Аксиальные и радиальные скорости в ползущем течении в трубе Текст научной статьи по специальности «Физика»

ГИДРАВЛИКА. ИНЖЕНЕРНАЯ ГИДРОЛОГИЯ. ГИДРОТЕХНИЧЕСКОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО

УДК 532.542.1

А.Л. Зуйков

ФГБОУВПО «МГСУ»

АКСИАЛЬНЫЕ И РАДИАЛЬНЫЕ СКОРОСТИ В ПОЛЗУЩЕМ ТЕЧЕНИИ В ТРУБЕ

Приведено аналитическое исследование полей аксиальных и радиальных скоростей в установившемся неравномерном ползущем течении на начальном участке цилиндрического канала. Показано, что поля скоростей такого течения являются двумерными и определяются функцией тока. Распределения скоростей получены в виде рядов Фурье — Бесселя.

Ключевые слова: ньютоновская жидкость, неравномерное ползущее течение, азимутальный вихрь, функция тока, аксиальные и радиальные скорости, разложение Фурье — Бесселя.

Настоящая статья является продолжением серии работ [1—3], где были получены нормированные аналитические функции радиально-аксиальных распределений таких характеристик установившегося неравномерного ползущего течения в цилиндрической трубе радиусом Я, как азимутальный вихрь

dùr dû и функции тока

®е (Г, X) = ■dû--дг- = 4Г + £ AnJ ^ )exp(-A, nX), (1)

dx dr

n = 1

Y (r, x) = r2

( л

1 - Lr y An.

V 2 J 2 n=1

J&d Jx(X nr ) - rJ0(X nr )

J1 (Л n )

exp(-À nx), (2)

связанные соотношением

d2 Ч& d2 Ч& Ô4&

-+---= -r(aQ , (3)

dx2 dr2 rdr

здесь r и х — нормированные радиальная и продольная координаты (см. рис. 1 [3]), Г = r/R, х = х/R; ùr и ùx — нормированные радиальные и аксиальные локальные скорости течения, ùr = ux/V, ù x = ux/V ; V — среднерасходная скорость течения, V = Q/pR2; Q — объемный расход; J0 (Xnr), Jx (Xnr) — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков [4]; l — константа разделения; An — постоянная, зависящая от граничных условий.

Из равенства (2) можно заключить, что J1 (Xn ) ф 0, ибо стоит в знаменателе первого слагаемого в квадратных скобках, т.е. l не является действительным нулем функции Бесселя первого рода первого порядка. Следовательно, единственным приемлемым решением в данном случае, удовлетворяющим граничным условиям (6) и (8) из [3], может быть только равенство нулю функции J0 (Xn ) = 0, где l — действительный нуль функции Бесселя первого рода

нулевого порядка. Отсюда можно вычислить неизвестную ранее постоянную А , приведя (2) к виду

(

Т (г, х) = г2

г х А

2 п= 1 кп

(4)

1 - ^ 2

V У

При этом на оси и стенках по всей длине трубы сохраняются корректные условия (8) из [3]: Ф (0, х) = 0 при г = 0 и Ф (1, х) = 0,5 при г = 1, а на бесконечном удалении от входа в трубу (при х = да) имеем профиль Пуазейля, соответствующий условию (6) [3]

дФ

и„ = -

(

1 - ^ V 2 ,

2(1 - г2). (5)

гдг гдг 1 4 '

Рассмотрим трансформацию профилей аксиальных и радиальных скоростей неравномерного ползущего течения по длине цилиндрической трубы. Для этого, прежде всего, определим граничные условия задачи.

Кроме профиля Пуазейля (5) при х = да и условия сохранения объемного расхода по длине трубы

| их 2Мт = 1 для х > 0,

(6)

принятыми в работе [3], дополнительными граничными условиями положим: равенство нулю радиальных скоростей при х = да соответствующем равномерному движению жидкости по Пуазейлю;

равномерное распределение аксиальных скоростей по сечению на входе в трубу при х = 0, при котором и х = 1;

ввиду осевой симметрии течения равенство нулю на оси трубы (при г = 0) радиальных скоростей и частной производной от аксиальной скорости по радиусу, отвечающее условию мягкого экстремума функции и х;

равенство нулю скоростей движения жидкости на стенках трубы (при г = 1) ввиду вязкости жидкости и непроницаемости стенок.

