CC BY
28
Полиморфизм символьных троичных матриц и генетическое пространство кратчайших к-
путей в п-кубе.
Г. Г. Рябов, В. А. Серов
Аннотация—На основании биективного представления к-граней п-куба как слов Б, е А* над алфавитом А = {0,1,2} и введения определения символьной троичной (п - к +1) х п матрицы со строками-словами из А*, как биекции кратчайшего к-мерного пути в п-кубе, в предлагаемой статье рассматриваются:
1. Представление строк символьной матрицы как состояний цепи Маркова и эргодические методы для изучения асимптотических геометрий (структур) кратчайших к-путей.
2. Представление символьной матрицы как рекурсивного объекта и построение счетного генетического пространства кратчайших к-путей на базе бесконечных групп и деревьев Кэли.
Ключевые слова—п-куб, конечный алфавит, к-грань, символьная матрица, к-мерный путь, инвариант-разбиение, цепь Маркова, рекурсия, генетическое пространство.
I. Введение
Для компактности и однозначности дальнейшего изложения дается перечень и краткое описание используемых сокращений, введенных в [1-2] на базе конструктивного мира Ю. И. Манина [3]. N — множество натуральных чисел; А = {0,1,2} —троичный алфавит; А* —множество всех слов из п символов алфавита А ; Б =< d1,..., ёп > —слово Б е А*п;
А' = {0,0,1,2} —расширение алфавита А (для операций над словами);
#(а)Б —операция подсчета числа символов "а" в слове
Б ;
Б1 х —операция умножение (коммутативное).
Результат Б е А 'п (d х d = d ; 0 х1 = 0 ; d х 2 = d ; d е А );
—Б —антиподальное слово к Б (замена всех "0" на "1" и всех "1" на "0");
рн (Б1, ) —расстояние Хэмминга между двоичными
Статья получена 25 мая 2015.
Г. Г. Рябов, НИВЦ, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия (e-mail: gen-ryabov@yandex.ru).
В. А. Серов, НИВЦ, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия.
словами (вершинами п-куба);
Рнн (Б, Dj) —расстояние Хаусдорфа-Хэмминга между
словами, как биекциями к-граней;
МС / 5 —цепь Маркова с 8 состояниями (простая,
однородная, с дискретным временем);
МТР —матрица переходных вероятностей для МС ;
М = {0,1,2,...,(к -1)}—множество для к состояний
МС ;
V, Е —множество вершин и множество ребер, соответственно;
Я |-п —разбиение числа п; Р(п) —число всех разбиений п;
р(пх, п2, п)—число разбиений п на п2 частей, каждая из которых < пх;
а.п вершины — антиподальные вершины v0 и V, для которых рн (у0, V) = п (в тексте практически везде подразумевается, что v0 =< 00... 0 >, V =< 11.1 >);
между
(1)
Бкар—кратчайший к-мерный путь антиподальными вершинами п-куба; sbkd—символьная, биективная для Бкар матрица диагонального вида (все символы "2" на позициях (', j), для которых (j -') < (к - 1),т.е. на диагональной полосе в к символов и под ней) ;
Та (п, к)— sbkd-матрица для заданных п, к, для которой выполняются условия: #(2)(Б, х +1) = к -1 #(2)( Б,) = к
Та (п,к) \ V —действие рекурсивной декомпозиции: слияние (приклейка) нижней, (п-к+2)-ой строки и правого, (п+1)-ого столбца. Та(п +1,к) = Та(п,к) \ V (V —номер позиции в строке, где "2" заменяется "1"); Та (п,к) \ g —действие рекурсивной деструкции: отсечение последней строки и правого столбца g раз. ТЛ (п - g,к) = ТЛ(п,к) \ g (без изменения других символов);
Отображение символьной (троичной) матрицы в композицию общего числа символов "2" (в матрице) на части, равные числу "2" по столбцам и представление этой композиции в виде разбиения и составляет сущность вычисления Я -инварианта, который определяет классы изоморфных кратчайших к-мерных путей в п-кубе [4]. Можно назвать это "сверткой" матрицы по столбцам или просто вертикальной
сверткой троичной матрицы. В предлагаемой статье, по аналогии с вертикальной сверткой, рассматривается горизонтальная свертка троичной матрицы к-диагонального вида Та (п, к), введенной в [5]. Такая свертка состоит в отображении взаимного расположения символов "1" и "2" в 1-ой строке матрицы Та (п,к) в номер состояния дискретной, простой, однородной Марковской цепи, отнесенный к моменту времени (раздел II).
Как отражаются эргодические свойства такой цепи Маркова на поведении локальной характеристики структуры Бкар-пути (степеней вершин этого пути) при п — 8 рассматривается в разделе III. В разделе IV представлены геометрические особенности Бкар-путей, связанные с кривизной и кручением. В [5] рассматривались некоторые свойства ТЛ (п, к) как
рекурсивного объекта. Теперь, следуя классической
схеме, будут определены база, параметры рекурсии и декомпозиция на базе некоторого действия, а развертка этой рекурсии определена как генетическое метрическое пространство троичных матриц, биективных Бкар-путям п-куба (раздел V).
