Методы решения задачи идентификации моделей движения центра масс ракет космического назначения Текст научной статьи по специальности «Математика»

электронное научно-техническое издание

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС 77 - 305&9. Государственная регистрация №0421100025. ISSN 1994-040S

Методы решения задачи идентификации моделей движения центра масс ракет космического назначения

77-30569/345425

# 03, март 2012 Пролетарский А. В.

УДК 681.5

Одной из задач, решаемых интеллектуализированной системой управления [1-3], является идентификация модели движения центра масс. Для сокращения объема необходимой памяти бортовой вычислительной машины и сокращения затрат машинного времени необходима унификация методов решения различных задач.

Под идентификацией модели движения центра масс ракет космического назначения (РКН) понимается оценка ее параметров по информации о характере полета РКН и некоторых ее характеристиках, получаемых с помощью бортовых измерительных средств.

Представим систему уравнений движения центра масс РКН в следующем виде:

МГТУ им. Н.Э. Баумана pav@bmstu.ru

х =

f (t, х, p ),

(1)

где х - вектор фазовых координат, t - время,

х =

(V, г )т; p = (c, d )т,

(2)

V - вектор скорости,

г - радиус-вектор,

с - вектор параметров, характеризующих РКН и условия ее полета;

f = Y + n(t, х, d); Y = (y,0)T; r, = (gradU ,V )T,

(3)

d - вектор параметров потенциала поля земного тяготения и; у - вектор кажущихся ускорений центра масс РКН,

(4)

Модель движения центра масс РКН будет полностью определена, если задан составной вектор в ее параметров с, ё и начальных х0, либо конечных хк значений фазовых координат. Задача определения вектора в параметров модели движения центра масс РКН относится к разряду задач параметрической идентификации систем.

Задача идентификации модели движения РКН сводится к задаче оценки вектора параметров р модели и вектора х фазового состояния РКН в начальный или конечный

момент времени по результатам измерений г - выхода системы (1)-(4), искаженного шумами и различного рода возмущающими факторами, действующими на исходную систему. Оценка р их (либо хк) заключается в отыскании таких значений этих

параметров, при которых выход и модели (1)-(4) наилучшим в некотором смысле образом приближался бы к выходу г реальной системы.

В качестве выхода и рассматриваемой системы (1)-(4) может использоваться либо вектор у кажущихся ускорений, либо вектор х фазовых координат, либо оба этих вектора. В случае и = у идентификация системы (1)-(4) осуществляется по измерениям

вектора кажущихся ускорений, в случае и = х - по результатам решения навигационной задачи. При этом задача навигации может рассматриваться как частный случай идентификации системы (1) при и = у и заданном значении параметров системы.

Для оценки массово-энергетических характеристик РКН наряду с информацией о векторе кажущихся ускорений, получаемой с соответствующих измерителей (в частности, с акселерометров), может также использоваться информация о количестве топлива, получаемая с датчиков системы управления расходом топлива, и информация о давлении в камерах сгорания. В этом случае уравнение (1) дополнится соответствующими уравнениями связи

3 = 3^, с), ркс =(г, с), (5)

где 3 - измеренное количество топлива в баках; рс -измеренное значение давления в камере сгорания.

С помощью датчиков системы управления расходом топлива могут измеряться либо расходы топлива из баков, либо объемы компонентов топлива в баках Информация о давлении в камере сгорания может быть связана с расходом топлива с помощью дроссельной характеристики двигательной установки.

Пусть критерий ошибки приближения выхода модели к выходу реальной системы характеризуется функционалом

L

I = J H (u, z )dt, (6)

где H - скалярная положительно определенная мера ошибки.