Дополнительные граничные условия описываются системой иг = 0 при х = да для 0 < г < 1;

их = 1 при х = 0 для 0 < г < 1;

д и

иг = 0, —- = 0 при г = 0 для х > 0;

дг

иг = 0, их = 0 при г = 1 для х > 0. Переписав функцию (4) на входе в трубу (при х = 0) в виде

(7)

/

¥ (Г,0) = г2

•2

\

1 - п 2

V

г ™ А

+ V пГ\

2 п =1 Кп

(8)

где, следуя второму граничному условию системы (7)

дЧ

и„ = 1 =

гдг'

Ф г г 2

после интегрирования | йФ = | гйт, получим Ф = —.

0 0 2

(9)

Тогда выражение (8) после очевидных сокращений перепишется как

А .

Г -r Jo(V)-

n = 1 Л n

(10)

Воспользуемся условиями ортогональности функций Бесселя [4], согласно которым, если 1. и 1. — два нуля функции Jm (Xп) = 0 — действительные, то

если i Ф j;

j (XГ Ут (X Г )rdr = 0, jJm(X r)Jm(X r)rdr = 2[J'm(Xi)], если i = j .

(11)

Тогда, умножая правую и левую части (10) последовательно на J0 (11г )оТ, J0(X2г)ёг, ..., J0(Xпг^г и далее до J0(1Мг)оТ, и интегрируя по интервалу от 0 до 1, согласно условиям ортогональности получим систему равенств

А 1

jr3 J0(Xir)dr - jrJ0(Xir)dr = — j J0(Xir)J0(Xir)rdr;

ч о

1 1 — 1 jr3 J0 (X2r)dr - jrJ0 (X2r)dr = — j J0 (X2r) J0 (X2r)rdr;

0

—1

j r3 J0 (X nr )dr -j rJ0 (X nr )dr = —■ j J0 (X nr) J0 (X nr )rdr;

—1

j r3 J0 (XM r )dr -j rJ0 (XM r )dr = -^j J0 (XM r) J0 (XM r )rdr.

(12)

0 0 ^

Отсюда для произвольного «-го частного решения в результате интегрирования получим

|т J2 (X n)-XL J3 (X n)-X- Ji (X n) = [ J0 (X n )]2

(13)

где J2(1Я), J3(1Я) — функции Бесселя первого рода второго и третьего порядков.

Далее в результате использования рекуррентных соотношений [4], связывающих цилиндрические, в т.ч. функции Бесселя, из равенства (13) находим

A = —

8

„)

(14)

Обратимся теперь к уравнениям (1) и (3), приведя их согласно (14) к виду

д2 ¥ д2 ¥

дх2

- + -

-^ = -4r2 + 8r}Г Jl(Xf) exp(-Xnx),

дГ2 rdr n=i XjXn)

(15)

и замечая далее, что

д2 ¥ д¥ _ . д д.2 гдг дг

rdr

. dUx

= r-

дГ

а по (4) и (14)

д 2 *■ 2 Ё п«,

дх1

-1 ^пМ^п )

с учетом записанного находим

дйх

дг

= -4г + 4 ^

1=1

2 ^(к пг) + &0(к пг )

к2п^(кп) КМкп)

ехр(-к пХ).

(16)

Разделяя переменные и интегрируя в пределах по радиусу от г до 1 и по аксиальной скорости от их до 0 на стенке трубы, получим

4

их ,х) = 2(1 -г )

п = 1 — п

1 - пЛ(—пГ) + 2J0(—пГ) М-п ) — nJl(— п )

ехр(-—пХ).

(17)

Заметим, что в соответствии с распределениями (16) и (17) аксиальные скорости имеют мягкий экстремум на оси трубы при г = 0, ибо в этом случае производная дйх/ дг = 0, и одновременно и х = 0 при г = 1. Таким образом, граничные условия два и три системы (7) выполнены.

Проинтегрируем теперь распределение (17) для проверки условия (6)

}йх2тФ = Л 2(1 -&2)-£-4г

0 0 I п=1 Х п

1 - ТМкпт) + 2J0(Хпт)

ехр(-ХпХ)>2гаГ\

Можно видеть, что условие сохранения объемного расхода по длине трубы не выполняется, ибо имеет место равенство

4

| их 2Мт = ехр(-кп*)-

= 1 ^п

(18)

Этот дефицит расхода невелик, но точное решение требует его устранения, для чего используется дифференциальное уравнение распределения аксиальных скоростей

дх2 дг2 ГдГ Хп^ п)

(19)

которое легко получить из уравнения азимутального вихря (1) и уравнения неразрывности

д(гиг ) дих

- + -

= 0.

(20)

гдг дх

Причем для получения требуемого решения следует использовать однородную часть уравнения (19) в виде

д 2»х + д 2 их + дих = 0

дх2 дг2 гдг

поскольку неоднородное уравнение дает результат, соответствующий (17).