II. Отображение строк матрицы Та (п,к) в состояния цепи Маркова (и -отображение)
Для матриц Та (п, к) и а.п. вершин у° =< 00...0 > и ур =< 11.1 > по определению первая строка всегда имеет вид Д =<|2|2|... |2|> (вертикальными линиями отделены позиции символов в слове). Ниже приведен общий вид строки Д для матрицы при (п - к +1) > 5 > 1, как слова из алфавита А = {0,1,2}: Д =< ..|1|2|1|1|..|1|2|1|1|..|1|2|2|..|2|2|0|0|..|0|>
|<------R„------
- r2--
Ro
Я12 —интервал позиций в Д для размещения только символов "1" и "2", Я2 —интервал позиций только для символа "2", Я0 —интервал позиций только для символа
"0".
Общий вид последней строки Д-к: Д _к+, =< ..|1|2|1|1|..|1|2|1|1|..|1|2|2|..|2|2|>
|<------R„------
- r2 -^l
В [5] было показано существенное различие структур (в частности, степеней вершин в гранях, образующих Бкар-путь) в зависимости от взаимного соотношения интервалов Я12 и Я2 в БкЪ^матрицах. Эти соотношения и легли в основу рассматриваемого отображения. Определение отображения ¡Б*: Б-ой строки матрицы
Та (п, к) в состояние МС в момент дискретного времени .
Для строки общего вида Б* будем обозначать через ¡Б* отображение строки в номер состояния цепи Маркова и 6 М = {0,1,2,..., (к -1)}. Будем считать, что Л* = #(2)Я12 (число символов "2" в строке Д в интервале позиций Я12 ).
Для первой строки Д: ¡Д = ЛЛ = 0 (в этой строке вообще нет интервала Я12 ).
Для последней строки Д-к+1: ип-к+1 = к - #(2)Я2 ( общее число символов "2" в слове (к) минус число символов "2" в интервале позиций Я2 ).
Поскольку в Д-кправая крайняя позиция всегда по определению йп-к+1 п = "2",максимальное и, = к -1 (когда
d„
_j = "1"). Таким образом, для двух видов
представлений символьной матрицы используются алфавит А и множество последовательностей (конечных или счетных) чисел из М , как номеров состояний простой однородной цепи Маркова с дискретным временем и пока не определенным семейством матриц переходных вероятностей (МТР). Прежде всего, заметим, что основные свойства(1) матрицы, необходимые для соблюдения закона сохранения регулярного примыкания к-граней, образующих Бкар-путь, накладывают ограничения на структуру графа связей между состояниями МС .
1. Так, в последовательности номеров состояний МС не может быть двух последовательных номеров (Л, +1) таких, что (и,- - ¡1+1) - 2 поскольку тогда нарушается условие регулярного примыкания к-граней, образующих Бкар-путь: #(2)(Д х Б,+1) = (к -1). Отсюда следует, что в семействе матриц переходных вероятностей МТР для рассматриваемых МС элементы ниже и левее +1 от главной диагонали равны 0.
2. В связи с "равноправностью" (симметричностью) базисных векторов в образовании к-граней в п-кубе, общий вид г-ой строки МТР (кроме первой и последней) имеет вид:
|0|°|... |Ргг |qr,r+l|qr,r+2|.■■ \чл|
К- (г -1) -I к- (к - г) -| ,
к
Где ргг + qr + ^ дгг+, = 1 и для любых г < * :
,=1
Ргг = p, qгs =(1 -р)/(к-1). Отсюда, общий вид семейства МТР :
(
MTP =
(
pli pi2 pi3
p21 p22 p23
0 p32 p33
0 0 p 43
0 0
q* q*
q* q*
\
0 Pk
p q
q p
0 2q p q ...
0 0 3q* p q*
Pik p2k p3k p 4k
k -1 pkk / q* '
q* q* q'
(2)
ч° 0 ...... 0 (к-1)^ РУ
где р + q = 1, q* = q / (к -1).
Все МТР вида (2) являются эргодическими, поскольку все к состояний достижимы. Более того, они имеют совпадающие стационарные распределения, не зависящие от р и зависящие только от к, т.е. можно
считать, что эти матрицы эргодически эквивалентны. (k -1)!(k - 5 +1)
(s -1)!k
Стационарные распределения для этого семейства: ps(ks 1) („i)!£k-s+i (3)
P(k) = (pi(k,0), p2(k,1),..., ps(k, s -1),..., pk(k,k -1)):
k
где ^ ps (k, s -1) = 1, и
s=1
Строки Р(к) - стационарные распределения для к=3,4,...10;
Р(3) 0.2222 0.4444 0.3333
Р(4) 0.0938 0.2813 0.375(1 0.2500
Р(5) (1.0384 0.1536 0.2880 0.3200 0ЛИ10
Р(6) 0.0154 0.0772 0.1S52 0.277« 0.2778 0.1667
Pf7) <1.0061 0.0367 0.1071 0.1999 0.2624 0.2449 0.1429
Р(8) 0,0024 0.0168 0.0577 0.1282 0.2051 0.2461 0.2188 0.1250
Pf9) 0,0009 0.0075 0.029 5 0.0759 0.1423 0.2048 0.2305 0.1975 0.1111
Р(10) 0.0004 0.0033 0.0145 0.0423 0.0907 0.1512 0.2016 0.2160 0.1800 (UflOO
/ / / / / / / y У .■■ / / f / / / / Г f ./ f ./ f ./ f ./
4......