Задача идентификации модели движения центра масс РКН заключается в определении таких векторов c,d и x0 , либо xk, которые минимизируют функционал (6) при условиях (1)-(4), т.е. в решении системы дифференциальных и функциональных уравнений

х = f (t, х, p), (7)

J = min I (p, х0). (8)

p, х0

Если в уравнении (7) не учитываются аэродинамические члены, то уравнение (4) принимает вид

У = J>(t, c ), (9)

в этом случае при и = y для определения вектора С достаточно рассматривать уравнение (9), т.е. вектор С будет определяться уравнениями:

y = ф(}, c); J = min I (с ). (10)

С

Если вектор c характеристик РКН известен или определен в результате решения задачи (7), (8), то при и = х для определения вектора d параметров потенциала поля тяготения и вектора х00 фазового положения РКН может быть использована система уравнений

х = Y + n(t, х, d); J = min I (d, х0), (11)

d ,х0

где вектор Y считается известным либо на основании измерений, либо на основании вычислений по формуле (4). В случае заданного значения вектора параметров d приходим к задаче оценки х00 фазового состояния РКН в момент времени t0:

х = Y + n(t, х); J = min I (х0). (12)

х0

Если вектор Y считается известным в результате измерений, то при и = y задача

определения вектора фазового положения центра масс РКН сводится к задаче интегрирования уравнения

х = Y + n(t, х), (13)

которая представляет собой задачу навигации РКН. Интегрирование уравнения (13) на упрежденном отрезке времени при известном законе изменения вектора У представляет собой задачу прогнозирования фазового положения центра масс РКН.

Таким образом, могут быть сформулированы следующие типы задач по определению параметров моделей движения центра масс РКН: 1 .Идентификация динамической системы

ГУЛ

= У + х, ё), У = ; у = ф(г, х, с)

V 0 у

(14)

по информации о векторе х , либо о векторе у или о векторах х и у. При этом информация о векторе х может быть получена в результате решения задачи навигации, а о векторе у - в результате измерения вектора кажущегося ускорения. В случае использования лишь информации о векторе х уравнение (14) эквивалентно системе уравнений

V = ф(г,У, г, с) + g (г, г, ё); г = V.

(15)

Если используется информация о векторах х и у, то можно ввести в рассмотрение расширенный вектор £ и соответствующее векторное уравнение

где

£ =

£ = ^ ($,£, с, ё),

С У + х, ё)

фдфУ + П, х, ё)] дх

С х ^

, ^ =

V у у

(16)

(17)

В этом случае задача формально сведена к типу задачи идентификации системы (15) по информации о векторе х.

2. Идентификация динамической системы

х = У + п(х); У =

с у ^

V 0 у

у

= ф(, х, с)

(18)

по информации о векторе х, либо о векторе у, или о векторах х и у.

При использовании информации лишь о векторе х уравнение (18) эквивалентно системе уравнений

V = ф^,У, г, с) + g (г); г = V. (19)

По аналогии с предыдущим случаем задача идентификации модели (18) по информации о векторах х и у может быть сведена к типу задачи идентификации системы (19) по информации о векторе х.

77-30569/345425, №03 март 2012 г. http://technomag.edu.ru 4

3. Идентификация статической модели

У = ф(и с)

(20)

по информации о векторе у.

Идентификация динамической системы

X = У + х, У = |У

(21)

по информации о векторе х , где у - заданная вектор-функция.

При этом вектор у определяется либо в результате измерений кажущихся ускорений, либо с помощью функции (20) при известном векторе параметров с .

5.Определение значения вектора х в результате интегрирования уравнения

где у - заданная вектор-функция, определяемая либо в результате измерения вектора кажущихся ускорений (при решении задачи навигации РКН), либо с помощью заданных аналитических зависимостей (при решении задачи прогноза фазового состояния РКН).

В условиях высокой точности измерения параметров движения РКН и влияния стабильных по характеру изменения возмущений и погрешностей измерения от алгоритма идентификации требуется лишь выполнение роли алгоритма аппроксимации реального движения центра масс РКН некоторой его моделью и не требуется одновременного выполнения роли фильтра. В связи с этим ограничимся рассмотрением лишь детерминированных моделей движения центра масс РКН.

