CC BY
27
International Journal of Open Information Technologies ISSN: 2307-8162 vol. 2, no. 11, 2014
“Многомерное метро” и символьные
матрицы
Г.Г. Рябов, В.А. Серов
Аннотация—Рассматриваются комплексы k-мерных граней (k-граней) n-куба, представленные в виде символьных матриц над конечным алфавитом A' = {0,0,1,2}. Изучается классификация кратчайших k-
мерных путей (k-путей) в n-кубе на базе введенного числового инварианта для символьных матриц. Предложен алгоритм “решета” для генерации представителей всех классов k-путей в n-кубе.
Ключевые слова—Биективное отображение, конечный алфавит, кубанты, метрика Хаусдорфа-Хэмминга,
символьные матрицы, k-грани n-куба, k-пути и их классификация по разбиениям для числа символов.
I. Введение
Тенденция все большего усложнения структур, используемых в современных информационных технологиях, делает актуальными решения задач отображения таких структур на более “регулярные” хотя и, возможно, более структурно избыточные. Под термином “регулярные” здесь подразумеваются структуры с большим числом симметрий и, как правило, поэтому удобно алгебраически представимые для исследования, вычисления и использования их топологических и комбинаторных свойств. Классическим примером такой регулярной, универсальной структуры является n-куб [1]. Цель данной статьи — дать представление о математическом инструментарии, связывающем методы теории представлений, алгебраической топологии и перечислительной комбинаторики. Такой
инструментарий рассчитан на исследования комплексов k-мерных граней (k-граней) в n-кубе, биективно представленных в виде символьных матриц над конечным алфавитом.
Определенный крен, сделанный в изложении, преследует две цели:
1. Попытаться кратко дать логически последовательное для читателя представление развития описываемого инструментария.
2. Попытаться дать наглядное (насколько это возможно) сопоставление конкретных символьных представлений и многомерных примеров с комплексами из k-граней в их
Статья получена 22 ноября 2014.
Г. Г. Рябов, НИВЦ, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия (e-mail: gen-ryabov@yandex.ru).
В. А. Серов, НИВЦ, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия.
графической интерпретации на плоской проекции одномерного остова (вершины и ребра) аффинного образа n-куба.
В начале изложения остановимся на пояснении некоторых особенностей используемой графической интерпретации n-куба и его граней. Так, на рис.1а) изображено графическое представление 3-куба в стиле диаграмм Хассе [2]. Будет применяться графический подход, изображающий плоскую проекцию вершин и ребер (одномерный остов) n-куба, построение которой опирается на заданный репер, как это показано на рис.1б) для 9-куба. Такая графика будет использована только для демонстрации самых общих идей топологического характера рассматриваемых структур, а все числовые характеристики (степени вершин в комплексах граней, метрика между гранями и т.д.) рассчитываются алгебраически на основе биективного представления.
В статье выбрана несколько необычная форма изложения в рамках рассмотрения задачи, которая имеет естественные ассоциации с реальными задачами решения транспортного коллапса в мегаполисах настоящего и будущего. Условно назовем такую задачу “проектирование многомерного метро”. С целью еще большего ассоциирования с окружающей геометрией реального метро будут рассмотрены примеры для еще более узкой постановки “трехмерное метро в 9-кубе”.
Рис.1 a) Графика в стиле диаграммы Хассе. б) Плоская проекция одномерного остова 9-куба, используемая в статье.
Неформальная постановка задачи: Линии метро в n-кубе рассматриваются как сеть тоннелей, составленных из k-граней, которые примыкают друг к другу своими ^-^-гранями. Станции заданы как набор вершин n-куба (в основном внимание будет уделено случаю пары
10
International Journal of Open Information Technologies ISSN: 2307-8162 vol. 2, no. 11, 2014
антиподальных вершин, т.е. вершин vt и v2, c максимальным хэмминговым расстоянием
pH (v1, v2) = n ). Ограничениями могут служить грани,
запретные для прохождения тоннелей, а также метрические ограничения на взаимное расположение тоннелей разных линий. Общая идея грубо изображена на рис.2 для соединения антиподальных вершин (а.п. вершин) < 00к0 > и < 11... 1 > .