Рис.1 Стационарные распределения для семейства матриц переходных вероятностей (МТР) цепей Маркова в соответствии с (2) (дискретные аналоги распределений Трейси-Уидома).
Итак, и -отображение каждой строки ТЛ (п, к) при фиксированном к и п приводит к
последовательности и,и2,_,и,_, где и принимает значения из М = {0,1,2,., (к -1)}. В этой последовательности, которую можно считать счетным словом с символами из алфавита М, символы имеют стационарное распределение вследствие эргодичности МС . Однако, каждый символ при и -отображении, в общем случае, может соответствовать различным вариантам строки матрицы Та (п, к), т.е. такое и-отображение—гомоморфизм. Другими словами, если представить М как алфавит и М*т как множество всех слов длины т: < и,и2,_,ит > над этим алфавитом, то тогда, при т = п - к +1, можно считать, что:
M *
/ М+1):(М -М+1) < 2
(4)
Ц =<| 2|2|___| 2|0|0|___|0|> (к символов "2" и, далее,
(п-к) символов "0").
2. В случаях, когда в в и+1 ^ и строка Б,+1 однозначно восстанавливается по строке Б1 по аналогии со
к=4 и
следующими примерами D =<... |1|2|1|1|2|2|2|0|0|
при
|0|> :
, т.е. множество всех слов длины п - к +1 над М с условием, что два последовательных символа всегда удовлетворяют условию (4), есть множество
Марковских гомоморфизмов для всех ^'кар-путей в п-кубе между а. п. вершинами у0 =< 00 _0 > и
Ур =< 11_1 > .
Пусть задано слово О е М*-к+1 с выполнением (4). В основе алгоритма перечисления всех матриц Та (п, к), соответствующих данному слову, лежат условия (1) и несколько специфических свойств: 1. В слове в первый символ всегда "0", поскольку по определению первая строка Та (п, к) имеет вид
Б, =< _ 1112 111112 12 12 10 10 | _ 10 |>, и = 1
и+1 = и: \\\
Б++1 =< _ |1|2|1|1| 112|2|2|0| —10|>, и+=1 Б1 =< _|1|2|1|1|2|2|2|0|0|_|0|>, и = 1
и+1 > и : 4 4 ^
Бм =< _|1|2|1|1|2|2|1|2|0|_|0|>, и+1 = 3
3. В случаях, когда и+1 < и, в соответствии с (4)
всегда и - и+1 = 1. Отсюда варианты строки Бм,
следующей за Б,, при к=4,
Б, =< _|1|2|1|2|2|1|1|2|0|0|_
вариантов равно и = 3 :
Б1 =< _|1|2|1|2|2|1|1|2|0|0|_|0|>
4 4- \
Б,+п =< _|1|1|1|2|2|1|1|2|2|0|_|0|> Б,+12 =< _|1|2|1|1|2|1|1|2|2|0|_|0|>
Б,+,,з =< _|1|2|1|2|1|1|1|2|2|0|_|0|>
Таким образом, рассматривая процесс перечисления матриц Та (п, к), последовательно следуя от и к и+1 в случаях, аналогичных вышеизложенному (и - и+1 = 1), будет иметь место ветвление нашего процесса на и
U = 3 , U+1 = 2 и 0|>. Число таких
ветвей. В результате такой развертки слова О образуется древовидная структура роста всех матриц Та (п, к) и, соответственно, всех Бкар-путей для заданной в О реализации Марковской цепи с семейством МТР согласно (2). Обобщая, можно сказать, что цепь Маркова с семейством матриц переходных вероятностей МТР (2) является генератором всех ^'кар-путей в п-кубе. Возвращаясь к эргодическим свойствам таких МС и стационарным распределениям для различных значений к, отметим, что при п ^да вероятность появления следующей строки счетной матрицы Та (п, к) равна p(s,к). Пример:
п = 8, к = 4, О =< 0,2,3,2,1 > .