Основными составляющими правых частей уравнений движения центра масс на участке выведения КА являются тяга двигателей и гравитационное ускорение. При этом потери скорости на преодоление сопротивления воздуха и за счет донного сопротивления двигателей составляют порядка 10-15 % от скорости на выходе из плотных слоев атмосферы (примерно на высоте 100 км). В связи с этим аппроксимирующая модель реального движения РКН может не учитывать влияние атмосферы на движение его центра масс и для идентификации параметров модели достаточно использовать системы (20) и

При идентификации моделей движения РКН может быть использована достаточно обширная априорная информация, полученная на этапах создания и отработки РКН. В частности, известно, что пределы разброса массово-энергетических и аэродинамических характеристик РКН не превосходят соответственно 1-3 % и 10-15 % от их номинальных

XX = У + п(х); У = | У|,

(22)

(21).

значений. Поэтому для уточнения такого рода характеристик могут использоваться линейные аппроксимации рассмотренных выше динамических и статических систем.

В качестве меры ошибки аппроксимации вектор-функции г^) измерений кривой и^) может быть выбрана квадратичная форма

Н(и, г) = 1 (и-г)т Я(и —г), (23)

где Я - матрица весовых коэффициентов.

В принципе мерой ошибки (и — г) может служить также норма ||и — г|| вектора

(и — г), либо скалярное произведение (и — г, и — г). Если квадрат нормы и скалярное произведение определены через сумму квадратов компонент вектора, то мера ошибки эквивалентна записи (23) при Я=Е.

Для решения сформулированных задач идентификации детерминированных моделей движения центра масс РКН могут быть использованы разнообразные методы поиска минимума функции (6), как аналитические, так и численные. Аналитические методы базируются на теории оптимального управления системами, и, как правило, сводят задачу идентификации к проблеме двухточечной краевой задачи. Численные методы базируются на теории нелинейного программирования и зачастую сводятся к различного рода градиентным процедурам.

Переход к двухточечной краевой задаче.

Если правые части динамической системы

х = / х, с), х(0 ) =

модели наблюдения

у = ф(, х, с) и подынтегральная функция функционала

г

I = | Н (у, г ^

(24)

(25)

(26)

являются гладкими функциями своих переменных, а система (24)-(25) являются идентифицируемой, то задача минимизации функционала (26) при условии (24) с помощью коэффициентов Лагранжа может быть сведена к задаче на безусловный экстремум функционала

I = Н Н (у, г ) + Я

/ (, х с )

\ёt,

(27)

0

где Л -вектор множителей Лагранжа.

Интегрируя (27) по частям и приравнивая первую вариацию функционала нулю, с учетом явной зависимости вектора х от вектора с и вектора начальных состояний х0 получим следующие соотношения для оптимальных значений искомых параметров с и х0:

\\Л

тд/ + дН ду

Л

дс ду дс ^

& = 0,

(28)

д/(дН ду 1Т

Л = -\^-\ Л-I дх )

ду дх

; Л( о ) = 0;Л(^ ) = 0.

(29)

Таким образом, задача идентификации системы (24) адекватна двухточечной краевой задаче для системы уравнений (24) и (29) при интегральных связях (28) и нулевых значениях переменной Л на концах. Для определения векторов с размерности т, вектора х0 размерности п и вектор-функции Л размерности п получено 2п+т соотношений (24), (28), (29) и 2п краевых условий (Л0 = 0), (Лк = 0). Интегральные связи (28) при условиях

на концах у0 = 0 и ук = 0 могут быть заменены эквивалентными дифференциальными связями

'=(/ Л+

{ дH ду}Т ду дс

(30)

Если не использовать множители Лагранжа, то оптимальные значения векторов с и х0 определяются из условия равенства нулю вариации функционала (26), т.е. из соотношения

- дH ( ду ду дх ^

- + -

{ ду \дв дх дв

Ж = 0

(31)

при в =

V х0

и условиях (24) и (25).