тонн тонн
110000000 100000000
000000011 000000001
000000000
e1 e2 e3 e4 e5 e6 eq e8 e9
000000000
Рис.2 Общая идея “многомерного метро”. Пустой овал условно соответствует запретным граням.
Из этих неформальных рассуждений уже следует перечень основных требований к математическому инструментарию:
— Индивидуальное представление каждой k-грани n-куба.
— Методы числовой оценки взаимного расположения граней всех размерностей (в т.ч. метрические соотношения).
— Индивидуальное представление любого комплекса граней в n-кубе.
— Методы числовой оценки взаимного расположения комплексов в n-кубе.
— Методы исследования комбинаторного наполнения путем классификации комплексов на базе числовых инвариантов.
Сразу же укажем пути реализации этих требований:
1. Каждая k-грань будет биективно (взаимно однозначно) представлена n-разрядным (символьным) словом (кубантом) над троичным алфавитом A = {0,1,2}.
2. Над троичными словами вместе с расширением
алфавита до A ’ = {0,0,1,2} вводятся поразрядные
операции, с помощью которых вычисляются пересечения граней, выпуклая оболочка граней и величина минимального пути (по ребрам) между гранями. На базе этого вводится метрика Хаусдорфа-Хэмминга на всех гранях n-куба, которая является естественным расширением метрики Хэмминга для вершин.
3. Каждый комплекс граней в n-кубе представлен
символьной матрицей, строками которой являются кубанты. На базе такого матричного представления (с введением дополнительных условий) дается
определение кратчайшего k-мерного пути (k-пути) в n-кубе.
4. Методы оценки взаимного расположения комплексов опираются на методы п.2.
5. Вводится числовой инвариант для символьных матриц, представляющих k-путь. Он позволяет
классифицировать все матрицы в соответствии с разбиениями числа символов в матрице при определенных ограничениях на такие разбиения.
В целом, содержание представленной статьи следует в русле фундаментальных работ Рота, Стенли, Манина, Эндрюса, Вершика, Окунькова [1-5].
II. Биективное представление k-граней n-куба
В основе дальнейшего изложения лежит биекция для k-граней n-куба, предложенная в [6].
Пусть B = {0,ei,e2,...,en}—репер в □ n; A = {0,1,2} — алфавит и A,* = {< d1,...,dn >},d{ e A — множество всех n-разрядных слов (кубантов) над этим алфавитом. Слово этого множества обозначается как D =< dp...,dn > . Каждая k-грань n-куба (fnk) представляется как декартово произведение (П) единичных отрезков I(e,) для базисных векторов e, e Bx e B и трансляции (T ) вдоль остальных базисных векторов так, что ej e B2 e B(B2 = B \ B1).
На основании этого можно записать наше представление как:
fnk(B,,B,) = ПI(e,) + T(ej)d1,...,d,, >, (1)
k n—k
где dt = 2 для e, e Bl и dj e {0,1} для ej e B2 .
dj = 1 при наличии трансляции вдоль ej и dj = 0 при ее отсутствии.
Другими словами, можно рассматривать такую запись как в специальной позиционной (поразрядной) системе для отображения двух действий — декартового произведения и трансляции. Символ в i-ом разряде кубанта показывает как используется единичный отрезок I(e,), коллинеарный e, . А именно, “2”— участие I(e,) в декартовом произведении, “1”—участие в параллельном переносе (трансляции) вдоль e, , “0” — отсутствие трансляции вдоль e, . Так, кубант
D =< 020201201 > соответствует трехмерной грани с декартовым произведением n(I(e2), I(e4), I(eq)) и
трансляцией вдоль e6, e9 . При таком представлении традиционная двоичная кодировка вершин n-куба сохраняется.
Примеры графической интерпретации можно видеть на рис.1
Дополнив символом 0 принятый алфавит A (A' = {0,0,1,2}), вводятся поразрядные операции на кубантах. Список основных операций (поразрядных) и правила их выполнения приведены ниже.
1. #(a)D —число символов “а” в кубанте D .