Ц = 22220000 fr = 0
I
D = 22220000 fr = 2 D2 =22122000
I
D1= 22220000 fr = 3 D2 = 22122000 D3 = 22121200
^ I \
D = 22220000 D2 =22122000 D3 =22121200 D4 =21121220 / \
Dt = 22220000 D2 =22122000 D3 = 22121200 D4 =12121220
D, = 22220000D, = 22220000D, D2 = 22122000D2 = 22122000D2 D3 = 22121200D3 = 22121200D3 D4 = 12121220D4 = 12121220D4 D, = 11121222D, = 12111222D,
D = 22220000 D2 =22122000 D3 =22121200 D4 =22111220 \ \
= 22220000Dj = 22220000 Dt = 22220000Д = 22220000 = 22122000D2 = 22122000D2 = 22122000D2 = 22122000 = 22121200D3 = 22121200D3 = 22121200D3 = 22121200 = 21121220D4 = 21121220D4 = 22111220D4 = 22111220 = 11121222 D, = 21111222D, = 12111222D, = 21111222
fr = 2
fr = 1
существуют строки матрицы с такими номерами. Для строк при I < к и I > (п - 2к + 2) число 15 |< (2к -1). При увеличении п, когда п»к можно считать, что вершины почти всех граней "равноправны" по значению 151. Тогда различие в степенях вершин зависит только от последовательности конкретных (к -1) строк перед и (к -1) строк после . Здесь, среди классов Та (п, к) следует выделить множество Н5 (п, к) однородных классов, которые соответствуют гомоморфизмам вида О =<0,5,5,..,5 > или классам с Я -разбиениями вида:
2е{((и - k + 1)k-1, 1n-к+1 ), ((n - к +1)
Лк-2 in-k 12
12),...
III. Особенности структуры зклр-путей в
РАСПРЕДЕЛЕНИИ СТЕПЕНЕЙ ВЕРШИН
Прежде всего, о вычислении степени заданной в виде двоичного слова В вершины из Бкар-пути, т.е. выборе из ТЛ (п, к) таких строк , для которых В х .
Это множество граней, чьи ребра участвуют в формировании степени вершины. Для каждой такой грани вычисляется список ребер, инцидентных заданной вершине. В общем списке ребер по всем таким граням удаляются повторяющиеся слова и число оставшихся слов (ребер) и есть искомая степень. Поскольку чаще интересует динамика изменения степеней вершин в Бкар-пути от грани к грани, можно поставить в соответствие всей матрице Та (п, к) множество
<2(Та(n,к)) = {(^11,д^-Ч12к ХОЗ^Ч22к Х-
( )} ' (5) где
■ ■,(qn-к+1,1 ,■■, -к+1,2к )}
д^ —степень ]-ой вершины в грани . Упорядочение
вершин в каждой грани — лексикографическое. Следует отметить, что в формировании степени вершин принимает участие разное число граней. Так, для общего случая вершин грани (строки ) в формировании степеней вершин принимают участие грани (строки Д) с номерами строк 5 = {(/ - к +1), ( - к + 2),.., /,(/ +1), ( + 2),..(/ + к -1)}, т.е. 15 |= 2к -1. Естественно, это справедливо там, где
.., (кп-2к+2 ,(к - 1)2,(к - 2)2,.., 22,12)}
Очевидно, что при фиксированном п число таких классов | Н5 (п, к) |= к .
Каждый из этих классов будет характеризоваться своим множеством Qs (Н(п, к)) по аналогии с (5), которое в связи с однородностью (все к-грани идентичны) будет состоять из одной последовательности (д5 1, 2 ,■■■, д, 2к),
которую мы представим в виде разбиения общей суммы степеней вершин "типовой" грани по частям, соответствующим спектру значений степеней. В дальнейшем будем считать однородные классы с индексами, равными г = к - 5 .
Так, например, для всех однородных классов при к = 3 и 5 = 2,1,0: Н1 (п,3), Н2(п,3), Н3(п,3) и, следовательно, для их "типовых" 3-граней, такие представления после вычислений степеней вершин имеют вид:
Q(Hl(n,3)) = 48, Q(H2(п,3)) = (56,32), Q( Н 3 (п, 3)) = (64,42,32) Отметим, что общие суммы степеней различны и для Н1 все 8 вершин 3-грани имеют равную степень 4. Более детальная геометрическая интерпретация будет рассмотрена в разделе IV.
Теперь дадим эскиз вывода общей зависимости и, следовательно, алгоритм вычисления Q(Нг (к)). Здесь "п" опущено, т.к. мы рассматриваем однородные классы для стационарного распределения эргодической цепи Маркова согласно (3).
Предположив на основании прямых вычислений для к = 3 и к = 4 , что общий вид представления (здесь символ "л" означает степень как в нотации разбиения): Q(Hr (к )/2к) = (2к л хп,(2к - 2)л х21,(2к - 3)л х31,..
.,(к + 1)л Хг-1Д,к л Хгд)
(6)
c выполнением условия, что
S =2к (
как число
вершин к-грани) и максимальной степенью (старшей частью разбиения) равной 2к. При максимальной степени (2к -1) общий вид такой:
Q(Hг (к) / (2к -1)) = ((2к - 1)л х12,(2к - 3)л х22, (2к - 4)л х32,
., к л Хг,2),
к
при условии ^ хг 2 = 2к.
r =1
r=1
И так далее, вплоть до максимальной степени к, которая является и минимально возможной в к-грани, как вершина к-куба, инцидентная только ребрам этой грани. Именно с этого случая (к—максимальная степень среди вершин грани) и далее, рассматривая последовательно случаи максимальной степени как к +1,к + 2,... до 2к, будем строить рекуррентно наши представления в виде разбиений.