дх

Производные — могут быть определены с помощью уравнений чувствительности дв

Ж (дх.) = / / дх_

Ж\дв) дв дх дв

(32)

д/

при = дв

(/

дс 0

V J

и условиях

дх

= 0,

дх

дс / t=to Й^ / t=to

= Е.

Интегральное уравнение (31) может быть заменено эквивалентным дифференциальным уравнением

с =

дН | ду + ду дх

(33)

ду Vдв дх дв^ при условиях на концах сс(0) = 0, ) = 0.

Для определения вектора в размерностью п + т имеется всего 2п + т + п(п + т) соотношений. При этом на каждом шаге итерации приходится интегрировать на п(п + т) уравнений больше, чем в методе, использующем множители Лагранжа.

Условия стационарности (24), (29) и (30) можно также получить, если ввести в рассмотрение векторное уравнение

с = р = 0 (34)

и использовать методы теории оптимального управления систем [4].

Если начальные условия х(^0) = х0 заданы, то для уравнения (29) левый конец является свободным и двухточечная краевая задача для системы (24), (29) и (30) решается при условиях х({ 0 )= х0, Л(}к )= 0, у( 0 ) = 0, у(:к )= 0.

Рассмотрим возможности решения краевой задачи для уравнений (24), (29) и (30), которые могут быть записаны в следующем каноническом виде:

дН

Х =

ду'

дН

¥ = ——А )= 0^к ) = 0,

дХ

(35)

(36)

где

Н

г х >

гамильтониан, х =

V с J

УJ

Н = Н (у , г ) + ЛЛ / (, х, с ) + ^т р. Для наиболее важных для практики линейных систем

х = Ах + Вс; у = ах + Ьс

(37)

(38)

(39)

т

и квадратичной меры ошибки приближения

Н (у, 2) = 2 (у - 2)Т я(у - 2) (40)

уравнения (29) и (30) принимают вид

Л = -АТЛ + аТЯ(у - 2), Л^0) = 0, Л((к ) = 0; (41)

г = -В0 )= 0,^ )= 0, (42)

где А, В, а, Ь - матрицы.

Решение краевой задачи (24), (29) и (30) либо (38)-(42) заключается в отыскании таких параметров с и х0, которые обращают в ноль невязки Л^, с, х0) и у(, с, х0) в

момент t = t, .

к

Анализ методов решения двухточечных краевых задач достаточно подробно проведен в ряде работ. В целом, рассмотренные методы решения краевых задач являются достаточно общими и практически не учитывают специфику идентифицируемой системы. Линейные системы обладают характерными особенностями, вытекающими из существования фундаментальных решений, сопряженных переменных и свойств скалярных произведений фазовых и сопряженных переменных, которые могут быть использованы при разработке методов идентификации этих систем.

В частности, показано, что при идентификации линейных систем методом сопряженных уравнений двухточечная краевая задача для уравнений (38), (41) и (42) может быть сведена к решению системы линейных алгебраических уравнений

((, х)0, +и [(( аТ ЯЬ)+((Х, В)Ц с - } ( аТ = 0, (43)

и ] г к

г = 1,2,..., п + т,

где переменные (Л, (х, ( , определяются соответственно уравнениями

(л = А(л+ в(; (44)

Сх =- АТ(Х - аТ Яа(г; (45)

(г= 0. (46)

Уравнения (44) и (45) могут быть проинтегрированы в обратном времени при начальных условиях (х ) = 0 и

V 0

^ Г1 0^

= Е =

0

V YJt=tk

0

1

J

где ¥ - матрица фундаментальных решений, а интегралы в соотношении (43) могут определяться с помощью уравнений

и = Ал, а т ЯЬ)+А , В); (48)

ев = Ал, а т Яг ), (49)

интегрируемых при нулевых начальных условиях.