2. — D —кубант грани, антиподальной к исходной (замена в кубанте D всех “0” на “1” и всех “1” на “0”).
11
International Journal of Open Information Technologies ISSN: 2307-8162 vol. 2, no. 11, 2014
3. D1 + D2—сложение (объединение) кубантов (таблица
1) . Результат—кубант грани, выпуклой оболочки исходных.
4. D1 х D2—умножение (пересечение) кубантов (таблица
2) . Результат— кубант общей грани для исходных.
Таблица 1
+ 0 0 1 2
0 0 0 1 2
0 0 0 2 2
1 1 2 1 2
2 2 2 2 2
Таблица 2
х 0 0 1 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 0 1 2
Легко видеть, что длина минимального пути по ребрам между гранями с кубантами D1 и D2 равна
^„( D1, D2) = #(0)( D1 х D2);
Графическая интерпретация операций показана на рис.3.
Рис.3 Кубанты. Операции над ними в проекции 9-куба.
Отсюда:
Рви (D1, D2) = max{#(0)(u( D1 / D2) х D2);
#(0)(u(D2 / D1)хD1)}
Т аким образом, все 3n граней n-куба образуют конечное метрическое пространство с метрикой Хаусдорфа-Хэмминга. В частности, для кубантов D4 и D5 (рис.3)
рии (D4, D5) = 6;
III. СИМВОЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
Исследование свойств некоторого множества граней n-куба естественно рассматривать в форме биективного представления этих граней в виде кубантов. Пусть число граней (кубантов) в таком множестве равно s. Тогда, считая каждый кубант одной из строк в матрице из s строк, можно говорить о биективном представлении комплекса граней в виде троичной символьной n х s матрицы (вопрос о порядке следования строк пока оставим в стороне). Возвращаясь к задаче прокладки тоннелей “трехмерного метро в 9-кубе” между станциями v1 = 00...0 и v2 = 11...1, легко представить примеры соответствующих символьных 9х7 матриц, как это показано ниже. Отметим основные свойства (свойства 1- 4) таких матриц:
1. <00...0>е D1, < 11...1 >е D7 (как станции назначения).
2. Размерности всех граней в тоннеле равны 3, т.е.
#(2)Di = 3, i = 1 f 7.
3. Для соседних граней условие стыковки (2)
#(2)(Di х Di+1) = 2 (размерность гиперграней).
4. Требование кратчайшего тоннеля (по числу входящих в него граней) приводит к свойству, что столбцы матрицы D*, j = 1 f 9 имеют вид только 4-х типов:
1) из всех “2”.
2) из “2” и следующих за ними только “1”.
3) из “0” и следующих за ними только “2”.
4) из “0” и следующих за ними “2” и “1”.
Отсюда можно дать биективное определение кратчайшего k-мерного пути (k-пути) в n-кубе между вершинами < 00.0 > и < 11.1 > .
Определение. Кратчайший k-путь в n-кубе между < 00.0 > и < 11.1 >, который можно представить (с учетом возможных перестановок строк) в виде троичной n х (n - к +1) матрицы, удовлетворяющей свойствам 1-4. Обозначим такую символьную матрицу как T(n, к).
В [7] на базе (1) и учитывая выпуклость любых k-граней была введена метрика Хаусдорфа на гранях n-куба, которая является обобщением метрики Хэмминга. Предложен алгоритм ее вычисления с помощью кубантов. Для этого вводится специальная бинарная операция р(D1 / D2).
5. р(D1 / D2). Замена символов “2” на “0” в тех разрядах d1i кубанта D1, для которых d2i = 1, и “2” на “1”, для которых d2i = 0 . Результат—кубант D3 со свойствами D3 е D1 и #(0)(D3 х D2) = max(Lyn (D3, D2)).