Итак, Q(Нг (к) / к) = 0 , т.к. в этом случае к-грань изолирована и не входит ни в какой Бкар-путь. Далее, Q(Н1 (к) / (к +1)) = ((к +1) л 2к) —все вершины к-
грани (их число 2к) равной степени к +1.
Для Q(Н2(к) / (к + 2)) = ((к + 2)л х1,к л х2) при
х1 + х2 = 2к и х1 - х2 = 2к-1 получаем:
Q(Н2 (к) / (к + 2)) = ((к + 2) л3* 2к-2, к л 2к-2).
Продолжая этот процесс до Q(Нк (к) / 2к), получаем
следующий результат:
Q( Н1(к )/(к+1))=((к+1)л2к),
Q( Н 2(к )/(к+2))=((к+2)л3*2к-2,к л2к-2),
Q( Н 3(к )/(к+3))=((к+3)л2к-1,(к+1)л2к-2,к л2к-2),
Q(H 4(к )/(к+4))=((к+4)л5*2к-4,(к+2)л3*2к-4,(к+1)л2к-2,к л2к-2),
Q(Hk (к )/2к)=((2к )л(к+1), (2к - 2)л(к-1),...,(к+1)л2к-2, к л2к-2). Для к=3^6 распределения степеней приведены ниже. Каждая строка (д1 /у1,д2 /у2,...,д/): д1 — максимальная степень вершин для к-грани , у1 —число вершин в этой грани с такой степенью.
д> > д>+l, Е= 2к.
к=3 к=4 к=5
4/8 5/16 6/32
5/6 3/2 6/12 4/4 7/24 5/8
6/4 4/2 3/2 7/8 5/4 4/4 8/16 6/8 5/8
8/5 6/3 5/4 4/4 9/10 7/6 6/8 5/8
10/6 8/4 7/6 6/8 5/8
к=6 7/64
8/48 6/16 9/32 7/16 6/16 10/20 8/12 7/16 6/16 11/12 9/8 8/12 7/16 6/16 12/7 10/5 9/8 8/12 7/16 6/16
IV. КОНИЧЕСКИ-ОРИЕНТИРОВАННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ N-КУБА И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СТРУКТУРЫ SKAP-ПУТЕЙ
Для более наглядного восприятия структуры skap-путей (прежде всего однородных классов) мы рассмотрим отображение n-куба (более точно, его биективной формы как множества всех слов длиной n — A* над конечным алфавитом A = {0,1,2}) в так называемую
конически-ориентированную проекцию в М3. Основой такой проекции является отображение
ортонормированного базиса {0, ex, e2,..., es,.., en} на поверхность трехмерного конуса, для которого: х(0).. = 0, (ps = 2n(s-1)/n, 0 < ц/ < п/2 (наиболее
подходящее для зрительного восприятия п/6<ц<п/4).
x(es) = cos ц cos ps, y(es) = cos ц sin ps, z(es) = sin^ . Отсюда, для примера, при n = 9 вершины 3-грани
(120221010) имеют следующие координаты в К3 (рис.2 ):
100001010: x = x(ej) + x(e6) + x(e8); y = y(e1) + y(e6) + y(e8); z = z^) + z(e6) + z(e8); 100011010: x = x(ej) + x(e5) + x(e6) + x(e8);
i=1
Рис.2 а) Коническая проекция {0,ех,в2,...,е9} для 9-куба. б) Принцип отображения 9-куба. в) Бкар-путь из класса с 2 = (35,22,12). г) Бкар-путь из класса с 2 = (7,26,12). д) Бкар-путь из класса с 2 = (72,17). Величина степени каждой вершины показана в малом овале, сумма степеней всех вершин одной 3-грани — в большом овале. е) Углы а, в как показатели кривизны Бкар-пути.
Мы используем здесь визуализацию конической проекции, чтобы рассмотреть пример n = 9, к = 3 c позиции поведения двух соседних 3-граней (примыкающих друг к другу 2-гранями), связывая эти позиции с положением их главных диагоналей. Главную диагональ определим как соединяющую вершину v1 в каждой грани, для которой pH(vj,(00...)) = min среди вершин этой грани, с антиподальной в этой грани вершиной v2. Предположим, что главная диагональ одной 3-грани перемещается в положение главной диагонали соседней 3-грани, соблюдая следующие условия:
1. Диагональ сохраняет свою длину (в нашем случае
V3).
2. Концы диагонали движутся по кратчайшему пути, то есть вдоль ребер, как направляющих.
На рис.2 линии условно показывают такие промежуточные позиции. Однако отметим, что эти направляющие ребра принадлежат скрещивающимся прямым и поэтому две последовательные позиции не могут образовать плоскую фигуру. Для геометрической корректности нужно рассматривать комбинацию двух движений: параллельного переноса и вращения относительно общих ребер, чтобы совместить главные диагонали (рис.2е)). Таким образом, диагональ совершает путь, кривизна которого может быть аргументирована:
1. Размерность кривизны skap-пути равна 2.