Принимая как и ранее дополнительные (компенсационные) осевые скорости произведением двух функций их (г, х) = ф(г)ф(х), одна из которых ф(Г) зависит только от текущего радиуса, а вторая ф( х) — только от текущей аксиальной координаты, находим

п

з

п

I д2 Ф

+ Ф

дх2

д2 ф дф

дг

+ ■ 2 rdr

= 0, или, деля на фф, имеем

1 д2 ф

Гд2ф дф

дг

+

2 гдг

ф дх2

Последнее равенство, в котором правая часть является произведением функций от х, а левая — произведением функций только от г, возможно только в случае если одновременно ни правая, ни левая части не зависят ни от х, ни от г, т.е. обе части этого равенства представляют собой одну и ту же постоянную Следовательно,

1 д!ф ф дх2

( т д2 ф + дф

дг2 Гдг

что позволяет записать систему двух дифференциальных уравнений д2ф п

4 АпФ=о.

дг гдг

(21)

Можно видеть, что при п = Х2п > 0 решением первого уравнения системы (21) будет являться фп = Сехр(-Хпх), а решением второго фп = ВпJ0 (1 пг).

Таким образом, получаем дополнительные (компенсирующие дефицит расхода) аксиальные скорости в виде ряда Фурье — Бесселя

(г, х) = £ BnJ0 (^„r)exp(-^ пх),

(22)

где константа С вошла в константу В«.

Можно видеть, что эти дополнительные скорости не изменят нулевых значений аксиальных скоростей у стенок трубы, ибо J0 (Xп) = 0, однако расход от этих скоростей должен быть обратным равенству (18), т.е. должен составлять

1 ® 1 » 4

| = 2 £ Вп ехр(-^ ио(Хпг)& = ехр(-^пх).

0 п = 1 0 п = 1 Хп

Результаты этих вычислений позволяют получить значение константы В« 2

2 (23)

В —

Ь„МЬп )

Подставляя (23) в (22), находим компенсационную скорость

их (г,х) = 2±ехр(-*„X),

(24)

7=1 * пМ*- п)

вводя которую в выражение (17), находим окончательное распределение аксиальных скоростей в неравномерном ползущем течении в начале трубы

4

(Г, x) = 2(1 - r2)-Ц —

=1 I Xn

n =1

1-

rJi(X пГ) Jl(X n )

+

—-1

2 J0(XпГ)

X nJl(X n )

exp(-XnX). (25)

x

n = 1

X

Найдем окончательное распределение функции тока, взяв интеграл

V г

= | ихМг, 0 0 в результате получаем

/

¥ (Г, х) = Г

■2

& 2 Л

1 - п 2

V у

- 2Г

=1 Хп

п = 1

. МХпт) 2г/0(ХпГ)

Г---+

ехр(-Х пХ).

(26)

МХ п) X п (X п)

Радиально-аксиальное распределение радиальных скоростей найдем дифференцированием функции тока (26) по аксиальной переменной

■(Г, 7) = -= -2

ГйХ п = 1 Х п

. - Jl(XпГ) + 2Ыо (Xпг)

ехр(-Х п7).

(27)

^ (X п) х „МХ п)

Теперь полученные радиально-аксиальные распределения характеристик неравномерного ползущего течения в круглой трубе (25)—(27) отвечают всем граничным условиям (5)—(7).

Отметим также, что, как показывают выполненные расчеты, гидравлические потери при равномерном ползущем течении ньютоновской жидкости соответствуют формуле Пуазейля — Гагена

Яе

(28)

где 1 — коэффициент гидравлического сопротивления по длине трубы; Re — число Рейнольдса, Re = УС/п; сС — диаметр трубы, С = 2Я; V — кинематическая вязкость.

Нормированные графики аксиальных и радиальных скоростей исследованного течения приведены на рис. 1 (здесь профиль Пуазейля показан штриховой кривой). Расчеты выполнены для створов, расположенных от входа в трубу на расстояниях х = 0,1Я, 0,2Я, 0,4Я и 0,8Я.

0.0 0,2 0,4 0,6 0,8 1.0 1,2 1,4 1,6 1.8 2,0 -0,6-0,4-0,2 0,0

Рис. 1. Радиально-аксиальное распределение аксиальных их и радиальных иг скоростей в неравномерном ползущем течении на начальном участке трубы

Можно видеть, что согласно правому рисунку в ползущем течении аксиальные скорости йх приобретают профиль Пуазейля в самом начале трубы на расстоянии х близком к 0,8 ее радиуса Я. При этом радиальные скорости йг, показанные на левой части рисунка, всегда отрицательны, т.е. направлены в сторону оси трубы.

Гидравлика. Инженерная гидрология. Гидротехническое строительство УЕБТЫНС

_мвви

На рис. 2 показаны изолинии нормированной функции тока.