Характерными представителями таких матриц являются: “ступенчатая матрица” Ts (n, к) и “ступенчато-
столбцовая” матрица Tsc (n, к). Например, для n = 9, к=3:
12
International Journal of Open Information Technologies ISSN: 2307-8162 vol. 2, no. 11, 2014
Т (9,3)
D2
V D7 J
'222000000^ 122200000 112220000 111222000 111122200 111112220 v111111222J
, Tsc (9,3)
D D ... D
1 ^2
9
*
1. <00...0>e D1;< 11...1 >e D7;
2. #(2)Д = k, i = 1 т (n - k +1);
'222000000^ 221200000 221120000 221112000 221111200 221111120 V221111112J
3. #(2)(Di x Di+1) = k -1;
4. D* e {(2), (2)(1), (0)(2)(1), (0)(2)}, j = 1 т n ;
KU9,3)) = {1,2, ЗД 3,3,3,2,1} = 4 (Гя (9,3)) = {7,7,1,1,1,1,1,1,1}
3 3
Рис.4 Графическое отображение проекций k-путей и разбиения для их символьных матриц.
Для антиподальных вершин (011010011) и (100101100) соответствующие столбцы
Т(9, 3) инвертируются так, что:
' D1 ^ '222000000^ '222010011^
D2 122200000 122210011
112220000 102220011
Т\ (9,3) = = 111222000 ^ Т '(9,3) = 100222011
111122200 100122211
111112220 100102221
v D7 J v111111222J V100101222J
D *D * D * D1 D2 D9
Однако не любое разбиение числа символов “2” матрицы представляет кратчайший k-путь, а только вместе с выполнением всех четырех свойств (2). Таким образом, величина Я(к(n - к +1); n;(n - к +1)) даже при выполнении свойств 1-3 из (2) может служить лишь верхней оценкой числа классов эквивалентности k-путей в n-кубе, что и было показано в [8].
Ниже будет предложен алгоритм типа “решето” в терминологии Г.Эндрюса [3] получения всех классов эквивалентности K(n, к) (точнее, представителей всех классов). Однако вначале рассмотрим вопрос приведения T(n, k) к специальному, т.н. k-
диагональному виду.
Если рассмотреть проекции k-путей для матриц Ts (9,3) и Tsc (9,3), то можно отметить их существенное структурное различие (рис.4). Чтобы обобщить такое различие, поставим для каждой матрицы в соответствие строку из n чисел {#(2)D1*,#(2)D2*,...,#(2)Dn*} (число символов “2” по столбцам). Затем, введя упорядочение этих чисел по убыванию, представим их как разбиение числа всех “2” матрицы (их число равно к(n - к +1)) на n частей, при условии, что старшая часть не превышает (n - к +1). Следуя принятым в [2] обозначениям, можно записать: Я(Т(n, к)) I- к(n - к +1) или
Я(Т(n, к)) = Я(к(n - к +1); n;(n - к +1)). При любой
перестановке столбцов это разбиение не меняется.
Любая перестановка столбцов эквивалентна действию симметрической группы Sn на множестве индексов базисных векторов, что является автоморфизмом для n-куба. Таким образом, разбиение можно рассматривать как числовой инвариант, позволяющий различать неизоморфные k-пути и тем самым классифицировать k-пути в n-кубе, связав с каждым таким разбиением класс эквивалентности k-путей.
IV. Матрицы k-диагонального вида Выше в основном рассматривались матрицы Т(n, к), обладающие следующим свойством: все символы “2” в них располагались на местах (i, j) , для которых (j - i) < (к -1), т.е. под диагональной полосой и на самой полосе шириной в k символов. Будем условно называть такие матрицы k-диагонального вида и обозначать Td (n, к).
Утверждение 1. Пусть дана произвольная матрица Т(n, к), обладающая свойствами (2). Перестановкой столбцов она может быть преобразована в матрицу Td (n, к) k-диагонального вида c сохранением
инварианта Я(Т (n, к)).
Доказательство этого утверждения — конструктивное. Предлагается алгоритм построения перестановки столбцов, приводящий к результату.
Пусть первая строка матрицы содержит k символов “2” на местах , d1, ,..., dlxt, которым соответствуют
столбцы матрицы с номерами x1 > х2 >... > хк.
