случае положим п = Х2И > 0, тогда

дх

J+((-х1 )=о.

#о.

dr ror

Первое уравнение системы (9) имеет три решения, соответственно

фи = С1 cos (k2 -X2n x) + C2 sin (k2 -X2n z) при k2 >'k2n; Ф = C3 + С4 x при k2 = X П;

(9)

фи = С5 exp (x2 - k2 x) + C6 exp ((x2 - k2 z) при k2 < X

(10)

а второе относится к уравнениям Бесселя [4], частные решения которого в рассматриваемом случае имеют вид

фп = AnJ0(Хпг) при к2 *Х2Я ,1

ф = АЗ,(кг) при к2 =Х2п, | (11)

где — цилиндрическая функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Таким образом, получаем следующую систему частных решений

Q cos^jk2 ~X2nxj + С2 sin¡^¡к2-Х2„х^

при к2 >Х2;

йх = фф = (kr)(с3 + C4xj при к,2 = X2;

С5 ехр^-Рх) + С6 exp[-y]x2n-k2xj

• fS ry

при к <Х„.

Используя полную систему частных решений, находим общее решение (9) в виде суммы рядов Фурье — Бесселя

го

их(г,x) = Ф( r )ф(x) + Z Ф п ( r )ф n (x) = AJ0 (to )) C3 + C4х)

+

n=1

+ Ё AnJ0(Xnr)

n=1

C1 cos((к2 -X2nх) + C2sin((к2 -X2ij C5 exp ((x2 - к2 x) + C6 exp ((x2 - к2 xj

+ Е оФ-

»=ш+1

где пределы суммирования рядов определяются условиями Х2т < к2 < Х2т+1.

Анализируя полученное решение, можно видеть, что если х , то при С4 Ф 0 или С5 Ф 0 имеем их ^ ±да, что физически невозможно. Следовательно, необходимо положить С4 = С5 = 0. Далее подстановкой

С = A0 sin(ß) и С = Д cos(ß) находим

С cos (k2 -Х2п Х) + С2 sin ((—^х) = Д, sin ((—П* + в) • Тогда общее решение (7) при п = > 0 определится как иX (r, X) = AJo (Jfc¡r) + jj AnJo (A.„^)sin (((х + в) +

n=l '

+ £ AnJo(X„ r)exp (-y[kñ-Px

n=m+1

(12)

где константа С3 вошла в постоянную А, а в постоянные Ап вошли А0 и С Во втором случае при п = 0 согласно (7) находим

^ + ¿V 0;

дх 2

t dr

= 0

2 ГдГ

(13)

Общие решения дифференциальных уравнений системы (13) имеют вид Ф = С cos(kx) + C2sin(kx) = Д) sin (kx + a);) Ф = С + C2ln(r). J

В результате

их = фф = A [C + C2 ln(r)]sin(id + a).

Но если r ^ 0, то при C2 ф 0, получим úx ^ ±<», что невозможно, таким образом, С2 = 0 и, следовательно, при п = 0 общее решение задачи (7) имеет вид

их (х) = A sin (id + a),

(14)

где С1 вошло в константу А

В третьем случае п = < 0 . Тогда (7) приводится к

дх

■ф+((2 2 )ф=0;

д Ф + дф 1 2 ф _ 0 —у + —-1«ф_ 0-

дг гдг

Можно видеть, что второе уравнение этой системы является модифицированным уравнением Бесселя, не имеющим действительных корней. Следовательно, данный случай, когда п = -^2„ < 0, необходимо исключить из последующего рассмотрения.

Таким образом, общим решением уравнения (4) является сумма двух полученных решений (12) и (14), ибо сумма решений, удовлетворяющих условиям задачи, также является ее решением. В результате имеем

4/2013

их(г,х) = А70 (кг) + А0 8т (кх + а) +

+ ЪАп-!(к2 -Х2пх + р) + (¡5)

п=1 ^ '

+ £ AnJ0(ХпГ)ехр(п -к2X).

Определим постоянные А, А0 и А Для этого по первому граничному условию (8), согласно которому при х = 0 имеем их (г,0) = 1, в соответствии с найденным распределением (15) запишем

т да

их (г,0) = 1 = AJo (кг) + Д^тСа) + Х (пг ^тф) + X ¿„¿о(Хпг )(16)

п=1 п=т+1

Теперь обратимся ко второму условию (8), согласно которому с одной стороны при х = 0 по (16)

1 1 1 1

|их(г,0)гёг =— = А|т30) (кг)с!Г + А0 8т(а)|тйт ■

• +

0 0

т 1 да 1

+ X Ап 8Ш (в)}К) (Xпг)йг + X Ап}тЗ^ (Хпг

п=1 0 п=т+1 0

а с другой при 0 < х < да по (15)

1 1 1 1 |их(г>г<г =- = А\г-о (кг)<г + А) вт( + а )1 г<г

о о

-^Ап 8Ш((к2-X2х + р)}Г-о (хпг)<Г

2 о

+ ЕАп 8т((к2 -X2х + р)|г-п (Х„г )<г +

п=1 ' о

£ Ап ехр((х2 - к2X)}Г-о (ХпГ)<Г.