2. Прямые расчеты через скалярные произведения показывают, что углы кривизны зависят только от k и не зависят от n, и равны:
а(к) = arccos((k -1) / к),
ß(k) = arccos((k - 2) / (к -1)). Отметим, что недавние результаты по вычислению дискретной кривизны [6], где развиваются методы
(7)
Бакри-Эмери с привлечением потока Риччи для слайсов п-куба, дают подобный результат.
Теперь о различии степеней вершин в Бкар-путях. Существенное различие в степенях вершин для разных классов Бкар-путей, отмеченное в предыдущем разделе, можно рассматривать, как отражение действия вовлечения большего числа ребер из соприкасающихся к-граней в Бкар-пути в образование степени вершин пути. Действия, которое можно идентифицировать как кручение. Ниже на двух фрагментах 8кЪ^матриц из разных классов это будет показано на примере вершины <11100>. Пусть эти фрагменты:
... 22200......22200.
.12220......22120.
.11222......22112.
Ниже приведены множества биекций-ребер для граней каждого фрагмента, где курсивом отмечены ребра, инцидентные вершине <11100>, а символом * отмечены повторяющиеся ребра:
20000 20100 20110 20100 20110 20111 21000 21100* 21110 21100 21110 21111
20000 12000 11200*
20100 12010 11201
21000 12100* 11210 21100 12110 11211
02000 10200 11020
02100 10210 11021
12000 11200* 11120
12100 11210 11121
02000 02100 02110 02100 02110 02111 12000 12010 12110 12100 12110 12111
00200 10020 11002 01200 10120 11012 10200 11020 11102 11200 11120 11112
^(11100) = 9 - 3 = 6
00200 00120 00112 01200 01120 01112 10200 10120 10112 11200 11120 11112 <?2(111000) = 5 -1 = 4
Приведенный пример показывает прямую зависимость степени вершины от числа символов "2" в зоне позиций R2 (см. Раздел II). Будем считать это число показателем квази-кручения и обозначать как о . Очевидно, что о для однородных классов const и сами однородные
классы можно характеризовать как множества Бкар-путей с постоянным квази-кручением.
V. Та (п, к) КАК ОБЪЕКТ БЕСКОНЕЧНОЙ РЕКУРСИИ И ГЕНЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО С БАЗОЙ к
Итак, за базу рекурсии принимается 1х к матрица (т.е. из одной строки с к символами "2") Та(к,к) =< 222..2 > . Другими словами, это представление к-куба, который по определению является кратчайшим к-мерным путем для любой пары своих антиподальных вершин. Эта база является исходной для образования любых матриц Тл (п,к) при п ^да .
Как основное действие декомпозиции вводится операция слияния (приклейки) к матрице Та (п, к)
правого (п+1)-го столбца (Д*+1) и нижней строки ^(3,3) _
В-к++2 .Обозначение действия декомпозиции : Та (п, к) \ V. Столбец Б*п+1 состоит из (п - к +1) символов "0" и символа "2" на (п - к + 2) месте.
Строка Вп-к+2 дублирует строку Бп-к+1, заменяя один из символов "2" (на месте V) на "1" (рис.3). Всего имеется к вариантов такой замены по числу "2" в строке Бп-к+1.
Td(4,3)M
2 2 2
,3)\,3
t
2|2|2
|1 2 2 2
2 2 2 —
1 2 2 2
1 2 1 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 1 2 ] 1 2
та(8,зуч i
2 2 2 0 0 0 0
1 2 2 2 0 0 0
1 2 1 2 2 0 0
1 1 1 2 2 2 0
1 1 1 2 2 1 2
4ч
Td (6,3)43
1 1 Î 2 12
операция операция
il ГТТИЯНИР
отсечение
Л1 *слияние
Рис. 3 а) Действие декомпозиции рекурсии (начальный этап для к = 3 ) б) Действие деструкции (к = 3 ).
Получаемая в результате такого действия декомпозиции матрица:
Та(п +1, к) = Та(п,к) \ V (8)
обладает всеми свойствами биективности для Бкар-пути в (п+1)-кубе по определению [4].
Также вводится обратная к декомпозиции операция— определение "прародителя" Та (п,к) как Та(п - g,к) в результате действия деструкции (отсечение нижней строки и правого столбца от Та (п,к), дополнительный
параметр g (целое) указывает сколько раз подряд применена операция):
Та(п - g,к) = ТЛ(п,к) \ g .
Естественно, что g < п - к . При g = п - к возвращаемся к базе Та (к, к)—прародителю всех Бкар-путей для размерности к. По существу, основой рекурсии является закон сохранения регулярного примыкания к-граней (своими гипергранями размерности к-1) в Бкар-путях, который для строк 8кЪ^матрицы выражается как (1).
Введенное действие декомпозиции (8) позволяет представить все матрицы Та (п, к) в виде вершин к-
дерева Кэли, как генетического пространства Т(к) всех кратчайших к-мерных путей в структуре п-куба при п ^да.
Рассматривая (п - к +1) как параметр дискретного времени, при фиксированном п, можно говорить о множестве Т*(п, к) = {Та (п, к)}, как (п - к +1)-ом шаге генетической эволюции. При этом | Т*(п, к) |= к("-к+1-1.
да
Введем обозначение: Т(к) = ^ Т* (п, к) как к-дерево
п=к
Кэли.