Рассмотрим перестановку этих столбцов на места 1,2,..., к (точнее установку на первые k-мест в результирующей матрице k-диагонального вида Т (n, к)). Затем среди оставшихся столбцов отыскиваем столбец, в котором “2” находится на уровне 2-ой строки. Такой столбец всегда найдется и он единственный, вследствие выполнения условия #(2)D2 = к .
13
International Journal of Open Information Technologies ISSN: 2307-8162 vol. 2, no. 11, 2014
Присоединяем этот столбец в качестве (k+1)-ro к результирующей матрице. Затем среди оставшихся столбцов находим столбец, в котором “2” на уровне 3-ей строки и т. д. Процесс заканчивается, когда присоединяется последний столбец на место n-го столбца с “2” в правом нижнем углу результирующей матрицы.
Если сопроводить последовательное присоединение столбцов парой чисел их номеров в исходной и результирующей матрице, то легко из этого получить цикловую форму подстановки, переводящей
nT(n,к) ^ Td(n,к),же Sn. Это показано на примере одной из матриц T (9,3) на рис.5.
□ ^"0"
□ ^"1"
I I -»"2"
Перестановки прок:
4 —> 1,2 —^7,7 2,1 ->3,
3 -»4;
лг = (134X27)
Перестановки столбцов:
2 -И, 5 —> 2, й —> 3,9 —> 4, 8 ->5,7 -^6,3 ->7,4 -^8, 1^9;
я =(194852) (376)
Рис.5 Приведение символьной матрицы к k-диагональному виду - вычисление необходимых перестановок строк и столбцов для n=9 и k=3.
Справедливо и более общее утверждение. Пусть предъявлена произвольная троичная матрица M (n, к) размерности n х (n - к +1) для установления ее принадлежности к множеству T(n, к) (множество всех матриц T(n, к)). Тогда общий алгоритм сведения матрицы M (n, к) к Td (n, к) начинается с упорядочения строк матрицы. При упорядочении строк процедура начинается с поиска граней с а.п. вершинами и затем присоединения к ним строк с учетом свойства #(2)(Di х Di+1) = к -1. Процесс заканчивается, когда все
строки заняли “свои” места или останавливается, когда не находится следующая строка с приведенным выше свойством. В этом случае предъявленная
M (n, к) € T(n, к).
В случае успешного упорядочения строк осуществляется переход к описанному выше алгоритму перестановки столбцов и в случае его естественного окончания дает положительный ответ и выдает необходимые перестановки строк и столбцов, а в случае отсутствия на очередном шаге подходящего столбца (или наличия
более одного столбца) свидетельствует о нарушении свойства #(2)Д = к и поэтому M (n, к) € T(n, к).
V. Генерация классов эквивалентности k-путей
Алгоритм генерации представителей всех классов основан на следующем рассмотрении. Обозначим через Td (n, к) множество всех k-диагональных матриц, для которых выполнены свойства 1-4. Пусть имеется некоторая символьная матрица Td (n, к) е Td (n, к).
Удалим в ней n-ый (правый крайний) столбец и (n - к +1)-ую (последнюю) строку. Обозначим
полученную матрицу как Td~*(n, к). Для этой матрицы автоматически выполняются свойства 1-4 и,
следовательно, она принадлежит множеству матриц Td (n -1, к), т.е. Td~l(n, к) е Td (n -1, к). С ней поступаем аналогично так, что Td~2(n, к) е Td (n - 2, к) и т.д. вплоть до Td~s (n, к) е Td (n - s, к), когда n - s = к . В этом случае множество Td (к, к) состоит из единственной матрицы с одной строкой из символов “2”, т.е. кратчайший k-путь в k-кубе между любыми а.п. вершинами есть сам k-куб. Теперь, с этого момента, рассмотрим этот процесс в обратном порядке, т.е. будем добавлять к матрице последний столбец и последнюю строку с единственным символом “2” в правом нижнем углу (как необходимое условие принадлежности конструируемых матриц к виду k-диагональных). Чтобы корректно дополнить эту матрицу до Td (n, к) необходимо выполнить условие #(2)(Di х Di+1) = к -1 и вставить один символ “1” на
оставшееся место в последней (в нашем случае 2-ой строке). Число таких вариантов равно k. Они и образуют все множество Td (n, к).