Если известна матрица фундаментальных решений Х^^о) уравнения (38), то с

учетом того, что матрица фундаментальных решений уравнения (41) равна Л = (хт) 1, а граничные значения переменных Л и у равны нулю, уравнения для определения параметров х0 и с примут вид

\(Хт )—1XтатЯаХёт Iх0 + Л (хт )—1XтатЯа{XX—1 Вё£ёт

к ь

{(X т)—1X т а т Ягёт = 0,

с —

(50)

{(^ — т^т )—1XтатЯ^а^с^т Iх0 + Л (^ — т)^т )—1XтатЯа{XX-1Вё£ёт

>с —

(51)

— {(^ — т)(х т )—1X т а т Ягёт = 0.

Следует отметить, что общее решение уравнения (38) равно

t

х^) = X ^, t0 )х0 + { X (t, т)X 4 (т, t0 )Вёт,

(52)

для которого можно записать эквивалентное уравнение типа уравнения Вольтерра для фундаментальной матрицы, ограничившись рассмотрением лишь первого приближения

X (и to )=

где Е - единичная матрица,

Е — { X 0 (^т^ 0—1 (т, t0 )Вёт

I

X0 t0) = exp {А(т)ёт

X 0 (t, ^ ),

(53)

(54)

\*0

0

При достаточно малом интервале [^0]

Х0 (^ tо)« Е + А( - tо) + 2 А2 ^ - tо )2 +... (55)

Для случая линейной стационарной системы у = Ьс и квадратичной меры

tk

приближения (40) может быть использовано условие | Ь т у - 2= 0,

tо

откуда с учетому=Ьс получаем:

Лк У1

с=

| Ь ТЯЬЖ |Ь т ЕгЖ. (56)

V Н! у %

Для решения уравнения (56) либо краевой задачи для уравнений (24), (29) и (30) могут быть использованы разнообразные численные методы.

Таким образом, задача идентификации сведена к двухточечной краевой задаче, что позволяет унифицировать программно-алгоритмическое обеспечение

интеллектуализированной системы управления при формировании базы знаний.

Литература

1. Пролетарский А.В. Управление полетом ракет космического назначения. М.: Издательство МГОУ, 2006. 140с.

2. Пролетарский А.В., Неусыпин К.А., Цибизова Т.Ю. Системы управления летательными аппаратами и алгоритмы обработки информации. М.: Издательство МГОУ, 2006. 220с.

3. Пролетарский А.В. Интеллектуализированная система управления перспективными ракетами космического назначения. Автоматизация и современные технологии, 2011, №6, с. 30-33

electronic scientific and technical periodical

SCIENCE and EDUCATION

_EL № KS 77 - 3Ü56'». .V;II421100025, ISSN 1994-jMOg_

Approaches to identification of center-of-mass motion models in space rockets

77-30569/345425

# 03, March 2012 Proletarskii A.V.

Bauman Moscow State Technical University

pav@bmstu.ru

The article considers methods of identification of center-of-mass motion models in space rockets. Reducing the task of identification to a two-point boundary-value problem is shown for the purpose of unification of program-algorithmic support in the control system.

Publications with keywords: identification, motion model, launch vehicle Publications with words: identification, motion model, launch vehicle

References

1. Proletarskii A.V. Upravlenie poletom raket kosmicheskogo naznacheniia [Flight control of space rockets]. Moscow, MSOU Publ., 2006. 140 p.

2. Neusypin K.A., Proletarskii A.V., Tsibizova T.Iu. Sistemy upravleniia letatel'nymi apparatami i algoritmy obrabotki informatsii [Aircraft control systems and algorithms for information processing]. Moscow, MSOU Publ., 2006. 220 p.

3. Proletarskii A.V. Intellektualizirovannaia sistema upravleniia perspektivnymi raketami kosmicheskogo naznacheniia [Intellectual control system of the space purpose perspective rockets]. Avtomatizatsiia i sovremennye tekhnologii, 2011, no. 6, pp. 30-33.