Естественной метрикой в этом пространстве — счетном к-дереве Кэли—является метрика (однозначная) кратчайших путей по ребрам дерева. Алгоритм вычисления такой метрики для ТЛ (п1, к) и ТЛ (п2, к) состоит в нахождении таких минимальных g1 и g2, при которых:
Та п к) \ gl = Та (п2, к) \ g2 (9)
Это равенство всегда возможно, поскольку у этих вершин всегда есть общий корень Тл (к, к) —общий
прародитель. При нахождении glИ g2 , согласно (9), будем считать и записывать:
Роеп (ТЛ (П1, кX Та (П2 , к)) = ё = ёх + ё2. Генетическое расстояние при заданных Та (п1, к) и Тл (п2, к) при п2 > пх считается как сумма деструкций до первых совпадающих строк этих матриц.
р(Т(кх),Т(к2)) =| к1 -к2|(рис 5). На рис.4-5 отражены структуры генетических подпространств 3-х поколений Т(3,3) и Т(4,3) в пространствах Т(3) и Т(4), вместе с отображением на подмножества целых из N. Более детально на свойствах отображения Т(к) о N здесь мы останавливаться не будем.
Следующий уровень развития конструкции — объединение плоских к-деревьев Кэли, как метрических генетических пространств в единое мета-дерево Кэли 3 со стволом (к = 1 + ж) и разветвлениями на метрические генетические пространства Т(к = 1), Т(к = 2),... с естественной метрикой между ними
33 32 31 3«
222 2212 222 2212 222 2122
222 Î212 22112 221112
22112 211122 22112 121122 11222 ШШ
/ > \
/
29
222 2122 imi 112122
222 2112 11222 111222
28
222 / X 222
2212 10 9 2122
22112 11222
222 2122 21122 211212
27
[Ш- 26
212J
21122 522
211122 2122
21122
1Щ22
25
222 2212 12122
-__ 222 2212
121122 12122
222
222
2122
2122 21212
21212 211122
23
иг— 1222 222 1222
112212 12122 111222
Рис.4 Генетическое подпространство T(3,3) с T(k = 3) (3 поколения в 3-дереве Кэли).
Замечание. Все
вышеизложенные
рассмотрения
относились к случаю а.п. вершин у0 =<00...0 > и ур =< 11...1 >. Для общей корректности рассмотрим
следующую операцию над столбцами матрицы —(ух,у2,...,ух)Та(п,к) (инверсии в столбцах матрицы, взаимная замена всех символов "0"о"1" в каждом из
указанных). Такая операция переводит Та (п, к) (при а.п.
у0 =< 00...0 > и ур =< 11...1 >) в матрицу с теми же
свойствами биективности (при v1=2, v2=3) для а.п. вершин у1 =< 0110...0 > и у2 =< 1001...1 > .
3
мета-дерево Кэли
22 E 2222 12222 112222 1112222 '2
1112222 I "1112222 |ll21222|:;| 1122212
23 112222 1122122 24
22222 .
Рис.5 а). Генетическое подпространство Т(4,3) с Т(к = 4)(3 поколения в 4-дереве Кэли), помечено расстояние между Бкар-путями ( в метрике дерева рСт ), рядом с матрицами указаны их номера - реализация {Та(п,к)} о N. б) Вершина Мета-дерева Кэли.
VI. Заключение. Дискуссия
Общую идеологию изложения свойств Бкар-путей можно представить в следующем сжатом схематичном виде:
А = {0,1,2} ^ А** = {Д = (41, йт)}, е А ^ алгебра и рНН (Д, Д)
X
Т (п, к) = {Д : #(2)Д = к; #(2)(Д х Д+1) = (к -1)}, 1 = 14- (п - к +1)
X
Я(Т(п, к)) ^ Т(п, к) о О Тй (п, к) ^ [4ТЛ (п, к)) ^ цепь Маркова, классы X п ^ да эргодичность,
изоморфных у(Та (п, к)) - (рекурсия) асимптотика
путей X структуры путей
Плоское к - дерево Кэли, генетическое пространство Т(к) с метрикой Роеп (Та п кХТ(п2, к))
X
Мета - дерево Кэли 3 троичных символьных матриц
Можно рассматривать структуру этой схемы с более широкой позиции. Символьная матрица диагонального вида над алфавитом А = {0,1,2} может рассматриваться, как одна из боксовых форм над конечным алфавитом с рекурсивной слайсовой композицией. Насколько опыт разностороннего представления таких форм при использовании их для эргодических методов и исследовании асимптотических кубических структур может повлиять на наше представление об облике структуры компьютеров следующего поколения? Некоторые тенденции здесь можно усмотреть в широком применении словных структур над конечными алфавитами и отображений между ними на базе действия групп и группоидов. При этом используются посимвольные операции, свертки-развертки
(отображений) для инвариантов, представленных в форме, адекватной фундаментальным понятиям
алгебраической комбинаторики (разбиения, диаграммы Юнга, таблоиды заданной формы и т.п.), теории случайных матриц и классу распределений Трейси-Уидома [7-9]. В настоящее время машинные реализации подобных процедур осуществляются программными интерпретациями и специальными программными методами сегментирования и управления памятью, прежде всего с целью интерпретации одновременного выполнения многих посимвольных операций. Насколько выполнение в таком интерпретационном режиме на универсальных компьютерах может существенно тормозить расширение фронта решаемых задач в этой области, без дополнительной аппаратной поддержки, покажет время. Однако, разносторонность применения такого компьютерного инструментария говорит в пользу его развития. Здесь могут быть намечены некоторые конкретные шаги:
1. Операции над словами: подсчет определенных символов в словах (боксах), вычисление позиции символа в определенном диапазоне позиций или символов, гомоморфные отображения последовательностей натуральных в структуры Марковских процессов и т.п.