С каждой матрицей из Td (к + s, к) будем поступать
аналогично, дополнительно сохраняя в столбцах те же места для вставленных на предыдущих шагах символов “1” (соблюдение 4-го свойства для матриц T(n, к)). Процесс останавливаем при достижении заданного n. Практически строится дерево полного перебора с числом вершин ки-к на шаге n. Каждой вершине соответствует единственная матрица T(n, к) с
разбиением Z(T(n, к)). Сравнивая разбиения матриц и отбрасывая матрицы с разбиениями, которые
повторяются, мы практически реализуем метод решета. Начальные шаги предложенного метода и некоторые матрицы для T (9,3) показаны на рис.6.
14
International Journal of Open Information Technologies ISSN: 2307-8162 vol. 2, no. 11, 2014
Рис.6 Начальные шаги генерации классов
эквивалентности для n = 9 и к = 3 . Красным кругом показаны места возникновения в матрице столбцов из символов “1”.
С помощью предложенного метода получены матрицы-представители всех классов эквивалентности для n = 9 , n = 7 и k = 3 . Расчеты проводились по предложенному выше алгоритму “решето” для генерации классов эквивалентности k-путей. Оценки по памяти и по скорости для использовавшейся реализации алгоритма позволяют использовать компьютеры класса desktop для достаточно высоких значений n и k. Сложность алгоритма ~ k(n—к). Производительность современных процессоров Intel (core i5-i7) для настольных ПК составляет 1011 операций/сек. Таким образом, для к = 3 : n = 17, при времени расчета порядка десятка минут. Оценка алгоритма по памяти составляет ~ 2(n — к +1) * к(п—к+1) и подразумевает использование двух двумерных динамических структур данных. При выделении 4 байт (int) на один элемент структуры, для к = 3 , n = 17 получим ~1,6 Гб используемой памяти.
Для больших значений n и k возможно распараллеливание алгоритма и расчет на суперкомпьютере (“Чебышев”) или другая его реализация для desktop компьютеров.
Число классов при n = 7 и к = 3 : | K(7,3) |= 9 . Их разбиения, соответствующие им диаграммы Юнга и их укладка в параллелепипед со сторонами | K(n, к) | x(n — к +1) X n приведены на рис.7
(22200009 (22200009 (2220000'
1222000 1222000 1222000
1122200 , Г2(7,3) = 1122200 , 73(7,3) = 1122200
1112220 1112220 ОТ 1112220
,1111222, , 1112122, , 1112212,
71(7,3) =
Л = (33,22,12)
(22200009 2212000 2211200 1211220 ,1211212 Л = (5,32,14)
74(7,3) =
Ш
Л = (4,3,23,12)
(22200009 1222000 1122200 1121220 1121122 Л = (5,24,12)
75(7,3) = П
Л = (4,32,2,13)
76(7,3) =
(22200009 1222000 1122200 1121220 1121212
Л = (5,3,22,13)
Г
77(7,3) =
Л = (42,22,13)
(22200009 (22200009
1222000 1222000
1122200 , 78(7,3) = 1221200
1122120 РТР 1221120
,1112122 } ОТ , 1221112,
Л = (52,15)
79(7,3)=
(22200009 1222000 1122200 1122120 , 1122112 Л = (5,4,2,14)
т
344455555
333423345
323222321
221222111
221121111
111111111
111111111
Рис.7 Разбиения и соответствующие им диаграммы
Юнга для n=7, k=3. Параллелепипед Юнга.
Для случая n = 9, к = 3 число классов - 38. Их разбиения указаны в таблице 3.