+

п=т+1 х 1 о

Взяв соответствующие интегралы, находим

1 А ■ А т А м А

- = (к) + вш(а) + Х(Хя«Р) + X т^/(Хя)

2 к 2 п=1 Х п п=т+1 Х п

1 А А

— = — 31 (к) + —-Бшк + а) +

2 к 2

т А г---™ А I-:—

+ (Хп )вт^к2-Тпх + р) + X т2-^ (Хп )ехр(-^п - к2 х),

п=1 Т п п=т+1 Т п

где ./Д...) — функция Бесселя первого рода первого порядка.

Но последнее равенство, справедливое для произвольных 0 < х < да, возможно только, если /Д^п) = 0, следовательно, X — один из действительных корней функции Бесселя первого рода первого порядка. А одновременное удовлетворение двух полученных равенств возможно только при А0 = 0. Отсюда

и

А = . .

2 -Л^) (17)

Положив в = л/2 и подставляя значения А и А0 в (16), находим

1 - = 1 Л/ 0^ пГ).

2 / (к) п=\

Умножим это равенство на Мг и проинтегрируем в пределах от 0 до г

г к г ■» г

1 ЫГ - /к) 1 Г/ 0(кГ )аГ = ^ Лп 1Г/ 0(Х пГ ">dГ,

0 2 ^!(к) о п=1 0

в результате получим

г2 - /Ш = *-г).

/1 (к) -=1 X -

Умножая теперь правую и левую части этого равенства последовательно на /(Х1г^г, ..., / (Xпг'^г , ..., / (X„r)dr и вновь интегрируя в пределах по г от 0 до 1, согласно условиям ортогональности функций Бесселя запишем систему равенств

1 2 1 1 & 2Л 1 |Г 3 (V)дт - -к-1(кг)31 (Ххг= —11^ (V)(V 0 31(к) 0 0

1 1 1 2 А 1

J г2 Ji(X tr)dr - J rJi(k&r) Ji(X tr)dr = —^ J Ji(X rr) Ji(X fr)rdr;

0 Ji(k )o X,-

г 0

Jr2Ji(X„r)dr --MrJi(kr)Ji(Xmr)dr = J Ji(X„r)Ji(Xer)rdr, 0 Ji(k)0 X

ж 0

откуда для произвольного частного решения п при X2 ф к2 находим

J 2 (A n ) + X nJ о(Х n )_ Д

,2 ^ № n )]2,

х n - к х n

(18)

здесь /2(...) — функция Бесселя первого рода второго порядка.

Воспользуемся связывающими цилиндрические функции разного порядка рекуррентными соотношениями, согласно которым при /1(Хг) = 0 справедливы равенства

/'(X - ) = /0(Х п ) = - / 2 (X - ).

Подставляя их в решение (18), получим

Л *

" (2 - к ))„)

Вводя константы А, А0 и Ап в исходное уравнение (15), запишем окончательное распределение аксиальных скоростей в исследуемом однородно-винтовом течении

X

n

kJ° (кг) m k2J0(Xnf) I I- 2 ,2 Л

u* (г,X} = , )A -^T&~2—°2\ cos ((2 -KA +

Ji(k) n=i(к2-x2)j°(Xn) vv '

V ; (19)

i 2

n -«1 ( - t2 ) n ) ^ I

Найдем теперь распределения нормированных функций тока Ф(г, x), а также азимутальных ив (r, x) и радиальных Ur (r, x) скоростей. Поскольку компоненты вектора вихря и уравнение неразрывности для плоского потока Громеки — Бельтрами записываются в виде [1, 5, 6]

rot xU = = kux, rot DU = — -— = киО, rot rU = -^± = kur

X X ' О О " r r

rdr dx dr dx

и

d(rur) + dux rdr dx

= 0,

то, вводя циркуляцию, связанную с азимутальной составляющей скорости равенством

Г = 2prмq,

и функцию тока, обращающую уравнение неразрывности в тождество, получим

1 ЗГ с^ 1 дГ дФ

их =--=- иг =---=----(20)

2пк гдг гдг 2пк гдх гдх

?