2. Операции для генерации позиционных систем представления множеств объектов как множества слов (боксов) над конечным алфавитом, где символы или их сочетания представляют действия над базисом (в более широком плане, чем только декартово произведение и трансляция над ортонормированным базисом), элементы которого привязаны к позициям символов в слове.
3. Набор операций для реализации действия симметрической группы Sn на заданном множестве символов или позиций символов в словах (боксах) и слайсовых рекурсий в боксах.
Шаги подобного типа могут быть положительно оценены математическим сообществом, поскольку на Всемирном математическом конгрессе 2014 года в Сеуле принято решение о создании международной программы GMDL (Global Mathematic Digital Library),
где значительное внимание уделяется роли компьютера как инструмента самой фундаментальной математики, прежде всего в области генерации и верификации математических доказательств [8-12].
Библиография
[1] Г. Г. Рябов, "О четверичном кодировании кубических структур"// Вычислительные методы и программирование. 2009. 10, №2. с.340-347. Электронный ресурс: http://num-meth.srcc.msu.ru/zhurnal/tom 2009/pdf/v10r138.pdf
[2] Г. Г. Рябов, "Хаусдорфова метрика на гранях n-куба"// Фундаментальная и прикладная математика. 2010. 16, №1. с.151-155. Электронный ресурс: http://mech.math.msu.su/~fpm/ps/k10/k101/k10112.pdf
[3] Yuri I. Manin, "Classical computing, quantum computing, and Shor's factoring algorithm," 1999. Available: http://arxiv.org/pdf/quant-ph/9903008.pdf
[4] G. G. Ryabov, V. A. Serov, "On classification of k-dimension paths in n-cube," Applied Mathematics, vol. 5, no. 4, pp. 723-727, 2014. Available: http://dx.doi.org/10.4236/am.2014.54069
[5] G. G. Ryabov, V. A. Serov, " "Multidimensional metro" and symbol matrices," International Journal of Open Information Technologies, vol. 2, no. 11, pp. 10-18, 2014. Available: http://inioit.org/index.php/i1/article/view/157/116
[6] B. Klartag, G. Kozma, P. Ralli, P. Tetali, "Discrete curvature and abelian groups," arXiv:1501.00516v2 [math.CO], 6 Apr 2015. Available: http://arxiv.org/pdf/1501.00516v2.pdf
[7] P. Deift, "Universality for mathematical and physical systems," arXiv:math-ph/0603038v2, 19 May 2006. Available: http://arxiv.org/pdf/math-ph/0603038.pdf
[8] R. P. Stanley, "Enumerative combinatorics," Cambridge University Press, Cambridge, 1999. Available: http://dx.doi.org/10.1017/CB09780511609589
[9] R. P. Stanley, "Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More," UTM (Undergraduate Texts in Mathematics). Springer, 2013.
[10] B. Buchberger, "Symbolic Computation: A Personal View on the Future of Mathematics," General Mathematics Seminar of the St. Petersburg Division of Steklov Institute of Mathematics, Russian Academy of Science, 2015. Available:
http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=eng&present id=10826
[11] V. Voevodsky, "Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics," The Univalent Foundations Program, Inst. for Advanced Study (Princeton), 2013. Available: https://hottheory.files.wordpress.com/2013/03/hott-online-611-ga1a258c.pdf
[12] А. М. Вершик, А. Ю. Окуньков, "Новый подход к теории представлений симметрических групп. II," Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы. X, Зап. научн. сем. ПОМИ, 307, ПОМИ, СПб., 2004, c. 57-98. Электронный ресурс: http://www.mathnet.ru/links/4035276e356cc01fea05e94ea682825b/z nsl840.pdf
Polymorphism of symbolic ternary matrices and genetic space of the shortest k-paths in the n-
cube.
G. G. Ryabov, V. A. Serov
Abstract— The article discusses:
1. Representation of ternary symbolic matrix, as States of the Markov chains and ergodic methods to study the asymptotic geometry of the shortest k-path.
2. The representation of symbolic matrix in the form of recursive object and the construction of genetic space for the shortest k-paths based on Cayley trees.
3. The influence of symbolic computation on the architecture of future computers.
Keywords—n-cube, a finite alphabet, the shortest k-path symbolic ternary matrix, Markov chain, asymptotic structure, recursion, the Cayley tree, genetic space.