Т аблица 3
(7,4,3,2,15) (7,5,3,16) (7,6,2,16) (7,5,22,15)
(7,32,22,14) (7,4,23,14) (7,3,24,13) (7,26,12)
(7,33,15) (7,42,16) (72,17)
(6,5,3,2,15) (6,4,3,22,14) (6,4,24,13) (6,33,2,14)
(6,3,25,12) (6,32,23,13) (6,42,2,15) (6,5,23,14)
(62,22,15)
(5,4,3,23,13) (5,4,32,2,14) (52,3,22,14) (5,4,25,12)
(5,42,22,14) (5,42,3,15) (5,32,24,12) (5,33,22,13)
(52,32,15) (52,24,13)
(43,3,2,14) (4,33,23,12) (4,34,2,13) (42,32,22,13)
(42,3,24,12) (42,33,14) (43,23,13)
(35,22,12)
Каждому классу (разбиению) соответствует своя структура (“форма”) k-пути. Топологические
характеристики таких форм могут быть вычислены на основании самих символьных матриц. Рассмотрению таких характеристик классов в этой конечной геометрии будет посвящена отдельная статья.
Возвращаясь к прокладке трехмерного метро в 9-кубе, приведем три символьные матрицы одного класса с разбиением Л = (35,22,12), которые соответствуют трем
15
International Journal of Open Information Technologies ISSN: 2307-8162 vol. 2, no. 11, 2014
непересекающимся (кроме конечных станций < 00 k 0 > и < 11k 1 >) линиям (рис.8).
^000222000"^ 002221000 022211000 222111000 221111002 211111022 11111122 2j
II ^222000000^1 221000002 211000022 111000222 111002221 111022211 J11222111j
/ТО 00000222^. 000002221 000022211 000222111 002221111 0222 11111 ^2221llllly
Рис. 8 Три линии “трехмерного метро” и их символьные матрицы для 9-куба. а) Графика при плоском репере. б) Графика при 3d-репере.
Предположим, что каждому базисному вектору изначально приписан некоторый целочисленный вес qj ^ ej, j = 1 т n и при этом k-грани ставится в
соответствие Y qj , где ej являются образующими этой
грани, что представляется символами “2” в кубанте, биективном этой грани. Ставится задача прокладки кратчайшего пути не только заданного класса (т.е. заданной формы) но и минимального суммарного веса по граням, входящим в этот путь.
Итак, пусть заданы B -базис, Q -целочисленный вес и T(n, к) -матрица для k-пути некоторого выбранного класса с разбиением Я. Пусть также для каждого D* столбца матрицы #(2)Dj* = Pj, соответствующую
последовательность будем обозначать
P = (p1,p2,k,pn). Как построить матрицу того же
класса T*(n,к), для которой QP* = Yqjpj было
минимальным? Прежде введем (следуя Р.Стенли [2]) обозначения для последовательности чисел X = (x1, x2,k, xn) как X >, когда выполнено, что x1 > х2 > к > xn, и как X< в случае x1 < х2 < к < xn. Для наглядности представим элементы, как показано ниже:
B = (ei, e2 ,к, en), Q = iq^ q2,к, qn),
d11d12 * •dm '
Т (n, к) = d21d22 * • d2n ,P
ч 2 * ■ dsn J
Теперь частично упорядочим
, P = ( pv P2,к, pn ) .
n
в
порядке неубывания, т.е. получим Q< = (qt*,q2*,...,qn*) и по этим последовательностям установим п е Sn такое, что nxQ = Q<. Аналогично, для P = (ppp2,k,pn) и Р> = Я = (Я,Я2,к,Яп) получим п2 е Sn такое, что п2P = P>. Отсюда:
-1 *
= п ,
пТ = T * (перестановка столбцов),
Т* ^ minQP* = Y,qspj .
Ниже приведены конкретные вычисления для выбора “оптимальной по сумме весов” линии метро при выбранном (Я = (35,22,12)) классе 3-путей, при
заданном Q = (1,2,3,4,5,4,3,2,1) (можно
интерпретировать как наибольшую трудоемкость прокладки тоннелей вдоль e5, e4, e6) (рис.9):
Рис.9 Выбор минимальной по сумме весов линии метро.