Из чего далее следует ^ „ , кФ

Г = 2рку и ив=— (21)

где константа интегрирования положена равной нулю, ибо на оси трубы, где Г = 0, одновременно имеем у = 0.

Положив далее аналогично (3) нормированные функцию тока, азимутальные и радиальные скорости равными

Ф = ФУК2, ие = ив¥ , иг = игУ,

сведем (20) и (21) к нормированному определенному интегралу

ф Г

| № = \ ихЫг

0 0

и нормированным равенствам

кФ . дФ

ие= — , иг = .

г гдх

В результате находим

* (г, X) = ГШ. - I J*) cos ((х ) + 2Jl(k) h хп (P-X" )(X я) У "I

+ £ ^ ^} exp (-ф^-Рх), n=m+1 X n (П - k2 ))(X „) V )

(22)

kJi (kr) m

ие(r> *)

Р j^x nr)

2 Ji (k) n=i Xn ((2 -X2 )jo(Xn)

С08

(( -X2n*) +

CO

p MKf)

n=m+l X n (x2n - P 0(Xn )

exp

(23)

m

Ur (r, x) = X

n=1

k 2rJx (Xn r)

k4 k 2 -X2Jо (ХП)

8Ш ^[к

2-X2 x )-

- X

n=m+1

k2rJl(Xnr)

X X 2 - P Jо (Xn )

exp

(24)

Анализ распределений (19), (22)—(24) показал, что в зависимости от значения скалярного коэффициента пропорциональности векторов вихря и скорости к имеют место разные течения, как похожие на наблюдаемые, так и далекие от них, в том числе близкие к рассмотренным в [5]. Например, при к в пределах между первым и вторым нулями функции Бесселя первого рода первого порядка (Х1 = 3,832 < к < X2 = 7,016) получаем течение, характеризующееся значительными возвратными токами в приосевой зоне, что соответствует лабораторным и натурным наблюдениям. Кроме того, при значениях к, превышающих первый или более нулей функции Бесселя, течение включает периодические составляющие с волновыми числами, равными к-^ 1 -Х2п/к2 . Расчетное распределение функции тока в таком течении на участке трубы длиной до четырех радиусов при к = 5,5 показано на рисунке.

4 f -- 3 S У -- % ■ —

- >• si ■у ч й- г у 1—

л ■W / N N - Q, W У \ S, Ь 20 /

> / / \ v \ / / - \ \ \ г* i / ■■■ /

/ ) 1 ■ к. ■t \ <1. ; \ ¥ =q ) |

\ • / L-n. а

0 г ГН ** л

r

и --

I s \ -0 < \ <С

\ ( / ■ft \ 1 s J ft 1 <t i V t-zZ /

\ \ V > / / / > s ■■ \ / / / ч \ ■ М

N - ■i ■ 4 ч # / / > ч > ч

s ? fi ■е (У с к ч

ft t. % - = у

-0,6

I) ад 11,4 (1,6 II.Н | 1Д 1,4 1,6 1,Х 2 2,2 3,4 2.(1 2.« 3 3,2 3,4 3,6 4

■V

Изолинии функции тока в течении Громеки — Бельтрами в трубе при к = 5,50

Относительно рассмотренного течения заметим, что, если согласно (19) и (23) на входе в канал у стенок трубы (при г = Я и х = 0) интенсивность закрутки составляет

= «е (1,0) = k ,

V ^ ' 2

то при k = 5,5 имеем ие (R,0)/F = 2,75 . Следовательно, на входе в канал в этом случае азимутальная скорость у стенки трубы в 2,75 раза превышает средне-расходную, что говорит о высокой закрутке с углом скоса до 70°. Подобные течения будут ярко проявляться, например, в кольцевых каналах между соосны-ми цилиндрами, вращающимися с разной угловой скоростью, где аксиальные скорости невелики, но крутка потока значительна. Надо полагать, что такое течение соответствует картине в подшипниках скольжения. Именно эти условия имеют место при возникновении тороидальных вихрей Тейлора — Гертлера. Таким образом, рассмотренная аналитическая модель течения Громеки — Бельтрами вполне отвечает наблюдаемым в опыте и натуре явлениям.

Библиографический список

1. ГромекаИ.С. Собрание сочинений. М. : Изд-во АН СССР, 1952. 296 с.

2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. 7-е изд., испр. М. : Дрофа, 2003. 840 с.

3. Бюшгенс С.С. О винтовом потоке // Научные записки МГМИ. 1948. Т. 17. С. 73—90.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М. : Наука, 1970. 720 с.