о 5

4,

4 -й

u, 10

r; -0 4* )

• •

,3

N tii

и Ь

1) 2 0 J л ft 0 к 1 : i 4 1 f> г и J £ : 4 : й г к 3 4 i 6 3 я 4

Рис. 2. Нормированное поле изолиний функции тока в неравномерном ползущем течении на начальном участке трубы

В целом отметим, что структура неравномерного ползущего течения весьма близко напоминает структуру неравномерного ламинарного течения на начальном участке трубы. Разница лишь в том, что если длина начального участка, на котором имеет место неравномерное ламинарное течение, ограничивается длиной от начала трубы, равной x = 0,175ReR [1], то для ползущего течения вне зависимости от числа Рейнольдса она составляет порядка x = 1,0R.

Библиографический список

1. Орехов Г.В., Зуйков А.Л., Волшаник В.В. Контрвихревое ползущее течение // Вестник МГСУ 2013. № 4. С. 172—180.

2. Моделирование и расчет контрвихревых течений / В.К. Ахметов, В.В. Волшаник, А.Л. Зуйков, Г.В. Орехов ; под ред. А.Л. Зуйкова. М. : МГСУ, 2012. 252 с.

3. Зуйков А.Л. Азимутальный вихрь и функция тока в ползущем течении в трубе // Вестник МГСУ 2014. № 4. С. 150—159.

4. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York : General Publishing Company, 2000. 1151 p.

Поступила в редакцию в январе 2014 г.

Об авторе: Зуйков Андрей Львович — доктор технических наук, профессор кафедры гидравлики и водных ресурсов, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495) 287-49-14 вн. 14-18, zuykov54@mail.ru.

Для цитирования: Зуйков А.Л. Аксиальные и радиальные скорости в ползущем течении в трубе // Вестник МГСУ. 2014. № 5. С. 127—134.

ВЕСТНИК e(-n, л

5/2014

A.L. Zuykov

AXIAL AND RADIAL VELOCITIES IN THE CREEPING FLOW IN A PIPE

The article is devoted to analytical study of transformation fields of axial and radial velocities in uneven steady creeping flow of a Newtonian fluid in the initial portion of the cylindrical channel. It is shown that the velocity field of the flow is two-dimensional and determined by the stream function. The article is a continuation of a series of papers, where normalized analytic functions of radial axial distributions in uneven steady creeping flow in a cylindrical tube with azimuthal vorticity and stream function were obtained. There is Poiseuille profile for the axial velocity in the uniform motion of a fluid at an infinite distance from the entrance of the pipe (at x = ~), here taken equal to zero radial velocity. There is uniform distribution of the axial velocity in the cross section at the tube inlet at x = 0, at which the axial velocity is constant along the current radius. Due to the axial symmetry of the flow on the axis of the pipe (at r = 0), the radial velocities and the partial derivative of the axial velocity along the radius, corresponding to the condition of the soft function extremum, are equal to zero. The authors stated vanishing of the velocity of the fluid on the walls of the pipe (at r = R, where R — radius of the tube) due to its viscous sticking and tightness of the walls. The condition of conservation of volume flow along the tube was also accepted.

All the solutions are obtained in the form of the Fourier — Bessel. It is shown that the hydraulic losses at uniform creeping flow of a Newtonian fluid correspond to Poiseuille — Hagen formula.

Key words: Newtonian fluid, uneven creeping flow, azimuthal vorticity, stream function, axial and radial velocities, decomposition of Fourier — Bessel.

References

1. Orekhov G.V., Zuykov A.L., Volshanik V.V. Kontrvikhrevoe polzushchee techenie [Creeping Counter Vortex Flow]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 4, pp. 172—180.

2. Akhmetov V.K., Volshanik V.V., Zuykov A.L., Orekhov G.V. Modelirovanie i raschet kontrvikhrevykh techeniy [Modeling and Calculation of Counter Vortex Flows]. Moscow, MGSU Publ., 2012, 252 p.

3. Zuykov A.L. Azimutal'nyy vikhr' i funktsiya toka v polzushchem techenii v trube [Azimuthal Vorticity and Stream Function in the Creeping Flow in a Pipe]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 4, pp. 150—159.

4. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York, General Publishing Company, 2000, 1151 p.

About the author: Zuykov Andrey L'vovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Hydraulics and Water Resources, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoye shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (495) 287-49-14, ext. 14-18; zuykov54@mail.ru.

For citation: Zuykov A.L. Aksial'nye i radial'nye skorosti v polzushchem techenii v trube [Axial and Radial Velocities in the Creeping Flow in a Pipe]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 5, pp. 127—134.