VI. Заключение. Символьные матрицы и
СУПЕРКОМПЬЮТЕРЫ
Вопросы классификации и представления многомерных структур играют и в будущем, очевидно, будут играть важную роль в задачах поиска рациональных (в т.ч. и оптимальных) решений в сложных системах на базе комбинаторного анализа и синтеза. Алгебраизация представлений комбинаторно-сложных структур и специальные машинные операции для представлений вместе с организацией нетрадиционных структур памяти
16
International Journal of Open Information Technologies ISSN: 2307-8162 vol. 2, no. 11, 2014
могут оказаться достаточно эффективными при решении такого рода задач. Некоторые черты такого подхода можно подметить и в вышеизложенных методах. База рассмотренного инструментария - поразрядные (не обязательно побитовые) операции, которые потенциально могут выполняться одновременно для длинных стрингов. Конечно, всегда возникает вопрос: насколько эффективной будет интерпретация такого символьного подхода на современных
суперкомпьютерах без дополнительных аппаратных решений? Ответ на этот вопрос лежит в плоскости реализации таких программных интерпретаций на современных суперкомпьютерах (в частности, на суперкомпьютере МГУ “Чебышев”).
Со своей стороны символьные представления в более широком плане подсказывают направление возможных шагов для эффективного поиска оптимального назначения множества задач на исполнительные устройства в распределенных гетерогенных вычислительных системах [9] с целью максимального использования ресурсов системы. Варианты назначений в таких задачах представляются так называемыми таблоидами определенных форм разбиений Я I- n (в основе которых диаграммы Юнга [10]), где n-число классов исполнительных устройств.
Библиография
[1] G.-C. Rota and N. Metropolis, “Combinatorial structure of the faces of the n-cube,” SIAM J. Appl. Math., vol. 35, no. 4, 1978, pp. 689694.
[2] R. P. Stanley, “Enumerative combinatorics,” Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
[3] Г. Эндрюс, Теория разбиений. Москва “Наука”. Гл. ред. физ-мат. лит., 1982.
[4] Yuri I. Manin, “Classical computing, quantum computing, and Shor’s factoring algorithm,” 1999. Available: http://arxiv.ors/pdf/quant-ph/9903008.pdf
[5] А. М. Вершик, А. Ю. Окуньков, “Новый подход к теории представлений симметрических групп. II”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы. X, Зап. научн. сем. ПОМИ, 307,
ПОМИ, СПб., 2004, c. 57-98. Электронный ресурс:
http://www.mathnet.ru/links/4035276e356cc01fea05e94ea682825b/z
nsl840.pdf
[6] Г. Г. Рябов, “О четверичном кодировании кубических
структур”// Вычислительные методы и программирование. 2009. 10, №2. с.340-347. Электронный ресурс: http://num-
meth.srcc.msu.ru/zhurnal/tom 2009/pdf/v10r138.pdf
[7] Г. Г. Рябов, “Хаусдорфова метрика на гранях n-куба”// Фундаментальная и прикладная математика. 2010. 16, №1. с.151-155. Электронный ресурс:
http://mech.math.msu.su/~fpm/ps/k10/k101/k10112.pdf
[8] G. G. Ryabov, V. A. Serov, “On classification of k-dimension paths in n-cube,” Applied Mathematics, 2014, vol. 5, no. 4, pp. 723-727. Available: http://dx.doi.org/10.4236/am.2014.54069
[9] D. Kim, “Representations of task assignments in distributed systems using Young tableaux and symmetric groups,” 1 May 2013. Available: http://arxiv.org/pdf/1012.1288v4.pdf
[10] R. M. Adin, Y. Roichman, “Enumeration of Standard Young
Tableaux,” 31 Aug, 2014. Available:
http://xxx.tau.ac.il/pdf/1408.4497.pdf
17
International Journal of Open Information Technologies ISSN: 2307-8162 vol. 2, no. 11, 2014
“Multidimensional metro” and symbol matrices.
G. G. Ryabov, V. A. Serov
Abstract—The complexes of k-faces for an n-cube represented as symbol matrices over a finite alphabet A’={0,O,1,2} are considered. The classification of the shortest k-dimension paths (k-paths) in n-cube founded on numerical invariant for symbol matrices is researched. The "sieve" algorithm for generation of all instances of the k-paths classes in n-cube is proposed.
Keywords—Bijection, finite alphabet, cubant, Hausdorff-Hamming metrics, symbol matrices, k-face of n-cube, k-path.
18