5. Гостинцев Ю.А., Похил П.Ф., Успенский О.А. Поток Громеки — Бельтрами в полубесконечной цилиндрической трубе // Механика жидкости и газа. 1971. № 2. С. 117—120.

6. Зуйков А.Л. Функция тока и зона рециркуляции в ламинарном течении с закруткой // Вестник МГСУ 2009. Спецвып. № 2. С. 91—95.

Поступила в редакцию в феврале 2013 г.

О б а в т о р а х : Зуйков Андрей Львович — доктор технических наук, заведующий кафедрой гидравлики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (8495) 287-49-14 вн. 14-18, zuykov54@mail.ru;

Орехов Генрих Васильевич — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой гидроэнергетики и использования водных ресурсов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (8499) 182-99-58, orehov_genrih@mail.ru;

Волшаник Валерий Валентинович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры гидроэнергетики и использования водных ресурсов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (8499) 182-99-58, tvg1806@gmail.com.

Для цитирования: Зуйков А.Л., Орехов Г.В., Волшаник В.В. Модель течения Громеки — Бельтрами // Вестник МГСУ 2013. № 4. С. 150—159.

A.L. Zuykov, G.V. Orekhov, V.V. Volshanik

ANALYTICAL MODEL OF GROMEKA — BELTRAMI FLOW

The authors provide a summarized overview of the analytical model of the Gromeka — Beltrami helical flow of nonviscous incompressible fluid in a cylindrical channel. The model is developed on the basis of the method of decomposition for Fourier — Bessel equations. The authors discuss the analytical distribution function for axial, azimuthal and radial fluid velocities and the flow function depending on the length and radius of the cylindrical channel. The analysis of the proposed solution demonstrates that the properties of the flows inside the channel depend on the value of the scalar coefficient. When the value of the coefficient is within the zero-order Bessel function of the first kind, the velocity distribution is characterized by significant reverse currents in the axial zone of the channel. The findings comply with the results of laboratory and field tests. The authors have identified that this type of flow has components of the wave. Similar flows have high angular velocity. The authors assume that these conditions correspond to the emergence of toroidal Taylor — Gertler vortices. Therefore, the analytical model of the Gromeka — Beltrami flow complies with the phenomena observed in the course of experiments and in the natural environment.

Key words: helical flow, ideal fluid, Gromeka equation, Fourier — Bessel decomposition, axial, azimuthal and radial velocity, vorticity, circulation.

References

1. Gromeka I.S. Sobranie sochineniy [Collection of Works]. Moscow, AN SSSR Publ., 1952, 296 p.

2. Loytsyanskiy L.G. Mekhanika zhidkosti i gaza [Fluid and Gas Mechanics]. Moscow, Drofa Publ., 2003, 840 p.

3. Byushgens S.S. O vintovom potoke [About the Helical Flow]. Nauchnye zapiski MGMI [Proceedings of Moscow Institute of Hydraulic Reclamation of Land]. 1948, vol. 17, pp. 73—90.

4. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [Reference Book of Mathematics for Researchers and Engineers]. Moscow, Nauka Publ., 1970, 720 p.

5. Gostintsev Yu.A., Pokhil P.F., Uspenskiy O.A. Potok Gromeki — Bel'trami v polubes-konechnoy tsilindricheskoy trube [Gromeka-beltrami Flow in a Semiinfinite Cylindrical Pipe]. Mekhanika zhidkosti i gaza [Fluid and Gas Mechanics]. 1971, no. 2, pp. 117—120.

6. Zuykov A.L. Funktsiya toka i zona retsirkulyatsii v laminarnom techenii s zakrutkoy [Current Function and Recirculation Zone of the Laminar Flow Having Vortex]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2009, Special Issue no. 2, pp. 91—95.

About the authors: Zuykov Andrey L'vovich — Doctor of Technical Sciences, Chair, Department of Hydraulics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; zuykov54@mail.ru; +7 (495) 287-49-14, ext. 14-18;

Orekhov Genrikh Vasil'evich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Chair, Department of Hydroelectric Engineering and Use of Aquatic Resources, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; orehov_genrih@mail.ru; +7 (499) 182-99-58;

Volshanik Valeriy Valentinovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor, Department of Hydroelectric Engineering and Use of Aquatic Resources, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; tvg1806@gmail.com; +7 (499) 182-99-58.

For citation: Zuykov A.L., Orekhov G.V., Volshanik V.V. Model' techeniya Gromeki — Bel'trami [Analytical Model of Gromeka — Beltrami Flow]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 4, pp. 150—159.